TRƯỜNG THPT …………………

● BỘ ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN ⓬– CTM 2025

MỤC LỤC
⬥CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ............................... 2
▶BÀI ❶. SỰ BIẾN THIÊN VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ .................................................................... 2
☀. Đề kiểm tra rèn luyện ........................................................................................................ 2
⬩Đề ❶:......................................................................................................................... 2
⬩Đề ❷:......................................................................................................................... 7
⬩Đề ❸:....................................................................................................................... 11
▶BÀI ❶. SỰ BIẾN THIÊN VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ .................................................................... 2
☀. Đề kiểm tra rèn luyện ...................................................................................................... 17
⬩Đề ❶:....................................................................................................................... 17
⬩Đề ❷:....................................................................................................................... 21
⬩Đề ❸:....................................................................................................................... 25
▶BÀI ❸. ĐƯỜNG TIỆM CẬN ............................................................................................................ 31
☀. Đề kiểm tra rèn luyện ...................................................................................................... 31
⬩Đề ❶:....................................................................................................................... 31
⬩Đề ❷:....................................................................................................................... 35
⬩Đề ❸:....................................................................................................................... 40
▶BÀI ❹. SỰ BIẾN THIÊN VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ................................................................. 45
☀. Đề kiểm tra rèn luyện ...................................................................................................... 45
⬩Đề ❶:....................................................................................................................... 45
⬩Đề ❷:....................................................................................................................... 50
⬩Đề ❸:....................................................................................................................... 58
⬩Đề ❹: ỨNG DỤNG .................................................................................................. 63
▶BÀI . ÔN TẬP CHƯƠNG 1 ................................................................................................................ 71
☀. Đề kiểm tra rèn luyện ...................................................................................................... 71
⬩Đề ❶:....................................................................................................................... 71
⬩Đề ❷:....................................................................................................................... 76
⬩Đề ❸:....................................................................................................................... 81

WORD XINH DUONG HUNG

1

•ZALO 0774860155

TRƯỜNG THPT …………………

● BỘ ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN ⓬– CTM 2025

⬥CHƯƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
▶BÀI ❶. SỰ BIẾN THIÊN VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
☀. Đề kiểm tra rèn luyện
⬩Đề ❶:
☞Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi
câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Câu 1: Hàm số y = f ( x ) liên tục trên

có bảng biến thiên hàm số y = f ' ( x ) như hình dưới:

Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) là
A. 4 .

B. 1 .

C. 2 .

D. 3 .

Câu 2: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x) có đồ thị là đường cong trong hình dưới đây:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (7; +) .

C. (−; −2) .

B. (−2;3) .

D. (−2; 0) .

Câu 3: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

WORD XINH DUONG HUNG

2

•ZALO 0774860155

● BỘ ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN ⓬– CTM 2025

TRƯỜNG THPT …………………

x
y'
y

∞

1
0
0

+

3
0

+∞
+
+∞

∞

-2

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( −2;0 ) .

B. ( −;0) .

D. ( 3;+ ) .

C. (1;3) .

Câu 4: Cho hàm số y = f  ( x ) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới đây:
y

y=f '(x)
x

O

Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. ( −; −1) .

B. ( −1;1) .

Câu 5: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên
3
2
A. y = − x + 3x − 9 x .

D. (1; +) .

C. (1;4 ) .
?

3
B. y = − x + x + 1 .

C. y =

x −1
.
x−2

2
D. y = 2 x + 3x + 2 .

Câu 6: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên dưới:

Hàm số f ( x ) đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
A. x = 1 .

B. x = −1 .

Câu 7: Cho hàm số y = f ( x) xác định trên

WORD XINH DUONG HUNG

C. y = 3 .

D. M ( −1;3) .

và có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

3

•ZALO 0774860155

● BỘ ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN ⓬– CTM 2025

TRƯỜNG THPT …………………

Giá trị cực tiểu của hàm số y = f ( x) là
A. −10 .
Câu 8: Cho hàm số y =

B. 11.

D. −20 .

C. 6 .

x−2
, khẳng định nào sau đây là đúng?
x +1

A. Hàm số đồng biến trên ( − ; −1)  ( −1; +  ) .
B. Hàm số đồng biến trên ( − ; − 1) và ( −1; +  ) .
C. Hàm số đồng biến trên

\ −1 .

D. Hàm số đồng biến trên ( − ;1) .

x 2 − 3x + 5
Câu 9: Hàm số y =
nghịch biến trên các khoảng nào?
x +1
B. ( −; −2 ) .

A. ( −4;2 ) .

Câu 10: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên

C. ( −; −1) và ( −1; + ) .

D. ( −4; −1) .

và có đạo hàm f  ( x ) = 12x2025 ( x + 1)(3 − x ) , x 

.

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?

Câu 11: Cho hàm số y =

C. ( 3; + ) .

B. ( −1;3) .

A. ( −; −1) .

D. ( −;0) .

x2 − 2x − 7
. Phát biểu nào sau đây là đúng?
x−4

A. xCT = 3 , xCD = 5 .

B. xCT = −3 , xCD = 5 . C. xCT = 5 , xCD = 3 .

D.

xCT = 5 ,

xCD = −3 .

Câu 12: Điểm cực tiểu của hàm số y =
A. x = 1 .

− x2 + 2 x − 1
là
x+2

C. x = 2 .

B. x = −5 .

D. x = 5 .

☞Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý
a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) . Hàm số y = f  ( x ) có đồ thị như hình dưới đây

WORD XINH DUONG HUNG

4

•ZALO 0774860155

● BỘ ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN ⓬– CTM 2025

TRƯỜNG THPT …………………

y
2

−1

1

O

2

x

−2

a) Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng ( − ;0) ,
b) Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng ( −1;1) .
c) Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( − ;0) .
d) Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng (1; 2 ) .
Câu 2: Cho hàm số y = f ( x ) =

x 2 + 3x
.
x −1

a) Hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng ( −;1) .
b) Cực đại của hàm số f ( x ) là 1.
c) Hàm số f ( x ) có ba điểm cực trị.
d) Hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −1;3) .
Câu 3: Cho hàm số y = 2

x 2 −3 x +

13
4

.

a) Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1;0 ) .
b) Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0;1) .
c) Hàm số có giá trị cực tiểu yCT = 2 .
d) Hàm số có 2 điểm cực trị.

(

)

Câu 4: Cho hàm số y = log 2 x 2 − 4 x + 5 có đồ thị là ( C ) .
a) Hàm số có tập xác định là D =
b) Hàm số đồng biến trên

.

.

c) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 .
d) Giả sử đồ thị hàm số ( C ) cắt đường thẳng ( d ) : y = 1 tại hai điểm A, B và có điểm cực trị
là M . Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB bằng 2 .

WORD XINH DUONG HUNG

5

•ZALO 0774860155

● BỘ ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN ⓬– CTM 2025

TRƯỜNG THPT …………………

☞Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6
Câu 1: Biết đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị của hàm số y = − x 3 + 3x 2 + 9 x + 1 là
ax + by + 4 = 0. Tính a + 2b.

Câu 2: Biết đồ thị hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d có hai điểm cực trị A (1; − 7 ) , B ( 2; − 8) . Tính y ( −1) .
Câu 3: Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + 2, ( a; b; c 

) có bảng xét dấu như sau:

Có bao nhiêu số dương trong các số a; b; c ?
Câu 4: Xét một chất điểm chuyển động trên một trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải (Hình
1). Giả sử vị trí s ( t ) (mét) của chât điểm trên trục số đã chọn tại thời điểm t (giây) được cho
bởi công thức s (t ) = t 3 − 9t 2 + 15t , t  0 . Hỏi có bao nhiêu giá trị t nguyên để chất điểm chuyển
động sang trái?

Câu 5: Máng trượt của một cầu trượt cho trẻ em được uốn từ một tấm kim loại có bề rộng 80 cm , mặt
cắt được mô tả ở Hình 2. Nhà thiết kế khuyến cáo, diện tích của mặt cắt càng lớn thì càng đảm
bảo an toàn cho trẻ em.

Gọi S là diện tích mặt cắt. Với x đạt giá trị bằng bao nhiêu thì cầu trượt đảm bảo an toàn nhất
cho trẻ em?
Câu 6: Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất
5000
định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hoá bằng hàm số f (t ) =
,t  0
1 + 5e−t

WORD XINH DUONG HUNG

6

•ZALO 0774860155

TRƯỜNG THPT …………………

● BỘ ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN ⓬– CTM 2025

trong đó thời gian t được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm
f (t ) là biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là
lớn nhất? (quy tròn đến hàng phần trăm).
⬩Đề ❷:
☞Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi
câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Câu 1: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Nếu f  ( x )  0, x 

thì hàm số f ( x ) đồng biến trên

.

B. Nếu f  ( x )  0, x 

thì hàm số f ( x ) đồng biến trên

.

C. Nếu f  ( x ) = 0, x 

thì hàm số f ( x ) đồng biến trên

.

D. Nếu f  ( x )  0, x 

thì hàm số f ( x ) đồng biến trên

.

Câu 2: Cho hàm số bậc bốn có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho là
A. x = −1 .

C. x = 2 .

B. x = 0 .

D. A ( 0; −1) .

Câu 3: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên tập xác định của nó?
A. y =

2x +1
.
x −3

C. y = −2 x 2 + 1 .

B. y = − x 3 + 2 x 2 − 15 x − 1 .
D. y = x 3 − 2 x 2 + 2024 x + 5 .

Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
WORD XINH DUONG HUNG

7

•ZALO 0774860155

● BỘ ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN ⓬– CTM 2025

TRƯỜNG THPT …………………

B. ( 4;+ ) .

A. ( −1;1) .

C. ( −;2) .

D. ( 0;1) .

C. (−;0) .

D. (−; 2) .

Câu 5: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
B. (−2; +) .

A. (2; +) .

(

)

2
Câu 6: Hàm số y = x − 1 ( 3x − 2 ) có bao nhiêu điểm cực đại?

A. 0.

3

B. 2.

C. 3.

Câu 7: Cho hàm số y = f ( x ) có f  ( x ) = ( x + 2)( x + 1) ( x 2 − 1) , x 

D. 1.
. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên

khoảng nào sau đây?
A. ( −1;1) .

B. ( 0;+ ) .

C. ( −; −2) .

D. ( −2; −1) .

C. 10 .

D. −2 .

C. e .

D. 0 .

Câu 8: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực đại của f ( x ) là
A. 4 .

B. 8 .

Câu 9: Tính giá trị cực đại của hàm số y =
A.

1
.
e

ln x
.
x

B. 1 .

Câu 10: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

WORD XINH DUONG HUNG

8

•ZALO 0774860155

● BỘ ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN ⓬– CTM 2025

TRƯỜNG THPT …………………

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( 0;4) .

B. ( 0;2) .

Câu 11: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên

D. ( −; −1) .

C. ( −1;1) .

và có bảng xét dấu f  ( x ) như sau:

Hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 3.

B. 2.

C. 1.

D. 4.

Câu 12: Biết M (1; − 5) là một điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f ( x ) = x3 + ax2 + bx + 1 . Giá trị f ( 2 )
bằng
A. −3 .

B. −21.

C. 3.

D. 15 .

☞Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý
a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

a) Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng (−; 2).
b) Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng (0;3).
c) Hàm số y = f ( x ) đạt cực đại tại x = 2.
d) Giá trị cực tiểu của hàm số y = f ( x ) là y = −4.
Câu 2: Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị là đường cong như hình vẽ sau

WORD XINH DUONG HUNG

9

•ZALO 0774860155

● BỘ ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN ⓬– CTM 2025

TRƯỜNG THPT …………………

Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai?
a) Hàm số y = f ( x) đồng biến trên khoảng (−;3).
b) Tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số

y = f ( x)

là 2.

c) Hàm số y = f ( x) có hai cực trị trái dấu.
d) Phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f ( x) là d : y = −3x
Câu 3: Cho hàm số bậc bốn trùng phương f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

a) Hàm số đồng biến trên ( −1;1) .
b) Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm cực tiểu là 2 .
c) Hàm số f ( 2 x ) nghịch biến trên ( 0;1)
d) Số điểm cực trị của hàm số y =

1
4
f ( x) − 1 là 5.
4
x

Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = ( x + 1) e x .
a) Hàm số nghịch biến trên ( −; − 1) .
b) Giá trị cực tiểu của hàm số là 0 .
c) Hàm số f ( x2 ) đồng biến trên ( −1; +  )
d) Có 2025 giá trị nguyên của tham số m trong  −2024;2025 để hàm số:

g ( x ) = f ( ln x ) − mx2 + 4mx − 2 nghịch biến trên ( e; e2024 ) .
☞Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6

WORD XINH DUONG HUNG

10

•ZALO 0774860155

TRƯỜNG THPT …………………

● BỘ ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN ⓬– CTM 2025

Câu 1: Biết rằng tất cả các khoảng nghịch biến của hàm số y =

x2 + 2 x + 2
là hai khoảng ( a; b ) , ( b; c )
x +1

với a  b  c . Tính T = a + b + c
Câu 2: Biết rằng đồ thị hàm số y = x 4 − 2ax 2 + b có một điểm cực trị là (1; 2 ) . Tính khoảng cách giữa
điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho (quy tròn đến hàng phần trăm).

(

)

x2 + 2 x − 3
cùng với điểm I − 5; − 5 tạo
x2 + 1
thành một tam giác. Diện tích tam giác đó bằng (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 3: Biết rằng hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y =

Câu 4: Xí nghiệp A sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết rằng hàm tổng chi phí sản xuất là
TC = x3 − 77 x 2 + 1000 x + 40000 và hàm doanh thu là TR = −2 x 2 + 1312 x , với x là số sản
phẩm. Lợi nhuận của xí nghiệp A được xác định bằng hàm số f ( x ) = TR − TC , cực đại lợi
nhuận của xí nghiệp A khi đó đạt bao nhiêu sản phẩm?

(

)

Câu 5: Hàm số y = log3 x 2 − 2 x nghịch biến trên khoảng ( − ;a ) có độ dài lớn nhất. Khi đó a bằng?
Câu 6: Lát cắt ngang của một vùng đất ven biển được mô hình hoá thành một hàm số bậc ba y = f ( x )
có đồ thị như hình vẽ (đơn vị độ dài trên các trục là km).

Biết khoảng cách hai bên chân đồi OA = 2 km , độ rộng của hồ AB = 1 km và ngọn đồi cao
528 m . Tìm độ sâu của hồ (tính bằng mét) tại điểm sâu nhất? (làm tròn đến hàng đơn vị).
⬩Đề ❸:
☞Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi
câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Câu 1: Hàm số y = − x 3 + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( −1;1) .

(

B. ( − ; − 1) .

)

C. 0; 3 .

D. (1;+ ) .

Câu 2: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đồng biến trên khoảng nào đưới đây?

WORD XINH DUONG HUNG

11

•ZALO 0774860155

● BỘ ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN ⓬– CTM 2025

TRƯỜNG THPT …………………

y
2
1
-1 O
-1

1

2 x

-2

A. ( 0; + )

B. ( −2; 2 )

D. ( −2;1)

C. ( −1;1)

Câu 3: Cho hàm số y = f ( x ) có f  ( x ) = ( x + 2)( x + 1) ( x 2 − 1) . Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng
nào sau đây?
A. ( −1;1) .

C. ( −; −2) .

B. ( 0; + ) .

D. ( −2; −1) .

Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Câu 5:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
A. −4 .
B. 3 .
C. 0 .
Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

D. 2 .

Hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu tại
A. x = 3 .
Câu 6:

D. x = 2 .

Trên đoạn  −2;1 , hàm số y = x 3 − 3 x 2 − 1 đạt giá trị lớn nhất tại điểm.
A. x = −2 .

Câu 7:

C. x = 1 .

B. x = −1 .

C. x = −1 .

B. x = 0 .

D. x = 1 .

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

x2 + 3
trên đoạn  2; 4
x −1

B. min y = −2

C. min y = −3

A. min y = 6
2;4

2;4

WORD XINH DUONG HUNG

2;4

12

D. min y =
2;4

•ZALO 0774860155

19
3

● BỘ ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN ⓬– CTM 2025

TRƯỜNG THPT …………………

Câu 8: Xét hàm số y = f ( x ) với x   −1;5 có bảng biến thiên như sau

Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đã cho không tồn tại GTLN trên đoạn  −1;5 .
B. Hàm số đã cho đạt GTNN tại x = −1 và x = 2 trên đoạn  −1;5 .
C. Hàm số đã cho đạt GTNN tại x = −1 và đạt GTLN tại x = 5 trên đoạn  −1;5 .
D. Hàm số đã cho đạt GTNN tại x = 0 trên đoạn  −1;5 .
Câu 9:

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =

1
A. y = .
3

C. y = −1 .

B. y = 3 .

Câu 10: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
A. x = −2 .

3x + 1
là:
x −1
D. y = 1 .

2x − 2
là
x +1

B. x = 1 .

D. x = 2 .

C. x = −1 .

Câu 11: Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = x − x2 + 2 x + 3 là
A. y = 1 .

B. y = 2 .

C. y = −1 .

D. y = 0 .

4
2
C. y = x − 2 x .

D. y =

Câu 12: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như sau

y = f ( x ) là hàm số nào trong các hàm số sau
3
A. y = − x + x .

3
B. y = x − 3x .

x +1
.
x −1

☞Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý
a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:
WORD XINH DUONG HUNG

13

•ZALO 0774860155

● BỘ ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN ⓬– CTM 2025

TRƯỜNG THPT …………………

Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai?
a) Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng (−; 2).
b) Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng (0;3).
c) Hàm số y = f ( x ) đạt cực đại tại x = 2.
d) Giá trị cực tiểu của hàm số y = f ( x ) là y = −4.
Câu 2.

Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị là đường cong như hình vẽ sau

Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai?
a) Hàm số y = f ( x) đồng biến trên khoảng (−;3).
b) Tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số

y = f ( x)

là 2.

c) Hàm số y = f ( x) có hai cực trị trái dấu.
d) Phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f ( x) là d : y = −3x
Câu 3.

(

)

1 3
2
2
Cho hàm số y = x + ( m + 1) x + m + 2m x − 3 , với m là tham số
3
a) Với mọi m hàm số luôn có hai điểm cực trị.
b) Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 2 .
c) Không tồn tại giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên

.

d) Hàm số nghịch biến trên ( −1;1) khi và chỉ khi m  −1.
Câu 4.

2 x 2 + 2 x − 1 − 5m
Cho hàm số y =
x−m
a) Hàm số xác định với mọi x .
b) Có 2019 giá trị nguyên dương bé hơn 2024 của tham số m để
2 x 2 + 2 x − 1 − 5m
nghịch biến trên khoảng (1;5) .
y=
x−m
WORD XINH DUONG HUNG

14

•ZALO 0774860155

hàm số

TRƯỜNG THPT …………………

● BỘ ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN ⓬– CTM 2025

c) m = 0 thì hàm số có hai cực trị.
d) Nếu đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thì hai điểm cực trị đó luôn nằm trên đường
thẳng cố định.
☞Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6
x2 + 2 x + 2
.
x +1

Câu 1.

Tìm tất cả các khoảng nghịch biến của hàm số y =

Câu 2.

Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) . Hàm số y = f  ( x ) có đồ thị như hình dưới đây

(

)

Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số y = f 2 − x 2 .
Câu 3.

Hằng ngày mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h ( m) của
mực nước trong kênh tại thời điểm t ( h ) ( 0  t  24) trong ngày được xác định bởi công
 t  
thức h = 2cos  +  + 5 . Gọi ( a ; b ) là khoảng thời gian trong ngày mà độ sâu của mực
 12 3 
nước trong kênh tăng dần. Tính giá trị của a + b .

Câu 4.

Xí nghiệp A sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết rằng hàm tổng chi phí sản
xuất là TC = x3 − 77 x 2 + 1000 x + 40000 và hàm doanh thu là TR = −2 x 2 + 1312 x , với x là
số sản phẩm. Lợi nhuận của xí nghiệp A được xác định bằng hàm số f ( x ) = TR − TC ,
cực đại lợi nhuận của xí nghiệp A khi đó đạt bao nhiêu sản phẩm?

Câu 5.

Khi loại thuốc A được tiêm vào bệnh nhân, nồng độ mg / l của thuốc trong máu sau x
30 x
phút được xác định bởi công thức: C ( x) = 2
.
x +2

. Calculus. Cengage Learning)
Để đưa ra những lời khuyên và cách xử lí phù hợp cho bệnh nhân, ta cần tìm khoảng thời
gian mà nồng độ của thuốc trong máu đang tăng. Em hãy cho biết hàm nồng độ thuốc
trong máu C ( x ) đạt giá trị cực đại là bao nhiêu trong khoảng thời gian 6 phút sau khi
tiêm ?
WORD XINH DUONG HUNG

15

•ZALO 0774860155

TRƯỜNG THPT …………………

Câu 6.

● BỘ ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN ⓬– CTM 2025

Một tấm bạt hình vuông cạnh 20m như hình vẽ dưới đây. Người ta dự tính cắt phần tô
đậm của tấm bạt rồi gập và may lại , nhằm mục đích phủ lên tháp đèn trang trí để tránh
hư hại tháp khi trời mưa.

Biết khối chóp hình thành sau khi gập và may lại cần thể tích lớn nhất thì mới phủ kín
tháp đèn. Hỏi phần diện tích tấm bạt bị cắt là bao nhiêu để đảm bảo yêu cầu trên.

WORD XINH DUONG HUNG

16

•ZALO 0774860155

● BỘ ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN ⓬– CTM 2025

TRƯỜNG THPT …………………

▶BÀI ❷. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
☀. Đề kiểm tra rèn luyện
⬩Đề ❶:
☞Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu
12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên
Khẳng định nào sau đây là đúng?

thỏa mãn giá trị nhỏ nhất của hàm số trên

A. f ( x )  5 x

.

B. f x

5 x

, x0 , f x0

5.

C. f ( x )  5 x

.

D. f x

5 x

, x0 , f x0

5.

Câu 2: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên trên đoạn  0;3 như sau:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên đoạn  0;3 là
A. 4 .

B. 1 .

C. 0 .

D. − 4 .

Câu 3: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn −1;2 và có đồ thị như hình vẽ sau

Giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) trên đoạn  −1;2 là
A. 3 .

B. −1.

C. 1 .

D. 2

Câu 4: Hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn  −1;3 và có bảng biến thiên như sau:
WORD XINH DUONG HUNG

17

•ZALO 0774860155

là 5 .

● BỘ ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN ⓬– CTM 2025

TRƯỜNG THPT …………………

Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên đoạn

−1;3 . Khi đó giá trị của
A. M − m = 5.

M − m là

B. M − m = 4.

C. M − m = 6 .

D. M − m = 3 .

Câu 5: Giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình là

A. 3 .

C. −1.

B. 7 .

Câu 6: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên

D. 4 .

và có bảng biến thiên như hình vẽ.

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trong khoảng ( −; −2) là 1 .
1

B. Giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) trong khoảng  −;  là 6 .
2

1

C. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trong khoảng  −2;  là 1 .
2

D. Hàm số y = f ( x ) không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng ( −2; + ) .
WORD XINH DUONG HUNG

18

•ZALO 0774860155

● BỘ ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN ⓬– CTM 2025

TRƯỜNG THPT …………………

x2
Câu 7: Giá trị lớn nhất của hàm số y =
trên đoạn  0; 2 là
x +1
A. 1 .

4
3

C. − .

B. 0 .

D.

4
.
3

Câu 8: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + 1 trên tập xác định là
A. 1 .

C. −1.

B. 0 .

D.

2.

Câu 9: Tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = sin 2 x + 2 trên tập xác định là
A. 4 .

B. 0 .

C. 3 .

D. 1 .

Câu 10: Cho hàm số y = f ( x) liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn  −1;3 như hình vẽ bên.
Khẳng định nào sau đây đúng?

A. max f ( x) = f (0) .
 −1;3

B. max f ( x ) = f ( 3) . C. max f ( x ) = f ( 2 ) . D.
 −1;3
 −1;3

max f ( x ) = f ( −1) .
 −1;3

Câu 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = ( x − 3) e2 x .
A. min f ( x ) = −

e5
.
2

B. min f ( x ) =

e5
.
2

C. min f ( x ) = e5 .

Câu 12: Gọi giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) =
lần lượt là m và M . Giá trị của biểu thức ln ( m + M ) bằng
A. 1 .

B. −1.

C. e .

D. Không tồn tại.

ln x
trên nửa khoảng 1;e2 )
x
D. e −1 .

☞Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý
a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Cho hàm số y = f ( x) xác định và liên tục trên

WORD XINH DUONG HUNG

19

, có đồ thị như hình vẽ bên:

•ZALO 0774860155

● BỘ ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN ⓬– CTM 2025

TRƯỜNG THPT …………………

a) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn  −2;2 là −1.
b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên 0;+ ) là −5 .

c) Hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên ( −;1 là 2.
d) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn  −1;2 tại điểm x = 1 .
Câu 2: Cho hàm số

y = f ( x) =

x 2 + mx + 1
x+m .

a) Khi m = 0 , ta có min y = −2 .
( 0;+ )

b) Hàm số đã cho luôn có 2 cực trị.
c) Với mọi giá trị của m , ta luôn có min y − m ax y = 4 .
( − m;+ )

( −;− m )

d) Khi m = −3 thì giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn  −1;2 bằng 1 .
500
Câu 3: Cho hàm số f x 2 x 2
. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
x
a) f x

0

x

5.

b) lim f ( x ) = 0 .
x →+
b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên ( 0;5) là 150.
c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên ( 0;+ ) là 150.
Câu 4: Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá 30.000 đồng một chiếc và
mỗi tháng cơ sở bán được trung bình 3000 chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch
tăng giá bán để có lợi nhận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy
rằng nếu từ mức giá 30.000 đồng mà cứ tăng giá thêm 1000 đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít
hơn 100 chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là 18.000 .
a) Nếu cơ sở bán mỗi chiếc khăn với giá 37000 (đồng) thì số tiền lãi sau 1 tháng là 44 (triệu
đồng).
b) Sau khi cơ sở tăng giá mỗi chiếc khăn thêm x (nghìn đồng) thì tổng số lợi nhuận một tháng
của cơ sở được tính theo công thức f ( x ) = −100x2 + 1800x + 36000 .
c) Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì số khăn bán ra giảm 800 chiếc.
d) Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì mỗi chiếc khăn cần bán với giá 39000 đồng.
☞Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6
WORD XINH DUONG HUNG

20

•ZALO 0774860155

TRƯỜNG THPT …………………

Câu 1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 2 +

● BỘ ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN ⓬– CTM 2025

2
trên đoạn
x

1 
 2 ;2 là



Câu 2: Tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số g ( x) =

ln x
trên đoạn [1; 4] là… (làm
x

tròn đến hàng trăm)
Câu 3: Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = sin x + cos 2 x trên 0;   là …
Câu 4: Một màn hình BC có chiều cao 1, 4m được đặt thẳng đứng và mép dưới của màn hình cách
mặt đất một khoảng BA = 1,8m . Một chiếc đèn quan sát màn hình được đặt ở vị trí O
trên mặt đất. Hãy xác định khoảng cách AO sao cho góc quan sát BOC là lớn nhất.

Câu 5: Một ông nông dân có 240 m hàng rào và muốn rào lại cánh đồng hình chữ nhật tiếp giáp
với một con sông. Ông không cần rào cho phía giáp bờ sông. Hỏi ông có thể rào được
cánh đồng với diện tích lớn nhất là
Câu 6: Anh Hà dự định làm một cái thùng đựng dầu hình trụ bằng sắt có nắp đậy thể tích 10 m 3
. Chi phí làm mỗi m2 đáy là 400 ngàn đồng, mỗi m2 nắp là 200 ngàn đồng, mỗi m2 mặt
xung quanh là 300 ngàn đồng. Để chi phí làm thùng là ít nhất thì anh Hà cần chọn chiều
cao của thùng là. (Xem độ dày của tấm sắt làm thùng là không đáng kể, làm tròn kết quả
đến hàng phần trăm).
⬩Đề ❷:
☞Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi
câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn  −1;3 và có đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị lớn
nhất của hàm số đã cho trên đoạn  −1;2 bằng

WORD XINH DUONG HUNG

21

•ZALO 0774860155

● BỘ ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN ⓬– CTM 2025

TRƯỜNG THPT …………………

A. 3 .

C. −2 .

B. 1.

D. 2 .

Câu 2: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  −3;2 và có bảng biến thiên như hình dưới đây. Gọi
M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên  −1;2

. Giá trị của M + m bằng bao nhiêu?

A. 3 .

B. 2 .

Câu 3: Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

C. 1 .

x2 + 3
trên đoạn  2; 4 . Khi đó:
x −1

B. m = −2 .

A. m = 6 .

D. 4 .

D. m =

C. m = −3 .

19
.
3

Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) = x2 − 3x trên đoạn 0;2.

9
A. − .
4

3
B. − .
2

C. 0 .

D. 5 .

Câu 5: Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên đoạn  −2; 2 và có đồ thị là đường cong trong
hình vẽ sau:

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. min f ( x ) = −4 .
 −2;2

Câu 6: Cho hàm số y

B. min f ( x ) = 1 .

C. min f ( x ) = 2 .

 −2 ; 2

 −2 ; 2

f x xác định, liên tục trên

WORD XINH DUONG HUNG

22

D. min f ( x ) = −2 .
 −2;2

và có bảng biến thiên như sau:

•ZALO 0774860155

● BỘ ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN ⓬– CTM 2025

TRƯỜNG THPT …………………

Giá trị lớn nhất của hàm số y
A. 1 .

f x trên đoạn 0;2 bằng

B. 3 .

C. 0 .

Câu 7: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) =
A. 20 .

D. 2 .

1 2
x ( 30 − x ) trên nửa khoảng ( 0; + )
40

B. 24 .

C. 25 .

D. 30 .

Câu 8: Cho hàm số y = 2 x − 4 x ln 2 . Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn  0; 4 có dạng a − b ln c
. Tính a + b + c ?
A. −2 .

B. 14.

C. 34.

D. 0 .

1 
Câu 9: Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số y = x − ln x trên đoạn  ; e .
2 
Giá trị của M − m là:
A. e − ln 2 −

1
.
2

C. ln 2 −

B. e − 1 .

1
.
2

D. e − 2 .

Câu 10: Cho hàm số y = f ( x ) = 4 − x 2 . Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hàm số có GTLN là 2.
C. Hàm số đạt GTLN tại x = 2.
Câu 11: Cho hàm số y = f ( x ) = x − 5 +

B. Hàm số có GTNN là 0.
D. Hàm số đạt GTNN tại x = 2.

1
, xét trên khoảng ( 0; +  ) giá trị nhỏ nhất của hàm số
x

bằng
B. −3 .

A. 0 .

C. 4 .

D. −4 .

Câu 12: Để hàm số y = −x 4 + 6x 2 + m đạt giá trị lớn nhất trên  −1;1 bằng 5 thì giá trị của tham
số m bằng
C. −5 .

B. 5 .

A. 0 .

D. 1 .

☞Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý
a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Cho hàm số f x
a) f x

2x2
0

x

500
. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
x
5.

b) lim f ( x ) = 0 .
x →+
b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên ( 0;5) là 150.
c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên ( 0;+ ) là 150.
Câu 2: Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá 30.000 đồng một chiếc và
mỗi tháng cơ sở bán được trung bình 3000 chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch
tăng giá bán để có lợi nhận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy
rằng nếu từ mức giá 30.000 đồng mà cứ tăng giá thêm 1000 đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít
hơn 100 chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không tha...