Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

MỤC LỤC

§1 – KHÁI NIỆM VECTƠ...............................................................1
Ⓑ. Trắc nghiệm Đ/S...................................................................................................................................2
Câu 1. Cho hình thang với hai đáy là và là trung điểm của . Các mệnh đề sau đúng hay sai?..................2
Ⓒ. Trả lời ngắn...........................................................................................................................................6
Ⓓ. Câu hỏi trắc nghiệm..............................................................................................................................6
Ⓒ. Trả lời ngắn.........................................................................................................................................15
Ⓓ. Câu hỏi trắc nghiệm............................................................................................................................16

§3 – TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ....................................18
Ⓑ. Trắc nghiệm Đ/S.................................................................................................................................19
Ⓒ. Trả lời ngắn.........................................................................................................................................24
Ⓓ. Câu hỏi trắc nghiệm............................................................................................................................26

§4 – VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ...................................29
Ⓒ. Trả lời ngắn.........................................................................................................................................37

§5 – TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ........................................45
Ⓑ. Trắc nghiệm Đ/S.................................................................................................................................46
Ⓒ. Trả lời ngắn.........................................................................................................................................49
Ⓓ. Câu hỏi trắc nghiệm............................................................................................................................51

§1 – KHÁI NIỆM VECTƠ

Ⓐ. Tóm tắt kiến thức.
❶. Định nghĩa vectơ
- Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là đã chỉ ra điểm đầu và điểm cuối.
- Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B được kí hiệu là

, đọc là vectơ

- Đường thẳng đi qua hai điểm A và B gọi là giá của vectơ
.
- Độ dài của đoạn thẳng AB gọi là độ dài của vectơ AB và được thành kí hiệu là
. Như vậy ta có:
= AB.
❷. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng
Chú ý: Một vectơ khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối có thể
viết là , , , ,…
- Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi
là giá của vectơ đó.
- Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song
hoặc trùng nhau.
1.Các Bạn xem hay kết bạn za lô nhé

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
Nhận xét: Hai vectơ cùng phương chỉ có thể cùng hướng hoặc
ngược hướng.
- Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ
và

cùng phương.

- Nếu ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng thì hai vectơ
cùng hướng.

và

❸. Vectơ bằng nhau - Vectơ đối nhau
- Hai vectơ a⃗ và b⃗ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng
và có cùng độ dài, kí hiệu a⃗ = b⃗ .
- Hai vectơ a⃗ và b⃗ được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng
và có cùng độ dài, kí hiệu a⃗ = -b⃗ . Khi đó, vectơ b⃗ được gọi là
vectơ đối của vectơ a⃗ .
Chú ý: Cho vectơ và điểm O, ta luôn tìm được một điểm A
duy nhất sao cho
OA = . Khi đó độ dài của vectơ là độ dài đoạn OA, kí hiệu
là .Cho đoạn thẳng MN, ta luôn có
❹. Vectơ-không

=-

Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là vectơ-không, kí hiệu là
Chú ý: Quy ước vectơ-không có độ dài bằng 0.
Vectơ-không luôn cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.
Mọi vectơ không đều bằng nhau: =
Vectơ đối của vectơ-không là chính nó.
Ⓑ. Trắc nghiệm Đ/S

=

=

.

= … với mọi điểm A, B, C,…

Câu 1. Cho hình thang
với hai đáy là
và
là trung điểm của
đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
a)
b
Có 4 vectơ (khác ) cùng phương
mà giá không trùng với đường thẳng
)
c)
Có 3 vectơ (khác ) cùng hướng
mà giá không trùng với đường thẳng
d
Có 5 vectơ (khác ) cùng phương
mà giá không trùng với đường thẳng
)
Câu 2. Cho hình thang
với hai đáy là
và
. Biết rằng nếu
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
a) Hai đường chéo
và
có độ dài bằng nhau
b Hình thang
là hình thang cân
)
c) Hai cạnh bên
và
có độ dài không bằng nhau
d
thì
) Nếu
Câu 3. Cho ngũ giác
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
a)
Có 10 vectơ (khác ) được lập ra từ các cạnh ngũ giác
b
Có 5 vectơ (khác ) được lập ra từ các đường chéo của ngũ giác
)
c)
Có 3 vectơ (khác ) được lập ra từ các cạnh của tam giác
d
Có 4 vectơ (khác ) được lập ra từ các đường chéo của tứ giác
)
2.Các Bạn xem hay kết bạn za lô nhé

. Các mệnh
Đúng Sai

thì

.
Đúng Sai

Đúng Sai

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
Câu 4. Trên đường thẳng lấy bốn điểm
mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
a) Có 4 vectơ gốc
b
Có 10 vectơ (khác ) được lập ra từ các điểm
)
c) Có 10 vectơ tạo thành từ 4 điểm
.
d
)

Có 11 vectơ (khác

) mà cùng phương với

phân biệt. Lấy một điểm

không thuộc

. Các

Đúng Sai
.
trong các vectơ tạo thành từ 4

điểm
Câu 5. Cho tam giác
có
và
lần lượt là trung điểm của
với điểm
qua . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
a)
b
)
c)
và
ngược hướng
d
.
)

và

. Lấy điểm

đối xứng

Đúng Sai

Câu 6. Cho
, gọi
lần lượt là trung điểm của
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
Đúng Sai
a)
vectơ
cùng phương với vectơ
b Có 6 vectơ khác vectơ không và cùng phương với
có điểm đầu, điểm cuối lấy từ
) các điểm đã cho.
c)
d
)

vectơ

ngược hướng vectơ

Có 3 vectơ khác vectơ không và cùng hướng với
có điểm đầu và điểm cuối lấy
từ các điểm đã cho.
Câu 7. Cho lục giác đều
có tâm . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
a)
vectơ
cùng phương với
b
Có 9 vectơ khác vectơ không và cùng phương với vectơ
.
)
c)
vectơ
ngược hướng
d Có 3 vectơ khác vectơ không và cùng hướng với vectơ
.
)
Câu 8. Cho tứ giác
. Gọi
đúng hay sai?
Mệnh đề
a)
là đường trung bình của tam giác
b
)
c)
d
)

Tứ giác

lần lượt là trung điểm

,

Đúng Sai

. Các mệnh đề sau
Đúng Sai

là hình thang

Câu 9.Cho tam giác
. Hãy dựng các điểm
sao cho
,
đúng hay sai?
Mệnh đề
a)
ngược hướng với
b
là hình bình hành
3.Các Bạn xem hay kết bạn za lô nhé

. Các mệnh đề sau
Đúng Sai

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
)
c)
là hình bình hành
d
là hai vectơ đối nhau
)
Câu 10. Cho
có trực tâm
và là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Gọi
của qua . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
a)
b
)
c) tứ giác
là hình bình hành.
d
)
Câu 11. Cho tứ giác
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
a) Có 5 vectơ liên quan đến điểm
b Có 4 vectơ liên quan đến điểm
mà không liên quan đến
)
c) Có 2 vectơ liên quan đến hai điểm

là điểm đối xứng
Đúng Sai

Đúng Sai

d
có điểm đầu và điểm cuối là các điểm
?
) Có 10 vectơ (khác
Câu 12. Cho
đều cạnh , trực tâm . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
a)
b
)

Đúng Sai

c)
d
)
Câu 13. Cho hình vuông
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
a)
b
)

cạnh

. Gọi

là trung điểm

là điểm đối xứng với

qua

Đúng Sai

c)
d
)
Câu 14.Cho
đúng hay sai?
Mệnh đề
a)
b
)
c)
d
)

có

lần lượt là các trung điểm của các cạnh

. Các mệnh đề sau
Đúng Sai

Hai vectơ

ngược hướng
.
4.Các Bạn xem hay kết bạn za lô nhé

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
Câu 15.Cho tứ giác
. Gọi
theo thứ tự là trung điểm của
sau đúng hay sai?
Mệnh đề
a)
lần lượt là đường trung bình của các tam giác
b
)
c)
là hình bình hành
d
)
Câu 16.Cho tam giác
chiếu vuông góc của
Mệnh đề
a)
b
)

vuông tại
có
Gọi
lên
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

,

. Các mệnh đề
Đúng Sai

là trung điểm

và

là hình

Đúng Sai

c)
d
)
Câu 17.Cho tam giác
. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
a)
là đường trung bình của tam giác
b
cùng hướng với vectơ
)
c)
d
có các vectơ đối là
.
)
Câu 18.Cho hình thang

vuông tại

trong của tam giác
Mệnh đề
a)
b
)
c)

và có

. Gọi

. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

và

. Các mệnh
Đúng Sai

là đường phân giác
Đúng Sai

d
)
Câu 19.Cho tam giác
có
là trọng tâm. Gọi
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
a)
Vectơ
cùng hướng
b
)
c)

là điểm đối xứng với

qua trung điểm

của

Đúng Sai

d
)
Câu 20.Cho tứ giác

. Gọi

lần lượt là trung điểm của các cạnh
5.Các Bạn xem hay kết bạn za lô nhé

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
Gọi
là giao điểm của
và
lần lượt là trung điểm của
sai?
Mệnh đề
a)
là đường trung bình của tam giác
b
)
c)
d
)

. Các mệnh đề sau đúng hay
Đúng Sai

là hình bình hành
là hình bình hành.
là hai vectơ bằng nhau.

Ⓒ. Trả lời ngắn
Câu 1.Trên một dòng sông có vận tốc dòng nước biểu diễn bởi vectơ

có độ lớn là

. Hai thuyền

và có vận tốc riêng được biểu diễn lần lượt bởi các vectơ
và . Biết rằng hai thuyên
đi theo hướng ngược dòng sông. Hỏi hai thuyền này có bao giờ đi ngược hướng nhau không?
Trả lời:…………………….
Câu 2.Cho hình chữ nhật

tâm

có cạnh

. Tìm vectơ

cùng hướng với vectơ
(khác
), tính độ dài vectơ đó?
Trả lời:…………………….
Câu 3.Cho
có đường trung tuyến
. Trên cạnh
lấy hai điểm

và

và

đều

khác vectơ không và

sao cho

cắt
tại . Khi đó
và
là có đối của nhau không?
Trả lời:…………………….
Câu 4.Cho hình chữ nhật
. Có bao nhiêu vectơ được tạo thành mà điểm đầu và điểm cuối lấy từ các
đỉnh của hình chữ nhật?
Trả lời:…………………….
Câu 5.Cho tam giác
đều cạnh và
là trọng tâm. Gọi là trung điểm của
. Tính độ dài của
các vectơ
.
Trả lời:…………………….
Câu 6.Cho hình thoi
cạnh
Trả lời:…………………….
Câu 7.Cho tứ giác

và

. Gọi

. Tìm độ dài véc tơ
lần lượt là trung điểm của

. Từ các điểm đã

cho tìm các vec tơ cùng hướng với vec tơ
Trả lời:…………………….
Câu 8.Cho hình bình hành

. Gọi

và là giao điểm của
Trả lời:…………………….
Ⓓ. Câu hỏi trắc nghiệm
Câu 1: Mệnh đề nào dưới đây đúng?

lần lượt là trung điểm của
. Khi đó

là giao điểm của

đúng hay sai?

A. Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba khác thì cùng phương.
B. Hai vectơ ngược hướng với một vectơ thứ ba thì cùng hướng.
C. Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba thì cùng phương.
D. Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba thì cùng hướng.
Câu 2: Cho 3 điểm

không thẳng hàng. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ không, có điểm đầu và điểm

cuối là
hoặc
A. .
B. .
C.
Câu 3: Vectơ có điểm đầu là , điểm cuối là được kí hiệu là:
Câu 4: Cho tam giác
là đỉnh

?

.

D. .

A.
.
B.
.
C.
. D.
.
. Có thể xác định bao nhiêu vectơ (khác vectơ không) có điểm đầu và điểm cuối
A.

.

B.

.

C. 4.

6.Các Bạn xem hay kết bạn za lô nhé

D. 2.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
Câu 5: Từ hai điểm phân biệt
xác định được bao nhiêu vectơ khác
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 6: Khẳng định nào sau đây đúng?

?

A. Hai vectơ

và

được gọi là bằng nhau nếu

B. Hai vectơ

và

được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng phương và cùng độ dài.

C. Hai vectơ

và

được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng độ dài.

D. Hai vectơ

và

được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.

Câu 7: Cho bốn điểm

phân biệt. Số véctơ (khác

) có điểm đầu và điểm cuối lấy từ các điểm

là
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 8: Phát biểu nào sau đây đúng?
A. Hai vectơ bằng nhau thì có giá trùng nhau hoặc song song.
B. Hai vectơ có độ dài không bằng nhau thì không cùng hướng.
C. Hai vectơ không bằng nhau thì chúng không cùng hướng.
D. Hai vectơ không bằng nhau thì độ dài của chúng không bằng nhau.
Câu 9: Hai vectơ có cùng độ dài và ngược hướng gọi là
A. Hai vectơ cùng hướng. B. Hai vectơ cùng phương.C. Hai vectơ đối nhau. D. Hai vectơ bằng nhau.
Câu 10: Cho tứ diện
. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác vectơ mà mỗi vectơ có điểm đầu, điểm cuối là
hai đỉnh của tứ diện
?
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 11: Phát biểu nào sau đây sai?
A. Hai vectơ cùng hướng thì cùng phương.
B. Độ dài của vec tơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vec tơ đó.
C. Hai vec tơ cùng phương thì cùng hướng.
D. Vec tơ là đoạn thẳng có hướng.
Câu 12: Cho 3 điểm
, , thẳng hàng trong đó nằm giữa
và . khi đó các cặp véc tơ nào sau đây
cùng hướng?
A.
và
.
Câu 13: Cho tứ giác
giác?A.

B.
và
. C.
và
. D.
và
.
. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và cuối là các đỉnh của tứ
B.
C.
D.

Câu toán là
có 3 vectơ.Tương tự cho các điểm còn lại
Câu 14: Cho 5 điểm A, B, C, D, E có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu là A và điểm cuối là
một trong các điểm đã cho?
A. 4
B. 20
C. 10
D. 12
Câu 15: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Hãy tìm các vectơ khác vectơ-không có điểm đầu, điểm cuối là
đỉnh của lục giác và tâm O sao cho bằng với
A.

B.

?
C.

D.

Câu 16: Cho lục giác đều
tâm
Số các vectơ khác vectơ - không, cùng phương với
có điểm
đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là
A.
B.
C.
D.
Câu 17: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Xác định các vectơ cùng
phương với

.

A.

B.

C.

D.

Câu 18: Cho hai vectơ khác vectơ - không, không cùng phương. Có bao nhiêu vectơ khác
với cả hai vectơ đó? A. .
B. .
C. không có.
D. vô số.

7.Các Bạn xem hay kết bạn za lô nhé

cùng phương

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
Câu 19: Cho hình bình hành
. Số vectơ khác , cùng phương
với vectơ
và có điểm đầu, điểm cuối là đỉnh của hình bình hành
là
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu là:

,

.

Câu 20: Cho lục giác đều

tâm

. Số vectơ khác

, có điểm đầu điểm cuối là đỉnh của lục giác

hoặc tâm
và cùng phương với vectơ
là
A. .
B. .
C. .
D. .
ABCD
Câu 21: Cho tứ giác
. Số các véctơ khác véctơ-không có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của tứ giác
là A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 22: Cho tam giác
, có thể xác định được bao nhiêu vectơ
khác vectơ không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 23: Cho tứ giác
các mệnh đề sau là sai?

có

. Mệnh đề nào trong

A. Tứ giác
là hình bình hành.
Câu 24: Cho tam giác
. Gọi
đây cùng hướng?
A.

và

.

B.

B.
.
C.
lần lượt là trung điểm của các cạnh
và

. C.

và

. D.

.

và

D.
.
. Hỏi cặp véctơ nào sau
.

Câu 25: Cho tứ giác
. Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để
?
A.
là vuông.
B.
là hình bình hành.
C.
và
có cùng trung điểm.
D.
.
Câu 26: Gọi là giao điểm hai đường chéo
và
của hình bình hành
đây là đẳng thức sai?
.
B.
. C.
A.
Câu 27: Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:
A.
C.

cùng hướng với mọi vectơ.
.

B.
D.

.

D.

B.

.

C.

B.

C.

B.

C.

B.

C.

Câu 32: Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính

.

D.

Câu 31: Cho tam giác ABC đều cạnh 2a. Gọi M là trung điểm BC. Khi đó
A.

.

D.

Câu 30: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 1. Gọi H là trung điểm BC. Tính
A.

.

D.

Câu 29: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3, BC = 4. Tính độ dài của vectơ
A.

.

cùng phương với mọi vectơ.

Câu 28: Cho hình chữ nhật ABCD, có AB = 4 và AC = 5. Tìm độ dài vectơ
A.

. Đẳng thức nào sau

D.
.

8.Các Bạn xem hay kết bạn za lô nhé

bằng:

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
A.
B.
C.
D.
Câu 33: Cho tam giác đều cạnh 2a. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A.
.
B.
.
C.
.
D.
Câu 34: Cho tam giác không cân ABC. Gọi H, O lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam
giác. M là trung điểm của BC. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Tam giác ABC nhọn thì
C.

cùng hướng.

cùng phương nhưng ngược hướng.

Câu 35: Cho hình thoi tâm O, cạnh bằng a và
A.

.

B.

.

B.

luôn cùng hướng.

D.

có cùng giá

. Kết luận nào sau đây là đúng?
C.

. D.

Câu 36: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, BC và AC. Biết
câu đúng.

. Chọn

A.
.
B.
.
C.
. D.
Câu 37: Cho tam giác ABC với trực tâm H. D là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.

và

. B.

và

C.

và

. D.

và

Câu 38: Cho

.

với điểm M nằm trong tam giác. Gọi

lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB

và N, P, Q lần lượt là các điểm đối xứng với M qua
A.

và

. B.

. Câu nào sau đây đúng?

và

.

C.
và
. D.
và
Câu 39: Cho tam giác ABC có H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi D là điểm đối xứng với
B qua O. Câu nào sau đây đúng?
A.

.

B.

.

C.

.

Câu 40: Cho đường tròn tâm O. Từ điểm A nằm ngoài

D.

, kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới

.

Xét mệnh đề:(I)
(II)
(III)
Mệnh đề đúng là:A. Chỉ (I). B. (I) và (III). C. (I), (II), (III).
D. Chỉ (III)
Câu 41: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, BC, AD. Lấy 8 điểm
trên là gốc hoặc ngọn của các vectơ. Tìm mệnh đề sai?
A. Có 2 vectơ bằng
.
B. Có 4 vectơ bằng
C. Có 2 vectơ bằng
D. Có 5 vectơ bằng
Câu 42: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm đối xứng với C qua.
D. Hãy tính độ dài của vectơ

.

A.
.
B.
. C.
. D.
Câu 43: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi O là
giao điểm của các đường chéo của tứ giác MNPQ, trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD tương ứng là I, J.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.

.

B.

Câu 44: Cho tam giác

. Gọi

.

C.

.

D.

lần lượt là trung điểm của

và

. Có bao nhiêu véctơ

khác véctơ không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm trong các điểm
(không kể véctơ

)?

A. .

B.

.

C.

.

9.Các Bạn xem hay kết bạn za lô nhé

bằng véctơ
D. .

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

BÀI 2:TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VÉC TƠ

Ⓐ. Tóm tắt kiến thức .
❶. Tổng của hai vectơ

Cho hai vectơ
và
. Từ một
cho
 điểm A tùy ý, lấy hai điểm B, C sao

 
 
= a , BC = b . Khiđó AC được gọi là tổng của hai vectơ a , b

a +b.
và được kí hiệu
là


  
a
b
BC
- Vậy + = AB +
= AC .
- Phép toán tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.
- Từ định nghĩa tổng của hai vectơ, ta suy ra quy tắc cộng vectơ sau đây:
Quy tắc ba điểm



Với ba điểm M, N, P, ta có: MN + NP = MP .
Quy tắc hình bình hành




-Nếu OABC là hình bình hành thì ta có OA + OC = OB .
Chú ý: - Khi cộng hai vectơ theo quy tắc ba điểm, điểm cuối của vectơ thứ
nhất phải là điểm đầu của vectơ thứ hai.
Để áp dụng quy tắc hình bình hành, ta cần đưa bài toán tìm tổng hai vectơ về
bài toán tìm tổng của hai vectơ có chung điểm đầu.
❷. Tính chất của phép cộng các vectơ
- Cho ba vectơ a⃗ , b⃗ , c⃗ được biểu diễn như
Phép cộng vectơ có các tính chất sau:

- Tính chất giao hoán: a⃗ + b⃗ = b⃗ + a⃗ ;
- Tính chất kết hợp: (a⃗ + b⃗ ) + c⃗ = a⃗ + (b⃗ + c⃗ );
- Với mọi vectơ a⃗ , ta luôn có: a⃗ + 0⃗ = 0⃗ + a⃗ = a⃗ .
Chú ý: Từ tính chất kết hợp, ta có thể xác định được tổng của ba vectơ a⃗ , b⃗ , c⃗ , kí hiệu là c⃗ với a⃗ + b⃗ + c⃗ = (
a⃗ + b⃗ ) + c⃗ .
❸. Hiệu của hai vectơ




 
a b
Vectơ
được gọi là hiệu của hai vec tơ a và b và được kí hiệu là a  b . Phép lấy hiệu hai vec tơ
được gọi là phép trừ vec tơ.
  
Quy tắc hiệu: Với ba điểm O, M , N ta có MN ON  OM .
❹. Tính chất vectơ của trung điểm đoạn thẳng
và

 trọng tâm tam giác
Khi I là trung điểm của AB , thì hai vec tơ IA và IB có cùng
độ dài và ngược
 hướng.

 

IA
Do đó, và IB đối nhau, suy ra IA  IB 0.
Trọng tâm G của tam giác ABC thuộc trung tuyến AI và
GA 2GI . Lấy điểm
D đối xứng với G qua I .
   

 

GA  GB  GC 0.

Ⓑ. Trắc nghiệm Đ/S.
Câu 1.Cho hình bình hành ABCD . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
  
a) CB  CD CA
10.Các Bạn xem hay kết bạn za lô nhé

Đúng Sai

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
  
b AC  DA CD
)   
c) BA  BC  AC
   
d BA  BC  AD CD
)
Câu 2.Cho bốn điểm A, B, C , D . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Mệnh
Đúng Sai
 đề
 
a) AB  BC CA
 

b AD  DA 0
)    
c) AB  CD  AD  CB
   
d AB  CD  AC  DB
)
Câu 3.Cho hình bình hành ABCD tâm O . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh
Đúng Sai
 đề


a) BA  AB 0
  
b OA  AC OC
)    
c) OA  OB  DC CB
   
d OB  OA  CA DC
)
Câu 4.Cho tam giác ABC . Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ , BCPQ, CARS. Các mệnh
đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
Đúng Sai
  
a) RJ RA  AJ
  
b IQ IB  QB
)   
c) PS PC  SC
   
d RJ  IQ  PS 0
)
Câu 5.Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh
Đúng Sai
 đề
 
a) AD  AB  AC
b Gọi E là điểm đối xứng với B qua C . Khi đó ADEC là hình thang.
)
 
c) | AD  AB |a 2
 
d | AD  AC |a 3
)
Câu 6. Cho tam giác ABC đều cạnh a , có trọng tâm G . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh
Đúng Sai
 đề
 
a) AB  BC  AC
 
b | AB  CB |2a
)  
c) | AB  AC |a 3
d  
a 3
| BG  BC |
)
2
Câu 7. Cho ABC . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
Đúng Sai
  

a) MA  MB  MC O
khi điểm M là một đỉnh của hình bình hành ABCM .
11.Các Bạn xem hay kết bạn za lô nhé

Thầy
 giáo:Lê
  Nguyên Thạch 0394838727
b NA  NC  AB NB
khi điểm N trùng với điểm A .
)     
c) MA  BC  BM  AB BA
khi M là trung điểm của đoạn AC .
    
d NA  NB  AC  ND CD
khi N là điểm đối xứng với B qua A .
)
Câu 8. Cho sáu điểm A, B, C , D, E , F . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Mệnh
Đúng Sai
 đề
    
a) AB  CD  EF  CB  ED FA
     
b AB  AF  CD  CB  EF DE
)    
c) AB  CD  AD  CB
     
d AC  BD  EF  AF  BC  ED
)
Câu 9. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Các mệnh đề sau đúng hay
sai?
Mệnh
Đúng Sai
 đề
 
a) AB  AC  AD
  
b AC  BA  AD
)  
c) | AB  AD | AC
   
d
| AB  AD || CB  CD | thì ABCD là hình thoi.
) Nếu
Câu 10. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh
Đúng Sai
 đề

a) AB CD
  
b AB  OD  AC
)   
c) AB  OC FC
   
d AB  AE  FD  AF
)
Câu 11. Cho hình bình hành ABCD . Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD . Các
mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
Đúng Sai
 
a) MC  AN
  
b NC  MC  AN
)   
c) AM  CD BM
   
d AM  AN  AB  AD
)
Câu 12. Cho tam giác ABC . Các điểm M , N , P lần lượt là trung điểm của AB, AC , BC . Các mệnh đề
sau đúng hay sai?
Mệnh
 đề
 
a) AM  AN  NM
  
b MN  NC MP
)   
c) MN  PN MP
  
d BP  CP PC
)
Câu 13. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
12.Các Bạn xem hay kết bạn za lô nhé

Đúng Sai

Đúng Sai

Thầy giáo:Lê
  Nguyên Thạch 0394838727
a) | AB  AC  AH
  
b | AB  AC BC
)  
c) | AB  AC |a 3
 
d | AB  AC |a
)
Câu 14. Cho hình vuông ABCD cạnh a , có O là giao điểm hai đường chéo . Các mệnh đề sau đúng hay
sai?
Mệnh đề
Đúng Sai
a) O là trung điểm của AC , BD
 
b | OA  CB |a 2
)  
c) | AB  DC |a
d  
a 2
| CD  DA |
)
2


Câu 15. Cho hình thoi ABCD cạnh a , có BAD 60 . Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Các mệnh đề
sau đúng hay sai?
Mệnh đề
Đúng Sai
a) BAD, BCD đều cạnh a .
 
b | AB  AD |a 2
)  
c) | BA  BC |a 3
d  
a 3
| OB  DC |
)
2
Câu 16. Cho ba điểm phân biệt A, B, C . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
Đúng Sai
  
a) CA  AB BC
  
b AB  AC BC
)   
c) AB  CA CB
  
d AB  BC CA
)
Câu 17. Gọi O là tâm hình bình hành ABCD . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh
Đúng Sai
 đề
 
a) OA  OB CD
   
b OB  OC OD  OA
)   
c) AB  AD DB
   
d BC  BA DC  DA
)
Câu 18. Cho tam giác ABC . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của BC , CA , AB . Các mệnh đề sau
đúng hay sai?
Mệnh đề
Đúng Sai
a) Tứ giác BMNP và APMN là hình bình hành
  

b BM  CN  AP 0
)    
c) AP  AN  AC BM
     
d OA  OB  OC OM  ON  OP
với O là điểm bất kì
)
13.Các Bạn xem hay kết bạn za lô nhé

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
Câu 19. Cho 5 điểm A, B, C , D, E . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Mệnh
Đúng Sai
 đề
 
a) AB  BC CA
     
b AB  BC  CD  DE CE  AE
)   
c) AC  BD  AD
   
d AB  CD  AC  BD
)
Câu 20. Cho 6 điểm A, B, C , D, E , F phân biệt. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh
Đúng Sai
 đề
 
a) AB  BD  AC
   

b AB  DF  BD  FA 0
)    

c) BE  CE  CF  BF 0
     
d AD  BE  CF  AE  BF  CD
)
Câu 21. Cho hình bình hành ABCD với M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD . Các mệnh đề
sau đúng hay sai?
Mệnh
Đúng Sai
 đề
 
a) DA  DC DB
   
b CM  CN  AB CD
)  

c) MA  MC 0
  
d AM  CD BM
)
Câu 22. Cho ABCD là hình vuông tâm O có cạnh a . M là một điểm bất kì trong mặt phẳng. Các mệnh
đề sau đúng hay sai?
Mệnh
Đúng Sai
 đề

a) OC  AO
 
b | AB  OD | AO
)   
c) | AB  OC  OD |0
   
d
Độ dài vectơ MA  MB  MC  MD bằng DC
)
Câu 23. Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 3a . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề
Đúng Sai
a)
3
AO 3a
2
 
b
AB  AC 2a
)
  
c) AB  CB  AC 0
 
d
AB  AC a 3
)
Câu 24. Cho tam giác ABC với trực tâm H . D là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC . Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh
Đúng Sai
 đề

a) OB DO
b CH / / DA
)
14.Các Bạn xem hay kết bạn za lô nhé

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
 
c) HA  AC
 
d AD HC
)
Ⓒ. Trả lời ngắn

     
ABC và điểm P thoả mãn | PB  PA  PC || PB  PC  PA | ,
Câu
  1.Cho
 tam giác

     
| PC  PB  PA || PC  PA  PB | . Khi đó | PA  PC  PB || PA  PB  PC | đúng hay sai?
Trả lời: ………………
Câu 2.Cho tam giác ABC ( AB  AC ), AD là phân giác trong của góc A . Qua trung điểm M của cạnh BC ,
ta kẻ đường thẳng song
với AD , cắt cạnh AC tại E và cắt tia BA tại F . Biết rằng AB 6 và
 song

4 BD 3BM . Tính: | CM  EM | ?
Trả lời: ………………
 



F
,
F
F
F
1
2
O
1
60
Câu 3.Cho hai lực
có điểm đặt
tạo với nhau góc
, biết rằng cường độ của hai lực
và 2
đều bằng 100 N . Tính cường độ tổng hợp của hai lực trên?
Trả lời: ………………
Câu 4.Một dòng sông chảy từ phía Bắc xuống phía Nam với vận tốc 10 km / h , có một chiếc ca nô chuyển
động từ phía Đông sang phía Tây với vận tốc 35 km / h so với dòng nước. Tìm vận tốc của ca nô so với bờ?
Trả lời: ………………
 
2
a
,
M
ABCD
BC
Câu 5.Cho hình vuông
cạnh
là trung điểm
. Tính | AB  BM |
Trả lời: ………………
  
2
a
,
M
|
ABCD
BC
Câu 6.Cho hình vuông
cạnh
là trung điểm
. Tính AB  AC  AD | .
Trả lời: ………………
DBC có chung cạnh huyền BC . Gọi I là trung điểm BC . Biết
Câu 7.Cho hai tam giác vuông ABC và
 


rằng BC  2 và AID 120 . Tính | IA  ID | .
Trả lời: ………………
ABC có các cạnh góc vuông là AB 1, AC 2 .
Câu 8.Cho tam giác  vuông
 

Điểm M thỏa mãn AC  AB  AM . Tính độ dài vectơ AM ?
Trả lời: ……………
AB 1, AC 2 .
ABC
Câu 9.Cho tam giác
 vuông
   có các cạnh góc vuông là

Điểm N thỏa mãn CN CA  CB  CI với I là trung điểm AB . Tính độ dài vectơ CN ?
Trả lời: ……………
 



F
,
F
F
F
1
2
1
45
A
Câu 10.Cho hai lực
có điểm đặt
tạo với nhau góc
, biết rằng cường độ của hai lực
và 2
lần lượt bằng 60 N ,90 N . Tính cường độ tổng hợp của hai lực trên?
Trả lời: ……………

 
Câu 11.Cho tam giác vuông cân ABC tại A có AB a . Tính | AB  AC | .
Trả lời: ……………
 
ABCD
,
AB

3,
AD

4
Câu 12.Cho hình chữ nhật
. Tính | AB  AD | .
Trả lời: ……………   
Câu 13.Cho hai lực F1 MA, F2  MB cùng tác động vào một vật
F,F
tại điểm M . Cường độ hai lực 1 2 lần lượt là 300N và 400N,

AMB 90 . Tìm cường độ của lực tác động lên vật?
Trả lời: ……………

15.Các Bạn xem hay kết bạn za lô nhé

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch
  0394838727
  
F1 MA, F2 MB, F3 MC
Câu 14. Cho ba lực
cùng tác động vào
M và ô tô đứng yên. Cho biết cường độ hai lực
một
ô
tô
tại
điểm

 

F1 , F2
F
đều bằng 25N và góc AMB 60 . Khi đó tính cường độ 3 .
Trả lời: ……………
 
F
Câu 15.Cho hai lực 1 , F2 đều có cường độ bẳng 100 N và có cùng



F1
F2
điểm đặt tại một điểm. Góc hợp bởi
và
bằng 90 .


F
F
1
Khi đó tính cường độ lực tổng hợp của
và 2
Trả lời: ……………     

F1 MA, F2 MB, F3 MC
Câu 16.Cho ba lực
cùng tác động vào
 
F
M
một vật tại điểm
và vật đứng yên. Cho biết cường độ của 1 , F2




F
đều bằng 100 N và góc AMB 90 .Khi đó tính cường độ của lực 3
Trả lời: ……………
 
 


|
AB

BC
|
ABC
AB

a
B

60
Câu 17.Cho tam giác
vuông tại A , biết
và
. Tính
và | AB  AC | .
Trả lời: ……………
ABCD có hai đáy AB a, CD 2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD và BC
Câu 18.Cho
  hình
 thang
. Tính | DM  BA  CN |
Trả lời: ……………
ABC 30 và BC a 5 .
A có 
Câu 19.Cho tam giác ABC
vuông
tại
 
Tính độ dài của vectơ AB  AC .
Trả lời: ……………
   
ABCD
O
a
.
Câu 20.Cho hình vuông
có tâm là
và cạnh
Tính | OA  CB |,| CD  DA |
Trả lời: ……………
 
a
ABCD
O
OA
 OB .
M
AB
Câu 21.Cho hình vuông
cạnh , tâm
và
là trung điểm
. Tính độ dài của vectơ
Trả lời: ……………
Ⓓ. Câu hỏi trắc nghiệm
M là trung điểm của đoạn thẳng AB . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Câu
 1:
 Cho

 

0 .
A.IA IB  AB với I là điểm bất kì.
B. AM  BM

C. IA  IB IM với I là điểm bất kì.
D. AM  MB 0 .
Câu 2: Cho
 sau đây sai?   
 hình bình hành ABCD
 có
 tâm
 O. Khẳng định nào
A. OB  OD BD .
B. OA  OC 0 .
C. AB DC.
D. AB  AD  AC .
A, B, C
Câu
 3:
 Đẳng
 thức nào sau đây luôn
 đúng
 với mọi điểm    bất kì?
  
AB

CB

AC
CB

AC

AB
AB

AC

BC
A.
.
B.
.
C.
. D. BC  AC  AB .
A B C
Câu
 4:
 Cho
 ba điểm , , phân
 sai?
 
 biệt.
 Đẳng thức nào
 sau
 đây
 là đẳng thức
BA

AC

BC
AB

BC

AC
CA

AB

BC
AB
 AC CB .
A.
.
B.
.
C.
. D.
ABCD
Câu 5: Gọi O là tâm hình bìnhhành
   . Đẳng thứcnào
 sau
 đây sai?    
  
A. AB  AD DB .
B. BC  BA DC  DA .C. OA  OB CD . D. OB  OC OD  OA .
Câu 6: Chọn khẳng định sai?
  
 

A. Nếu I là trung điểm đoạn AB thì  AI  IB  AB . B. Nếu I là trung điểm đoạn AB thìIA BI 0 .
C. Nếu I là trung điểm đoạn AB thì AI  BI 0 . D. Nếu I là trung điểm đoạn AB thì IA  IB 0 .
Câu 7: Cho ba điểm M , N , P bất kì. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

uuur uuur uuur
MP
 MN PN .
A.

uuur uuur uuur
MP
 PN MN .
B.

uuur uuur uuur
MP
 PN MN .
C.

Câu 8: Cho tam giác ABC . Khẳng định nào sau đây là sai?

16.Các Bạn xem hay kết bạn za lô nhé

uuur uuur uuur
MP
 MN PN .
D.

Thầy
Nguyên Thạch 0394838727
  
 giáo:Lê

  
 

AB

AC

CB
AB

BA

0
AB

AC

BC
A.
.
B.
.
C.
.
D. AB  BC  AC .
Câu 9: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và M là điểm bất kỳ. Chọn khẳng định sai trong các khẳng
định
 sau.
  
  

AG
+
BG
+
CG
=
0
MA
+
MB
+
A.   
.
B.    MC = 3MG .
C. GA + GB + GC = 0 .
D. MA + MB + MC = MG .

uur

uuu
r

Câu 10: Cho hình bình hành ABCD tâm O . Khi đó OA + BO bằng
uuur uuur
uuu
r
uuur uuur
uuu
r
OC
+
OB
CD
OC
+ DO .
AB
A.
.
B.
.
C.
.
D.
Câu 11: Cho hình vuông ABCD , có M là giao điểm của hai đường chéo. Trong các mệnh đề sau, tìm
mệnh
  
 đề
 sai?

  
   
A. AB  BC  AC .
B. AB  AD  AC . C. BA  BC 2 BM . D. MA  MB MC ...