CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024

1

TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG

CHỦ ĐỀ: TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN
A. PHẦN NỘI DUNG
I. Cấu tạo số tự nhiên
Dạng 1: Phân tích cấu tạo số
Bài 1: Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị.
A.

.

B.

Đáp án: C.

.

C.
.
D.
.
Trích đề HSG Trường THCS Minh Đức năm 2021 - 2022
Lời giải

.

Bài 2: Tổng của hai số tự nhiên là

. Nếu thêm chữ số

được tổng mới là

. Khi đó số lớn là:

A.

B.

.

.

vào bên phải số bé rồi cộng với số lớn ta

C.
.
D.
.
Trích đề HSG Trường THCS Minh Đức năm 2021 - 2022
Lời giải

Đáp án: D.
Bài 3: Số nhà của hai bạn An và Bình đều là số tự nhiên có bốn chữ số dạng
và

và chia hết cho cả

. Tìm số nhà của hai bạn biết số nhà của bạn An lớn hơn số nhà của bạn Bình.
Trích đề HSG Trường THCS Ân Hữu năm 2021 - 2022
Lời giải

+ Với

, do số

Suy ra

.

+ Với

, do số

Suy ra

nên

chia hết cho

nên

chia hết cho

.

Vậy số nhà bạn An là

, số nhà bạn Bình là

Bài 4: Tìm tất cả các số tự nhiên khác

.

, sao cho khi viết thêm chữ số

chữ số hàng đơn vị thì số đó được gấp lên

vào giữa chữ số hàng chục và

lần.
Trích đề HSG huyện Hiệp Hoà năm 2021-2022
Lời giải

Gọi số cần tìm là

với

là chữ số.

vào giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị ta có số

Khi viết thêm chữ số
Theo đề ta có

Suy ra

là số tự nhiên;

nên

+ Nếu

thì

(loại).

+ Nếu

thì

nên

Vậy số cần tìm là

.

(loại).

1

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024

TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG

Bài 5: Số nhà của hai bạn An và Bình đều là số tự nhiên có bốn chữ số dạng

và chia hết cho cả

và . Tìm số nhà của hai bạn biết số nhà của bạn An lớn hơn số nhà của bạn Bình.
Trích đề HSG huyện Chí Linh năm 2022 - 2023
Lời giải
Vì
+ Với

chia hết cho

nên

bằng

hoặc

, do số

nên

chia hết cho

, do số

nên

chia hết cho

Suy ra
+ Với
Suy ra
Vậy số nhà bạn An là

, số nhà bạn Bình là

Bài 6: Tìm một số tự nhiên có

chữ số tận cùng là chữ số

. Biết rằng khi chuyển chữ số

đó lên đầu

còn các chữ số khác giữ nguyên thì ta được số mới gấp
lần số cũ
Trích đề HSG Trường THCS Trần Phú năm 2018-2019
Lời giải
Gọi số cần tìm là
Đặt
Ta có:

, ta có:

suy ra

Vậy số cần tìm là
Bài 7: Tìm tất cả các số tự nhiên

Nếu

là số có ít hơn

, biết rằng

trong đó
là tổng các chữ số của
Trích đề HSG huyện Hương Sơn năm 2018-2019
Lời giải

chữ số thì

và

Suy ra
Mặt khác

nên

là số có ít hơn

chữ số. Vậy

Do vậy
Vì

suy ra

*Nếu

hoặc

Ta có:

ta có:
suy ra

và
suy ra
suy ra

;

suy ra
*Nếu
Suy ra

suy ra
suy ra

là số có

chữ số, suy ra

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024

1

Và

suy ra

TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG

hoặc

Vậy

Bài 8: Tìm các chữ số

khác nhau sao cho

.
Trích đề HSG đề xuất năm 2021 - 2022
Lời giải

Ta có

(

là các chữ số khác nhau)

(1)
Vì

là các chữ số khác nhau

Nên
Mà


là các chữ số khác nhau
Với

Thay
Tìm được


Tìm được

(loại vì

khác

)

vào (1) ta được
(thỏa mãn)

Với

Thay
Tìm được
Vậy
Bài 9:

vào (1) ta được

Với

Thay



.

vào (1) ta được
(thỏa mãn)
,

Tích của hai số là 6210. Nếu giảm một thừa số đi 7 đơn vị thì tích mới là 5265. Tìm các thừa số
của tích.
Trích đề HSG huyện Ứng Hòa năm 2022 - 2023
Lời giải

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024

1

Gọi thừa số được giảm là

TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG

, thừa số còn lại là

Vậy hai thừa số cần tìm là

, theo đề bài ta có:

.

Bài 10: Viết thêm chữ số y vào bên phải của một số có 5 chữ số thì được số lớn gấp 3 lần số có được do
viết thêm chữ số y vào bên trái số đó. Tìm chữ số y và số có 5 chữ số đó.
Trích đề HSG huyện Đoan Hùng năm 2018 - 2019
Lời giải
Gọi số cần tìm là
ta có:
Đặt

Vì
Nếu
Nếu

, ta có:

là số có 5 chữ số nên y chỉ nhận hai giá trị
thì
thì

Bài 11: Tìm một số có 3 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó thì nó tăng thêm
đơn vị.
Trích đề HSG Trường THCS Quảng Tiến năm 2019 -2020
Lời giải
Gọi số phải tìm là

. Khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải ta được số

, theo bài ta có:

1

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024

TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG

.

Vậy số phải tìm là

Bài 12: Tổng của hai số tự nhiên là 109. Nếu thêm chữ số 1 vào bên phải số bé rồi cộng với số lớn ta
được tổng mới là 335. Số lớn là:
A. 43

B. 54

C. 60

D. 84

Trích đề HSG huyện Khoái Châu năm 2018 -2019
Bài 13: Tìm ba số nguyên dương biết rằng tổng của ba số ấy bằng nửa tích của chúng
Trích đề HSG huyện Lý Nhân năm 2018-2019
Lời giải

Giả sử
thì
Có các trường hợp sau:
*)

, do đó:

(loại)

*)
*)
*)
*)
*)
Vậy bộ ba số cần tìm

hoặc

boặc

.

Bài 14: Tìm ba số nguyên dương biết rằng tổng của ba số ấy bằng nửa tích của chúng
Trích đề HSG huyện Lý Nhân năm 2018-2019
Lời giải

Giả sử
thì
Có các trường hợp sau:
*)

, do đó:

(loại)

*)
*)
*)
*)
*)
Vậy bộ ba số cần tìm

hoặc

Bài 15: Tìm các số tự nhiên có

boặc
chữ số chia hết cho

.
và tổng các chữ số của nó cũng chia hết cho .
Trích đề HSG huyện Thanh Ba năm 2021 -2022

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024

1

Lời giải

TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG

Gọi số đó là
Ta có:
Vì

nên

Mà

suy ra
suy ra

Mà

là chữ số nên

Nếu

thì

suy ra

thì

suy ra

suy ra

Do đó:
Nếu

suy ra

Do đó:
Nếu

thì

suy ra

Suy ra:
Vậy các số cần tìm là:
Bài 16: Tìm 1 số tự nhiên có
lớn gấp

.

chữ số ,biết rằng nếu viết thêm chữ số

lần số đã cho.
Lời giải

Gọi số phải tìm là
Viết thêm chữ số

. Với

vào bên trái số đó ta được

số

Trích đề HSG huyện Tiên Du năm 2021 -2022

là các chữ số và

vào bên trái ta được số

Theo bài ra ta có :

Vậy số phải tìm là
Dạng 2: Tìm số chữ số của dãy số tự nhiên
Bài 1: Bạn Tâm đánh số trang của một cuốn vở có

trang bằng cách viết dãy số tự nhiên:

Bạn Tâm phải viết bao nhiêu chữ số
Trích đề HSG Cấp trường năm 2018-2019
Lời giải
Viết các số tự nhiên

phải viết

số tự nhiên có

chữ số nên viết

chữ số

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024

1

Viết các số tự nhiên từ

đến

TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG

phải viết:

số, nên cần phải viết

chữ số
Viết các số tự nhiên từ

đến

phải viết:

(số) nên cần phải viết

chữ số
Vậy bạn Tâm phải viết tất cả:

Bài 2: Cho
hạng cuối cùng?

chữ số.

Biết

Hỏi A có bao nhiêu số hạng? Giá trị của số
Trích đề HSG huyện Quế Sơn năm 2018-2019
Lời giải

Số số hạng của A:
Số hạng thứ 1007:
Dạng 3: Tìm chữ số thứ n trong dãy
Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
a)

.

b)

.
Trích đề HSG huyện Tân Uyên năm 2010 -2011
Lời giải

a) Tìm chữ số tận cùng của số
Xét

; ta có:

Suy ra chữ số tận cùng bằng
Vậy số

có chữ số tận cùng là

.

b) Tìm chữ số tận cùng của số
Xét

; ta có:

Suy ra chữ số tận cùng bằng
Vậy số

có chữ số tận cùng là

.

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024

TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG

1 Dạng 4: Tính tổng các chữ số của dãy.
Bài 1: Tính giá trị biểu thức:

Trích đề HSG huyện Liên trường năm 2021-2022
Lời giải

=
Đặt

suy ra

Suy ra

. Vậy

II. Phép đếm
Dạng 1: Tìm số phần tử của tập hợp
Bài 1: Tập hợp
A. 504

có bao nhiêu phần tử
B. 505

C. 2016

D. 2017

Trích đề HSG huyện Khoái Châu năm 2018-2019
Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị
A. 90

B.110

C. 45

D. 55

Trích đề HSG huyện Khoái Châu năm 2018-2019
Bài 3: Tập hợp
A.

có bao nhiêu phần tử.
B.

C.

D.
Trích đề HSG huyện Khoái Châu năm 2018-2019

Bài 4: Số 2016 có bao nhiêu ước?
A.

B.

C.

D.
Trích đề HSG huyện Khoái Châu năm 2018-2019

Bài 5: Tập hợp M có 255 tập hợp con khác rỗng. Hỏi M có bao nhiêu phần tử?
A.

B.

C.

D.
Trích đề HSG huyện Tân Uyên năm 2021-2022

Bài 6: Gọi

là tập hợp các số tự nhiên lẻ có 3 chữ số. Tập hợp

có bao nhiêu phần tử?

Trích đề HSG huyện Lục Nam năm 2021 - 2022
Lời giải

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024

1 Các số tự nhiên lẻ có 3 chữ số là: 101; 103; 105; …; 999
Số phần tử của tập hợp M là:

TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG

(phần tử)

Bài 7: Các số tự nhiên từ 10 đến 1000 có bao nhiêu số chia hết cho 3.
Trích đề HSG huyện Lục Nam năm 2021 - 2022
Lời giải
Các số tự nhiên từ 10 đến 1000 chia hết cho 3 là: 12; 15; 18; …; 999
Số các số tự nhiên từ 10 đến 1000 chia hết cho 3 là: (999 – 12): 3 + 1 = 330 (số)
Bài 8: Số

với

viết trong hệ thập phân có bao nhiêu chữ số ?
Trích đề HSG huyện Tam Dương năm 2016 -2017
Lời giải

Ta có:
Ta cần chứng minh :
Thật vậy, ta có:
Từ (1) và (2) suy ra :
có

với mọi

nên số

viết trong hệ thập phân

chữ số.

Bài 9: Tìm số phần tử của tập hợp sau:

.
Trích đề HSG Trường THCS Ân Hữu năm 2021 - 2022
Lời giải

Số phần tử của tập hợp

(phần tử).

là:

Bài 10: Tính số phần tử của tập hợp

. Vậy tập hợp

.
Trích đề HSG huyện Đức Thọ năm 2021-2022
Lời giải

có

phần tử

Dạng 2: Tìm số các số theo điều kiện cho trước, số phần tử của tập hợp
Bài 1: Cho
A.

Đáp án:

là tập hợp các số tự nhiên chẵn không vượt quá

.

B.

C.

.

. Tổng tất cả các phần tử của

là:

C.
.
D. Kết quả khác.
Trích đề HSG trường THCS Việt Tiến (Việt Yên) năm 2022 - 2023
Lời giải

.

Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị.

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024

1

TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG

Trích đề HSG huyện Lâm Thao năm 2018- 2019

Lời giải
Nếu chữ số hàng chục là 9 thì có 9 cách chọn chữ số hàng đơn vị thỏa mãn đầu bài. Theo quy tắc
nhân có 1.9 = 9 số.
      Nếu chữ số hàng chục là 8 thì có 8 cách chọn chữ số hàng đơn vị thỏa mãn đầu bài. Theo quy tắc nhân
có 1.8=8 số. 
      Nếu chữ số hàng chục là 7 thì có 7 cách chọn chữ số hàng đơn vị thỏa mãn đầu bài. Theo quy tắc nhân
có 1.7=7 số.
    ................................
Nếu chữ số hàng chục là 1 thì có 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị thỏa mãn đầu bài (là 0). Theo quy
tắc nhân có 1.1=1 số.
      Vậy số các số tự nhiên có hai chữ số mà các chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là:
.
Bài 3: Có 9 miếng bánh chưng cần ráng vàng cả hai mặt. Thời gian ráng mỗi mặt cần 3 phút. Nếu dùng
một chiếc chảo mỗi lần chỉ ráng được nhiều nhất 6 miếng thì cần thời gian ít nhất là bao lâu để ráng xong
9 miếng bánh chưng đó
Trích đề HSG huyện Lâm Thao năm 2018- 2019
Lời giải
Thời gian cần ít nhất là bao lâu để ráng xong 9 miếng bánh chưng đó là:
Bài 4: Cho ba chữ số
a) Viết tập hợp

với

( phút)

.

các chữ số có ba chữ số, mỗi số gồm cả ba chữ số trên.

b) Biết rằng tổng hai chữ số nhỏ nhất trong tập hợp

bằng

. Tìm tổng các chữ số

.

Trích đề HSG huyện Ngọc Lặc 2018-2019
Lời giải
a) Tập hợp
b) Hai số lớn nhất trong tập

là

. Ta có:

Suy ra
Nếu

thì vế trái của

Với

nên

Với

nên

Vậy

lớn hơn 499, vô lý, do đó
không là số tự nhiên

.

Bài 5: Tìm tập hợp các số nguyên

biết rằng:

Lời giải

Trích đề HSG huyện Nga Sơn năm 2021- 2022

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024

1

TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG

Ta có:
Lại có:
mà

Do đó:

Bài 6: Tìm các giá trị nguyên của

Mà
Vậy

suy ra

nên
biết:

Trích đề HSG huyện Lý Nhân Nam năm 2021 - 2022
Lời giải

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024

1

TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG

B. PHẦN PHIẾU BÀI TẬP
(copy đề bài ở các dạng trên để làm phiếu phô tô cho HS)
I. Cấu tạo số tự nhiên
Dạng 1: Phân tích cấu tạo số
Bài 1: Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị.
A.

.

B.

.

C.
.
D.
.
Trích đề HSG Trường THCS Minh Đức năm 2021 - 2022

Bài 2: Tổng của hai số tự nhiên là

. Nếu thêm chữ số

được tổng mới là

. Khi đó số lớn là:

A.

B.

.

.

vào bên phải số bé rồi cộng với số lớn ta

C.
.
D.
.
Trích đề HSG Trường THCS Minh Đức năm 2021 - 2022

Bài 3: Số nhà của hai bạn An và Bình đều là số tự nhiên có bốn chữ số dạng
và

và chia hết cho cả

. Tìm số nhà của hai bạn biết số nhà của bạn An lớn hơn số nhà của bạn Bình.
Trích đề HSG Trường THCS Ân Hữu năm 2021 - 2022

Bài 4: Tìm tất cả các số tự nhiên khác
chữ số hàng đơn vị thì số đó được gấp lên

, sao cho khi viết thêm chữ số

vào giữa chữ số hàng chục và

lần.
Trích đề HSG huyện Hiệp Hoà năm 2021-2022

Bài 5: Số nhà của hai bạn An và Bình đều là số tự nhiên có bốn chữ số dạng

và chia hết cho cả

và . Tìm số nhà của hai bạn biết số nhà của bạn An lớn hơn số nhà của bạn Bình.
Trích đề HSG huyện Chí Linh năm 2022 - 2023
Bài 6: Tìm một số tự nhiên có

chữ số tận cùng là chữ số

. Biết rằng khi chuyển chữ số

đó lên đầu

còn các chữ số khác giữ nguyên thì ta được số mới gấp
lần số cũ
Trích đề HSG Trường THCS Trần Phú năm 2018-2019
Bài 7: Tìm tất cả các số tự nhiên

Bài 8: Tìm các chữ số
Bài 9:

, biết rằng

trong đó
là tổng các chữ số của
Trích đề HSG huyện Hương Sơn năm 2018-2019

khác nhau sao cho

.
Trích đề HSG đề xuất năm 2021 - 2022
Tích của hai số là 6210. Nếu giảm một thừa số đi 7 đơn vị thì tích mới là 5265. Tìm các thừa số
của tích.
Trích đề HSG huyện Ứng Hòa năm 2022 - 2023

Bài 10: Viết thêm chữ số y vào bên phải của một số có 5 chữ số thì được số lớn gấp 3 lần số có được do
viết thêm chữ số y vào bên trái số đó. Tìm chữ số y và số có 5 chữ số đó.
Trích đề HSG huyện Đoan Hùng năm 2018 - 2019
Bài 11: Tìm một số có 3 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó thì nó tăng thêm
đơn vị.
Trích đề HSG Trường THCS Quảng Tiến năm 2019 -2020
Bài 12: Tổng của hai số tự nhiên là 109. Nếu thêm chữ số 1 vào bên phải số bé rồi cộng với số lớn ta
được tổng mới là 335. Số lớn là:
A. 43

B. 54

C. 60

D. 84

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024

1

TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG

Trích đề HSG huyện Khoái Châu năm 2018 -2019

Bài 13: Tìm ba số nguyên dương biết rằng tổng của ba số ấy bằng nửa tích của chúng
Trích đề HSG huyện Lý Nhân năm 2018-2019
Bài 14: Tìm ba số nguyên dương biết rằng tổng của ba số ấy bằng nửa tích của chúng
Trích đề HSG huyện Lý Nhân năm 2018-2019
Bài 15: Tìm các số tự nhiên có
Bài 16: Tìm 1 số tự nhiên có
lớn gấp

chữ số chia hết cho

và tổng các chữ số của nó cũng chia hết cho .
Trích đề HSG huyện Thanh Ba năm 2021 -2022

chữ số ,biết rằng nếu viết thêm chữ số

lần số đã cho.

vào bên trái số đó ta được

số

Trích đề HSG huyện Tiên Du năm 2021 -2022

Dạng 2: Tìm số chữ số của dãy số tự nhiên
Bài 1: Bạn Tâm đánh số trang của một cuốn vở có

trang bằng cách viết dãy số tự nhiên:

Bạn Tâm phải viết bao nhiêu chữ số
Trích đề HSG Cấp trường năm 2018-2019
Bài 2: Cho
hạng cuối cùng?

Biết

Hỏi A có bao nhiêu số hạng? Giá trị của số
Trích đề HSG huyện Quế Sơn năm 2018-2019

Dạng 3: Tìm chữ số thứ n trong dãy
Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
a)

.

b)

.
Trích đề HSG huyện Tân Uyên năm 2010 -2011

Dạng 4: Tính tổng các chữ số của dãy.
Bài 1: Tính giá trị biểu thức:
Trích đề HSG huyện Liên trường năm 2021-2022
II. Phép đếm
Dạng 1: Tìm số phần tử của tập hợp
Bài 1: Tập hợp
A. 504

có bao nhiêu phần tử
B. 505

C. 2016

D. 2017

Trích đề HSG huyện Khoái Châu năm 2018-2019
Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị
A. 90

B.110

C. 45

D. 55

Trích đề HSG huyện Khoái Châu năm 2018-2019
Bài 3: Tập hợp

có bao nhiêu phần tử.

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024

1

A.

B.

TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG

C.

D.
Trích đề HSG huyện Khoái Châu năm 2018-2019

Bài 4: Số 2016 có bao nhiêu ước?
A.

B.

C.

D.
Trích đề HSG huyện Khoái Châu năm 2018-2019

Bài 5: Tập hợp M có 255 tập hợp con khác rỗng. Hỏi M có bao nhiêu phần tử?
A.

B.

C.

D.
Trích đề HSG huyện Tân Uyên năm 2021-2022

Bài 6: Gọi

là tập hợp các số tự nhiên lẻ có 3 chữ số. Tập hợp

có bao nhiêu phần tử?

Trích đề HSG huyện Lục Nam năm 2021 - 2022
Bài 7: Các số tự nhiên từ 10 đến 1000 có bao nhiêu số chia hết cho 3.
Trích đề HSG huyện Lục Nam năm 2021 - 2022
Bài 8: Số

với

viết trong hệ thập phân có bao nhiêu chữ số ?
Trích đề HSG huyện Tam Dương năm 2016 -2017

Bài 9: Tìm số phần tử của tập hợp sau:

.
Trích đề HSG Trường THCS Ân Hữu năm 2021 - 2022

Bài 10: Tính số phần tử của tập hợp

.
Trích đề HSG huyện Đức Thọ năm 2021-2022

Dạng 2: Tìm số các số theo điều kiện cho trước, số phần tử của tập hợp
Bài 1: Cho
A.

là tập hợp các số tự nhiên chẵn không vượt quá

.

B.

. Tổng tất cả các phần tử của

là:

.

C.
.
D. Kết quả khác.
Trích đề HSG trường THCS Việt Tiến (Việt Yên) năm 2022 - 2023
Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị.
Trích đề HSG huyện Lâm Thao năm 2018- 2019
Bài 3: Có 9 miếng bánh chưng cần ráng vàng cả hai mặt. Thời gian ráng mỗi mặt cần 3 phút. Nếu dùng
một chiếc chảo mỗi lần chỉ ráng được nhiều nhất 6 miếng thì cần thời gian ít nhất là bao lâu để ráng xong
9 miếng bánh chưng đó
Trích đề HSG huyện Lâm Thao năm 2018- 2019
Bài 4: Cho ba chữ số
a) Viết tập hợp

với

.

các chữ số có ba chữ số, mỗi số gồm cả ba chữ số trên.

b) Biết rằng tổng hai chữ số nhỏ nhất trong tập hợp

bằng

. Tìm tổng các chữ số

.

Trích đề HSG huyện Ngọc Lặc 2018-2019
Bài 5: Tìm tập hợp các số nguyên

biết rằng:

1

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024

TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG

Trích đề HSG huyện Nga Sơn năm 2021- 2022
Bài 6: Tìm các giá trị nguyên của

biết:

Trích đề HSG huyện Lý Nhân Nam năm 2021 - 2022

1

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024

TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG

C. SƯU TẦM CÁC BÀI TRONG CÁC ĐỀ CỦA NHỮNG NĂM TRƯỚC ĐÓ
(Phần này lấy các câu từ những năm trước, trước năm 2020-2021, tối thiểu 10 bài)
Bài 1: Tìm số tự nhiên có ba chữ số

sao cho

và

.

Trích đề HSG Vũng Tàu năm 2009 - 2010
Lời giải
Ta có:

Vì

nên

Từ (1) và (2) suy ra
Thử lại:

.
là đúng. Vậy

Bài 2: Tìm số tự nhiên có ba chữ số

.

sao cho

.
Trích đề HSG huyện Hoằng Hóa năm 2018-2019

Lời giải
Số tự nhiên có ba chữ số cần tìm là

.

Ta có:

Do
Với

hoặc

.

.

Với
.
Vậy có hai số cần tìm là 891 và 992.
Bài 3: Tìm số có 2 chữ số

, biết
Trích đề đề xuất HSG trường năm 2022-2023
Lời giải

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024

1

chia cho

TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG

dư 2

+
+

(loại)

Vậy
.
Bài 4: Tìm một số có bốn chữ số, trong đó chữ số đầu tiên là chữ số 7. Biết rằng nếu chuyển chữ số 7 đó
về cuối thì được một số mới kém số ban đầu là

đơn vị.
Trích đề HSG huyện Hiệp Hòa, năm 2019- 2020
Lời giải

Gọi số cần tìm có dạng là
Số mới là:
Bằng việc phân tích cấu tạo số ta có thể giải bài toán theo cách phân tích cấu tạo số theo
. Vậy số cần tìm là

ta được

.

Bài 5: Tìm một số tự nhiên có bốn chữ số, sao cho khi nhân số đó với

ta được số mới gồm các chữ số

của số ấy nhưng viết theo thứ tự ngược lại.
Trích đề HSG huyện Hiệp Hòa, năm 2020- 2021
Lời giải
Gọi số cần tìm có dạng là
Số mới là:
Bằng việc phân tích cấu tạo số ta có thể giải bài toán ……………….
Bài 6: Khi viết số

dưới dạng một số tự nhiên thì số đó có bao nhiêu chữ số?
Trích đề HSG huyện Tam Dương, năm 2011- 2012
Lời giải

Vậy khi viết số

dưới dạng một số tự nhiên thì số đó có 31 chữ số

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024

TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG

1 Bài 7: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số chia hết cho 3 và có tận cùng bằng 5?

Trích đề HSG huyện Xuân trường, năm 2015- 2016
Lời giải
Số lớn nhất có 4 chữ số chia hết cho 3 và có tận cùng bằng 5 là 9975
Số nhỏ nhất có 4 chữ số chia hết cho 3 và có tận cùng bằng 5 là 1005
Ta có dãy số: 1005 ; 1035; 1065; ....; 9975
Khoảng cách của dãy là 30
=> Số số tự nhiên có 4 chữ số chia hết cho 3 và có tận cùng bằng 5 là:
số
Bài 8: Cho số
Hãy rút gọn

và tìm chữ số hàng đơn vị của
Trích đề HSG huyện Giao Thủy, năm 2015- 2016
Lời giải

Lũy thừa của số có chữ
nếu số mũ lẻ, có chữ số tận cùng là nếu số mũ chẵn nên
có

só tận cùng là có chữ số tận cùng là
chữ số tận cùng là
Bài 9: Tìm chữ số a biết rằng

chia hết cho
Lời giải

Ta có:

Theo đề bài n chia hết cho
Ta có:
Vậy

mà

chia hết cho

chia hết cho

nên

nên

chia hết cho

.

chia hết cho 7.

.

Bài 10: Để đánh số trang của một cuốn sách, người ta viết dãy số tự nhiên bắt đầu từ
cả
chữ số.
Hỏi cuốn sách có bao nhiêu trang?
Lời giải
Ta có: Từ trang

đến trang

phải dùng

chữ số (viết tắt chữ số).

và phải dùng tất

1

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024

Từ trang
đến trang
phải dùng 180 chữ số.

TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG

phải dùng

Vì còn các trang gồm các số có

số có 2 chữ số nên từ trang 10 đến trang 90

chữ số.

Còn lại:

chữ số là đánh dấu các trang có

Có:

số có

chữ số.

Cuốn sách đó có:
Cuốn sách có

chữ số.

(vì trang

có

trang).

trang.

Bài 11: Tìm số có hai chữ số, biết rằng số đó cộng với tổng các chữ số của nó bằng
Gọi số cần tìm là

(a, b là các chữ số,

)

Theo bài ra ta có:

Lại có:

Nhận thấy:
Thay

vào (*) ta được:

Vậy số phải tìm là
Bài 12: Cho
a) Hỏi

.

là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho

có bao nhiêu phần tử?

b) Tính tổng các phần tử của tập hợp

.
Lời giải

a) Tập hợp
Số phần tử của tập hợp

là

b) Tổng các phần tử của tập hợp
Bài 13: Trong các số tự nhiên từ

là:
từ đến

a) Chia hết cho ít nhất một trong các số
b) Không chia hết cho tất cả các số tự nhiên từ

, có bao nhiêu số:
?
đến

?

Lời giải

.

.

1

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024

TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG

a) Chia hết cho ít nhất một trong các số
Gọi

là tập hợp các số từ

chia hết cho

, chia hết cho

và

đến

mà theo thứ tự chia hết cho

, chia hết cho

và

, chia hết cho

phần tử của các tập hợp đó theo thứ tự bằng
Ta có:

, chia hết cho cả

số.

b) Không chia hết cho tất cả các số tự nhiên từ

đến

?

số.

Bài 14: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng nếu xoá chữ số hàng nghìn thì số ấy giảm 9 lần.
Lời giải
Gọi số cần tìm là
Xóa chữ số hàng trăm ta có số
Ta có:
a

1

2

3

4

5

6

7

125

250

375

500

625

750

875

Vậy số cần tìm là

8

9

1000 (loại) 1125 (loại)

.

Bài 15: Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số
Chữ số a

, trong đó
Lời giải

có 8 cách chọn

Chữ số b

có 1 cách chọn

Chữ số c

có 9 cách chọn

Chữ số d

có 1 cách chọn

?

.
.
.
.

Tất cả có:
(số).
Bài 16: Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số, các chữ số khác nhau?
Lời giải:
Các số phải đếm có dạng
Nếu
Nếu

,

số, số

.

Các số phải tìm gồm:
Còn lại

và

, chia hết cho

.

thì a có 9 cách chọn (từ 1 đến 9), b có 8 cách chọn (từ 1 đến 9, khác a).
thì a có 8 cách chọn (từ 1 đến 9, khác c), b có 8 cách chọn (từ 0 đến 9, khác a và c).

1

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024

TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG

Vậy có:
(số).
Bài 17: Trong các số tự nhiên có ba chữ số, có bao nhiêu số:
a) Chứa đúng một chữ số 4?
b) Chứa đúng hai chữ số 4?
c) Chia hết cho 5, có chứa chữ số 5?
d) Chia hết cho 3, không chứa chữ số 3?
Lời giải
a) Chứa đúng một chữ số 4?
Các số phải đếm có 3 dạng:
- Dạng

có

(số).

- Dạng

có

(số).

- Dạng
Tất cả có:
(số).
b) Chứa đúng hai chữ số 4?
Các số phải đếm gồm 3 dạng:

có

(số).

- Dạng

có 9 (số).

- Dạng

có 8 (số).

- Dạng
có 9 (số).
Tất cả có:
(số).
c) Chia hết cho 5, có chứa chữ số 5?
Số có ba chữ số, chia hết cho 5 gồm 180 số, trong đó số không chứa chữ số 5 có dạng
,

có 8 cách chọn,

có 9 cách chọn,

có 1 cách chọn (là 0) gồm

(số).
Vậy có
(số) phải đếm.
d) Chia hết cho 3, không chứa chữ số 3?
Số phải tìm có dạng

, a có 8 cách chọn, b có 9 cách chọn, c có

3 cách chọn (nếu

thì

, nếu

thì

, nếu

thì

) có
(số).
Bài 18: Bạn Tâm đánh số trang của một cuốn vở có 110 trang bằng cách viết dãy số tự nhiên
Bạn Tâm phải viết tất cả bao nhiêu chữ số?
Lời giải:
Ta có: Từ trang 1 đến trang 9 có 9 trang, phải dùng 9 chữ số.
Từ trang 10 đến trang 99 có

(trang), phải dùng 180 (chữ số).

Từ trang 100 đến trang 110 có
Vậy bạn Tâm phải viết tất cả:
Bài 19: Cho ba chữ số
từ ba chữ số

(trang), phải dùng

(chữ số).

(chữ số).
đôi một khác nhau và khác 0. Tổng của tất cả các số có hai chữ số được lập

bằng 627. Tính tổng

.
Lời giải:

Ta có các số có hai chữ số được lập thành từ ba chữ số

là:

Theo đầu bài ta có:
Vậy
.
Bài 20: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số biết rằng khi viết thêm số 12 vào bên trái số đó ta
được số mới lớn gấp 26 lần số phải tìm.
Lời giải:

1

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024

Gọi số cần tìm là:

(

TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG

)

Viết thêm số 12 vào bên trái số đó ta được:
Theo bài ra ta có:

Thử lại ta thấy

.

Vậy số tự nhiên cần tìm là 1248.
Bài 21: Cho số có hai chữ số. Nếu lấy số đó chia cho hiệu của chữ số hàng chục và hàng đơn vị của nó thì
được thương là 18 và dư 4. Tìm số đã cho.
Lời giải
Gọi số phải tìm là:
Theo bài ra ta có:

Vì

là số chẵn, suy ra

Với

chẵn. Vậy

(vô lý)

Tương tự với các trường hợp

còn lại : ta có

thỏa mãn bài toán

Vậy số cần tìm là 94.
Bài 22: Tìm một số tự nhiên có ba chữ số biết rằng khi viết thêm chữ số 2 vào bên phải số đó thì nó tăng
thêm 4106 đơn vị.
Lời giải
Gọi số cần tìm là
Viết thêm chữ số 2 vào bên phải số đó, ta được:
Theo đề bài ta có:
(phân tích
Ta có:

Thử lại:

(đúng)

theo cấu tạo số)

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024

TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG

1 Vậy số tự nhiên cần tìm là 456.

Bài 23: Tìm số tự nhiên có ba chữ số

biết

.
Trích đề HSG huyện năm 2021 - 2022
Lời giải

Tìm số tự nhiên có
Vì

chữ số

là số tự nhiên có

biết

chữ số nên

là chữ số,

(1)

Đặt
Khi đó

trở thành

Ta có
Do đó

(1)

Lập luận suy ra bài toán có
+) TH1: Khi

trường hợp

chia hết cho

Mà
Do đó không tìm được

chia hết cho

suy ra không tìm được

1

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024

+) TH2: Khi
Do
Với

TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG

chia hết cho
mà

ta có
do đó mâu thuẫn với

Suy ra không tìm được
+) TH3:

chia hết cho

Do

mà

Với

thoả mãn

Xác định số
Vậy
Bài 24: Cho tập hợp

. Hỏi số

có là phần tử của

hay không?

Lời giải
Tập hợp
Ta có:

gồm các số tự nhiên chia
chia

dư

dư

Vậy

là phần tử của

.

Bài 25:

Tính giá trị của các biểu thức sau
.
.
Trích đề HSG huyện Quảng Xương năm 2011 -2012
Lời giải

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024

1

TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG

.
.

.
.
Bài 26: Thực hiện phép tính.
.
Trích đề HSG huyện Thanh Hà năm 2012 -2013
Lời giải
Ta có:

.
Bài 27: Thực hiện phép tính.
Tính tổng

.
Lời giải

Ta biến đổi các số từ 99 đến 1 thành hiệu của 100 với các số từ 1 đến 99

.

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024

1

TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG

.
Bài 28: Tính tổng:
a) Tính tổng

.

trên .

b) Tìm số hạng thứ

của tổng trên .
Lời giải

a)

có số số hạng được tính bằng cách:
Tổng

có giá trị là :

b) Xét tổng
Áp dụng công thức tìm số hạng trong một dãy số
Số cuối = (số số hạng - 1) . khoảng cách + số đầu
(số cuối là số hạng cần tìm trong tổng các dãy số tự nhiên cách đều)
Số hạng thứ

của tổng trên là :

.

Bài 29: Tính tổng :

.
Lời giải

Số số hạng của

là :

Tổng

.

Bài 30: Tính giá trị của

biết:
.
Lời giải

Dãy số

có số số hạng là:

Giá trị của

là:

(số hạng)
.

Bài 32: Cho dãy số:

. Tìm số hạng thứ

của dãy số trên ?

Lời giải
Số hạng thứ
Bài 33: Tính tổng

của dãy số trên là:

.

số lẻ liên tiếp biết số lẻ lớn nhất trong dãy đó là
Lời giải

?

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024

1

TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG

Số hạng bé nhất trong dãy số đó là:
Tổng của

.

số lẻ cần tìm là:

Bài 34: Một dãy phố có

.

nhà. Số nhà của

số nhà của dãy phố đó bằng

nhà đó được đánh là các số lẻ liên tiếp, biết tổng của

. Hãy cho biết số nhà đầu tiên của dãy phố đó là số nào ?
       Lời giải

Hiệu giữa số nhà cuối và số nhà đầu là:

.

Tổng của số nhà cuối và số nhà đầu là:

.

Số nhà đầu tiên trong dãy phố đó là:

.

Bài 35: Bạn Lâm đánh số trang một cuốn sách dày

trang bằng dãy số chẵn

Lời giải
Chữ số

của dãy số trên là chữ số nào?

Viết dãy số chẵn từ

đến

phải dùng:

số chẵn có ba chữ số kể từ
Ta thấy:

dư

Hai chữ số tiếp theo là
Vậy chữ số thứ

(chữ số), còn lại

.

. Số chẵn thứ
và

kể từ

thuộc số

của dãy là chữ số

là:

.

.
thuộc số

.

Bài 36: Người ta viết liền nhau dãy các số tự nhiên
a)

(chữ số) để viết các

.Hỏi chữ số chỉ đơn vị của số :

đứng ở hàng thứ mấy?

b)

đứng ở hàng thứ mấy?

c)

đứng ở hàng thứ mấy?
Lời giải

a) Từ số

đến số

( kể cả

). Có:

chữ số . Vậy

b) Vậy

ở hàng thứ

.

c) Vậy

ở hàng thứ

.

Bài 37:

Tính giá trị của các biểu thức sau
.
.

ở hàng thứ

.

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024

1

TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG

Trích đề HSG huyện Quảng Xương năm 2011 -2012

Lời giải

.
.

.
.
Bài 38: Thực hiện phép tính.
.
Trích đề HSG huyện Thanh Hà năm 2012 -2013
Lời giải
Ta có:

.
Bài 39: Thực hiện phép tính.
Tính tổng

.
Lời giải

Ta biến đổi các số từ 99 đến 1 thành hiệu của 100 với các số từ 1 đến 99

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024

1

TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG

.

.
Bài 40: Tính tổng:
a) Tính tổng

.

trên .

b) Tìm số hạng thứ

của tổng trên .
Lời giải

a)

có số số hạng được tính bằng cách:
Tổng

có giá trị là :

b) Xét tổng
Áp dụng công thức tìm số hạng trong một dãy số
Số cuối = (số số hạng - 1) . khoảng cách + số đầu
(số cuối là số hạng cần tìm trong tổng các dãy số tự nhiên cách đều)
Số hạng thứ

của tổng trên là :

.

Bài 41: Tính tổng :

.
Lời giải

Số số hạng của

là :

Tổng

.

Bài 42: Tính giá trị của

biết:
.
Lời giải

Dãy số
Giá trị của

có số số hạng là:
là:

(số hạng)
.

1

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024

Bài 43: Cho dãy số:

TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG

. Tìm số hạng thứ

của dãy số trên ?

Lời giải
Số hạng thứ

của dãy số trên là:

Bài 44: Tính tổng

.

số lẻ liên tiếp biết số lẻ lớn nhất trong dãy đó là

?

Lời giải
Số hạng bé nhất trong dãy số đó là:
Tổng của

.

số lẻ cần tìm là:

Bài 45: Một dãy phố có

.

nhà. Số nhà của

số nhà của dãy phố đó bằng

nhà đó được đánh là các số lẻ liên tiếp, biết tổng của

. Hãy cho biết số nhà đầu tiên của dãy phố đó là số nào ?
       Lời giải

Hiệu giữa số nhà cuối và số nhà đầu là:

.

Tổng của số nhà cuối và số nhà đầu là:

.

Số nhà đầu tiên trong dãy phố đó là:

.

Bài 46: Bạn Lâm đánh số trang một cuốn sách dày

trang bằng dãy số chẵn

Lời giải
Chữ số

của dãy số trên là chữ số nào?

Viết dãy số chẵn từ

đến

số chẵn có ba chữ số kể từ
Ta thấy:

dư

Hai chữ số tiếp theo là
Vậy chữ số thứ

phải dùng:

(chữ số), còn lại

.

. Số chẵn thứ
và

thuộc số

của dãy là chữ số

kể từ

là:

.

.
thuộc số

.

Bài 47: Người ta viết liền nhau dãy các số tự nhiên
a)

(chữ số) để viết các

.Hỏi chữ số chỉ đơn vị của số :

đứng ở hàng thứ mấy?

b)

đứng ở hàng thứ mấy?

c)

đứng ở hàng thứ mấy?
Lời giải

a) Từ số

đến số

( kể cả

). Có:

chữ số . Vậy

ở hàng thứ

.

1

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024

b) Vậy

ở hàng thứ

.

c) Vậy

ở hàng thứ

.

TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG

Bài 48: Tìm số có hai chữ số, biết rằng số mới viết theo thứ tự ngược lại nhân với số phải tìm được
số nhỏ trong hai số đó thì lớn hơn tổng các chữ số của nó là
Lời giải
Gọi số phải tìm là ab (a ≠ 0 ; a , b ≤ 9; a ,b ∈ N ) ⇒ số sau là

,

.
, giả sử

ta có:

Mà
Suy ra

có tận cùng là , suy ra

Thử lại:

và

(chọn)

Vậy số cần tìm là

và

.

Bài 49: Một số có

chữ số, tận cùng bằng chữ số

mới mà khi chia cho số cũ thì được thương là
Gọi

số tự nhiên có chữ số
số tự nhiên có chữ số

. Nếu chuyển chữ số

đó lên đầu thì ta được một số

dư
. Tìm số đó.
Lời giải

là hàng đơn vị.

là số hàng trăm.

Theo đề bài ta có:

dư

Hay:
Ta có:

.
Vậy số tự nhiên có ba chữ số đó là:
Bài 50: Tìm số tự nhiên có

.

chữ số, chữ số hàng đơ...