Cho tam giác ABC nhọn ( AB< AC ) nội tiếp đường tròn ( O ) và có hai đường cao BE ,CF cắt nhau tại H .
AH cắt ( O ) tại K khác A , KE cắt ( O ) tại M khác K , BM cắt EF tại N .
a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp.
b) Chứng minh BM . BN =B E2 .
c) Chứng minh N là trung điểm của EF .
A

M
D

E

N
F
O
H

C

B

K

a) Các tam giác BEC, BFC vuông tại E, F nên E, F thuộc đường tròn đường kính BC hay tứ giác
BCEF nội tiếp.
b) Ta có các góc sau bằng nhau BEF = BCF (cùng chắn cung BF); BCF = BAK (= 900 – ABC);
BAK = BMK (cùng chắn cung BK). Suy ra BEF = BMK hay các tam giác BEN và BME đồng dạng
suy ra BE/BM = BN/BE hay BM.BN = BE2
c) Từ câu a) ta có các góc bằng nhau ACF = ABD (cùng chắn cung FE) mà ABD = ACD (cùng
chắn cung AD) suy ra ACD = ACF, hay tam giác HCD cân tại C suy ra EH = ED. Lại từ câu b) ta
có các góc sau bằng nhau: BNE = BEM suy ra BNF = BEK do đó các tam giác BNF và KEH đồng
dạng suy ra NF/NB = HE/KE = ED/EK
(1)
Từ các tam giác đồng dạng ở câu b) ta có NE/BN = ME/BE

(2)

Lại từ các tam giác BEM, KED đồng dạng ta có ED/EK = EM/EB

(3)

Kết hợp (1), (2), (3) lại ta có NF/NB = NE/NB hay NF = NE suy ra N là trung điểm FE.
Bạn kiểm tra lại và trình bầy kĩ hơn nhé.

Trang PAGE \* MERGEFORMAT 1