Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

CHƯƠNG 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG
GIÁC

BÀI 1:GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC LƯỢNG GIÁC..............................................................................................2
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM....................................................................................................................2
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA...................................................................................................................................5
C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP..............................................................................................................5
Dạng 1 : Đơn vị đo độ và rađian..................................................................................................................................5
1. Phương pháp......................................................................................................................................................5
2. Các ví dụ minh họa..............................................................................................................................................6
Dạng 2: Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác.................................................................................6
1. Phương pháp......................................................................................................................................................6
2. Các ví dụ minh họa..............................................................................................................................................6
Dạng 3. Độ dài của một cung tròn..............................................................................................................................6
1. Phương pháp giải................................................................................................................................................6
2. Các ví dụ minh họa..............................................................................................................................................6
Dạng 4 : Tính giá trị của góc còn lại hoặc của một biểu thức lượng giác khi biết một giá trị lượng giác.....................6
1. Phương pháp giải................................................................................................................................................6
2. Các ví dụ minh họa..............................................................................................................................................7
Dạng 5: Xác định giá trị của biểu thức chứa góc đặc biệt, góc liên quan đặc biệt và dấu của giá trị lượng giác của
góc lượng giác.............................................................................................................................................................7
1. Phương pháp giải................................................................................................................................................7
2. Các ví dụ minh họa..............................................................................................................................................7
Dạng 6: Chứng minh đẳng thức lượng giác, chứng minh biểu thức không phụ thuộc góc , đơn giản biểu thức........7
1. Phương pháp giải................................................................................................................................................7
2. Các ví dụ minh họa..............................................................................................................................................7
Dạng 7: Bài toán thực tế.............................................................................................................................................8
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM...............................................................................................................................................9
E. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI..........................................................................................................................................16
F. TRẢ LỜI NGẮN...........................................................................................................................................................19

1

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

CHƯƠNG 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BÀI 1:GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC LƯỢNG GIÁC
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
1. GÓC LƯỢNG GIÁC
a) Khái niệm về góc lượng giác và số đo của góc lượng giác
Trong mặt phẳng, cho hai tia
. Xét tia
điểm , theo một chiều nhất định từ
đến
cuối

và kí hiệu là (

cùng nằm trong mặt phẳng này. Nếu tia
quay quanh
, thì ta nói nó quét một góc lượng giác với tia đầu
, tia

.

Góc lượng giác

chỉ được xác định khi ta biết được chuyển động quay của tia Om từ tia đầu

u

đến tia cuối
. Ta quy ước: Chiều quay ngược với chiều quay của kim đồng hồ là chiều dương,
chiều quay cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm.

Khi đó, nếu tia Om quay theo chiều dương đúng một vòng ta nói tia Om quay góc
ta nói nó quay góc

; quay theo chiều âm nửa vòng ta nói nó quay góc

, quay đúng 2 vòng

, quay theo chiều âm 1,5

vòng ta nói nó quay góc
Khi tia Om quay góc

thì ta nói góc lượng giác mà tia đó quét nên có số đo

giác có tia đầu Ou, tia cuối Ov được kí hiệu là sđ

. Số đo của góc lượng

.

Mỗi góc lượng giác gốc O được xác định bởi tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo của nó.
Chú ý. Cho hai tia
thì có vô số góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov. Mỗi góc lượng giác như thế
đều kí hiệu là
b) Hệ thức Chasles

. Số đo của các góc lượng giác này sai khác nhau một bội nguyên của

Nhận xét. Từ hệ thức Chasles, ta suy ra:
Với ba tia tuỳ ý
ta có
Hệ thức này đóng vai trò quan trọng trong việc tính toán số đo của góc lượng giác.
2. ĐƠN VỊ ĐO GÓC VÀ ĐỘ DÀI CUNG TRÒN
a) Đơn vị đo góc và cung tròn
Đơn vị độ: Để đo góc, ta dùng đơn vị độ. Ta đã biết: Góc
Đơn vị độ được chia thành những đơn vị nhỏ hơn:
Đơn vị rađian: Cho đường tròn

tâm

bằng

góc bẹt.
.

, bán kinh
2

và một cung

trên

.

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Ta nói cung tròn

có số đo bằng 1 rađian nếu độ dài của nó đúng bằng bán kính

Khi đó ta cũng nói rằng góc
có số đo bằng 1 rađian và viết:
rad.
Quan hệ giữa độ và rađian: Do đường tròn có độ dài là
nên nó có số đo
tròn có số đo bằng

nên ta có

.
rad. Mặt khác, đường

.

Do đó ta viết:
Chú ý. Khi viết số đo của một góc theo đơn vị rađian, người ta thường không viết chữ rad sau số đo. Chẳng
hạn góc
được hiểu là góc
rad.
b) Độ dài cung tròn.Một cung của đường tròn bán kỉnh
và có số đo
3. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC
a) Đường tròn lượng giác
- Đường tròn lượng giác là đường tròn có tâm tại gốc toạ độ, bán
kính bằng 1 , được định hướng và lấy điểm
làm điểm gốc
của đường tròn.
- Điểm trên đường tròn lượng giàc biểu diễn góc lượng giác có số
đo
(độ hoặc rađian) là điểm
trên đường tròn lượng giác sao
cho sđ

.

b) Giá trị lượng giác của góc lượng giác
- Hoành độ của điểm
được gọi là côsin của
, kí hiệu là
.
- Tung độ của điểm
kí hiệu là sin .

- Nếu
, tỉ số
của , kí hiệu là
.

được gọi là sin của

,

được gọi là côtang

- Các giá trị
được gọi là
các giá trị lượng giác của .
Chú ý
a) Ta còn gọi trục tung là trục sin, trục hoành là trục côsin.
b) Từ định nghĩa ta suy ra:
*

*

xác định với mọi giá trị của

xác định khi

.

và ta có:

3

rad thì có độ dài

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

*
xác định khi
.
- Dấu của các giá trị lượng giác của một góc lượng giác phụ thuộc vào vị trí điềm biều diễn
tròn lượng giác

.

c) Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

d) Sử dụng MTCT để đổi số đo và tìm giá trị lượng giác của góc
Tùy thuộc dòng máy tính, gv có thể hướng dẫn trực tiếp cho học sinh
4. QUAN HỆ GIỮA GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
a) Các công thức lượng giác cơ bản

b) Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
- Góc đối nhau (
và
)

Góc bù nhau (

Góc phụ nhau (

và

và

4

trên đường

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

- Góc hơn kém

(

và

Chú ý. Nhờ các công thức trên, ta có thể đưa

việc tính giá trị lượng giác của một

góc lượng giác bất kì về việc tính giá trị lượng
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1.1. Hoàn thành bảng sau:

giác của góc

Số đo độ

với

.

1

Số đo
radian
Số đo radian
Bài 1.2. Một đường tròn có bán kính.Tìm độ dài của các cung trên đường tròn đó có số đo sau:
a)
;
b) 1,5 ;
Bài 1.3. Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm
a)
:
Bài 1.4. Tính các giá trị lượng giác của góc
a)

và

c)
;
d)
biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau:

b)
, biết:

;

;

;

b)

c)
và
;
Bài 1.5. Chứng minh các đẳng thức:
a)

c)

và

d)

;

d)

.

;
và

b)

.

.

.

Bài 1.6. Bánh xe của người đi xe đạp quay được 11 vòng trong 5 giây.
a) Tính góc (theo độ và rađian) mà bánh xe quay được trong 1 giây.
b) Tính độ dài quãng đường mà người đi xe đã đi được trong 1 phút, biết rằng đường kính của bánh xe đạp
là
.
C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1 : Đơn vị đo độ và rađian
1. Phương pháp
Dùng mối quan hệ giữ độ và rađian:
5

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727



Đổi cung

có số đo từ rađian sang độ


Đổi cung
có số đo từ độ ra rađian
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: a) Đổi số đo của các góc sau ra rađian:

.

b) Đổi số đo của các góc sau ra độ:
.
Dạng 2: Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác
1. Phương pháp
Để biểu diễn cung lượng giác có số đo trên đường tròn lượng giác ta thực hiện như sau:
-

Chọn điểm

làm điểm đầu của cung.

Xác định điểm cuối
của cung sao cho
Lưu ý:
+
Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khác nhau một bội của

là:

Ngoài ra, ta cũng có thể viết số đo bằng độ:

+
Nếu ta có
2. Các ví dụ minh họa.

thì sẽ có

điểm ngọn.

Ví dụ 1: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác điểm ngọn của cung lượng giác có số đo là
Ví dụ 2: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các điểm ngọn của cung lượng giác có số đo là
Ví dụ 3: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các điểm ngọn của cung lượng giác có số đo là

Ví dụ 4: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các điểm ngọn của cung lượng giác có số đo là
Dạng 3. Độ dài của một cung tròn
1. Phương pháp giải
Cung có số đo
của đường tròn bán kính
có độ dài là
2. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Một đường tròn có bán kính
. Tìm độ dài của các cung trên đường tròn có số đo sau đây:

Ví dụ 2: Một cung lượng giác trên đường tròn định hướng có độ dài bằng một nửa bán kính. Số đo theo
rađian của cung đó là
A.
B.
C.
D.
Dạng 4 : Tính giá trị của góc còn lại hoặc của một biểu thức lượng giác khi biết một giá trị lượng giác.
1. Phương pháp giải.

Từ hệ thức lượng giác cơ bản là mối liên hệ giữa hai giá trị lượng giác, khi biết một giá trị lượng
giác ta sẽ suy ra được giá trị còn lại. Cần lưu ý tới dấu của giá trị lượng giác để chọn cho phù hợp.

Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ trong đại sô.
6

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Tính giá trị lượng giác còn lại của góc
a)

và

c)

.
và

Ví dụ 2: a) Tính giá trị lượng giác còn lại của góc
b) Cho

. Tính

Ví dụ 3: a) Cho

. Tính

b) Cho

biết:
b)

và

d)

và

biết

.

và

.
.

. Tính

c) Cho
Ví dụ 4: Biết

. Tính

a) Tìm

và

b) Chứng minh rằng
Dạng 5: Xác định giá trị của biểu thức chứa góc đặc biệt, góc liên quan đặc biệt và dấu của giá trị
lượng giác của góc lượng giác.
1. Phương pháp giải.

Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác

Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt

Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản và giá trị lượng giác của góc liên quan đặc biệt

Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm ngọn của cung (tia
cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các giá trị lượng giác.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a)

b)

c)

d)

Ví dụ 2: Cho

. Xác định dấu của các biểu thức sau:

a)
b)
c)
d)
Dạng 6: Chứng minh đẳng thức lượng giác, chứng minh biểu thức không phụ thuộc góc , đơn giản
biểu thức.
1. Phương pháp giải.
Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản, các hằng đẳng thức đáng nhớ và sử dụng tính chất của giá trị lượng
giác để biến đổi
+ Khi chứng minh một đẳng thức ta có thể biến đổi vế này thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai
vế cùng bằng một đại lượng khác.
+ Chứng minh biểu thức không phụ thuộc góc hay đơn giản biểu thức ta cố gắng làm xuất hiện nhân tử
chung ở tử và mẫu để rút gọn hoặc làm xuất hiện các hạng tử trái dấu để rút gọn cho nhau.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
a)

b)
7

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

c)
d)
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng

Ví dụ 3: Đơn giản các biểu thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
a)
b)
c)
với
Ví dụ 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào

.

a)
b)
c)
Dạng 7: Bài toán thực tế
Ví dụ 1: Bánh xe của người đi xe đạp quay được 11 vòng trong 5 giây.
a) Tính góc (theo độ và rađian) mà bánh xe quay được trong 1 giây.
b) Tính độ dài quãng đường mà người đi xe đã đi được trong 1 phút, biết rằng đường kính của bánh xe đạp
là
.
Ví dụ 2: Một chiếc quạt trần năm cánh quay với tốc độ 175 vòng trong một phút. Chọn chiều quay của
quạt là chiều dương.
a) Sau 5 giây, cánh quạt quay được một góc có số đo bao nhiêu radian?
b) Sau thời gian bao lâu cánh quạt quay được một góc có số đo
?
Ví dụ 3: Trong chặng đua nước rút, bánh xe của một vận động viên đua xe đạp quay được 30 vòng trong 8
giây. Chọn chiều quay của bánh xe là chiều dương. Xét van
của bánh xe.
a) Sau 1 phút, van
đó quay được một góc có số đo bao nhiêu radian?
b) Biết rằng bán kính của bánh xe là
. Độ dài quãng đường mà vận động viên đua xe đạp đã đi được
trong 1 phút là bao nhiêu mét?

Ví dụ 4: Bánh xe của người đi xe đạp quay được 12 vòng trong 6 giây.
a) Tính góc (theo độ và rađian) mà bánh xe quay được trong 1 giây.
b) Tính quãng đường mà người đi xe đã đi được trong 1 phút, biết rằng đường kính bánh xe đạp là
8

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Ví dụ 5: Kim phút và kim giờ của đồng hồ lớn nhà Bưu điện Thành phố Hà Nội theo thứ tự dài
. Hỏi trong

và

phút, mũi kim phút vạch nên cung tròn có độ dài bao nhiêu? Cũng câu hỏi đó cho kim

giờ.
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về đường tròn định hướng ?
A. Mỗi đường tròn là một đường tròn định hướng.
B. Mỗi đường tròn đã chọn một điểm là gốc đều là một đường tròn định hướng.
C. Mỗi đường tròn đã chọn một chiều chuyển động và một điểm là gốc đều là một đường tròn định hướng.
D. Mỗi đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương và chiều ngược lại được
gọi là chiều âm là một đường tròn định hướng.
Câu 2: Quy ước chọn chiều dương của một đường tròn định hướng là:
A. Luôn cùng chiều quay kim đồng hồ.
B. Luôn ngược chiều quay kim đồng hồ.
C. Có thể cùng chiều quay kim đồng hồ mà cũng có thể là ngược chiều quay kim đồng hồ.
D. Không cùng chiều quay kim đồng hồ và cũng không ngược chiều quay kim đồng hồ.

Câu 3: Trên đường tròn định hướng, mỗi cung lượng giác
xác định:
A. Một góc lượng giác tia đầu
, tia cuối
.
B. Hai góc lượng giác tia đầu
, tia cuối
.
C. Bốn góc lượng giác tia đầu
, tia cuối
.
D. Vô số góc lượng giác tia đầu
, tia cuối
.
Câu 4: Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về góc lượng giác ?
A. Trên đường tròn tâm bán kính
, góc hình học
là góc lượng giác.
B. Trên đường tròn tâm bán kính
, góc hình học
có phân biệt điểm đầu và điểm cuối là
góc lượng giác.
C. Trên đường tròn định hướng, góc hình học
là góc lượng giác.
D. Trên đường tròn định hướng, góc hình học
có phân biệt điểm đầu và điểm cuối là góc lượng
giác.
Câu 5: Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về đường tròn lượng giác ?
A. Mỗi đường tròn là một đường tròn lượng giác.
B. Mỗi đường tròn có bán kính
là một đường tròn lượng giác.
C. Mỗi đường tròn có bán kính
, tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.
D. Mỗi đường tròn định hướng có bán kính
, tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.
Câu 6: Trên đường tròn cung có số đo 1 rad là?
A. Cung có độ dài bằng 1.
B. Cung tương ứng với góc ở tâm
.
C. Cung có độ dài bằng đường kính.
D. Cung có độ dài bằng nửa đường kính.
Câu 7: Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
Câu 8:

B.
Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.
Câu 9:

B.
Nếu một cung tròn có số đo là

A.
B.
Câu 10: Nếu một cung tròn có số đo là

C.

C.
thì số đo radian của nó là:
C.
thì số đo radian của nó là:

D.

D.

A.
Câu 11: Đổi số đo của góc

B.
sang đơn vị radian.

A.
Câu 12:

B.
C.
D.
sang đơn vị radian với độ chính xác đến hàng phần nghìn.

Đổi số đo của góc

C.

D.

9

D.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

A.
Câu 13: Đổi số đo của góc

B.

C.

D.

A.

B.

C.

D.

Câu 14: Đổi số đo của góc
A.
Câu 15: Đổi số đo của góc
A.

sang đơn vị độ, phút, giây.
B.
C.
sang đơn vị độ, phút, giây.
B.
C.

sang đơn vị radian.

D.
D.

Câu 16: Đổi số đo của góc
sang đơn vị độ, phút, giây.
A.
B.
C.
Câu 17: Đổi số đo của góc
sang đơn vị độ, phút, giây.
A.
B.
C.
Câu 18: Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Số đo của cung tròn tỉ lệ với độ dài cung đó.
B. Độ dài của cung tròn tỉ lệ với bán kính của nó.
C. Số đo của cung tròn tỉ lệ với bán kính của nó.
D. Độ dài của cung tròn tỉ lệ nghịch với số đo của cung đó.

D.
D.

Câu 19: Tính độ dài của cung trên đường tròn có bán kính bằng
và số đo
A.
B.
C.
D.
Câu 20: Tính độ dài của cung trên đường tròn có số đo
và bán kính bằng
.
A.
.
B.
.
C.
Câu 21: Một cung tròn có độ dài bằng lần bán kính. Số đo
A. .
B. .
C.

.

.
D.
của cung tròn đó là
D. .

.

Câu 22: Trên đường tròn bán kính , cung tròn có độ dài bằng độ dài nửa đường tròn thì có số đo (tính
bằng radian) là:
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 23: Bánh xe đạp của người đi xe đạp quay được vòng trong giây. Hỏi trong giây, bánh xe
quay được 1 góc bao nhiêu?
A.

B.

Câu 24: Cho góc lượng giác
?
A.
B.
Câu 25: Một chiếc đồng hồ, có kim chỉ giờ
giác

C.
Với giá trị

chỉ số

D.
bằng bao nhiêu thì góc

C.
và kim phút

D.
chỉ số . Số đo của góc lượng

là

A.
.
B.
C.
. D.
.
Câu 26: Trên đường tròn lượng giác có điểm gốc là . Điểm thuộc đường tròn sao cho cung lượng
giác
có số đo
. Gọi
là điểm đối xứng với
qua trục
, số đo cung lượng giác
bằng
A.
.
B.
.
C.
hoặc
.
D.
.
Câu 27: Trên đường tròn với điểm gốc là . Điểm
thuộc đường tròn sao cho cung lượng giác
có
số đo
. Gọi
là điểm đối xứng với điểm
qua trục
, số đo cung
là:
A.
.
B.
.
10

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

C.
hoặc
.
D.
.
Câu 28: Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc là . Điểm
thuộc đường tròn sao cho cung lượng
giác
có số đo
. Gọi
là điểm đối xứng với điểm
qua gốc tọa độ , số đo cung lượng giác
bằng:
A.
.
B.
.
C.
hoặc
. D.
.
Câu 29:
. Các cung nào có điểm cuối trùng nhau?
A. và ; và .
B. và ; và . C.
.
D.
.
Câu 30: Các cặp góc lượng giác sau ở trên cùng một đường tròn đơn vị, cùng tia đầu và tia cuối. Hãy nêu
kết quả SAI trong các kết quả sau đây:
A. và
.
B.
và
.
C.
và
.
D. và
.
Câu 31: Trên đường tròn lượng giác gốc , cung lượng giác nào có các điểm biểu diễn tạo thành tam giác
đều?
A.
.
B.
.
Câu 32: Trên đường tròn lượng giác gốc
vuông?

C.
.
D.
.
, cung lượng giác nào có các điểm biểu diễn tạo thành hình

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 33: Cho
thuộc góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúng trong các
kết quả sau đây.
A.
B.
C.
D.
Câu 34: Cho
thuộc góc phần tư thứ hai của đường tròn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúng trong các
kết quả sau đây.
A.
B.
C.
D.
Câu 35: Cho
thuộc góc phần tư thứ ba của đường tròn lượng giác. Khẳng định nào sau đây là sai ?
A.
B.
C.
D.
Câu 36: Cho
thuộc góc phần tư thứ tư của đường tròn lượng giác. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A.
B.
C.
D.
Câu 37: Điểm cuối của góc lượng giác ở góc phần tư thứ mấy nếu
cùng dấu?
A. Thứ
B. Thứ
C. Thứ hoặc
D. Thứ hoặc
Câu 38: Điểm cuối của góc lượng giác
ở góc phần tư thứ mấy nếu
trái dấu?
A. Thứ
C. Thứ

B. Thứ
D. Thứ

hoặc

Câu 39: Điểm cuối của góc lượng giác
A. Thứ
C. Thứ
A. Thứ
C. Thứ

ở góc phần tư thứ mấy nếu
B. Thứ
D. Thứ

hoặc

Câu 40: Điểm cuối của góc lượng giác
hoặc

Câu 41: Cho
A.
C.
Câu 42: Cho

B. Thứ
D. Thứ

hoặc
hoặc
hoặc
hoặc

ở góc phần tư thứ mấy nếu
hoặc
hoặc

Khẳng định nào sau đây đúng?
B.
D.
Khẳng định nào sau đây đúng?
11

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

A.

B.

C.

D.

Câu 43: Cho

Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

B.

C.

D.

Câu 44: Cho

Giá trị lượng giác nào sau đây luôn dương?

A.

B.

Câu 45: Cho

C.

Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

B.

C.

D.

Câu 46: Cho
A.

. Xác định dấu của biểu thức
B.

Câu 47: Cho
A.

. Xác định dấu của biểu thức
B.

C.

D.

C.

D.

Câu 48: Tính giá trị của
A.
C.
Câu 49: Với góc
A.
C.
Câu 50: Với góc

B.
D.
bất kì. Khẳng định nào sau đây đúng?
B.
D.
bất kì. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

B.

C.
D.
Câu 51: Mệnh đề nào sau đây là sai?
A.

D.

B.

C.
D.
Câu 52: Mệnh đề nào sau đây là sai?
A.

B.
12

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

C.
Câu 53: Để

D.

có nghĩa khi

A.
B.
Câu 54: Điều kiện trong đẳng thức

C.
là

A.

B.

C.

D.

Câu 55: Điều kiện để biểu thức

xác định là

A.

B.

C.
Câu 56: Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
C.
Câu 57: Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
C.
Câu 58: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

D.

A.

B.

C.

D.

Câu 59: Với mọi số thực
A.
Câu 60: Với mọi

, ta có
B.

Câu 61: Đơn giản biểu thức
A.
Câu 62: Rút gọn biểu thức
A.
Câu 63: Cho
đúng?
A.

B.
D.
B.
D.

bằng
C.

D.

B.

C.

D.

B.

, ta được
C.

D.

thì

A.

D.

bằng

B.

C.
và

ta được
D.
Mệnh đề nào dưới đây là

B.

C.

D.

Câu 64: Giá trị biểu thức
A.

bằng
B.

C.
13

D.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 65: Biết

là các góc của tam giác

mệnh đề nào sau đây đúng:

A.

B.

C.
Câu 66: Biết

là các góc của tam giác

D.
khi đó

A.

B.

C.
Câu 67: Cho tam giác

D.
. Khẳng định nào sau đây là sai?

A.
C.
Câu 68:

B.
D.
là ba góc của một tam giác. Hãy tìm hệ thức sai:

A.

B.

C.

D.

Câu 69: Cho góc

thỏa

A.
Câu 70: Cho góc

thỏa

C.
và

thỏa mãn
thỏa mãn

D.

C.

D.

và
B.

Câu 73: Rút gọn biểu thức
A.
B.
Câu 74: Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.

C.
. Tính

B.

A.

D.

Khẳng định nào sau đây đúng?

B.

A.
Câu 72: Cho góc

Khẳng định nào sau đây đúng?

B.

A.
Câu 71: Cho góc

và

. Tính
C.

D.

C.

D.

B.

C.
D.
Câu 75: Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
B.
C.
D.
Câu 76: Rút gọn biểu thức
A.
B.
C.
Câu 77: Rút gọn biểu thức

D.
14

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

A.
Câu 78: Rút gọn biểu thức
A.
C.
Câu 79: Rút gọn biểu thức
A.
Câu 80: Rút gọn biểu thức
A.
Câu 81: Rút gọn biểu thức
A.

B.

C.

D.

B.

C.

D.

B.

C.

D.

B.

C.

D.

B.

C.

D.

B.
D.

Câu 82: Đơn giản biểu thức
A.
Câu 83: Đơn giản biểu thức
A.

B.

C.

D.

Câu 84: Đơn giản biểu thức
A.

B.

C.

D.

B.

C.

D.

Câu 85: Đơn giản biểu thức
A.
Câu 86: Đơn giản biểu thức
A.
C.

B.
D.

Câu 87: Đơn giản biểu thức
A.

B.

C.

D.

A.

B.

C.

D.

Câu 89: Đơn giản biểu thức
A.

B.

C.

D.

B.

C.

D.

Câu 88: Đơn giản biểu thức

Câu 90: Đơn giản biểu thức
A.

15

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

E. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu 1. Đổi số đo của các góc sang radian. Khi đó:
a)
Câu 2.

rad;
b)
rad;
c)
Đổi số đo của các góc sang độ. Khi đó:

rad;

d)

a)
;;
b)
;
c)
Câu 3.Biểu diễn góc lượng giác trên đường tròn lượng giác. Khi đó:
a)

là điểm

thuộc góc phần tư thứ thứ II

b)

là điểm

thuộc góc phần tư thứ III

c)

là điểm

thuộc góc phần tư thứ II

rad

; d)

.

d)
là điểm thuộc góc phần tư thứ IV
Câu 4.Biểu diễn góc lượng giác trên đường tròn lượng giác. Khi đó:
a)

là điểm

b)

c)

thuộc góc phần tư thứ

là các điểm

là

thuộc góc phần tư thứ

và

thuộc góc phần tư thứ

d)
là bốn điểm
thuộc góc phần tư thứ
Câu 5.Các góc có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác:
a)
;
b)
;
c)
;
Câu 6.Trong hình vẽ bên, ta xem hình ảnh đường tròn trên một bánh lái tàu thuỷ
tương ứng với một đường tròn lượng giác.
a) Công thức tổng quát biểu diễn góc lượng giác

b)

.

theo đơn vị radian:

b) Công thức tổng quát chỉ ra góc lượng giác tương ứng với bốn điểm biểu diễn
là

theo đơn vị radian là

c) Công thức tổng quát chỉ ra góc lượng giác tương ứng với hai điểm biểu diễn là
d) Công thức tổng quát biểu diễn góc lượng giác

theo đơn vị độ là:

theo đơn vị radian:

Câu 7.Biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau đây trên đường tròn lượng giác. Khi đó:
a) Điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo

là điểm

thuộc góc phần tư thứ III của đường tròn

lượng giác thoả mãn
b) Điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo

là điểm

lượng giác thoả mãn

16

thuộc góc phần tư thứ IV của đường tròn

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

c) Điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo

là điểm

thuộc góc phần tư thứ I của đường tròn

lượng giác thoả mãn
d) Điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo
mãn
Câu 8:

là điểm

thuộc đường tròn lượng giác thoả

Tính được giá trị các biểu thức. Khi đó:

a)

;

c)

b)

;

;

d)

.

Câu 9:Tính được các giá trị lượng giác của góc
a)

;

b)

;

(biết

c)

;

). Khi đó:

d)

Câu 10: Tính được các giá trị lượng giác của góc
a)

;

b)

;

Câu 11: Cho

(biết

c)

;

). Khi đó:

d)

. Xét được dấu của các biểu thức sau. Khi đó:

a)

; b)

; c)

Câu 12: Cho biết

; d)

. Và các biểu thức:

.
;

. Khi đó
a)

;

b)

;

c)

;

d)

Câu 13: Tính được các giá trị lượng giác còn lại của góc
a)

;

b)

;

c)

, biết:

;

;

b)

Câu 15: Cho
a)

;

Câu 16: Cho

;

c)

, biết:
;

với

nên

. Khi đó:

d)

. Tính được các biểu thức
b) Vì

. Khi đó:

d)

Câu 14: Tính được các giá trị lượng giác còn lại của góc
a)

với

, khi đó:
;

c)

. Tính được các biểu thức

;

d)
, khi đó:

17

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

a) Vì
nên
.
b)
;
c)
;
d)
Câu 17: Từ một vị trí ban đầu trong không gian, vệ tinh
chuyển động theo quỹ đạo là một đường tròn
quanh Trái Đất và luôn cách tâm Trái Đất một khoảng bằng
. Sau 2 giờ thì vệ tinh
hoàn thành
hết một vòng di chuyển.
a) Quãng đường vệ tinh

chuyển động được sau 1 giờ là:

b) Quãng đường vệ tinh
c) Sau khoảng 5,3 giờ thì

chuyển động được sau 1,5 giờ là:
di chuyển được quãng đường

d) Giả sử vệ tinh di chuyển theo chiều dương của đường tròn, sau 4,5 giờ thì vệ tinh vẽ nên một góc
rad?
Câu 18:Cho

. Xét được dấu của các biểu thức sau. Khi đó:

a)

; b)

; c)

; d)

Câu 19: Tính được các giá trị lượng giác còn lại của góc
a)

;

b)

;

c)

, biết:

;
, biết:

a)

;

b)

;

c)

Câu 21: Tính được các giá trị lượng giác của góc
a)

;

b)

;

a)

;

b)

;

a)

;

b)

;

a)

;

b)

;

a)

;

b)

;

. Khi đó
;

. Khi đó
d)

, biết:

. Khi đó:

;

d)

, biết:

c)

Câu 26: Tính được các giá trị lượng giác của góc

d)

, biết:

c)

Câu 25: Tính được các giá trị lượng giác của góc

d)

, biết:

;

Câu 24: Tính được các giá trị lượng giác của góc

d)

;

c)

. Khi đó:
;

, biết:
18

, khi đó:

. Khi đó:

c)

Câu 23: Tính được các giá trị lượng giác của góc

, khi đó:

với

, biết:

c)

Câu 22: Tính được các giá trị lượng giác của góc

với
d)

Câu 20: Tính được các giá trị lượng giác còn lại của góc
;

.

d)
. Khi đó:

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

a)

;

b)

;

c)

;

Câu 27: Tính được các giá trị lượng giác của góc
a)
;
b)
F. TRẢ LỜI NGẮN
Câu 1: Đổi số đo của góc
Câu 2: Đổi số đo của góc

;

d)

, biết:

. Khi đó:

c)

;

d)

sang đơn vị radian.
sang đơn vị radian với độ chính xác đến hàng phần trăm.

Câu 3: Đổi số đo của góc
sang đơn vị độ, phút, giây.
Câu 4: Một đường tròn có đường kính bằng
. Tính độ dài của cung trên đường tròn có số đo
chữ số thập phân).

(lấy

Câu 5:
Câu 6:
Câu 7:

Tính số đo cung có độ dài của cung bằng
trên đường tròn có bán kính
.
Một cung có độ dài
, có số đo bằng radian là
thì đường tròn của cung đó có bán kính là:
Một bánh xe có
răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển
răng là:

Câu 8:

Cho góc lượng giác

Câu 9:
Câu 10:
Câu 11:
Câu 12:

Tính giá trị của
Tính giá trị biểu thức
Tính giá trị biểu thức
Tính giá trị biểu thức

Câu 13: Cho

. Tìm

. Khi đó

để

bằng

Câu 14: Biểu thức lượng giác
bằng?

có giá trị

Câu 15: Biết rằng

thì giá trị đúng của

Câu 16: Nếu

thì

Câu 17: Cho góc

thỏa mãn

và

Câu 18: Cho góc

thỏa mãn

Câu 19: Cho góc

thỏa mãn

Câu 20: Cho góc

thỏa mãn

Câu 21: Cho góc

thỏa mãn

và

Câu 22: Cho góc

thỏa mãn

và

Câu 23: Cho góc

thỏa

. Tính
và

. Tính

và

. Tính

và

và

Tính
Tính
. Tính

19

. Tính

là
bằng

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 24: Cho góc
Câu 25:

Cho góc

thỏa mãn
thỏa mãn

Câu 26: Cho góc

thỏa mãn

Câu 27: Cho góc

thỏa mãn

Câu 28: Cho góc

thỏa mãn

và

. Tính

và

.

. Tính

và

. Tính

và

.

. Tính

và

.

. Tính giá trị của biểu thức

.
Câu 29: Cho góc

thỏa mãn

và

. Tính

Câu 30: Cho góc

thỏa mãn

Tính

Câu 31: Cho góc

thỏa mãn

Tính

Câu 32: Cho góc

thỏa mãn

Tính

Câu 33: Cho góc

thỏa mãn

Tính

Câu 34: Cho góc

thỏa mãn

Tính

Câu 35: Cho góc

thỏa mãn

Câu 36: Cho góc

thỏa mãn

Câu 37: Cho góc

thỏa mãn

Câu 38: Cho góc

thỏa mãn

Tính

Câu 39: Cho góc

thỏa mãn

Tính

Câu 40: Cho góc

thỏa mãn

Câu 41: Cho góc

thỏa mãn

Tính
và

Tính

và

. Tính

Tính
và

. Tính

Câu 42: Cho góc thỏa mãn
và
.
Tính
Câu 43:Hải lí là một đơn vị chiều dài hàng hải, được tính bằng độ dài một cung
chắn một góc
của đường kinh tuyến (Hình 17). Đồi số đo
sang
radian và cho biết 1 hải lí bằng khoảng bao nhiêu kilômét, biết bán kính trung bình
của Trái Đất là
. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
20

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 44:Thanh
quay ngược chiều kim đồng hồ quanh trục của nó trên một
mặt phẳng thẳng đứng và in bóng vuông góc xuống mặt đất như Hình 12. Vị trí ban
đầu của thanh là
. Hỏi độ dài bóng
vòng là bao nhiêu, biết độ dài thanh
mười.

của
là

khi thanh quay được
? Kết quả làm tròn đến hàng phần

Câu 45: Khi xe đạp di chuyển, van của bánh xe quay quanh
trục theo chiều kim đồng hồ với tốc độ góc không đổi là
(Hình 13). Ban đầu van nằm ở vị trí . Hỏi sau một
phút di chuyển, khoàng cách từ van đến mặt đất là bao nhiêu,
biết bán kính
? Già sử độ dày của lốp xe không
đáng kể. Kết quả làm tròn đến hàng phần mười.
Câu 46: Thanh
quay ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc
của nó trên
một mặt phẳng thẳng đứng và in bóng vuông góc xuống mặt đất như hình bên.
Vị trí ban đầu của thanh là
. Hỏi độ dài bóng
của
khi thanh quay
được
vòng là bao nhiêu, biết độ dài thanh
là
? Kết quả làm tròn
đến hàng phần mười.
Câu 47:Một chiếc quạt trần năm cánh quay với tốc độ
vòng trong một phút.
Chọn...