19.21. Cha hơn con 30 tuổi. Trước đây 4 năm tuổi cha gấp 4 tuổi con.
a)

Tìm tuổi cha và tuổi con hiện nay?

b)

Cách đây (trước hoặc sau) mấy năm tuổi cha gấp 2,5 lần tuổi con?

19.22. Một người trồng quýt, sau khi thu hoạch để lại nhà 10 quả còn lại đem ra chợ bán. Lần
1

1

6

6

thứ nhất bán 6 quả và số quả quýt còn lại. Lần thứ hai bán tiếp 12 quả và số quả quýt còn
1

lại. Lần thứ ba bán tiếp 18 quả và số quả quýt còn lại. Cứ bán như vậy đến lần cuối cùng thì
6

vừa hết số quýt và số quýt mỗi lớp trồng được là bằng nhau. Tính quýt mà người đó thu hoạch,
số quýt mồi lần bán và số lần bán.
19.23. Một tấm tôn hình chữ nhật có chu vi bằng 114cm. Người ta cắt bỏ bốn hình vuông có
cạnh là 5cm ở bốn góc rồi gấp lên thành một hình hộp chữ nhật (không có nắp).Tính các kích
thước của tấm tôn đã cho. Biết rằng thể tích hình hộp bàng 1500cm2
19.24. Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 900m2 và chu vi 122m. Tìm chiều dài và chiều
rộng của khu vườn.
19.25. Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy. Tháng thứ hai tổ I vượt mức 15%
và tổ II vượt mức 10% so với tháng thứ nhất vì vậy hai tổ đã sản xuất được 1010 chi tiết máy.
Hỏi tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?
19.26. Một máy bay trực thăng bay từ A đến B cách nhau 960km với vận tốc 280 km/h. Khi
bay từ A đến B do bị gió cản nên thời gian bay phải nhiều hơn 1 giờ so với thời gian bay từ B
đến A (do được gió đẩy). Tìm vận tốc của gió.
19.27. Hai người công nhân cùng làm một công việc trong 18 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất
làm 6 giờ và người thứ hai làm 12 giờ thì chỉ hoàn thành được 50% công việc. Hỏi nếu lảm
riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu?
19.28. Một nhóm công nhân đặt kế hoạch sản xuất 200 sản phẩm. Trong 4 ngày đầu họ thực
hiện đúng mức đề ra, những ngày còn lại họ đã làm vượt mức
1 mỗi ngày 10 sản phẩm nên đã
hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày nhóm công nhân cần sản xuất
bao nhiêu sản phẩm?
19.29. Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 36 km. Khi đi từ B trở về A người đó tăng
vận tốc thêm 3km/h, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 36 phút. Tính vận tốc người đi
xe đạp khi đi từ A đến B.
19.30. Cho quãng đường AB dài 120km. Lúc 7 giờ sáng một xe máy đi từ A đến B. Đi được

3
4

quãng đường xe bị hỏng phải dừng lại sửa mất 10 phút rồi đi tiếp đến B với vận tốc nhỏ hơn
vận tốc lúc đầu là 10km/h. Biết xe máy đến B lúc 11giờ 40 phút trưa cùng ngày. Giả sử vận
tốc xe máy trên

3
4

quãng đường ban đầu không thay đổi và vận tốc của xe máy trên

1
4

quãng

đường còn lại cũng không thay đổi. Hỏi xe máy bị hỏng lúc mấy giờ?
Thời gian đi từ A đến C là 90: 30 = 3(ℎ). Thời điểm bị hỏng xe lúc 10 giờ sáng cùng ngày.
25.13.
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B =

( x + 8)(2 x + 9)
với x  0
x

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C =

x + 3
với x  0
x +1

c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức D = ( x2 − 5x − 20)(28 − x2 + 5x)
25.14.
a b c
a) Với a, b, c  0 tìm giá trị lớn nhất của biểu thức G = 2020 −  + +  .
b

c

a

b) Với a, b, c, d  0 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H = (a + b + c + d )  + + +  + 4
a b c d
1



1

1

1



25.15. Với x, y, z  0. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
1
y

a) K = x  +

1 
1  1
1 
1
+ y +
.
+ z +
y+z
 z z+x  x x+ y

x 2 + ( y + z )2 y 2 + ( z + x) 2 z 2 ( x + y ) 2
b) L =
.
+
+
x( y + z )
y ( z + x)
z( x + y)

25.16. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) D = a2 + b2 với a; b  0 và a + b = 4.
b) E = a2 + b2 + c2 với a, b, c  0 và a + b + c = 3.
c) F = a3 + b3 + 2ab biết a + b = 2.
2

25.17.
a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức G = 2ab với a + 2b = 2;
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức H = 1 − 

1
1
1 
+
+
 với a, b, c  0 và a + b + c  3.
 a +1 b +1 c +1 

25.18. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) L = 5 x − 2010 + 5 x − 2020 ;
b) M = x − 2015 + x − 2016 + x − 2017 + x − 2018 ;

c) N = (19 x − 8 ) − 10 19 x − 8 + 1970.
2

25.19. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) P = 8 −

6 + 2y
.
5

b) Q =

2014
1954
−
.
7 y − 5 + 60 60

c) T = x + 5 − x + 2 .
25.20. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
S = z − 1 + z − 2 + z − 3 + ... + z − 99 + z − 100.

25.21. Tìm tất cả các giá trị của x để hàm số y = x 2 + x + 16 + x 2 + x − 6 đạt giá trị nhỏ nhất và
tính giá trị nhỏ nhất đó.
25.22. Cho biểu thức A = − x2 − y 2 + xy + 2x + 2 y
Hãy tìm cặp số ( x, y ) để biểu thức A đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị đó.
25.23. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

( x3 + y 3 ) − ( x 2 + y 2 )
trong đó x, y là những số thực
( x − 1)(y− 1)

lớn hơn 1.
25.24. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 5x2 + 9 y 2 −12 xy + 24 x − 48 y + 82
25.25. Cho x  0 . Tìm giá trị của x để biểu thức N =
25.26. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B =

x
đạt giá trị lớn nhất.
( x + 2010) 2

3x 2 + 6 x + 10
x2 + 2x + 3

25.27. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + xy + y 2 − 2x − 3 y + 2010 khi các số thực x, y
thay đổi. Giá trị nhỏ nhất đó đạt được tại các giá trị nào của x và y .
25.28. Cho số tự nhiên n có hai chữ số, chữ số hàng chục là x , chữ số hàng đơn vị là y (nghĩa
là x  0 và n = 10 x + y). Gọi M =

n
x+ y

a) Tìm n để M = 2.

3

b) Tìm n để M nhỏ nhất,
25.29.Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn 0  a  4; 0  b  4; 0  c  4; và a + b + c = 6 . Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức:
P = a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca

25.13.
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B =

( x + 8)(2 x + 9)
với x  0
x

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C =

x + 3
với x  0
x +1

c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức D = ( x2 − 5x − 20)(28 − x2 + 5x)
Hướng dẫn giải – đáp số
a) B =

2 x 2 + 25 x + 72
72
= 2 x + + 25
x
x

Ta có với x  0 thì 2x và

72
là hai số dương có tích bằng 144 không đổi nên tổng của chúng
x

nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau tức là:
2x =

72
 x 2 = 36. Nghiệm x = 6 thỏa mãn điều kiện của bài.
x

Vậy minB = 49  x = 6
b) C =

( x 2 + 2 x + 1) + 4 − 2( x + 1)
4
= ( x + 1) +
−2
x +1
x +1

Ta có với x  0, 2 số dương x + 1 và
Nên C nhỏ nhất  x + 1 =

4
có tích bằng 4 không đổi.
x +1

4
 ( x + 1) 2 = 4. Nghiệm x = 1 thỏa mãn điều kiện đầu bài.
x +1

Vậy min C = 2  x = 1
c) Tổng ( x 2 − 5 x − 20 ) + ( 28 − x 2 + 5 x ) = 8 không đổi nên tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng
nhau x2 − 5x − 20 = 28 − x2 + 5x  x2 − 5x − 24 = 0
 ( x + 3)( x − 8) = 0  x = −3; x = 8
 x = −3
x = 8

Vậy max D = 4.4 = 16  

4

25.14.

a) Với a, b, c  0 tìm giá trị lớn nhất của biểu thức G = 2020 −  + +  .
b c a
a



b

c



b) Với a, b, c, d  0 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H = (a + b + c + d )  + + +  + 4
a b c d
1



Hướng dẫn giải – đáp số
1
x

a) Ta đã biết x +  2, x  0. Do đó

a b
+  2 (1)
b a

1

1

1



Do vai trò của a, b, c là như nhau nên ta giả sử a  b  c  0.
b
c

b
a

c
a

Ta có a − c  0 và b(a − c)  c(a − c)  ab − bc + c 2  ac  − +  1 (2)
Từ (1) và (2)  + +  3  G = 2020 −  + +   2017
b c a
b c a
a

b

c

a

b

c





Vậy max G = 2017  a = b = c và a, b, c  0
b) H = 4 +  +  +  +  +  +  +  +  +  +  +  +  + 4  8 + 2.6 = 20
b a
c a
d a
c b
d b
d c
a

b



a

 

c

a

 

d

b

c

 

b

d

 

c

d

 



Vậy minH = 20  a = b = c = d và a, b, c, d  0
25.15. Với x, y, z  0. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
1
y

a) K = x  +
b) L =

1 
1  1
1 
1
+ y +
.
+ z +
y+z
 z z+x  x x+ y

x 2 + ( y + z )2 y 2 + ( z + x) 2 z 2 ( x + y ) 2
.
+
+
x( y + z )
y ( z + x)
z( x + y)

Hướng dẫn giải – đáp số
x

z  x

y

y

z 

+
+
a) K =  + +  + 

y z x
y+z z+x x+ y


x
y

 

y
z



z
x

Ta có + +  3 (xem bài tập 25.14) và
3
2

(xem ví dụ 8 chuyên đề 20)  K  3 + =

x
y
z
3
+
+

y+z z+x x+ y 2

9
2

Vậy min K = 4,5  x = y = z và x, y, z  0
b) Biến đổi L =
=

x
y
z
y+z z+x x+ y
+
+
+
+
+
y+z z+x x+ y
x
y
z

 x y x z  y z 3
x
y
z
+
+
+ + + + + +   +2+ 2+ 2
y+z z+x x+ y  y x  z x  z y 2

Vậy min L = 7,5  x = y = z và x, y, z  0
Dạng bài tập các biến bị ràng buộc bởi các hệ thức
25.16. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) D = a2 + b2 với a; b  0 và a + b = 4.
b) E = a2 + b2 + c2 với a, b, c  0 và a + b + c = 3.
c) F = a3 + b3 + 2ab biết a + b = 2.
Hướng dẫn giải – đáp số

5

a) a + b = 4  16 = a2 + b2 + 2ab = 2(a2 + b2 ) − (a − b)2
 16  2(a2 + b2 )  a2 + b2  8. Vậy min D = 8  a = b = 2

b) Ta có 3(a2 + b2 + c2 )  (a + b + c)2 (xem bài tập 21.1)
Do đó 3E  (a + b + c)2 = 9. Vậy min E = 3  a = b = c = 1.
c) F = a3 + b3 + 2ab = (a + b)(a2 − ab + b2 ) + 2ab
Do a + b = 2 nên F = 2(a2 − ab + b2 ) + 2ab = 2a2 + 2b2 = 2a2 + 2(2 − a)2
= 4a2 − 8a + 8 = 4(a −1)2 + 4  4, a. Vậy F = 4  a = b = 1.

25.17.
a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức G = 2ab với a + 2b = 2;
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức H = 1 − 

1
1
1 
+
+
 với a, b, c  0 và a + b + c  3.
 a +1 b +1 c +1 

Hướng dẫn giải – đáp số
a) a + 2b = 2  a = 2 − 2b  G = 2ab = 4(1 − b)b = −4(b2 − b)
2

1
1

= −4  b −  + 1  1, b. Vậy maxG = 1  b = và a = 1.
2
2


b) Đặt a + 1 = x; b + 1 = y; c + 1 = z thì x + y + z = a + b + c + 3  6 nên
1

1

1
1
 và
x+ y+z 6

1

Ta có ( x + y + z )  + +   9 (xem ví dụ 7 chuyên đề 21)
x y z






1 1 1
1 1 1
9
9 3
3
1
+ + 
 =  1−  + +   1− = −
x y z x+ y+z 6 2
2
2
x y z

max H = −

1
 x = y = z = 2  a = b = c = 1.
2

Dạng bài tập chứa dấu giá trị tuyệt đối
25.18. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
6

a) L = 5 x − 2010 + 5 x − 2020 ;
b) M = x − 2015 + x − 2016 + x − 2017 + x − 2018 ;
c) N = (19 x − 8 ) − 10 19 x − 8 + 1970.
2

Hướng dẫn giải – đáp số
a) Sử dụng bất đẳng thức a + b  a + b . Dấu “=” xảy ra  ab  0

L = 5 x − 2010 + 5 x − 2020
= 5 x − 2010 + 2020 − 5 x  5 x − 2010 + 2020 − 5 x = 10

Vậy L  10. Dấu “=” xảy ra  (2020 − 5x)(5x − 2010)  0
 402  x  404. Do đó min L = 10  402  x  404

(có thể lập bảng xét giá trị tuyệt đối để giải).
b) Đặt M 1 = x − 2015 + x − 2018 ; M 2 = x − 2016 + x − 2017
Giải tương tự a) ta có: minM1 = 3  2015  x  2018
min M 2 = 1  2016  x  2017

Vậy min M = 4  2016  x  2017
c) Đặt 19 x − 8 = y thì N = y 2 −10 y + 25 + 1945 = ( y − 5)2 + 1945  1945
Vậy min N = 1945  y = 5  19 x − 8 = 5  x =

13
3
;x = .
19
19

25.19. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) P = 8 −

6 + 2y
.
5

b) Q =

2014
1954
−
.
7 y − 5 + 60 60

c) T = x + 5 − x + 2 .
Hướng dẫn giải – đáp số
a) max P = 8  y = −3
b) y ta có: 7 y − 5  0  7 y − 5 + 60  60 


1
1

7 y − 5 + 60 60

2014
2014
2014
1954 2014 1954


−

−
=1
7 y − 5 + 60
60
7 y − 5 + 60 60
60
60

Vậy max Q = 1  y =

5
7

c) Với x  −5 thì T = − x − 5 + x + 2 = −3
Với −5  x  −2 thì T = x + 5 + x + 2 = 2x + 7
Do −5  x  −2 nên −10  2x  −4  −3  T  3
Với x  −2 thì T = x + 5 − x − 2 = 3
Vậy max T = 3  x  −2.
25.20. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
S = z − 1 + z − 2 + z − 3 + ... + z − 99 + z − 100.

Hướng dẫn giải – đáp số

7

Đặt S1 = z − 1 + z − 100 ; S2 = z − 2 + z − 99 ; S3 = z − 3 + z − 98 ;...; S50 = z − 50 + z − 51 .
Tương tự bài 24.18 a)
Ta có: minS1 = 99  1  z  100
minS2 = 97  2  z  99
minS3 = 95  3  z  98
............................................
minS49 = 3  49  z  52
minS50 = 1  50  z  51

Ta có 1 + 3 + 5 + ... + 97 + 99 = (1 + 99).50 : 2 = 2500
Vậy minS = minS1 + minS2 + minS3 + ... + minS49 + minS50 = 2500
 50  z  51

25.21. Tìm tất cả các giá trị của x để hàm số y = x 2 + x + 16 + x 2 + x − 6 đạt giá trị nhỏ nhất và
tính giá trị nhỏ nhất đó.
(Thi vào lớp 10 THPT Chu Văn An & Hà Nội Amsterdam, năm học 2000-2001)
Hướng dẫn giải – đáp số
Áp dụng bất đẳng thức a + b  a + b , dấu “=” xảy ra  ab  0
Ta có y = x 2 + x + 16 + 6 − x 2 − x  x 2 + x + 16 + 6 − x 2 − x = 22
2

1
63
Dấu “=” xảy ra  ( x + x + 16)(6 − x − x)  0  6 − x − x  0 do x + x + 16 =  x +  +  0, x
2
4

2

2

2

2

Hay là x2 + x − 6  0  ( x + 3)( x − 2)  0  −3  x  2
Vậy min y = 22  −3  x  2.
25.22. Cho biểu thức A = − x2 − y 2 + xy + 2x + 2 y
Hãy tìm cặp số ( x, y ) để biểu thức A đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị đó.
(Thi vào lớp 10 THPT Chu Văn An & Hà Nội Amsterdam, năm học 2001-2002)
Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có: 2 A = 8 − ( x 2 − 2 xy + y 2 )( x 2 − 4 x + 4) + ( y 2 − 4 y + 4) 
= 8 − ( x − y ) 2 + ( x − 2) 2 + ( y − 2) 2   8

 max A = 4  x = y = 2.

8

25.23. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

( x3 + y 3 ) − ( x 2 + y 2 )
trong đó x, y là những số thực
( x − 1)(y− 1)

lớn hơn 1.
(Thi vào lớp 10 THPT chuyên ĐHQG Hà Nội, năm 2004)
Hướng dẫn giải – đáp số

(x
P=

3

+ y3 ) − ( x2 + y 2 )
( x − 1)( y − 1)

=

x 2 ( x − 1) + y 2 ( y − 1)
x2
y2
=
+
( x − 1)( y − 1)
y −1 x −1

Đặt x − 1 = a và y − 1 = b, do x  1 và y  1 nên a  0 và b  0 đồng thời x = a + 1 và y = b + 1 . Khi

( a + 1)
ấy P =

2

b

( b + 1)
+

2

a

1
x

Áp dụng bất đẳng thức ( x + y )  4 xy và x +  2 (với x >0) ta có:
2

( a + 1)

2

 4a; ( b + 1)  4b; Nên P 
2

4a 4b
a b
+
= 4 +   8
b
a
b a

Vậy min P = 2  a = b = 1 hay x = y = 2.
25.24. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 5x2 + 9 y 2 −12 xy + 24 x − 48 y + 82
(Thi vào lớp 10 THPT chuyên Lê Hồng Phong, TP. Hồ Chí Minh, năm học 2004-2005)
Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có P = (4 x2 + 9 y 2 + 64 −12 xy + 32 x − 48 y) + (x 2 − 8x + 16) + 2 = (2 x − 3 y + 8)2 + ( x − 4)2 + 2  2
x = 4
x = 4
2 x − 3 y + 8 = 0 

Dấu “=” xảy ra  

16
16 . Vậy min P = 2  
x − 4 = 0
 y = 3
 y = 3

25.25. Cho x  0 . Tìm giá trị của x để biểu thức N =

x
đạt giá trị lớn nhất.
( x + 2010) 2

(Thi vào lớp 10 chuyên Toán THPT Lê Khiết – Quảng Ngãi, năm học 2009-2010)
Hướng dẫn giải – đáp số
9

Sử dụng bất đẳng thức (a + b)2  4ab
Ta có: ( x + 2010)2  4.2010.x  N =
Vậy max N =

x
1

2
( x + 2010)
8040

1
, đạt được khi x = 2010.
8040

25.26. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B =

3x 2 + 6 x + 10
x2 + 2x + 3

(Thi chọn học sinh năng khiếu lớp 8 huyện Lâm Thao – Phú Thọ, năm học 2009-2010)

Hướng dẫn giải – đáp số
B = 3+

1
1
7
= 3+

2
x + 2x + 3
( x + 1) + 2 2
2

 max B = 3,5  x = −1.

25.27. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + xy + y 2 − 2x − 3 y + 2010 khi các số thực x, y
thay đổi. Giá trị nhỏ nhất đó đạt được tại các giá trị nào của x và y .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Quốc học Huế, năm học 2010-2011)
Hướng dẫn giải – đáp số
Xét 4P = (4x2 + y 2 + 4 + 4xy − 8x − 4 y) + 3 y 2 − 8 y + 8036
2

8
8036 
4  24092 24092


2
= (2 x + y − 2) + 3  y 2 − y +

 = (2 x + y − 2) + 3  y −  +
3
3 
3
3
3


2

 min(4 P) =

24092
6023
4
1
 min P =
 y = ;x =
3
3
3
3

25.28. Cho số tự nhiên n có hai chữ số, chữ số hàng chục là x , chữ số hàng đơn vị là y (nghĩa
là x  0 và n = 10 x + y). Gọi M =

n
x+ y

a) Tìm n để M = 2.
b) Tìm n để M nhỏ nhất,
(Đề thi tuyển sinh lớp 10 phổ thông năng khiếu ĐHQG TP. Hồ Chí Minh, năm học 2010 –
2011)
Hướng dẫn giải – đáp số
a) M = 2 

10 x + y
= 2  10 x + y = 2 x + 2 y  y = 8 x
x+ y

Vì x, y là các chữ số nên 1  x  9; 0  y  9  x = 1; y = 8; n = 18
b) M =

y
x + y + 9x
9x
9
= 1+
= 1+
. M nhỏ nhất  lớn nhất.
y
x
x+ y
x+ y
1+
10
x

 y lớn nhất và x nhỏ nhất  y = 9; x = 1 và n = 19  MinM =

19
10

25.29.Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn 0  a  4; 0  b  4; 0  c  4; và a + b + c = 6 . Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức:
P = a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca

(Đề thi học sinh giỏi lớp 9 TP.Hà Nội, năm học 2013-2014)

Hướng dẫn giải – đáp số
Do vai trò a, b, c như nhau. Giả sử a = max a, b, c khi đó 2  a  4 . Ta có
P=

a 2 + b 2 + c 2 + (a + b + c)2 a 2 + b 2 + c 2 + 36
=
. Mặt khác vì bc  0 nên
2
2

a 2 + b 2 + c 2 = a 2 + (b + c) 2 − 2bc  a 2 + (6 − a) 2 = 2a 2 − 12a + 36
a  b; a  c; bc = 0

= 2  (a − 2)(a − 4) + 10  20  max(a 2 + b 2 + c 2 ) = 20  (a − 2)(a − 4) = 0
a + b + c = 6


 (a; b; c) = (4;2;0) hoặc (4;0;2)

Khi đó max P = 28  (a; b; c) = (4;2;0) và các hoán vị của nó.

19.21. Cha hơn con 30 tuổi. Trước đây 4 năm tuổi cha gấp 4 tuổi con.
c)

Tìm tuổi cha và tuổi con hiện nay?

d)

Cách đây (trước hoặc sau) mấy năm tuổi cha gấp 2,5 lần tuổi con?
Hướng dẫn giải – đáp số

Trong bài toán tính tuổi, khi cha thêm 1 tuổi thì con cũng thêm một tuổi nên hiệu giữa tuổi
cha và con luôn không đổi. Ta có cách giải:
a)

Gọi tuổi con hiện nay là x (tuổi; x > 0) thì tuổi cha hiện nay là x + 30.

Trước đây 4 năm tuổi con là và tuổi cha là 𝑥 + 30 − 4 = 𝑥 + 26.
Ta có phương trình: 𝑥 + 26 = 4(𝑥 − 4)
Giải phương trình được x = 14 thỏa mãn điều kiện của ẩn.
Vậy tuổi con hiện nay là 14 và tuổi cha là 44.
b)

Gọi y là tuổi con lúc tuổi cha gấp 2,5 tuổi con (y > 0), do cha luôn hơn con 30 tuổi nên
tuổi cha lúc ấy là y + 30.

11

Ta có phương trình: y + 30 = 2,5y
Giải phương trình tìm được y = 20 thỏa mãn điều kiện của ẩn.
Vậy sau đây 20 - 14 = 6 năm nữa thì tuổi cha gấp 2,5 lần tuổi con.
 Ghi chú: a) Có thể chọn ẩn gián tiếp là tuổi cha (hoặc con) khi tuổi cha gấp 4 lần tuổi
con. (bạn đọc tự giải).
b) Nếu chọn z là số năm từ nay đến khi tuổi cha gấp 2,5 lần tuổi con (z > 0 là sau đây z

năm, còn z < 0 là trước đây z năm). Ta có phương trình 2,5( 14 + z) = 44 + z ta tìm được z
=6
19.22. Một người trồng quýt, sau khi thu hoạch để lại nhà 10 quả còn lại đem ra chợ bán. Lần
1

1

6

6

thứ nhất bán 6 quả và số quả quýt còn lại. Lần thứ hai bán tiếp 12 quả và số quả quýt còn
1

lại. Lần thứ ba bán tiếp 18 quả và số quả quýt còn lại. Cứ bán như vậy đến lần cuối cùng thì
6

vừa hết số quýt và số quýt mỗi lớp trồng được là bằng nhau. Tính quýt mà người đó thu hoạch,
số quýt mồi lần bán và số lần bán.
Hướng dẫn giải – đáp số
Tương tự ví dụ 10. Đáp số: số quýt đem bán: 150 quả, số lần bán là 5 lần.
Số quýt thu hoạch: 160 quả
19.23. Một tấm tôn hình chữ nhật có chu vi bằng 114cm. Người ta cắt bỏ bốn hình vuông có
cạnh là 5cm ở bốn góc rồi gấp lên thành một hình hộp chữ nhật (không có nắp).Tính các kích
thước của tấm tôn đã cho. Biết rằng thể tích hình hộp bàng 1500cm2
(Thi học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Quảng Nam, năm học 2008 - 2009)
Hướng dẫn giải – đáp số
Nửa chu vi tấm tôn là 57cm. Gọi kích thước thứ nhất của tấm tôn là x (cm);
(10 < x < 57). Thì kích thước thứ hai là 57 − 𝑥 (cm).
Sau khi gấp thành hình hộp chữ nhật, ba kích thước của nó là
𝑥 − 10 (cm); 47 − 𝑥 (cm); 5cm.
Ta có phương trình (𝑥 − 10)(47 − 𝑥). 5 = 1500 ⇔ 𝑥 2 − 57𝑥 + 770 = 0
⇔ (𝑥 − 35)(𝑥 − 22) = 0 ⇔ 𝑥 = 35 và 𝑥 = 22. Cả hai giá trị đều thỏa mãn.
Vậy kích thước của tam tôn là 35cm và 22 cm.
19.24. Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 900m2 và chu12
vi 122m. Tìm chiều dài và chiều
rộng của khu vườn.
(Thi học sinh giỏi lớp 9 TP Đà Nẵng, năm học 2008 - 2009)
Hướng dẫn giải – đáp số
Nửa chu vi là 61m. Gọi một chiều là x (m) (0 < x < 61) thì chiều kia là 61 − 𝑥 (m). Ta có
phương trình 𝑥(61 − 𝑥) = 900 ⇔ 𝑥 2 − 61𝑥 + 900 = 0
⇔ (𝑥 − 25)(𝑥 − 36) = 0 ⇔ 𝑥 = 25hoặc x=36 . Cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Vậy chiều dài và chiều rộng của khu vườn là 36m và 25m.
19.25. Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy. Tháng thứ hai tổ I vượt mức 15%
và tổ II vượt mức 10% so với tháng thứ nhất vì vậy hai tổ đã sản xuất được 1010 chi tiết máy.
Hỏi tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?
(Đề thi vào lớp 10 trường THrT Chu Văn An và Hà Nội - Amsterdam năm học 2008-2009).
Hướng dẫn giải – đáp số
Gọi số chi tiết máy tháng thứ nhất tổ I sản xuất là x (chi tiết máy, 0 < x < 900) thì tổ II sản
xuất là 900 − 𝑥 (chi tiết máy). Ta có phương trình:
115%𝑥 + 110%(900 − 𝑥) = 1010 hay

115𝑥
100

+

110(900−𝑥)

= 1010.

100

Giải phương trình tìm được x = 400. Vậy tháng thứ nhất tổ 1 sản xuất là 400 chi tiết máy
và thì tổ II sản xuất là 500 chi tiết máy.
19.26. Một máy bay trực thăng bay từ A đến B cách nhau 960km với vận tốc 280 km/h. Khi
bay từ A đến B do bị gió cản nên thời gian bay phải nhiều hơn 1 giờ so với thời gian bay từ B
đến A (do được gió đẩy). Tìm vận tốc của gió.
(Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán trường THPT chuyên Quang Trung, Bình Phước năm học
2009 - 2010).
Hướng dẫn giải – đáp số
Gọi vận tốc của gió là x (km/h), 0 < x < 280. Thời gian bay từ A đến B là
gian bay từ B đến A là

960
280+𝑥

(h). Ta có phương trình:

960
280−𝑥

=

960
280+𝑥

960
280−𝑥

(h). Thời

+ 1 biến đổi thành𝑥 2 +

1920𝑥 − 78400 = 0.
⇔ (𝑥 − 40)(𝑥 + 1960) = 0
Nghiệm x = 40 thỏa mãn điều kiện đầu bài.
Vậy vận tốc của gió là 40km/h.

13

19.27. Hai người công nhân cùng làm một công việc trong 18 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất
làm 6 giờ và người thứ hai làm 12 giờ thì chỉ hoàn thành được 50% công việc. Hỏi nếu lảm
riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu?
(Đề thi vào lớp 10 trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, nám học 2009 - 2010)
Hướng dẫn giải – đáp số
Gọi thời gian làm một mình xong công việc của người thứ nhất là x giờ (x > 0) thì một giờ

1

người đó làm được công việc.
𝑥

1

1

Một giờ người thứ hai làm được ( − )công việc. Theo bài ra ta có phương trình:
18
𝑥
12 (

1

1

6
𝑥

+

1

− ) = ⇔ 𝑥 = 36
18
𝑥
2

Người thứ nhất làm một mình trong 36 giờ xong công việc.
Người thứ hai làm một mình trong 1: (

1

18

−

1

) = 36 (giờ) xong công việc.

36

19.28. Một nhóm công nhân đặt kế hoạch sản xuất 200 sản phẩm. Trong 4 ngày đầu họ thực
hiện đúng mức đề ra, những ngày còn lại họ đã làm vượt mức mỗi ngày 10 sản phẩm nên đã
hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày nhóm công nhân cần sản xuất
bao nhiêu sản phẩm?
(Đề thi vào lớp 10 trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, năm học 2011 - 2012)
Hướng dẫn giải – đáp số
Gọi năng suất dự kiến là x (sản phẩm/ngày) (𝑥 ∈ 𝑁 ∗).Thời gian hoàn thành theo kế hoạch
là

200
𝑥

(ngày). Bốn ngày đầu họ làm được 4x sản phẩm. Những ngày sau năng suất là (x +

10) sản phầm/ngày. số ngày hoàn thành số sản phẩm còn lại là

200−4𝑥
𝑥+10

. Theo bài ra ta có

phương trình:
200
𝑥

−2=

200−4𝑥
𝑥+10

+ 4.Biến đổi phương trinh thành 𝑥 2 + 30𝑥 − 1000 = 0 ⇔ (𝑥 − 20)(𝑥 +

50) = 0 ⇔ 𝑥 = 20 do 𝑥 ∈ 𝑁 ∗.
Vậy năng suất dự kiến là 20 sản phẩm/ngày.
19.29. Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 36 km. Khi đi từ B trở về A người đó tăng
vận tốc thêm 3km/h, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 36 phút. Tính vận tốc người đi
xe đạp khi đi từ A đến B.
14

(Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên tinh Bắc Ninh, năm học 2013 - 2014)
Hướng dẫn giải – đáp số
Gọi vận tốc người đi xe đạp khi đi từ A đến B là x (km/h), x > 0. Ta có phương trình
36
𝑥+3

=

36
60

. Biến đổi thành 𝑥 2 + 3𝑥 − 180 = 0

⇔ (𝑥 − 12)(𝑥 + 15) = 0. Nghiệm x = 12 thỏa mãn điều kiện.
Vậy vận tốc người đi xe đạp khi đi từ A đến B là 12 km/h.

36
𝑥

−

19.30. Cho quãng đường AB dài 120km. Lúc 7 giờ sáng một xe máy đi từ A đến B. Đi được

3
4

quãng đường xe bị hỏng phải dừng lại sửa mất 10 phút rồi đi tiếp đến B với vận tốc nhỏ hơn
vận tốc lúc đầu là 10km/h. Biết xe máy đến B lúc 11giờ 40 phút trưa cùng ngày. Giả sử vận
tốc xe máy trên

3
4

quãng đường ban đầu không thay đổi và vận tốc của xe máy trên

1

quãng

4

đường còn lại cũng không thay đổi. Hỏi xe máy bị hỏng lúc mấy giờ?
(Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, năm học 2014 - 2015)
Hướng dẫn giải – đáp số
Nếu C là vị trí xe máy bị hỏng thì AC = 90km; CB = 30km.
Gọi vận tốc (km/h) của xe máy khi đi từ A đến C là x, x > 10 thì vận tốc của xe máy khi đi từ
C đến B là (𝑥 − 10) (km/h). Xe máy đi quãng đường AC hết

90
𝑥

(h) và CB hết

30
𝑥−10

(h).

1

Thời gian sửa xe máy 10 phút = h. Thời gian xe đi hết quãng đường AB (kể cả sửa xe) là 4
6

14

giờ 40 phút = h. Biến đổi thành 3𝑥 2 − 110𝑥 + 600 = 0
3

⇔ (𝑥 − 30)(3𝑥 − 20) = 0. Nghiệm 𝑥 = 30 thỏa mãn điều kiện.
Thời gian đi từ A đến C là 90: 30 = 3(ℎ). Thời điểm bị hỏng xe lúc 10 giờ sáng cùng ngày.
19.31. Một xe tải đi từ A đến B với vận tốc 40km/h. Sau khi xe tải xuất phát một thời gian thì
một xe khách cũng xuất phát từ A với vận tốc 50km/h và nếu không có gì thay đổi thì sẽ duổi
kịp xe tải tại B. Nhưng sau khi đi được một nửa quãng đường AB xe khách tăng vận tốc lên
60km/h nên đến B sớm hơn xe tải 16 phút. Tính quãng đường AB.
(Đề thi tuyển vào lớp 10 chuyên ĐHSP TP Hồ Chí Minh, năm học 2015-2016)
Hướng d