CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ THỐNG KÊ
Bài 1.
Sau khi thống kê độ dài (đơn vị: centimét) của 60 lá dương xỉ trưởng thành, người ta có bảng tần
số ghép nhóm như sau:
Nhóm

Cộng

Tần số
(n)

7

16

27

10

Tìm tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm của nhóm

60

.

Bài 2.
Nam thống kê lại độ dài quãng đường (đơn vị: km) mình đi bộ mỗi ngày trong tháng 9 và biểu
diễn dưới dạng biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm sau:

Tìm nhóm có tần số tương đối ghép nhóm lớn nhất. Xác định tần số và tần số tương đối ghép
nhóm của nhóm đó.

Bài 3.
1) Sau khi điều tra về thời gian đi từ nhà đến trường của học sinh lớp 9A có 40 học sinh ta có
bảng tần số tương đối ghép nhóm sau:
Thời gian từ nhà đến trường
(phút)
Tần số tương đối

30%

Tìm tần số tương đối ghép nhóm và tần số ghép nhóm của nhóm

45%

25%

?

2) Một túi đựng 5 viên bi có cùng khối lượng và kích thước như nhau, được đánh số
Xét phép thử: “Lấy ngẫu nhiên hai viên bi từ trong túi” và biến cố A: “Tích của hai số ghi trên
hai viên bi lớn hơn 10” Tính xác xuất của biến cố A?

Bài 4.

1) Sau khi điều tra mật độ dân số ( đơn vị: người/km 2) của 37 tỉnh, thành phố thuộc các vùng Bắc
Trung Bộ và Duyên hải miền Trung, Tây Nguyên, Đông Nam Bộ, Đồng bằng sông Cửu Long
(không kể Thành phố Hồ Chí Minh) ở năm 2021, người ta có biểu đồ tần số ghép nhóm dưới
đây:

a) Tìm tần số ghép nhóm của nhóm
b) Tính tần số tương đối ghép nhóm của nhóm
2). Hình vẽ dưới đây mô tả một đĩa tròn bằng bìa cứng được chia thành
phần bằng nhau và
ghi các số
. Chiếc kim được gắn cố định vào trục quay ở tâm của đĩa.

Xét phép thử: “Quay đĩa tròn một lần” và biến cố
nguyên tố ”. Tính xác suất của biến cố .

“Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số là số

Bài 5.

1) Chiều cao (đơn vị: mét) của 35 cây bạch đàn được cho như sau: Hãy ghép các số liệu trên
thành năm nhóm ứng với năm nửa khoảng có độ dài bằng nhau.
6,6
7,2
8,0
8,0
2) Một hộp có
bi đó các số

7,5
7,5
7,7
7,6

8.2
8,3
7,8
7,9

8,2
7,4
8,3
7,3

7,8
8,7
8,6
8,5

7,9
7,7
8,1
8,4

9,0
7,0
8,1
8,0

8,9
9,4
9,5
8,8

8,2
8,7
6,9

viên bi với kích thước và khối lượng như nhau. Bạn Ngân viết lên các viên
; hai viên bi khác nhau thì viết hai số khác nhau.

Xét phép thử “Lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp”. Tính xác suất biến cố: “Số xuất hiện trên
viên bi được lấy ra chia dư ”.

Bài 6.

1). Đo chiều cao (đơn vị là cm) của học sinh lớp 9A cho kết quả như sau;
156
157 164 166 166 165 157 154 155 158 160 163 163
161
162 159 159 160 160 160 159 158 160 160 158 163
162
162 162 161 162 161 163 161 163 161 164 166 165
165
Hãy lập bảng tần số ghép nhóm với các nhóm [155; 158), [158; 161), [161; 164), [164;167).
Tính tần số tương đối của nhóm [161; 164)
2) . Trong túi có 6 quả bóng bàn kích thước và chất liệu như nhau gồm 2 quả màu đỏ, 2 quả

màu trắng, 2 quả màu xanh. Không nhìn vào túi mà lấy ra 2 quả bóng. Tính xác suất của biến cố
A lấy được ít nhất một quả bóng màu đỏ.

Bài 7.
1) Kết quả đo tốc độ của
kê dưới bảng sau

xe ô tô (đơn vị:

) khi đi qua một trạm quan sát đã được thống

a) Hãy ghép các số liệu thành bốn nhóm ứng với bốn nửa khoảng có độ dài bằng nhau.
b) Lập bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu ghép nhóm ở câu a.
2) Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên lẻ có
bình phương của một số tự nhiên”.

Bài 8.

chữ số. Xét biến cố

: “Số tự nhiên viết ra là

Tính xác suất của biến cố A.

Giáo viên ghi lại thời gian bơi cự ly 50 mét của học sinh lớp 9A cho kết quả trong bảng sau:
Thời gian (giây)
[40; 45)
[45; 50)
[50; 55)
[55; 60)
Số học sinh
3
7
10
20
1) Nêu các nhóm số liệu và tần số tương đối?
2) Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất và có 6 mặt. Tính xác suất
của biến cố gieo được mặt có số chấm là bội của 3.

Bài 9.
1) Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh lớp

thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Thời gian (phút)
Số học sinh
Tính tần số tương đối của nhóm

? (Làm tròn đến hàng phần mười)

2) Hình dưới đây mô tả một đĩa tròn, cân đối bằng bìa cứng được chia làm tám phần bằng nhau
và ghi các số
đĩa tròn một lần.

. Chiếc kim được gắn cố định vào trục quay ở tâm của đĩa. Quay

Tính xác suất của các biến cố sau: “Mũi tên chỉ vào hình quạt ghi số là ước của ”.

Bài 10.
đúng.

1) Trong bảng số liệu sau có một số liệu bị điều tra sai. Hãy tìm số liệu đó và sửa cho

Tần số
Tần số tương đối
2) Hình bên dưới mô tả một đĩa tròn bằng bìa cứng được chia làm
các số

phần bằng nhau và ghi

; chiếc kim được gắn cố định vào trục quay ở tâm của đĩa.

Xét phép thử “Quay đĩa tròn một lần”. Tính xác suất của biến cố D:
a) Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số nguyên tố.
b) Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số chia cho 3 dư 1.

Bài 11.

1) Phần thưởng trong một chương trình khuyến mãi của một cửa hàng là: ti vi, bàn ghế, tủ
lạnh, máy tính, bếp từ, bộ bát đĩa, nồi chiên không dầu, bộ chăn ga, gấu bông. Bác Hân tham gia
chương trình được chọn ngẫu nhiên một mặt hàng. Gọi là biến cố: "Bác Hân chọn được mặt
hàng là đồ điện". Hỏi là tập con nào của không gian mẫu?

2) Một đội văn nghệ có bốn bạn, trong đó có hai bạn nữ là Dung và Ánh, hai bạn nam là
Minh và Quân. Cô tổng phụ trách chọn ngẫu nhiên hai bạn để hát song ca. Xác định số kết quả
thuận lợi của biến cố : “Trong hai bạn được chọn có một bạn là Minh”

Bài 12.

1) Cân nặng của các bạn học sinh lớp 9A (đơn vị: ki-lo-gam) có kết quả như sau:
Object 52

Mẫu số liệu thống kê ở trên đã được ghép thành năm nhóm ứng với năm nửa khoảng:
,

trên.

,

,

,

. Lập bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu ghép nhóm ở

2) Một bình đựng
quả cầu được đánh số từ đến
nhau. Chọn ngẫu nhiên một quả cầu. Tính xác suất biến cố
cho ” là bao nhiêu?

có kích thước và khối lượng như
: “Chọn được quả cầu có số chia hết

Bài 13.

1) . Khối lượng (đơn vị: gam) của 30 củ khoai tây thu hoạch được ở gia đình bác Ngọc là:

a)Hãy ghép các số liệu trên thành năm nhóm sau
Tìm tần số của mỗi nhóm đó.
b) Lập bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu ghép nhóm đó.
2) Một bó hoa gồm

bông hoa màu đỏ và bông hoa màu vàng. Bạn Trúc Linh chọn ngẫu nhiên

bông hoa từ bó hoa đó.
a) Liệt kê các cách chọn mà bạn Trúc Linh thực hiện.
b) Tính xác suất của mỗi biến cố sau:

Bài 14.

: “Trong

bông hoa được chọn, có đúng bông hoa màu đỏ”;

: “Trong

bông hoa được chọn, có ít nhất bông hoa màu đỏ”.

1) Hệ thống đăng kiểm quốc gia ghi nhận 2000 xe ô tô của cùng 1 loại xe tới đăng kiểm.

Người ta thu được biểu đồ tần số ghép nhóm về số năm sử dụng tốt mà chưa phải sửa chữa lớn
của xe như dưới đây

Tìm tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm của nhóm [8; 12)
2) Bạn An là một thành viên của câu lạc bộ nhảy hiện đại khối 9 trong trường THCS. Để
chọn học sinh trong CLB đó tham gia hoạt động văn nghệ chào mừng “Ngày nhà giáo Việt Nam”
của trường, các học sinh trong CLB sử dụng hình thức bốc thăm với 20 lá thăm giống hệt nhau
lần lượt ghi các số tự nhiên từ 1 tới 20 và được để trong hộp kín. Học sinh lấy được lá thăm ghi
số chia hết cho 6 sẽ được tham gia. Bạn An là người được bốc thăm đầu tiên.
Xét phép thử “Bạn An bốc ngẫu nhiên 1 lá thăm” và biến cố B: ”Bạn An được tham gia hoạt
động văn nghệ chào mừng Ngày nhà giáo Việt Nam của trường”. Tính xác suất của biến cố B.

Bài 15.
1) Sau khi điều tra cân nặng ( đơn vị: kg) của
học sinh khối lớp 4 của một trường tiểu học,
người ta có biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dưới đây:

Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm cho dữ liệu được biểu diễn trên biểu đồ. Tìm tần số ghép
nhóm của nhóm

2) Hình vẽ bên mô tả một đĩa tròn bằng bìa cứng được
chia làm 6 phần bằng nhau và ghi các số
;
chiếc kim được gắn cố định vào trục quay ở tâm của đĩa.
Xét phép thử  “Quay đĩa tròn một lần” và biến cố A :
“Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số chia cho 2 dư 1”.
Tính xác suất của biến cố A.

Bài 16.

Tình trạng chênh lệch giữa giá vàng Việt Nam với quốc tế kéo dài sẽ khiến cho nền kinh tế nói
chung và thị trường vàng nói riêng đều phải gánh thiệt hại. Đối với nền kinh tế, chênh lệch giá
vàng quá cao gây ra tình trạng nhập lậu vàng và điều đó sẽ tác động lên tỉ giá chợ đen cũng như
gây “chảy máu” ngoại tệ. Dưới đây là biểu đồ chênh lệch giá vàng trong nước và thế giới 6 tháng
đầu năm 2022.

a) Trong bảng trên, mức chênh lệch giá vàng lớn nhất là bao nhiêu và vào lúc nào?
b) Chọn ngẫu nhiên 1 tháng trong 6 tháng đầu năm 2022. Tính xác suất các biến cố sau:
A:” Tháng được chọn có mức độ chênh lệch không quá 15 triệu”.
B:” Tháng được chọn có mức độ chênh lệch lớn hơn 16 triệu”.

Bài 17.

1) Công ty điện lực thống kê lượng điện tiêu thụ (đơn vị: kWh) cúa một số hộ gia đinh trong
một khu vực trong tháng. Dữ liệu được ghi lại như sau:
150

120

180

200

130

100

160

190

219

210

170

140

110

130

160

180

150

200

Lâp bảng tần số ghép nhóm theo các khoảng lương điện tiêu thụ sau:
;

210

190

;

;

.

2) Một hộp chứa 4 tấm thẻ cùng loại được đánh số 2 ; 3 ;5 ; 8 . Bạn Phi và bạn Thanh lần lượt
mỗi người lấy ra 1 tấm thẻ từ hộp (Biết trong mỗi đợt lấy thì bạn Phi lấy tấm thẻ trước và không
bỏ tấm thẻ lại vào hộp). Tính xác suất của biến cố sau: M : “Tích các số ghi trên 2 tấm thẻ là số
lẻ".

Bài 18.

1) Khảo sát đánh giá của khách hàng về chất lượng một loại dịch vụ mới, số liệu được biểu
diễn trong biểu đồ sau:

a) Lập bảng tần số tương đối cho mẫu số liệu.
b) Vẽ biểu đồ tần số tương đối dạng biểu đồ hình quạt tròn biểu diễn dữ liệu.
2) Một hộp có 20 thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1; 2; 3; 4; 5; … ; 20, hai
thẻ khác nhau thì ghi số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tính xác suất của biến cố
“Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số có một chữ số”.

Bài 19.

1) Bảng sau thống kê số lượt nháy chuột vào quảng cáo ở một trang web vào tháng 12/2022.
Số lượt nháy
chuột
Số người dùng
Lập bảng tần số tương đối cho mẫu số liệu trên.
2) Một hộp đựng 10 viên bi được đánh số từ 1 đến 10. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp.
Xét biến cố : "Viên bi lấy ra có số ghi trên đó là số nguyên tố". Tính xác suất của biến cố .

Bài 20.

1) Cho bảng tần số ghép nhóm sau về tuổi thọ của một số ong mật cái như sau:
Tuổi thọ (ngày)

[30; 40)

[40; 50)

[50; 60)

Tần số
14
24
22
Tìm tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm của nhóm [40; 50).
2) Trong một hộp đựng 15 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 15 và không có hai tấm thẻ nào đánh số
trùng nhau. An rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp. Tính xác suất của biến cố A: “An rút được
tấm thẻ đánh số chia hết cho 3 và không vượt quá 10”.

Bài 21.

1) Biểu đồ dưới đây biểu diễn kết quả khảo sát thành tích chạy

của một số học sinh

Tần số

Tần số của số học sinh
theo thời gian chạy

7
6
5
4
3
2
1
0

11

Có bao nhiêu học sinh chạy
nhóm

12

13

14

hết ít hơn

15

16 thời gian chạy (giây)

giây và tìm tần số tương đối ghép nhóm của

.

2) Bạn Long có tấm thẻ cùng loại được đánh số từ đến . Bạn Long rút ngẫu nhiên
tấm thẻ. Biết rằng xác suất của biến cố “Lấy được tấm thẻ ghi số có một chữ số” là
. Hỏi bạn
Long có bao nhiêu tấm thẻ?

Bài 22.

1) Cân nặng của các bạn học sinh lớp 9A (đơn vị: ki-lo-gam) có kết quả như sau:

Mẫu số liệu thống kê ở trên đã được ghép thành năm nhóm ứng với năm nửa khoảng:
,

,

,

,

. Lập bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu ghép nhóm ở

trên.
2) Một hộp đựng
tấm thẻ như nhau được đánh số từ đến . Rút ngẫu nhiên một tấm
thẻ trong hộp. Tính xác suất của biến cố : “Số ghi trên tấm thẻ là bội của ”.

Bài 23.
1) Một ngân hàng thống kê số tiền (đơn vị: triệu đồng) mà 80 hộ gia đình vay để phát triển
sản xuất. Số liệu được ghi lại trong biểu đồ tần số ghép nhóm ở Hình 1.

Hình 1
Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm của mẫu số liệu được ghép nhóm đó.
2) Một hộp có chứa ba viên bi vàng lần lượt ghi các số 1; 2; 3 và hai viên bi nâu lần lượt ghi
các số 4; 5. Các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai viên
bi trong hộp. Tính xác suất của biến cố: “Hai viên bi được lấy ra khác màu”.

Bài 24.

1) Biểu đồ tần số ghép nhóm dưới đây ghi lại tốc độ (đơn vị:
một trạm đo tốc độ.
16

12

10

Tần số (n)

10

8

8

4

ô tô khi đi qua

14

14

6

)của

6
4
2

2
0

[40;45]

[45;50]

[50;55]

[55;60]

[60;65]

[65;70]Tốc độ (km/h)

Hãy cho biết số lượng ô tô ở nhóm nào nhiều nhất, tính tần số tương đối ghép nhóm của
nhóm đó. ( làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)
2) Một hộp có
viên bi với kích thước và khối lượng như nhau. Bạn Ngân viết lên các
viên bi đó các số
; hai viên bi khác nhau thì viết hai số khác nhau.
Xét phép thử “Lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp”.
a) Viết không gian mẫu phép thử đó.
b) Tính xác suất biến cố: “Số xuất hiện trên viên bi được lấy ra chia

Bài 25.

dư ”.

1) Ban phụ huynh đặt tặng áo phông cho 40 học sinh của lớp 8A. Ban phụ huynh đo chiều

cao (đơn vị: centimét) của cả lớp để quyết định chọn các cỡ áo, kết quả cho bởi bảng tần số ghép
nhóm như sau:

Nhóm

Cộng

Tần số (n)

5

11

12

8

4

N=40

Xác định tần số ghép nhóm và tìm tần số tương đối ghép nhóm của nhóm

.

2) Hình bên mô tả một đĩa tròn bằng bìa cứng được chia làm tám phần bằng nhau và ghi
các số

. Chiếc kim được gắn cố định vào trục quay ở tâm của đĩa. Quay đĩa tròn một

lần. Tính xác suất của biến cố A: “Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số lớn hơn 3”.

Bài 26.
1) Chỉ số phát triển con người (HDI) là chỉ tiêu tổng hợp phản ánh các mặt thu nhập, sức
khỏe, giáo dục của người dân trong một quốc gia. Các nước và vùng lãnh thổ trên thế giới được
chia thành 4 nhóm theo HDI: Nhóm 1(rất cao) có HDI từ 0,8 trở lên; Nhóm 2(cao) có HDI từ 0,7
đến dưới 0,8; Nhóm 3(trung bình) có HDI từ 0,55 đến dưới 0,7; Nhóm 4(thấp) có HDI dưới 0,55.
Năm 2021, chỉ số HDI của 11 quốc gia Đông Nam Á như sau.
0,939 0,829 0,803 0,8
0,705 0,703 0,699 0,607
Dựa vào dữ liệu trên, hãy hoàn thành bảng tần số ghép nhóm sau:
Chỉ số
HDI
Tần số

0,607

0,593 0,585
Cộng

?

?

?

?

N=

2) Một hộp có chứa 5 quả bóng có cùng khối lượng và kích thước, được đánh số lần lượt từ
1 đến 5. Lấy ra ngẫu nhiên cùng một lúc 2 quả bóng từ hộp.
a) Hãy liệt kê các phần tử của không gian mẫu của phép thử.
b) Liệt kê các kết quả thuận lợi cho mỗi biến cố sau:
: “Trong 2 quả bóng lấy ra có ít nhất 1 quả bóng ghi số chẵn”.
c)Tính xác suất của biến cố : “Trong 2 quả bóng lấy ra có ít nhất 1 quả bóng ghi số chẵn”.

Bài 27.

1) Biểu đồ bên biểu diễn tỉ lệ đại biểu tham dự hội nghị theo độ tuổi. Biết rằng có 54 đại
biểu từ 25 tuổi đến 35 tuổi.

Tần số tương đối (%)

Tỉ lệ đại biểu theo độ tuổi
4000%
3500%
3000%
2500%
2000%
1500%
1000%
500%
0%

3375.00%
2875.00%

2625.00%

1125.00%

25

35

45

55

65

Độ tuổi

a) Có bao nhiêu đại biểu tham dự hội nghị?
b) Một người cho rằng có trên
số đại biểu tham dự hội nghị dưới
Nhận định đó đúng hay sai? Tại sao?
2) Hình vẽ dưới đây mô tả một đĩa tròn bằng bìa cứng được chia thành
bằng nhau và ghi các số
đĩa.

tuổi.
phần

. Chiếc kim được gắn cố định vào trục quay ở tâm của
12

1

11

2

10

3

9

4

5

8

Xét phép thử: “Quay đĩa tròn một lần” và biến cố
nguyên tố”. Tính xác suất của biến cố .

6

7

“Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số là số

Bài 28.

1) Để chuẩn bị cho tiết mục kỉ niệm 70 năm Chiến thắng Điện Biên Phủ, phường Mỹ Đình
có cử một số lượng người tham gia, được biểu diễn dưới biểu đồ tỉ lệ sau:
( Biết rằng có 54 người từ 25 tuổi đến 35 tuổi)

Tần số tương đối (%)

Tỉ lệ đại biểu theo độ tuổi
4000%
3500%
3000%
2500%
2000%
1500%
1000%
500%
0%

3375.00%
2875.00%

2625.00%

1125.00%

25

35

45

55

65

Độ tuổi

a) Có bao nhiêu người tham gia biểu diễn?
b) Một người cho rằng có trên
đúng hay sai? Tại sao?

số người biểu diễn dưới

tuổi. Nhận định đó

2) Hình vẽ dưới đây mô tả một đĩa tròn bằng bìa cứng được chia thành
bằng nhau và ghi các số
đĩa.

phần

. Chiếc kim được gắn cố định vào trục quay ở tâm của
12

1

11

2

10

3

9

4

5

8
7

Xét phép thử: “Quay đĩa tròn một lần” và biến cố
nguyên tố”. Tính xác suất của biến cố .

6

“Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số là số

Bài 29.

1) Thống kê tuổi thọ của
dưới dây:

bóng đèn điện được lắp thử (đơn vị: giờ) được cho trong bảng

a) Lập bảng tần số và tần số tương đối của mẫu số liệu trên.
b) Có người nói: “Có trên
bóng đèn có tuổi thọ từ
đến
”. Theo em nhận định
đó đúng hay sai?
2) Bình tung một đồng tiền xu có hai mặt sấp (S) và ngửa (N) liên tiếp ba lần, sau mỗi lần
tung Bình đều ghi lại mặt xuất hiện. Tính xác suất của các biến cố A: “Mặt sấp xuất hiện đúng
một lần”.

Bài 30.
1) Sau khi thống kê chiều cao của
nhóm dưới đây:

học sinh lớp 9A, cô giáo lập biểu đồ tần số ghép

20
18
16

Tần số (n)

14
12
10
8
6
4
2
0

[150;158)

[158;161)

[161;164)

[164;167)

Chiều cao (cm)

Tìm tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm của nhóm
.
2) Một hộp chứa quả bóng màu cam và một số quả bóng màu trắng. Các quả bóng có
cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp, xem màu rồi trả lại hộp.
Biết xác suất của biến cố “Lấy được quả bóng màu trắng” là
bóng màu trắng?

. Hỏi trong hộp có bao nhiêu quả

Bài 31.
1) Biểu đồ hình cột sau thống kê về sự yêu thích các môn học của học sinh khối
học sinh chọn một môn yêu thích.
Số học sinh
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0

40
35
25
20

Toán

Ngữ Văn

Tiếng
Anh

Khoa học Môn học
tự nhiên

. Biết mỗi

Lập bảng tần số và bảng tần số tương đối của dữ liệu được biểu diễn trên biểu đồ.
2) Mỗi công nhân của một đội xây dựng làm việc ở một trong năm bộ phận của đội đó là:
Lợp mái, ốp gạch bếp, lát nền, trát tường, xây tường. Biểu đồ hình quạt tròn ở dưới đây thống kê
tỷ lệ công nhân thuộc mỗi bộ phận. Chọn ngẫu nhiên một công nhân của đội. Tính xác suất của
mỗi biến cố : “Công nhân được chọn không thuộc bộ phận Lát nền hoặc Lợp mái”.
Lợp mái
20%

Xây tường
30%

Ốp gạch bếp
10%
Trát tường
15%

Lát nền
25%

Bài 32.

1) Một cuộc điều tra về thời gian một nhóm học sinh làm một bài kiểm tra trắc nghiệm cho
kết quả như sau:
Thời gian (phút)
Tần số

1

5

9

5

Cho biết có bao nhiêu học sinh tham gia điều tra và lập bảng tần số tương đối ghép nhóm cho kết
quả điều tra
2) Một toà nhà chung cư có 30 tầng, được đánh số lần lượt từ 1 đến 30. Bạn Bình vào thang
máy ở tầng 1, bấm chọn ngẫu nhiên số một tầng để đi lên. Tính xác suất của các biến cố
A: “Bình đi lên tầng có số là một số nguyên tố”.

Bài 33.

1) Một túi đựng 10 tấm thẻ bài có kích thước giống nhau và được ghi số
Hoa rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ trong hộp. Tính xác suất của các biến cố:
: “Rút được tấm thẻ có ghi số chia hết cho 2”;
2) Một bác thợ đóng giày thống kê lại độ dài bàn chân (đơn vị: cm) của 60 khách hàng ở
bảng tần số ghép nhóm như sau:
Nhóm
Tần số
a) Tìm tần số tương đối của mỗi nhóm.
b) Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm cho mẫu số liệu trên.

Cộng

c) Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm ở dạng biểu đồ cột biểu diễn mẫu số liệu trên.

Bài 34.
Sau khi thống kê độ dài (đơn vị: centimét) của
tần số ghép nhóm như sau

lá dương xỉ trưởng thành, người ta có bảng

Nhóm
Tần số

Cộng

a) Tìm tần số tương đối của mỗi nhóm.
b) Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm của mẫu số liệu ghép nhóm đó.
c) Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm ở dạng biểu đồ cột và biểu đồ đoạn thẳng của mẫu số
liệu ghép nhóm đó.

Bài 35.

1) Bảng thống kê sau cho biết số lượng các thiên tai xảy ra tại Việt Nam giai đoạn 19902021.
Loại thiên tai

Hạn hán

Bệnh dịch

Lũ lụt

Sạt lở đất

Bão

Số lượng

6

9

71

6

94

(Theo Vietnam.opendevelopmentmekong.net)
Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng biểu điễn số liệu đã cho.
2) Có năm đoạn thẳng có độ dài lần lượt là
trong năm đoạn thẳng trên. Tính xác suất của biến cố
cạnh của một tam giác”

. Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng
: “Ba đoạn thẳng được lấy ra lập thành ba

Bài 36.
1) Kết quả đo chiều cao của

cây keo

năm tuổi tại một nông trường được cho ở bảng

sau:
Tổng

Chiều cao ( )
Số cây

a) Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm.
b) Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột cho bảng thống kê thu được ở câu a.
2) Một hộp có
thể cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số
,
hai thẻ khác nhau thì ghi số khác nhau .Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tính xác suất của mỗi
biến cố sau:
a) Biến cố A: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số có chữ số tận cùng là
b) Biến cố B: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số nguyên tố”.

”.

Biến cố C: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số có hai chữ số với tích các chữ số bằng

Bài 37.

1) Biểu đồ bên biểu diễn tỉ lệ đại biểu tham dự hội nghị theo độ tuổi. Biết rằng có

”.
đại

biểu
từ

đến

tuổi.

Có bao nhiêu đại biểu tham dự hội nghị? Lập bảng tần số ghép nhóm tương ứng.
2) Xét phép thử quay bánh xe và quan sát xem khi nó dừng thì mũi kim (được gắn cố định)
chỉ vào ô số mấy. Tính xác suất của các biến cố A: “Kim chỉ vào ô có số là bội của 3”.

Bài 38.
1) Biểu đồ bên biểu diễn tỉ lệ đại biểu tham dự hội nghị theo độ tuổi. Biết rằng có
biểu
từ

đến

tuổi.

đại

Có bao nhiêu đại biểu tham dự hội nghị? Lập bảng tần số ghép nhóm tương ứng.
2) Xét phép thử quay bánh xe và quan sát xem khi nó dừng thì mũi kim (được gắn cố định)
chỉ vào ô số mấy. Tính xác suất của các biến cố A: “Kim chỉ vào ô có số là bội của 3”.

Bài 39.

1) Cho biểu đồ tần số tương đối biểu thị tuổi thọ của bóng đèn tính theo đơn vị nghìn giờ.

Tuổi thọ bóng đèn
60%

56%

Tần số tương đối

50%
40%
30%
18%

20%

21%

10%
0%

5%
1

1,25

1,5

1,75

2

Tuổi thọ (nghìn giờ)
Em hãy cho biết: Tần số
2) Một túi đựng
ngẫu nhiên lần lượt

là tần số tương đối của nhóm ghép dữ liệu nào?

viên bi có cùng khối lượng và kích thước, được đánh số

. Lấy

viên bi từ túi đó, viên bi lấy ra lần đầu không trả lại vào túi. Mô tả không

gian mẫu của phép thử và tính xác suất để lấy được

viên bi mà tổng hai số trên hai viên bi đó là

số lẻ.

Bài 40.
1) Một cửa hàng sách thống kê số tiền (đơn vị: nghìn đồng) mà

khách hàng mua sách ở

cửa hàng đó trong một ngày. Số liệu được ghi lại trong biểu đồ tần số ghép nhóm dưới đây.

Tìm tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm của nhóm

2) Một hộp có

tấm thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số

; hai thẻ

khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Xét phép thử “Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp” và biến cố
: “Thẻ được rút ra ghi số chia hết cho ”. Tính xác suất của biến cố

?

Bài 41.

Tỉ lệ học sinh bình chọn cho danh hiệu cầu thủ xuất sắc nhất trong giải bóng đá của trường được
cho trong bảng sau:
Cầu thủ

Tuấn

Trường

An

Linh

Tỉ lệ học sinh bình chọn
Biết rằng có

học sinh tham gia bình chọn.

1) Hãy lập bảng tần số học sinh bình chọn cho danh hiệu cầu thủ xuất sắc nhất trong giải bóng đá
của trường.
2) Hãy tính xác suất cầu thủ được chọn cho danh hiệu cầu thủ xuất sắc nhất trong giải bóng đá
của trường có tên bắt đầu bởi chữ cái “ ”.

Bài 42.
1) Biểu đồ cột kép ở Hình

biểu diễn số lượng học sinh tham gia giải thi đấu thể thao của

một trường trung học cơ sơ.

Chọn ngẫu nhiên một học sinh tham gia giải thi đấu thể thao của trường đó. Tính xác
suất của mỗi biến cố sau:
A: “Học sinh được chọn là nam”;
B: “Học sinh được chọn thuộc khối ”;
C: “Học sinh được là nữ và không thuộc khối ”.
2) Một hộp đựng tấm thẻ ghi các số ; ; ; ; . Rút ngẫu nhiên lần lượt hai tấm thẻ từ
hộp, tấm thẻ rút ra lần đầu không trả lại vào hộp.

a) Phép thử và kết quả của phép thử là gì?
b) Mô tả không gian mẫu của phép thử. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?

Bài 43.

1) Biểu đồ bên dưới thống kê thời gian công tác (theo năm) của các y tá ở một phòng khám

tư nhân ở Hà Nội.

a) Các y tá của phòng khám có thời gian công tác nhận những giá trị nào? Tìm tần số mỗi giá trị
đó.
b) Phòng khám có tổng bao nhiêu y tá?
c) Có bao nhiêu y tá đã công tác ở phòng khám ít nhất 3 năm?
2) Nhóm học sinh tình nguyện khối 9 của một trường trung học cơ sở có 6 bạn, trong đó có
3 bạn nam là: Trung (lớp 9A); Quý (lớp 9A); Việt (lớp 9C); và 3 bạn nữ là: An (lớp 9A); Châu
(lớp 9B); Hương (lớp 9D). Chọn ngẫu nhiên một bạn trong nhóm đó để tham gia hoạt động tình
nguyện bên trường
a) Liệt kê tất cả các kết quả có thể xảy ra trong phép thử trên. Có tất cả bao nhiêu kết quả có thể
xảy ra.
b) Tính xác suất của mỗi biến cố sau:
A: “Bạn được chọn là bạn nữ”;
B: “Bạn được chọn thuộc lớp 9A”.

Bài 44.
1) Tại một trại hè thanh thiếu niên quốc tế, người ta tìm hiểu xem mỗi đại biểu tham dự có
thể sử dụng được bao nhiêu ngoại ngữ. Kết quả được như bảng sau:
Số ngoại ngữ
Số đại biểu
a) Hãy lập bảng tần số tương đối ở bảng trên.

b) Hãy tính tỉ lệ phần trăm đại biểu sử dụng được ít nhất 2 ngoại ngữ.
c) Tại trại hè thanh thiếu niên quốc tế tổ chức năm trước đó, có
trong tổng số
đại biểu
tham dự có thể sử dụng được từ ngoại ngữ trở lên. Có ý kiến cho rằng “ Tỉ lệ đại biểu sử dụng
được ngoại ngữ trở lên có tăng giữa hai năm đó”. Ý kiến đó đúng hay sai? Giải thích.
2) Một hộp có
viên bi với kích thước và khối lượng như nhau. Bạn Ngân viết lên các
viên bi đó các số
; hai viên bi khác nhau thì viết hai số khác nhau. Xét phép thử “Lấy
ngẫu nhiên một viên bi trong hộp”.
a) Liệt kê các kết quả có thể xảy ra đối với số xuất hiện trên viên bi được lấy ra.
b) Viết không gian mẫu phép thử đó.
c) Tính xác suất biến cố: “Số xuất hiện trên viên bi được lấy ra chia

Bài 45.

dư ”.

1) Thời gian đi từ nhà đến trường (đơn vị: phút) của các bạn học sinh lớp 9C được ghi lại ở

bảng sau:

Hãy chia số liệu thành

nhóm, với nhóm thứ nhất là khoảng từ

phút đến dưới

phút và lập

bảng tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm.
2) Một túi đựng
ngẫu nhiên lần lượt

viên bi có cùng khối lượng và kích thước, được đánh số

. Lấy

viên bi từ túi đó, viên bi lấy ra lần đầu không trả lại vào túi. Mô tả không

gian mẫu của phép thử và tính xác suất để lấy được

viên bi mà tổng hai số trên hai viên bi đó là

số lẻ.

Bài 46.
1) Sau khi điều tra về số học sinh trong
tần số ghép nhóm như ở bảng sau:
Nhóm

lớp học (đơn vị: học sinh), người ta có bảng
Tần số (n)

Cộng
a) Tìm tần số tương đối của mỗi nhóm đó.
b) Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm của mẫu số liệu ghép nhóm đó

2) Một hộp có
chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số
thẻ khác nhau thì ghi số khác nhau.

; hai

Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tính xác suất các biến cố sau:
a) “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số nhỏ hơn

”.

b) “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số lớn hơn

và nhỏ hơn

Bài 47.

”.

Một cửa hàng tạp hóa thống kê số tiền lãi (đơn vị: nghìn đồng) trong
lại trong biểu đồ tần số ghép nhóm sau:

ngày. Số liệu được ghi

Tần số (𝑛)
25
20

20
15

15

12

10
5

5
0

500

8

1000

1500

2000

2500

3000 Số tiền (nghìn đồng)

1) Tính tần số tương đối của mỗi nhóm?
2) Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm cho bảng thống kê trên.

Bài 48.

1) Cho bảng tần số tương đối ghép nhóm sau về tuổi thọ của một loại điện thoại.
Bảng tần số về tuổi thọ của một loại điện thoại
35%

Tần số tương đối

30%
25%
20%
15%
10%
5%
0%

[2;2,5)

[2,5;3)

[3;3,5)

[3,5;4)

[4;4,5)

Tuổi thọ (năm)

Tìm giá trị đại diện cho nhóm
.

và cho biết tần số tương đối của chúng của nhóm

2) Bạn Bình gieo một đồng xu cân đối và bạn Cường rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ trong hộp
chứa

tấm thẻ ghi các số

. Tính xác suất của biến cố

“Rút được tấm thẻ ghi số

hoặc đồng xu xuất hiện mặt

sau:

”.

Bài 49.

Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai chữ số.
a) Viết tập hợp

tất cả các kết quả có thể xảy ra đối với số tự nhiên được viết ra .

b) Xác định kết quả thuận lợi cho biến cố
c) Xác định kết quả thuận lợi cho biến cố

Bài 50.

“Số tự nhiên được viết ra chia hết cho
: “Số tự nhiên được viết ra chia cho

1) Một siêu thị thống kê hóa đơn mua hàng (đơn vị: nghìn đồng) của
tiên trong ngày. Số liệu được ghi lại trong biểu đồ tần số ghép nhóm sau:
Tần số (𝑛)
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0

”.

dư

”.

khách hàng đầu

40

38

30

27
15

150

300

450

600

750

900
Số tiền (nghìn đồng)

Tính tần số tương đối của nhóm có tần số lớn nhất (làm tròn đến số thập phân thứ nhất).
2) Cho tập hợp
có

. Từ các chữ số của tập hợp

viết ngẫu nhiên một số tự nhiên

chữ số. Tính xác suất để số được viết có hai chữ số khác nhau.
HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1.
Tần số ghép nhóm

là 27

Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm

là:

Bài 2.
Nhóm có tần số tương đối ghép nhóm lớn nhất là
và tần số

.

có tần số tương đối

Bài 3.
1) Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm

là 45%

Tần số ghép nhóm của nhóm
là
2) Không gian mẫu của phép thử là:

.

Không gian mẫu có 11 phần tử.
Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố A là
Vậy

.

.

Bài 4.
1) a) Tần số ghép nhóm của nhóm
là 6.
------------------------------b) Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm
2) Ta có: không gian mẫu của phép thử là:
Nên số kết quả có thể xảy ra là
Có 5 kết quả thuận lợi cho biến cố

là

.

.
là: 2; 3; 5; 7; 11.

Nên
Vậy xác suất của biến cố

Bài 5.

là:

1) Các số liệu trên được ghép thành năm nhóm ứng với năm nửa khoảng có độ dài bằng nhau là:
[6,6; 7,2), [7,2; 7,8), [7,8; 8,4), [8,4; 9), [9; 9,6).
2) Không gian mẫu của phép thử là:
 

 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}.

Có 3 kết quả thuận lợi là: 1, 8, 15
Vậy

 .

Bài 6.
1) Bảng tần số ghép nhóm
Chiều cao (cm)
[155; 158)

[158; 161)

[161; 164)

[164;167)

Số HS

5

12

Tần số tương đối của nhóm [161; 164) là :

15

8

15
. 100% = 37,5%
40

2) Kí hiệu các quả bóng đỏ trắng xanh là Đ1, Đ2, X1, X2, T1, T2
Không gian mẫu:
Ω = { Đ1Đ2, X1X2, T1T2, Đ1X1, Đ1X2, Đ2X1, Đ2X2, Đ1T1, Đ1T2, Đ2T1, Đ2T2, X1T1, X1T2, X2T1, X2T2}
Có 9 kết quả thuận lợi cho biến cố A là :
Đ1Đ2, Đ1X1, Đ1X2, Đ2X1, Đ2X2, Đ1T1, Đ1T2, Đ2T1, Đ2T2
P(A) =

9 3
=
15 5

Bài 7.
1) a) Trong mẫu số liệu trên, số liệu có giá trị nhỏ nhất là
thế, ta có thể chọn nửa khoảng
thuộc nửa khoảng

, số liệu có giá trị lớn nhất là

. Vì

sao cho giá trị của mỗi số liệu trong mẫu số liệu đều

. Vì độ dài của nửa khoảng

bằng

phân chia nửa khoảng đó thành bốn nửa khoảng có độ dài bằng nhau là:

nên ta có thể
,

,

.
Vậy ta có thể ghép mẫu số liệu đã cho theo bốn nhóm ứng với bốn nửa khoảng đó.
b) Tốc độ của xe đi từ

đến dưới

là

xe;

Tốc độ của xe đi từ

đến dưới

là

xe;

Tốc độ của xe đi từ

đến dưới

là

xe;

Tốc độ của xe đi từ

đến dưới

là

xe.

Do đó ta có bảng tần số ghép nhóm
Tốc độ
Tần số
2)
- Không gian mẫu của phép thử “Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên lẻ có 2 chữ số” là:

- Số phần tử của tập hợp

là:

(phần tử)

- Các kết quả thuận lợi của biến cố
. Biến cố này gồm
- Xác suất của biến cố A là:

: “Số tự nhiên viết ra là bình phương của số tự nhiên” là:

phần tử.

Bài 8.
1)
Nhóm số liệu
Nhóm [40; 45)

Tần số

Nhóm [40; 45)
Nhóm [40; 45)
Nhóm [55; 60)
2) Các kết quả có thể xảy ra khi gieo con xúc xắc là: 1; 2; 3; 4; 5; 6.
Có 2 kết quả có th...