ĐỀ THI KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC 2025 - 2026 - Môn: Toán
(Thời gian: 150 phút - không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2.0 điểm) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức:

Câu 2 (2.0 điểm) Cho

và

. Tính

Câu 3 (2.0 điểm). Tìm x biết:
Câu 4 (2.0 điểm). Gieo ngẫu nhiên một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần.
Tính xác suất của các biến cố sau:
a) A: “Mặt sấp xuất hiện hai lần”
b) B: “Mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần”
Câu 5 (2.0 điểm). Tìm x,y,z là số nguyên dương thỏa mãn:
Câu 6 (2.0 điểm). Cho ba số tự nhiên
. Biết
, chứng tỏ rằng
.
Câu 7 (6,0 điểm) Cho tam giác
có (
)
là đường trung tuyến.
Trên
lần lượt lấy các điểm
sao cho
. Gọi là giao điểm của
với
. Kẻ
//
( thuộc
) và
//
( thuộc
). Gọi
lần lượt là giao điểm của
với
. Đường thẳng qua
song song với
cắt
lần lượt tại
.
1. Tứ giác

là hình gì? Vì sao?

2. Chứng minh rằng

.

3. Chứng minh rằng

;

Câu 8 (2,0 điểm ) Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện:

và

. Tìm giá trị lớn nhất của biều thức: Q = x2 + xy + y2
………...HẾT………..

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Ngày khảo sát: 16/03/2026

Câu

Nội dung

Câu 1
( 2.0 đ)

ĐKXĐ:

0,5đ

- Rút gọn được:
Câu 2
(2.0 đ)

Điểm

1.5 đ

.

;

0,5đ
0,5đ

0,5đ
0,5đ

Suy ra:

Câu 3
(2.0 đ)

1)
1,0đ

Đặt: t = x + 10x + 16
Suy ra:
t(t + 8) +16 = 0
2

- Với t = - 4 , suy ra: : -4 = x + 10x + 16 => x=.......
2

Câu 4
(2.0 đ)

Kí hiệu: Khi gieo đồng xu được mặt sấp là: S; được mặt ngửa là: N
Vì đồng xu là đồng chất, cân đối và việc gieo là ngẫu nhiên nên ta
có bốn biến cố đồng khả năng là:
SS, SN, NS, NN
Từ kết quả trên ta thấy:
Biến cố A xuất hiện 1 lần nên
Biến cố B xuất hiện 3 lần nên

Câu 5
(2.0 đ)

1)
Mà 25 = 25 + 0 = 9 +16 và (2x+1)2 là số lẻ nên:

0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,75đ
0,5đ
0,5đ

0,5đ

+)

0,5đ

+)
Câu 6
(2.0 đ)

1đ

* Xét
a5 – a = a(a -1)(a+1)(a2 + 1)
= a(a -1)(a+1)(a2 – 4 + 5)
= a(a – 1)(a + 1)(a - 2)(a + 2) + a(a – 1)(a + 1).5
Ta có:
+ a(a – 1)(a + 1)(a - 2)(a + 2) chia hết cho 30 (Tích của 5 số tự
nhiên liên tiếp)
+ a(a – 1)(a + 1) chia hết cho 6 (Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp.
Mà 5 và 6 nguyên tố cùng nhau nên a(a – 1)(a + 1).5 chia hết cho
5.6 = 30
Vậy a5 – a chia hết cho 30.
Chứng minh tương tự ta có: b5 – b và c5 – c chia hết cho 30.
Xét
(a5 + b5 + c5) – (a + b + c) = (a 5 – a) + (b5 – b) + (c5 – c) chia hết
cho 30.
Vậy nếu a + b + c chia hết cho 30 thì a5 + b5 + c5 chia hết cho 30.

Câu 7
(6.0 đ)

0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

0,75đ

G
N

M

A

P

Q
E

F
I
H

B

a) Xét

D
K

T

C

và
có:
(hai góc so le trong)
BD = CD (AD là trung tuyến của
)
( Hai góc đối đỉnh)
=>
(g. c. g)
=>
(Hai cạnh tương ứng)
Mà BH // CK (Cùng song song với EF)
=> Tứ giác BHCK là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết)

2đ

b) Trong tam giác
có

có

(2).

Do vậy ta có

.

Mà

nên suy ra

c)

.

nên áp dụng hệ quả của định lí Thalès ta có
và

2đ

.

Do đó ta có

.

Mà ta có

nên suy ra

Theo bài ra ta có:

.

và
(1)
và
(2)
|A|+|B| dấu “=” xảy ra khi A, B cùng dấu

Áp dụng BĐT |A+B|
vào (1) và (2) ta được:
|5x| =|6x-3y +3y –x|
+
10
|x| 2
|5y| = =|2x-y +6y –2x|
+
2 |y| 1
Q = 2x2 +3xy +4 y2 2x2 +3|xy| +4 y2 2.2+3.2.1+4.1=14
Dấu “=” xảy ra khi |x| = 2; |y| = 1 và x, y cùng dấu.
suy ra

2đ

(1)

Tương tự ta có

Câu 8
( 2,0 đ)

. Áp dụng định lí Thalès đảo ta

hoặc

Vậy GTLN của Q = 14

hoặc

0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.5đ
0.25đ