PHÒNG VĂN HÓA XÃ

ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC: 2025-2026
MÔN THI: TOÁN – LỚP 8
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi có 9 câu, gồm 01 trang)

Câu 1 (2, 0 điểm). Rút gọn biểu thức:
(với

;

;

)

Câu 2 (2.0 điểm). Cho a + b + c = 0, a2 + b2 + c2 = 14. Tính giá trị của biểu thức
4

4

4

B=a +b +c
Câu 3 (2.0 điểm). Tìm x biết:
Câu 4 (2.0 điểm). Một hộp có
thẻ cùng loại , mỗi thẻ được ghi một trong các số
; hai thẻ khác nhau thì ghi số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong
hộp. Tính xác suất của mỗi biến cố sau :
1. “ Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 5”.
2. “ Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số có hai chữ số và tổng các chữ số bằng 5”.
Câu 5 (2.0 điểm). Tìm các cặp số nguyên  x; y  thoả mãn 2 x 2  2 x  2 xy  y  3 0.

Câu 6 (2.0 điểm). Cho ba số tự nhiên
. Biết
, chứng tỏ rằng
.
Câu 7 (4,0 điểm) Cho hình thang
. Từ
kẻ đường thẳng
song song với
cắt
lần lượt tại
và . Từ kẻ đường thẳng song song
với
cắt
lần lượt tại và
1. Chứng minh:
2. Qua kẻ đường thẳng song song với
cắt
tại . Chứng minh ba điểm
thẳng hàng.
Câu 8 (2,0 điểm) Cho tứ giác
có là giao điểm của hai đường chéo
và
. Cho diện tích tam giác
bằng
, diện tích tam giác
bằng
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tứ giác
.
Câu 9 (2,0 điểm ) Cho một lưới ô vuông có kích thước
ô. Người ta điền vào
mỗi ô của lưới một trong các số
. Xét tổng các số theo từng cột, theo từng
hàng và theo từng hàng chéo. Chứng minh rằng trong tất cả các tổng đó luôn tồn tại
hai tổng có giá trị bằng nhau.
Câu
Câu 1
( 2.0 đ)

Rút gọn biểu thức:

………...HẾT………
Nội dung
(với

Điểm
;

;

)
0,5đ

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
Vậy:

(với

;

;

)

0,25đ

Câu 2 Cho a + b + c = 0, a2 + b2 + c2 = 14. Tính giá trị của biểu thức
(2.0 đ)
4
4
4
B=a +b +c
2

2

2

2 2

Ta có: 14 = (a + b + c )
4

4

4

2 2

2 2

2 2

 196 = a + b + c + 2a b + 2b c + 2 c a
4

4

4

2 2

2 2

0,75đ

2 2

 a + b + c = 196 – 2(a b + b c + c a )
2
Ta lại có: a + b + c = 0  (a + b + c) = 0
2

2

2

 a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca = 0

0,5đ

 ab + bc + ca = -7
2

 (ab + bc + ca) = 49
2 2

2 2

2 2

2

2

2

 a b + b c + c a +2ab c + 2bc a + 2 ca b = 49
2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

0,5đ

 a b + b c + c a + 2abc(b + c + a) =49

0,25đ

 a b + b c + c a = 49
4

4

4

 B = a + b + c = 196 – 2.49 = 98

Tìm x biết:
(Điều kiện:
Câu 3 - Đặt:
(2.0 đ) - Ta có phương trình ẩn t là:
- Tìm được:
(loại) và
- Với
, suy ra:

)

Câu 4 Một hộp có
thẻ cùng loại , mỗi thẻ được ghi một trong các số
(2.0 đ)
; hai thẻ khác nhau thì ghi số khác nhau. Rút ngẫu
nhiên một thẻ trong hộp. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

1. “ Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 5”.
2. “ Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số có hai chữ số và tổng
các chữ số bằng 5”
1. Có 5 kết quả thuận lợi cho biến cố “ Số xuất hiện trên thẻ được
rút ra là số chia hết cho 5” là 5; 10; 15; 20; 25.

0,5đ

.

0,5đ

2. Có 2 kết quả thuận lợi cho biến cố “ Số xuất hiện trên thẻ được
rút ra là số có hai chữ số và tổng các chữ số bằng 5” là 14; 23.

0,5đ

- Xác suất của biến cố đó là

0,5đ

Xác suất của biến cố đó là

.

Câu 5 Tìm các cặp số nguyên  x; y  thoả mãn 2 x 2  2 x  2 xy  y  3 0.
(2.0 đ)
Ta có  2 x 2  2 x  2 xy  y  3 0  4 x 2  4 x  4 xy  2 y 6

 2 x  1  2 y 2 x  1 7  2 x  12 x  2 y  1 7

0,25đ

2

2 x  2 y  1 1 2 x  2 y  1 7
 
 
2 x  1 7
2 x  1 1
2 x  2 y  1 1  x 3


2
x

1

7

 y 3.

 x, y  .

0,5đ
0,25đ
0,5đ

2 x  2 y  1 7
 x 0


2 x  1 1
 y  3.
Vậy có hai cặp số  x; y  thoả mãn: 3;3 và 0;  3.

0,5đ

Câu 6 * Xét
(2.0 đ) x5 – x = x(x -1)(x+1)(x2 + 1)
= x(x -1)(x + 1)(x2 – 4 + 5)
= x(x – 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2) + x(x – 1)(x + 1).5
0,5đ
Ta có: x(x – 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2) chia hết cho 30 (Tích của 5 số tự 0,5đ
nhiên liên tiếp)
+ x(x – 1)(x + 1) chia hết cho 6 (Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp. Mà 0,25đ
5 và 6 nguyên tố cùng nhau nên x(x – 1)(x + 1).5 chia hết cho 30.
Chứng minh tương tự ta có: y5 – y và z5 – z chia hết cho 30.
0,25đ
Xét
(x5 + y5 + z5) – (x + y + z) = (x5 – x) + (y5 – y) + (z5 – z) chia hết cho
30. Mà x + y + z chia hết cho 30, nên x5 + y5 + z5 chia hết cho 30.
0,5đ
Câu 7
D
C
(4.0 đ)
M

A

P

I

F

K

B

a)
- Tứ giác
là hình bình hành , suy ra:
- Tứ giác
là hình bình hành , suy ra:
- Từ (1) và (2) suy ra:
- Suy ra:
(đpcm)

(1)
(2)

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

b)
- Vì

nên:

(3)

0,25đ

- Vì

nên:

(4)

0,25đ

;

(5)

- Mà:

- Từ (3), (4), (5) suy ra:

(a)

- Ta có:
- Vì

0,25đ

(6)
nên:

0,25đ

(7)

- Từ (6) và (7) suy ra:

(b)

- Từ (a) và (b) suy ra ba điểm M, I, P thẳng hàng.
Câu 8
( 2,0 đ)

0,25đ

0,25đ
0,5đ

B

A

O

D

H

C

- Vẽ
- Ta có:
- Tương tự:
- Suy ra:

0,5đ
0,25đ
0,25đ

- Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

0,25đ

- Ta có:
Dấu "=" xảy ra khi:

0,5đ

Vậy GTNN của diện tích tứ giác ABCD là 25cm2
0,25đ
Câu 9 Lưới ô vuông kích thức
ô có 5 hàng ngang, 5 cột dọc và hai 0,5đ
( 2,0 đ) đường chéo (theo các ô), nên có 12 tổng.
Do các số được điền vào ô là một trong các số -1; 0; 1 nên giá trị 0,5đ
mỗi tổng thuộc tập hợp
.
Như vậy, có 12 tổng là các số nguyên, nhưng nhận nhiều nhất 11 giá
1đ
trị khác nhau, nên có ít nhất hai tổng nhận cùng một giá trị (đpcm)