Ôn tập: THI TUYỂN VÀO LỚP 10
Chương I: TÍNH CHẤT VÀ PHÉP TOÁN VỀ CĂN THỨC BẬC HAI.
A-Tóm tắt : LÝ THUYẾT
2
1) Định nghĩa : Căn bậc hai của số thực a là số x, sao cho x = a
Ta viết
Điều kiện :

có nghĩa

A

0












B- Bài tập :
Bài 1: Tính a)

; b)

c)

; d)
Giải :

a)

= 10. 0,2 +

b)

=

c)

=

d)
Bài 2: Thực hiện phép tính.
a) (2
)(2 +
c) ( 2
3
+

.15 = 2 + 3 – 6 =

(1
= 2(3

)
):
Giải :

.9

) + 2(3 +
; b) (1 +

1

) + (2
)=6 2
)(1 +

)=1
+ 6+2
+

)

= 12

a)(2
b)(1 +
c) ( 2

)(2 +
)(1 +
3
+

) = (2 )2 ( )2 = 12 5 = 7
+
) = (1 +
)2 ( )2 = 1 + 2
+ 2 5 = 2(
): =2
3
+
=6 6+4=4

Bài 3:
a) Chứng minh rằng :
b) Chứng minh đẳng thức
c) Tính giá trị của :
d) Tính giá trị của:
Giải :

Vậy :

b) Ta có :

=
Vậy :
c) Vì A > 0, nên ta xét A2

=
=8+
=

=

Điều phải chứng minh.

1)

Do đó : A2 =

=> A =

d) Tính giá trị của:
Đặt

vì M > 0

M2 = 2

M=

, nên M =

Do đó: A =

Bài tập: ( Về nhà )

=
A=1

1) Chứng minh rằng với mọi a

+1

R thì

. Áp dụng: Tính

2) Tính giá trị của biểu thức :
3)Chứng minh đẳng thức:
1)

Lược giải:
a R , ta có : | a | 0.
Nếu : a 0 thì | a | = a
( | a | ) 2 = a2
Nếu : a < 0 Thì | a | = a
( | a | ) 2 = a2
2
2
2
Do đó : ( | a | ) = ( | a | ) = a với a R
Vậy: | a | Chính là căn bậc hai số học của a2 , tức là

Áp dụng: Tính

=2

2) Tính giá trị của biểu thức:
Tính
Tương tự ta có:
Thay vào biểu thức trên rồi thực hiện phép tính, ta được kết quả bằng
3) Cách 1:
Đặt A =
Bình phương hai vế, ta được : A2 =
Vậy:
Cách 2:
Biến đổi
Và:
Do đó: A = 2.

A2 = 4

A=2

Chương II:
HÀM SỐ BẬC NHẤT
A. Tóm tắt: LÝ THUYẾT
1) Khái niệm hàm số :
a) Định nghĩa: Đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x thay đổi sao cho mỗi giá trị của x ta
luôn luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x được
gọi là biến số.
Khi y là hàm số của x, ta có thể viết y = f(x)
- Đồ thị của h/số y = f(x) là tập hợp các điểm biểu diễn các cặp số (x;y) trên mặt phẳng tọa độ
b) Tính chất biến thiên của hàm số:
Với
,
bất kỳ trong khoảng (a ; b) và
<
, ta có:
 Hàm số y = f(x) đồng biến trong khoảng (a ; b) khi và chỉ khi f(

) < f(

)

 Hàm số y = f(x) nghịch biến trong khoảng (a ; b) khi và chỉ khi f( ) > f( )
2) Hàm số bậc nhất.
a) Hàm số bậc nhất là hàm số cho bỡi công thức y = ax + b, trong đó a,b R và a 0
b) Hàm số y = ax + b xác định với mọi x R
 Hàm số y = ax + b đồng biến khi a > 0 , và nghịch biến khi a < 0
3) Đồ thị hàm số y = ax + b với a
0 là đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
và song song với đường thẳng y = ax nếu b
0, trùng với đường thẳng y = ax nếu b = 0.
 Đồ thị hàm số y = ax + b (a
0) còn gọi là đường thẳng y = ax + b có tung độ gốc là b
 Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b với a
0 và b 0.
Cách 1: Xác định giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ:
- Cho x = 0
y = b , ta có điểm A( 0; b )
- Cho y = 0

x=

, ta có điểm B(

;0)

Đồ thị là đường thẳng đi qua hai điểm A , B. Hay là đường thẳng AB
Cách 2: Xác định hai điểm bất kỳ của đồ thị
- Cho x = 1 y = a + b , ta có điểm M( 1; a + b)
- Cho x = 1
y = a + b, ta có điểm N( 1; a +b)
Đồ thị là đường thẳng đi qua hai điểm M , N. Hay là đường thẳng MN.
4) Hệ số góc của đường thẳng,đường thẳng song song, đường thẳng cắt nhau.
a) Hai đ/thẳng y = ax + b (a
0) và y = a'x + b' (a'
0) là song song với nhau khi và chỉ
khi a = a'; b b', và trùng nhau khi và chỉ khi a = a'và b = b'
b) Hai đ/thẳng y = ax + b (a
0) và y = a'x + b' (a' 0) là cắt nhau khi và chỉ khi a = a'
y
c) Đường thẳng y = ax + b (a
0), có hệ số góc là a ( hình vẽ )
 a>0
00 <  < 900
 A<0
900 <  < 1800

Các đường thẳng có cùng hệ số góc a thì
x
O
A
tạo với ox các góc bằng nhau.
y
Bổ sung:
a<0
Nếu: (D): y = ax + b (a
0)
và (D'): y = a'x + b' (a' 0)
Có tích a.a' = 1 thì (D) (D')

B. Bài tập:
O x
A
Bài 1:
a>0
Cho hàm số y = ax 3 . xác định giá trị của a để
a) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 2x , vẽ đồ thị hàm số tìm được.
b) Khi x = 4 thì hàm số có giá trị là 1, vẽ đồ thị hàm số tìm được.
c) Đồ thị hàm số đi qua điểm M( 1; 2 ), vẽ đồ thị hàm số tìm được.
Giải :
a) Vì đồ thị hàm số y = ax 3 song song với đường thẳng y = 2x

-2x

;0)

-3

B(

-2x

x=

B B

-3

y=

y = -2x -3 y = -2x
y=

- Cho y = 0

y = 5x - 3

y = 5x

Nên có a = 2 phương trình đường thẳng là y = 2x – 3
y y
 Vẽ đường thẳng y = 2x – 3
2 2
- Cho x = 0
y= 3
A( 0 ; 3 )

Đồ thị là đường thẳng AB
x' x'
C C
O O D D
b) Khi x = 4 thì hàm số có giá trị bằng y = 1
3
Nên: 1 = a.4 3
a=1
y = xy =-3x Phương trình đường thẳng là y = x 3
-2 -2
 Vẽ đường thẳng y = x – 3
A A
- Cho x = 0
y= 3
A( 0 ; 3 )
- Cho y = 0
x=3
C( 3 ; 0 )
Đồ thị là đường thẳng AC
c) Vì đồ thị hàm số y = ax 3 đi qua điểm có ( 1 ; 2 )
Nên tại tọa độ x = 1 và y = 2 thõa mãn phương trình đường
2 = a.1 – 3
a=5
phương trình đường thẳng là y = 5x – 3
 Vẽ đường thẳng y = 5x – 3
- Cho x = 0
y= 3
A( 0 ; 3 )
-

Cho y = 0

x=

D(

x x

;0)

Đồ thị là đường thẳng AD
Bài 2:
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A( 2 ; 3 ), B(-1 ; - 3 ) và C( 0 ; -1).
a) Viết phương trình đường thẳng AB và chứng tỏa A, B, C là ba điểm thẳng hàng.
b) Gọi I là trung điểm của AC. Viết phương trình đường thẳng OI.
Giải :
a) Phương trình đường thẳng AB có dạng y = ax + b.
Vì AB đi qua điểm A( 2 ; 3 ) , nên : 3 = a.2 + b
AB đi qua điểm B( 1; 3 ), nên: 3 = a + b
Suy ra : 2a + b + a – b = 6
3a = 6
a=2
Khi đó: b = 1
Phương trình đường thẳng AB: y = 2x – 1
 Xét tọa độ điểm C( 0 ; 1 ), ta có :
1 = 2. 0 1
1= 1
Do đó : C( 0 ; 1) thuộc đồ thị hàm số : y = 2x 1
A, B, C là ba điểm thẳng hàng
b)Vì I là trung điểm của AB, nên hoành độ của I là
Và tung độ của I là :

Bài 3:

Do đó điểm I có tọa độ là I( 1 ; 1 )
Phương trình đường thẳng OI có dạng: y = ax + b.
Nên: I( 1 ; 1 ) thõa mãn phương trình, suy ra: 1 = a.1 + b
Và O( 0 ; 0 ) thõa mãn phương trình, suy ra:0 = a.0 + b b = 0 thay vào phương trình
trên ta được a = 1
Vậy : Đường thẳng OI là: y = x là phương trình đường phân giác của góc phần tư thứ
(I) và thứ (IV).
Trên mặt phẳng Oxy cho hai điểm A( 3 ; 1) và B( 1; 3 ).
a)Tìm hệ số góc của đường thẳng OA,OB vả AB
b) Vẽ đồ thị hàm số các đường thẳng OA,OB và AB trên cùng mặt phẳng tọa độ.

c) Chứng minh tam giác OAB vuông cân tại O.
Giải:
a) Đường thẳng OA đi qua gốc tọa độ nên có dạng y = ax
Tọa độ A(3 ; 1) thõa mãn phương trình, ta có: 1 = a.3
Đường thẳng OA: y =

a=

x , có hệ số góc a =

 Đường thẳng OB đi qua gốc tọa độ nên có dạng y = ax
Tọa độ B( 1 ; 3 ) thõa mãn phương trình, ta có: 3 = a.1
a=
Đường thẳng OB: y = 3x , có hệ số góc a = 3
 Đường thẳng AB có dạng y = ax + b
Vì đi qua A( 3 ; 1), nên : 1 = a.3 + b
1 = 3a + b
Vì đi qua B(1; 3), nên: 3 = a.1 + b
3=a+b
2a = 4
a=2
b=5
Phương trình đường thẳng AB: y = 2x + 5, có hệ số góc là a = 2
b) Vẽ các đường thẳng OA: y =

3

x, OB: y = 3x và AB: y = 2x + 5 trên cùng một hệ trục tọa

độ Oxy.
c) Cách 1:
 Ta có A'OA = B'OB (c-g-c)
BOB' = AOA' mà BOB' + BOA' = 900
Nên BOA' + A'OA = 900
Do dó : OA
OB tại O
Vậy: Hai đường thẳng y =

x và y = 3x vuông góc nhau.

Cách 2:
 OA: y =

x , có hệ số góc a1 =

 OB: y = 3x , có hệ số góc a2 = 3
Xét a1.a2 =

.( 3) =

1, ta nói hai đường thẳng y =

x và y = 3x vuông góc nhau.

Bài 4:
Gọi (D1) là đường thẳng có phương trình y1 = mx + 3 và (D2) là đường thẳng có phương
trình y2 =

x

1.

a) Với m =

, xác định tọa độ giao điểm của (D1) và (D2)

b) Xác định giá trị của m để tọa độ điểm A( 2; 2) là giao điểm của (D1) và (D2)
Giải:
a) với m =
(D1): y1 =

x + 3 và (D2): y2 =

x

1.

Có phương trình hoành độ giao điểm của (D1) và (D2) là:
x+3=

x

1

x=2

Thay x = 2 vào phương trình đườngthẳng (D2): y2 =
Do đó tọa độ giao điểm của (D1) và (D2) là (2; 0)

.2

b)
Ta có A( 2; 2) thõa mãn phương trình đường thẳng (D2),

1

y=0

vì

2=

.( 2)

1

1=

1

A( 2; 2)

(D2)

Để tọa độ điểm A( 2; 2) là giao điểm của (D1) và (D2), thì A( 2; 2)
Do đó
Vậy: m =

2 = m.( 2) + 3
thì A( 2;

2m = 5

(D1)

m=

2 ) là tọa độ giao điểm của (D1) và (D2)

Chương III:
HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
A. Tóm tắt: Lý thuyết
1.a) Khái niệm: Phương trình bậc nhất hai ẩn:
Có dạng ax + by = c (1)
Trong đó a,b,c là các số đã biết ( a 0; b 0 ) , x, y là các ẩn
 Cặp số (x0; y0) sao cho ax0 + by0 = c là nghiệm của phương trình (1)
b)Một phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm.Tập nghiệm được biểu diễn bỡi
đườngthẳng (d): ax + by = c
 Nếu a

0, b

 Nếu a = 0 , b
 Nếu b = 0 , a

0 thì đường thẳng (d) chính là đồ thị của h/s:
0 thì đường thẳng (d) song song với trục hoành.
0 thì đường thẳng (d) song song với trục tung.

2. a) Hệ phương trình có dạng
 Hệ phương trình có một nghiệm khi:
 Hệ phương trình có vô số nghiệm khi:
 Hệ phương trình vô nghiệm khi:
b)Cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: ( 3 phương pháp giải hpt )
 Phương pháp cộng:
 Phương pháp thế:
 Phương pháp đồ thị:
3. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Qui tắc: ( 3 bước )
B1: Lập hệ phương trình
- Chọn hai ẩn x và y, với điều kiện thích hợp.
- Biểu thị các đại lượng chua biết trong bài toán theo ẩn x và y
- Lập hệ phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.
B2: Giải hệ phương trình.
B3: Chọn kết quả thích hợp và trả lời.
B. Bài tập:
Bài 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng và thế.

 Cách 1: Biến đổi rồi thu gọn

Giải :

 Phương pháp cộng

 Phương pháp thế

thay vào phương trình (1) ta được
4y

15y = 33
y=
x =

Vậy: Hệ pt có nghiệm là ( 2, 3)

3
.( 3) =

Vậy: Hệ pt có nghiệm là ( 2, 3)

cách 2: Đặt ẩn phụ
Đặt u = x + 1 ; v = y + 1

Vậy: Hệ pt có nghiệm là ( 2, 3)

Bài 2:

Giải hệ phương trình sau:
Giải:

Biến đổi 2 pt trong hệ pt

Bài 3:

Vậy: Hệ phương trình có nghiệm là (10 ; 12)
Cho hệ phương trình (I)
a) Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
b) Giải hệ phương trình khi m = 1
Giải:

a)Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì
Vậy: Khi m

2

thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

b) Khi m = 1 thì hệ phương trình (I)

(II)

Rút y từ phương trình (2)
y=3–x
Thay vào phương trình (1), ta được : 3x – 2(3 – x) = 6
3x 6 + 2x = 6
5x = 12
x=
y=3
Vậy: Hệ phương trình có nghiêm (

;

=

)

Bài 4: Một Ô tô dự định đi từ A đến B trong thời gian nhất định. Nếu chạy mỗi giờ nhanh hơn
10km thì đến nơi sớm hơn dự định 3 giờ. Nếu xe chạy chậm hơn dự định 10km mỗi giờ thì đến B
chậm mất 5 giờ. Tính vận tốc của ô tô lúc đầu và thời gian dự định đi hết AB
Giải:
Gọi vận tốc của ô tô dự định lúc đầu là x(km/h), điều kiện x > 10.
Gọi thời gian dự định đi hết đoạn đường AB là y( giờ). Điều kiện y > 5
Ta có đoạn đường AB là: xy ( km )
 Nếu xe chạy nhanh hơn dự định 10(km) mỗi giờ thì vận tốc là : x + 10 (km/h)
Thời gian đi hết quãng đường AB là : y – 3 ( giờ ).
Do đó ta có phương trình: (x + 10 )(y – 3) = xy
(1)
 Nếu xe chạy chậm hơn dự định 10(km) mỗi giờ thì vận tốc là : x 10 (km/h)
Thời gian đi hết đoạn đường AB là: y + 5 (giờ ).
Do đó ta có phương trình: ( x – 10)( y + 5 ) = xy
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

Giải hệ phương trình trên ta được x = 40 và y = 15.
Giá trị x= 40 (thõa mãn đk ) và y = 15 ( thõa mãn đk )
Vậy: - Vận tốc dự định là 40km/h
- Thời gian dự định đi hết AB là: 15 giờ
- Đoạn đường AB là: 40.15 = 600 km.

Bài 5:
Một tàu thủy xuôi một khúc sông dài 100km. Rồi ngược dòng về 64km thì hết 9 giờ. Nếu tàu
chỉ xuôi 80km và ngược 80km thì cũng hết 9 giờ. Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng.
Giải:
Gọi vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng là: x(km/h).
Gọi vận tốc của dòng nước là: y(km/h) , điều kiện x > y
Ta có vận tốc của tàu thủy khi xuôi dòng sông là: x + y (km/h)
Và vận tốc của tàu thủy khi ngược dòng là: x – y (km/h)
 Thời gian xuôi 100km là
Phương trình

(giờ), và thời gian ngược dòng 64km là
+

=9

(1)

(giờ).

 Thời gian xuôi 80km là

(giờ), và thời gian ngược dòng 80km là

Phương trình

+

=9

(giờ).

(2)

Theo bài ra ta có hệ phương trình

Đặt

+

=9

(1)

+

=9

(2)

, suy ra hệ phương trình
Giải ra ta được: u =

và v =

Vậy : Vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng là 18km/h, và vận tốc dòng nước là 2km/h.

x

y = ax2

-3 -2 -1 0
? ? ? ?

y=a 2
x

Chương III:
HÀM SỐ y = a
( a 0 ).
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ
*Tóm tắt: Lý thuyết
1. Hàm số : y = a
( a 0 ).
a) Chiều biến thiên:
 Nếu a > 0 hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0
 Nếu a < 0 hàm số nghịch biến khi x > 0 và đồng biến khi x < 0
 Nếu a > 0 thì giá trị của hàm số y > 0, với mọi giá trị của x
0
Khi x = 0 thì y = 0 là giá
trị nhỏ nhất của hàm số.
 Nếu a < 0 thì giá trị của hàm số y < 0, với mọi giá trị của x
0
Khi x = 0 thì y = 0 là giá
trị lớn nhất cùa hàm số.
b) Đồ thị hàm số y = a
(a
0)
Là Parabol đi qua gốc tọa độ O, nhận trục tung y'Oy làm trục đối xứng . O(0;0) gọi là đỉnh
của Parabol.
 Nếu a > 0 đồ thị là parabol nằm phía trên trục hoành. Có O là đỉnh của Parabol.(thấp nhất)
 Nếu a < 0 đồ thị là Para bol nằm phía dưới trục hoành. Có O là đỉnh của Parabol.(cao nhất)
c) Cách vẽ đồ thị hàm số y = a
(a 0)
y
Lập bảng trị số
a>0
1 2 3
? ? ?

Đồ thị h/s y = a
(a
0 ) là Parapol biểu diễn các cặp số
(x; y) cho bỡi bảng trị số trên mặt phẳng tọa độ Oxy
* Bài tập :
Bài 1: Cho hàm số y = a
a) Xác định hệ số a của hàm số, biết đường thẳng đi qua A( 2;

x'

x

O
y'

),vẽ đồ thị hàm số tìm được.

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt đồ thị tại điểm B có hoành độ bằng: 3
Giải:

a) Đồ thị hàm số đi A(2;

), nên tọa độ của điểm A thõa hàm số y = a

y

nghĩa là: a. 22 =

12a =

4

a=

O
x'

Ta có hàm số y =

x

 Vẽ đồ thị hàm số y =
y= 2
3 x- 2

Bảng trị số
x

-3

-2

-1

4

1

0

1

2

3

1
1 2 -3
0 -3
x
3
3
3
3
3
Parapol (P) nằm dưới trục hoành

y=-

4

Nhận xét: Là
tọa độ O(0;0).
b) Đường thẳng AB có dạng : y = ax + b
Vì đi qua A(2;

), nên

nhận trục Oy' làm trục đốiy'xứng có đỉnh tại gốc

= a.2 + b

6a + 3b =

Đường thẳng AB lại đi qua điểm B thuộc đồ thị hàm số y =
nên tung độ y =

.( 3)2 =

3

4

(1)
có hoành độ x =

B( 3; 3)

Do đó :
3 = a.( 3) + b
3a + b =
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
6a + 3b = 4
3a + b = 3

Vậy: Phương trình đường thẳng AB là : y =

3

(2)
(1)
(2)

x–2

2. Phương trình bậc hai một ẩn số:
 Có dạng a
+ bx + c = 0 với a
0
2
 Công thức nghiệm:
= b – 4ac

< 0 , Phương trình vô nghiệm.


= 0, Phương trình có nghiệm số kép

=

=



> 0, Phương trình có hai nghiệm số phân biệt

=

 Công thức nghiệm thu gọn:
Khi b = 2.b'

b' =

= b'2 – ac



< 0 , Phương trình vô nghiệm.



= 0, Phương trình có nghiệm số kép



> 0, Phương trình có hai nghiệm số phân biệt

 Bài tập:
Bài 1: Giải phương trình bậc hai sau:
a)
+ 3x 108 = 0

=

=

b) 3

=

8x + 5 = 0

3

Giải:

a)
+ 3x 108 = 0
Ta có :
= 32 4.1.( 108) = 441 > 0

b) 3
Ta có:

=

=

=

=

Vậy: Phương trình có hai nghiệm là
= 9;

=

8x + 5 = 0
' = 42
3.5 = 1 > 0

Vậy: Phương trình có hai nghiệm là

12

=

;

=1

Bài 2: Cho Parapol (P) có phương trình là y =
mx + 2
a) Tìm m để đường thẳng (d): y = 2x m tiếp xúc với (P).
b) Giả sử
và
là hai nghiệm của phương trình
mx + 2 = 0. Tính giá trị
A=

2

+

2

theo m.

Giải:
a) Để (d) : y = 2x m tiếp xúc với (P) : y =
mx + 2
Ta có phương trình hoành độ giao điểm giữa (d) và (P) là:
mx + 2 = 2x
(1)
(m + 2)x + m + 2 = 0
= (m + 2)2 4.1 .(m + 2)
= (m + 2)[(m + 2) 4]
= (m + 2)(m – 2)
Khi (d) tiếp xúc với (P) thì phương trình trên có nghiệm số kép
=0
(m + 2)(m – 2) = 0
m=2;m= 2
Vậy: Khi m = 2 và m = 2 thì (d) tiếp xúc với (P)
b) Xét phương trình
mx + 2 = 0.
2
= ( m)
4.1.2 = m2 8 0
=

A=

2

+

2

;

=

=

=
=
Vậy:

A=

 Lưu ý: Sau khi học định lý Vi-ét, ta có A =

2

3. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng:
a) Phương trình bậc hai a
+ bx + c = 0 với a
 Nếu ;
là nghiệm của phương trình thì

2

+

=(
=

0

)2

+
m

2

4

2

m (1)

 Nếu: a + b + c = 0 thì :

=1;

 Nếu: a

= 1;

b + c = 0 thì :

=
=

b) Nếu u và v là hai số cần tìm có
Thì u và v là hai nghiệm của phương trình: X2

 Bài tập:
Bài 1: Cho phương trình 2
3x + 1 = 0. Gọi
giải phương trình hãy tính giá trị các biểu thức sau
a) A =

SX + P = 0

,

là hai nghiệm của phương trình. Không
2

b) B =

2

+

c) C =

2
2
e) E =
Giải:
Xét phương trình 2
3x + 1 = 0.
Ta có:
= (- 3)2 – 4.2.1 = 9 – 8 = 1 > 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt ,
, điều kiện
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

3

+

d) D =

a) Ta tính
A=
b) Ta tính
B=

2

+

2

=(

)2

+

=
c) Ta tính
C=

3

+

3

2
=

=(

d) Ta tính
D=

1=

3

)3

+

=
Vậy: C =

.

(

+

)

=
3

+

3

=

D2 = (
=
=(

)2
2

2

+
2

+2

2
+

2

)

4

0;

0.

3

= (

)2

+

4

=
=
Do đó: D =
e) Ta tính
E=

=

2

2

=(

 Trường hợp 1:

+

)(

)

=
E=

 Trường hợp 2:

=
E=

Bài 2: Cho phương trình:
+ (2m 1)x – m = 0.
a) Chứng minh rằng phương trinh luôn luôn có nghiệm với mọi m.
b) Gọi , là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để
A=

2

2

+

có giá trị nhỏ nhất.
Giải:
a) Ta xét phương trình
+ (2m 1)x – m = 0.
= (2m – 1)2 + 4m
= 4m2 – 4m + 1 + 4m
= 4m2 + 1 > 0 với mọi m, vì 4m2
Vậy: Phương trình đã cho có nghiệm với mọi giá trị của m.
b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có

Do đó: A =
=
=(

6

2

+

2

2

0

6

+

2

+

)2

+2

8

8

2

= (1 – 2m) + 8.m
= 1 – 4m + 4m2 + 8m
= 4m2 + 4m + 1
A = (2m + 1)2
0
 Khi: (2m + 1)2

=0

2m + 1 = 0

m=

thức.


thì A = 0 là giá trị nhỏ nhất của biều

Soạn đề: LUYỆN THI VÀO LỚP 10
Đề 1:
Bài 1: (2,0 điểm )
a) Rút gọn biểu thức:
b) Giải phương trình:
Bài 2: (2,0 điểm )
Cho phương trình: m

(2m + 1)x + m + 1 = 0

a) Giải phương trình khi m =
b) Tìm các giá trị của m để phương trình có một nghiệm lớn hơn 2.
Bài 3: (2,0 điểm )
Quãng đường AB dài 200km, cùng một lúc một xe tải khởi hành từ A đi đến B và một xe con
khởi hành từ B đi về A.Sau khi hai xe gặp nhau, xe tải phải đi thêm 3 giờ nữa mới đến B. Biết vận
tốc của xe tải kém hơn vận tốc của xe con là 20km/giờ. Tính vận tốc của mỗi xe
Bài 4: (3,0 điểm )
Cho góc vuông xAy. Trên Ax lấy một điểm B cố định, trên Oy lấy một điểm C di động. vẽ
đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F . Hai
đường thẳng DE và OA cắt nhau tại G.
a) Chứng minh rằng 5 điểm O, D, G, B, F cùng nằm trên một đường tròn.
b) Đường thẳng DE luôn đi qua 1 điểm cố định.
Bài 5: (1,0 điểm )
Tìm nghiệm nguyên của phương trình x + y + xy = 4
Bài giải:
Bài 1: (2,0 điểm )
a) Rút gọn biểu thức:

=
=

b) Giải phương trình:
|x

1| = 2

x 1= 2
x 1=2
x 1= 2
Vậy: Phương trình có nghiệm là: x = 3 ; x = 1
Bài 2: (2,0 điểm)
Phương trình: m
(2m + 1)x + m + 1 = 0

x=3
x= 1

a) Với m =

thì phương trình trở thành
3
Ta có:

x+

x

2=0
4.3.( 2) = 1 + 24 = 25 = 52

=1
=

;

=0

>0

=

Vậy: Phương trình có nghiệm là:

b)

+

= 1;

=

Xét phương trình: m
(2m + 1)x + m + 1 = 0
 Nếu: m = 0, phương trình trở thành:
x+1=0
x = 1 < 2, không thõa mãn.
 Nếu: m
0, xét phương trình m
(2m + 1)x + m + 1 = 0
Ta có:
= [ (2m + 1)]2 4m.(m + 1)
= 4m2 + 4m + 1 – 4m2 – 4m = 1 > 0
=
=
Vì nghiệm

= 1 < 2 (loại, vì không thõa mãn )

Nên nghiệm số

< 2 , do đó:

Vậy: phương trình bậc 2 trên có một nghiệm lớn hơn 2 khi: 0 < m < 1
Bài 3: ( 2,0 điểm )
Gọi vận tốc của xe tải là x (km/h); điều kiện x > 0
200km
Vận tốc của xe con là x + 20 (km/h)
M
Quãng đường xe tải phải chạy trong 3 giờ sau khi gặp xe
A
B
xe con
xe tai
con để đến B là 30x.
Quãng đường xe tải đã chạy trước lúc gặp xe con là
200 – 3x (km).
Thời gian xe tải chạy cho đến khi gặp xe con:

( giờ)

Thời gian xe con chạy cho đên khi găp xe tải là:

(giờ)

Vì hai xe khởi hành cùng một lúc nên ta có phương trình:
=
Thu gọn phương trình, ta được:
3
70x 2000 = 0
Giải ra ta được
= 40( thõa mãn )
=
Vậy: - Vận tốc của xe tải là 40 km/h.

( loại )

Bài 4: (3,0 điểm )

- Vận tốc xe con là 40 + 20 = 60(km/h)
a) Chúng minh rằng: O, D, G, B, F cùng nằm trên một đường tròn
Xét OEG và FOG có: OE = OF ( vì bằng bán kính )
(1)
OG là cạnh chung
(2)
Vì AE = AF ( t/c hai tiếp tuyến xp tại A )
AO là đường trung trực của EF
Do: G AO là trung trực của EF
Nên: GE = GF
(3)
Từ (1),(2) và (3) suy ra:
OEG = OFG (c-c-c)
Ta có: OE = OD ( vì = bk)

ODE cân tại O

Nên:
Tại D có:

( vì kề bù )

Do đó ODGF là tứ giác nội tiếp
F,O,D,G cùng thuộc một đường tròn
Mặc khác:
,

(*)

Nên: ODBF nội tiếp trong đường tròn đk OB. (**)
Từ (*) và (**) suy ra:
O,D,G,B,F cùng thuộc đường tròn đường kính OB

b)
Ta có: OGB = 900 ( vì chắn nửa đường tròn )
GAB vuông tại G, có:

GAB vuông cân tại G
Vì AB cố định, nên G cố định
Đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định là G ( đpcm).

Bài 5: ( 1,0 điểm )
Giải phương trình nghiệm nguyên:

Ta có:

Vì: 5 = 5.1 = 1.5 =

x + y + xy = 4
( xy + y) + ( x + 1 ) = 5
y( x + 1 ) + ( x + 1 ) = 5
(x+1)(y+1) =5
5. ( 1) = 1.( 5)

(I)

(II)

(III)

(IV)

Vậy: Phương trình có 4 cặp nghiệm là: (4; 0), (0; 4), ( 6; 2), ( 2;
------------------------//-------------------------

Đề 2:
Câu 1: ( 2,0 điểm )

a) Tính giá trị của biểu thức: A =

6).

b) Chứng minh rằng:

, với: x > 0; y > 0

Câu 2: ( 2,0 điểm )
Cho phương trình bậc hai : 6x2 mx m2 = 0
a) Chứng minh rằng phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
b) Xác định m để một nghiệm số bằng :

, từ đó tính nghiệm số thứ hai.

Câu 3: ( 2,0 điểm ).
Một đội công nhân sửa một quãng đường dài 15km trong một thời gian dự định . Sau khi làm
được một ngày theo năng suất dự định, đội rút kinh nghiệm nên các ngày còn lại năng suất tăng
thêm 1km/ngày so với năng suất dự định. Vì vậy thời gian thực tế hoàn thành công việc ít hơn thời
gian dự định 1 ngày. Hỏi năng suất dự định làm bao nhiêu km trong ngày.
Câu 4: ( 3,0 điểm )
Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O), kẽ hai tiếp tuyến AB, AC với (O). Lấy D nằm giữa B
và C. Qua D vẽ một đường thẳng vuông góc với OD cắt AB, AC lần lượt tại E , F và cắt một đường
tròn tại M và N.
a) Chứng minh rằng : ME = NF
b) Khi điểm D di động trên BC, hứng minh rằng đường tròn đi qua ba điểm A,E,F luôn đi qua
một điểm cố định khác điểm A.
Câu 5: ( 1,0 điểm )
Cho a,b là hai số thực khác 0. Chứng minh rằng:
Giải:

Câu 1: ( 2,0 điểm )
a) Tính: A =
=
=
=
=
=
A=
b) Với x > 0; y > 0

Ta xét vế trái:
=
= x – y ( vế phải )

Câu 2: ( 2,0 điểm ).
a)
Xét phương trình bậc hai : 6x2 mx m2 = 0
Ta có:
= ( m)2 4.6.( m2)
= m2 + 24m2 = 25m2
Vì m2 0
25m2 0 , với mọi m R
0 , phương trình luôn có hai nghiệm
Khi m = 0
Phương trình có nghiệm kép =
= 0.

b) Khi: x =

, ta có:

)2

6.(
+

)

m2 = 0

m2 = 0

2m2

m.(

.m

Giải ra ta được: m1 =
 Theo hệ thức Vi-ét, ta có :

+

Vậy: Nghiệm
là

=

hoặc

=
+

=
=

+

=

=

, khi và chỉ m =
=

1

=

=

 Với m = 1

3=0

=
+

 Với m =

; m2 =

m

hoặc m = 1. Lúc đó nghiệm

tương ứng

.

Câu 3: ( 2,0 điểm )
Gọi x là năng suất dự định của đội CN là x(km/ngày ), điều kiện x > 0.
Thời gian dự định làm xong quãng đường 15km là:

( ngày )

Quãng đường còn lại sau khi làm một ngày là: 15 x (km)
Năng suất của đội sau ngày làm việc thứ nhất là: ( x + 1 ) km/ ngày.
Thời gian thực tế làm xong đoạn đường còn lại: 15 – x(km) là:

(ngày)

Thời gian thực tế hoàn thành xong công việc
Theo bài ra ta có phương trình:
Biến đổi phương trình trên ta được:
Giải ra ta được: = 3;
= 5

+ 2x

15 = 0

Vì điều kiện x > 0 nên
= 5 ( loại ) ; = 3 (thõa mãn )
Vậy: năng suất dự định làm việc của đội công nhân là: 3km/ngày.
Câu 4: (3,0 điểm )
a) Chứng minh ME = NF.
B
Vì OB
AB ( tiếp tuyến
bán kính )
E 2
1
0
OBE = 90
1
M
O
Và ODE = 900
2
Nên: OBE + ODE = 1800
D
tứ giác OBDE là tứ giác nội tiếp
A
1

C

1

N

Do đó:

F

( cùng chắn cung OD )

(1)

 Tương tự tứ giác ODCF là tứ giá nội tiếp
Do đó:
Vì

( cùng chắn cung OD )
OBC cân tại O. ( do OB = OC )

(2)

(3)
Từ (1), (2) và (3)

OEF cân tại O

Ta có : OD
EF (gt)
OD là đường trung tuyến
DE = DF mà DM = DN ( do D là t/đ dây MN )
Nên: DE – DM = DF – DN
ME = NF ( điều phải chứng minh ).
b) Khi D di chuyển trên BC, hứng minh đường tròn (AEF) luôn qua 1 điểm cố định.
Ta có:

( vì cùng chắn cung

)

Xét tứ giác nội tiếp ODCF có:
Tại D có:

( 2 góc đối của t/g nội tiếp )
( kề bù )

Mà:
( kề bù )
Do đó:
AEOF là tứ giác nội tiếp.
Vì O cố định , nên đường tròn (AEF) luôn đi qua điểm cố định O.
Câu 5: ( 1,0 điểm )
Với: a 0 ; b
0 và a,b R
Ta có:

(1)

Ta biết:
Từ (1)

đúng với mọi a
Do đó bất đẳng thức trên đúng với mọi a

0; b

Đề 3:
Câu 1: ( 2,0 điểm )
a) Tính
b) Chứng minh rằng với mọi x

0 và x

1.

Ta có:
Câu 2: ( 2,0 điểm )
Cho phương trình

+ (2m – 1)x – m = 0

0

0, b

0.

a) Chứng minh rằng pt luôn có nghiệm với mọi x R , giải phương trình với giá trị m = 3
b) Gọi , là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để
A=

2

+

2

9

có giá trị nhỏ nhất.

Câu 3: ( 2,0 điểm )
Một tam giác vuông có tổng độ dài hai cạnh góc vuông là 14cm và diện tích là 24cm 2. Tính
chu vi của tam giác vuông ấy.
Câu 4: ( 3,0 điểm )
Cho ba điểm A, B, C là ba điểm thẳng hàng theo thứ tự ấy. Gọi E là trung điểm của đoạn AB
trung trục của AB cắt (O) là đường tròn đi qua hai điểm A và B tại I và J. Đoạn thẳng CI cắt (O) ở
M, Đoạn thẳng CJ cắt (O) tại N.
a) Chứng minh rằng IN, JM, AB đồng qui tại D.
b)Chưng minh