PHÒNG GD & ĐT ĐỒNG PHÚ

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
CẤP TỈNH THCS NĂM HỌC 2024-2025
Môn: Toán học
ĐỀ
THI
THỬ
Thời
gian:
150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi thử thứ nhất: Ngày 10 tháng 2 năm 2025

TRƯỜNG THCS THUẬN PHÚ
(Đề thi gồm có 02 trang)
Câu 1: (5,0 điểm).
1. Cho biểu thức:
a) Rút gọn .
b) Tìm các giá trị nguyên của
2. Cho hai số dương
thức sau:

.
để

.

thoả mãn đẳng thức:

. Tính giá của biểu
.

Câu 2: (5,0 điểm).
1. Giải phương trình sau:

.

2. Giải hệ phương trình sau:
.
3. Lúc 6 giờ 30 phút sáng, anh Hùng điều khiển một xe gắn máy khởi hành từ thành phố
Đồng Xoài đến thị xã Bình Long. Khi đi được
quãng đường, xe bị hỏng nên anh Hùng
dừng xe lại để sửa chữa. Sau 30 phút sửa xe, anh Hùng tiếp tục điều khiển xe gắn máy đó
đi đến thị xã Bình Long với vận tốc nhỏ hơn vận tốc ban đầu là 10 km/h. Lúc 10 giờ 24
phút sáng cùng ngày, anh Hùng đến thị xã Bình Long. Biết rằng quãng đường từ thành phố
Đồng Xoài đến thị xã Bình Long gần 160 km và vận tốc của xe trên
không đổi và vận tốc của xe trên
xe để sửa chữa lúc mấy giờ?

quãng đường sau cũng không đổi. Hỏi anh Hùng dừng

4. Cho Parabol
và đường thẳng
hai điểm phân biệt
sao cho
và
trung tuyến
của tam giác
.
Câu 3: (5,0 điểm). Cho đường tròn

quãng đường đầu

cách đều trục

. Tìm
để
cắt
tại
. Khi đó tính độ dài đường

ngoại tiếp tam giác nhọn

với

Gọi

là

trung điểm của
. Đường thẳng
cắt đường tròn
tại khác . Đường tròn ngoại tiếp
tam giác
cắt đường thẳng
tại
khác
và đường tròn ngoại tiếp tam giác
cắt
đường thẳng
tại
khác .
a) Chứng minh rằng:

và ba điểm

b) Chứng minh rằng:

là tia phân giác của

c) Tia phân giác của góc
lượt cắt

tại

cắt

. Chứng minh

tại

thẳng hàng.
và

vuông góc với

. Tia phân giác của các góc
.

.
và

lần

Câu 4: (2,0 điểm).
1. Một ly nước dạng hình trụ có chiều cao là 15cm, đường kính đáy là 5cm, lượng nước tinh
khiết trong ly cao 10cm. Ly nước được đặt cố định trên mặt bàn bằng phẳng như hình vẽ dưới
đây.
a) Tính thể tích lượng nước tinh khiết được chứa trong ly.
b) Người ta thả vào ly nước 5 viên bi hình cầu giống hệt nhau, có cùng thể tích, đồng chất và
ngập hoàn toàn trong nước, làm nước trong ly dâng lên đúng bằng miệng ly, không tràn ra ngoài. Hỏi
thể tích của mỗi viên bi là bao nhiêu xăng-ti-mét khối? (Giả sử độ dày của ly không đáng kể).
2. Một hộp có 30 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 30. Rút ngẫu nhiên hai tấm thẻ, tìm xác suát
của biến cố “Tích hai số trên thẻ là một số chính phương”.
Câu 5: (3,0 điểm).
1. Cho

là 3 số thực dương thỏa mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức:
.
2. Tìm tất cả các cặp nghiệm nguyên của phương trình sau:
.
............................... HẾT ...............................
 Giám thị không giải thích gì thêm
 Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay
Họ và tên thí sinh: .................................................................... Số báo danh: ...................................
Chữ ký cán bộ coi thi thứ 1: ...............................................................................................................
Chữ ký cán bộ coi thi thứ 2: ...............................................................................................................

PHÒNG GD & ĐT ĐỒNG PHÚ
TRƯỜNG THCS THUẬN PHÚ

ĐÁP ÁN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
CẤP TỈNH THCS NĂM HỌC 2024-2025
Môn: Toán học
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Khóa thi: Ngày 10 tháng 2 năm 2025
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT

(Đề thi gồm có 02 trang)
HƯỚNG DẪN CHẤM:
(Hướng dẫn chấm bao gồm 07 trang)
CÂU
Câu 1.
(5,0
điểm)

THANG
ĐIỂM

ĐÁP ÁN

1. Cho
a) Rút gọn

2.25

.

.

Điều kiện xác định :

Ta có:

b) Tìm các giá trị nguyên của

2. Cho hai số dương
giá của biểu thức sau:
Xét đẳng thức:
Ta có:

để

0.75

.

thoả mãn đẳng thức:

. Tính
.

2.0

Vì



Ta có biểu thức:

Câu 2.
(5,0
điểm).

Vậy
5. Giải phương trình sau:

1.25

.

Để phương trình có nghiệm thì :

Dễ dàng chứng minh được
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2}
1.25
6. Giải hệ phương trình sau:

.

Điều kiện xác định của phương trình là:

Cộng vế theo vế của phương trình (1),(2) ta được:
Trừ vế theo vế của phương trình (1),(2) ta được:
(4)
Nhận vế theo vế của phương trình (3) ,(4) ta được:

(3)

Khi

thì ta được phương trình (2) là

Với

(TMĐK)

Với

(TMĐK)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là
3. Lúc 6 giờ 30 phút sáng, anh Hùng điều khiển một xe gắn máy khởi hành từ
thành phố Đồng Xoài đến thị xã Bình Long. Khi đi được quãng đường, xe
bị hỏng nên anh Hùng dừng xe lại để sửa chữa. Sau 30 phút sửa xe, anh Hùng
tiếp tục điều khiển xe gắn máy đó đi đến thị xã Bình Long với vận tốc nhỏ hơn
vận tốc ban đầu là 10 km/h. Lúc 10 giờ 24 phút sáng cùng ngày, anh Hùng đến
thị xã Bình Long. Biết rằng quãng đường từ thành phố Đồng Xoài đến thị xã
Bình Long gần 160 km và vận tốc của xe trên

quãng đường đầu không đổi

1.25

và vận tốc của xe trên quãng đường sau cũng không đổi. Hỏi anh Hùng
dừng xe để sửa chữa lúc mấy giờ?
Gọi vận tốc ban đầu của xe máy anh Hùng là (km/h).
Điều kiện:
 Thời gian anh Hùng đi được

quãng đường đầu là

(giờ)

 Thời gian anh Hùng đi quãng đường còn lại sau khi sửa xe là:
Đổi: 3 giờ 54 phút

(giờ), 30 phút

(giờ)

(giờ)

Theo đề bài ta có phương trình là:

 Thời gian anh Hùng đi được quãng đường đầu trước khi bị hư xe là:
(giờ) = 144 phút = 2 giờ 24 phút
 Vậy anh Hùng bị hư xe lúc 8 giờ 54 phút sáng.
4. Cho Parabol

và đường thẳng

cắt
tại hai điểm phân biệt
Khi đó tính độ dài đường trung tuyến

. Tìm
sao cho
và
của tam giác

cách đều trục
.

- Vì (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt

nên ta có

phương trình hoành độ là:
- Ta có: ∆'=
 Đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt
.
- Theo hệ thức Viet ta có:

.

* Từ hai điểm
và
ta dựng hình chiếu của A và B lên trục
Oy lần lượt là H và K (H và K thuộc Oy)
Để hai điểm

và

cách đều trục Oy thì AH=BK.

- Ta có độ dài

và

. Để A và B cách đều trục Oy thì

để
.

1.25

hay
Với

kết hợp với phương trình (1) ta được hệ:

Với

ta được phương trình (2) là:

*Ta có:
Gọi điểm M là giao điểm của đường thẳng (d) với trục Oy ((d)⊥Oy)
 M là điểm cách đều hai điểm A và B.
Nên ta có:
Với
thì ta được:
Vậy để hai điểm A,B cách đều trục Oy thì
tuyến OM=2
Cho đường tròn

khi đó độ dài đường trung

ngoại tiếp tam giác nhọn

với

Gọi

là

trung điểm của
. Đường thẳng
cắt đường tròn
tại
khác .
Đường tròn ngoại tiếp tam giác
cắt đường thẳng
tại
khác
và
đường tròn ngoại tiếp tam giác
cắt đường thẳng
tại
khác .
a) Chứng minh rằng:
b) Chứng minh rằng:

và ba điểm
là tia phân giác của

thẳng hàng.
và

c) Tia phân giác của góc

cắt

tại

và

tại

. Chứng minh

lần lượt cắt

vuông góc với

. Tia phân giác của các góc

Câu 3.
(5,0
điểm)

Xét thế hình vẽ như trên ta có hướng dẫn chấm như sau:

.

.

5.0

a) Chứng minh rằng:

và ba điểm

Tứ giác

nội tiếp nên

Tứ giác

nội tiếp nên

Tứ giác

nội tiếp nên

1.5

thẳng hàng.

Do đó
Ta lại có:
Suy ra

thẳng hàng

b) Chứng minh rằng:
b)

và

là tia phân giác của

và

vuông góc với

.

2.0

là tứ giác nội tiếp nên

suy ra

là tia phân giác của

Kẻ tiếp tuyến

của đường tròn (O) . Suy ra

Ta lại có :
Vậy

, do đó

nên

c) Tia phân giác của góc

cắt

tại

và

tại

. Chứng minh

lần lượt cắt

. Tia phân giác của các góc
.

1.5

c) Vì
Vì I là trung điểm của BC nên

Ta lại có

nội tiếp nên

Suy ra
Áp dụng tính chất đường phân giác ta có:

Câu 4,
(2,0
điểm).

3. Một ly nước dạng hình trụ có chiều cao là 15cm, đường kính đáy là 5cm,
lượng nước tinh khiết trong ly cao 10cm. Ly nước được đặt cố định trên mặt
bàn bằng phẳng như hình vẽ dưới đây.
a) Tính thể tích lượng nước tinh khiết được chứa trong ly.
b) Người ta thả vào ly nước 5 viên bi hình cầu giống hệt nhau, có cùng thể
tích, đồng chất và ngập hoàn toàn trong nước, làm nước trong ly dâng lên đúng
bằng miệng ly, không tràn ra ngoài. Hỏi thể tích của mỗi viên bi là bao nhiêu
xăng-ti-mét khối? (Giả sử độ dày của ly không đáng kể).
a) Thể tích nước trong ly là:
b) Thể tích phần nước dâng lên là:

2.0

 Thể tích mỗi viên bi là:
4. Một hộp có 30 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 30. Rút ngẫu nhiên hai tấm
thẻ, tìm xác suát của biến cố “Tích hai số trên thẻ là một số chính phương”.
Ta có bảng mô tả không gian mẫu như sau:
Số tấm thẻ 2
Số cách
Số tấm thẻ 1
chọn
còn lại
1
2
……
30
29
2
3
……
30
28
…
….
……
….
….
29
30
1
 n(Ω)=14.30+15=435
Các kết quả thuận lợi cho biến cố là: (1;4), (1;9), (1;16), (1;25), (2;8), (4;9),
(4;16), (3;27), (4;25), (2;18), (3;12), (5;20), (6;24), (7;28)
 n=14

1.0

 Xác suất của biến cố là:

Câu 5:
3.
(3,0
điểm).

Cho

là 3 số thực dương thỏa mãn
1.5

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

.

Áp dụng BĐT Cô si
Tương tự:
Vậy
4.

. Suy ra

Tìm tất cả các cặp nghiệm nguyên của phương trình sau:
.

Đặt:

(1)

Vì x,y nguyên nên các thừa số của vế trái là ước của 1 do đó ta có hai trường
hợp:

+)

+)
Vậy phương trình có hai nghiệm:

.

1.5

Hội đồng chấm thi cần có biên bản thống nhất biểu điểm từng ý đối với hướng dẫn chấm phù hợp.

--------------------- HẾT ---------------------