CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
CHỦ ĐỀ 5: PHƯƠNG PHÁP KẸP TRONG BÀI TOÁN SỐ CHÍNH PHƯƠNG
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Không tồn tại số chính phương nằm giữa hai số chính phương liên tiếp.
Cụ thể: Nếu có

thì k không là số chính phương.

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI:
Dạng 1: Chứng minh một số, một biểu thức số không là số chính phương.
I. Phương pháp giải:
1.

Để chứng tỏ một số

không là số chính phương ta tiến hành theo 3 bước:

Bước 1: Chứng tỏ
Bước 2: Chứng tỏ
Bước 3: Từ 2 bước trên suy ra
2.

không là số chính phương

Sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi biểu thức số:

II. Bài toán:
Bài 1: Chứng minh rằng số

không là số chính phương.

Lời giải:
Nhận thấy:

Suy ra
Vậy

không là số chính phương.

Bài 2: Chứng minh rằng số

không là số chính phương.

TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Lời giải:
Nhận thấy:

Suy ra
Vậy

không là số chính phương.

Bài 3: Chứng minh số

không là số chính phương.

Lời giải:
Ta có

Suy ra
Chứng tỏ

không là số chính phương.

Bài 4: Chứng minh số

không là số chính phương.

Lời giải:
Ta có

Suy ra
Chứng tỏ

không là số chính phương.

Bài 5: Chứng minh rằng:
a)
b)
Lời giải:

không là số chính phương.
không là số chính phương

a) Ta có 
TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC

Trang 2

CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Ta đi chứng minh
Thật vậy :
( 1000 số

)

Mà

Từ
Suy ra

không là số chính phương (ĐPCM)

b) Ta có :

Lại có:
(1000 số

)

Từ
Suy ra

không là số chính phương (ĐPCM)

Bài 6: Chứng minh rằng:
không là số chính phương.
Lời giải:
Ta có :

TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC

Trang 3

CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Lại có:
(100 số

)

Từ
Suy ra

không là số chính phương (ĐPCM)

Dạng 2: Chứng minh biểu thức

không là số chính phương.

I. Phương pháp giải:
- Để chứng tỏ biểu thức

không là số chính phương ta tiến hành theo 3 bước:

Bước 1: Chứng tỏ
Bước 2: Chứng tỏ
Bước 3: Từ 2 bước trên suy ra

không là số chính phương.

- Sử dụng các hằng đẳng thức sau để biến đổi biểu thức:

II. Bài toán:
Bài 1: Chứng minh rằng tích của hai số tự nhiên liên tiếp khác 0 không là số chính phương.
TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC

Trang 4

CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Lời giải:
Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp khác 0 là
Tích 2 số là
Ta có
Mặt khác
Từ
thì

là không là số chính phương.

Vậy tích của hai số tự nhiên liên tiếp khác 0 không là số chính phương (ĐPCM)

Bài 2: Chứng minh rằng tích của bốn số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương.
Lời giải:
Gọi 4 số nguyên dương liên tiếp là
Đặt

Đặt
Nhận thấy
Suy ra

không là số chính phương

Suy ra

không là số chính phương

Vậy tích bốn số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương.

Bài 3: Chứng minh rằng tổng bình phương của bốn số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương.
TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC

Trang 5

CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Lời giải:
Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là
Đặt

Mặt khác ta có:

Từ

Bài 4: Chứng minh rằng

không là số chính phương.

các số sau không là số chính phương

a)
b)
Lời giải:
a) Nhận thấy :
Mà
nên
Cũng có
TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC

Trang 6

CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Mà
nên
Từ

,

thì

b) Nhận thấy

ta có:

thì

không là số chính phương

không là số chính phương

Bài 5 Chứng minh rằng với

là số tự nhiên thì các số sau không phải số chính phương

a)
b)
Lời giải:
a) Ta có:

Mà
nên
không là số chính phương
b)

Ta có:

Mà
nên
không là số chính phương
TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC

Trang 7

CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Bài 6: Chứng minh rằng số có dạng
phương.

trong đó

không là số chính

Lời giải:
Đặt

Với

thì

Mặt khác với

Từ

,

ta có

suy ra

không phải là một số chính phương.

Vậy số có dạng

trong đó

Bài 6: Cho

là số nguyên dương và

CMR:

không là số chính phương.

không là số chính phương (ĐPCM)

là ước nguyên dương của

.

Lời giải:
Giả sử:
Đặt:

là số chính phương.
(1)

TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC

Trang 8

CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Theo bài ra ta có:

vào (1) ta được:
Thay

Do

là các số chính phương nên

Mặt khác:
Vậy

là số chính phương.
không là số chính phương (Mâu thuẫn với giả sử)

không là số chính phương.

Dạng 3: Tìm giá trị của

để biểu thức

là một số chính phương.

I. Phương pháp giải:
Xét các trường hợp có thể xảy ra của . Dùng tính chất “Nếu
thì k không
là số chính phương” đề loại các giá trị không phù hợp của và từ đó chọn giá trị phù hợp của .
II. Bài toán:
Bài 1: Tìm số tự nhiên để

là số chính phương.

Lời giải:
Vì
+)

là số tự nhiên nên ta xét các trường hợp sau:
là số chính phương

+)
Ta có

TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC

Trang 9

CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Mặt khác
Từ

thì
Vậy

thì

Bài 2: Tìm số tự nhiên

là không là số chính phương.
là số chính phương

để

là số chính phương.

Lời giải:
Vì

là số tự nhiên nên ta xét các trường hợp sau:

+)

là số chính phương

+)
Ta có
Đặt
Nhận thấy
Suy ra

không là số chính phương

Suy ra

không là số chính phương với

Vậy

thì

Bài 3: Tìm số tự nhiên

là số chính phương.

để

là số chính phương

Lời giải:
Vì
+)

là số tự nhiên nên ta xét các trường hợp sau:
là số chính phương

TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
10

Trang

CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
+)

là số chính phương

+)
Ta có
Cũng có

không là số chính phương
Vậy với

thì

Bài 4: Tìm số tự nhiên

là số chính phương.

để

là số chính phương

Lời giải:
Vì

là số tự nhiên nên ta xét các trường hợp sau:

+)

không là số chính phương.

+)

là số chính phương.

+)

là số chính phương.

+)
Ta có
Mặt khác ta có:
Xét hiệu:

TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
11

Trang

CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Từ

,
không là số chính phương.

Vậy với

thì

là số chính phương.

Bài 5: Tìm tất các các số nguyên

để :

là số chính phương

Lời giải:
Đặt

hoặc 
Khi

hoặc

không phải là số chính phương

Với

và

Ta có :

Lúc đó :
Bài 6: Tìm số tự nhiên

có 2 chữ số biết rằng

và

đều là các số chính phương

Lời giải:
Ta có số tự nhiên

có 2 chữ số nên

Tìm số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được
Tương ứng với số
Tương ứng
Vậy số tự nhiên

bằng
bằng 37; 73; 121; 181; 253. Trong đó chỉ có 121 là số chính phương.
có 2 chữ số cần tìm là

TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
12

bằng

Trang

CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 7: Tìm số tự nhiên

để

là số chính phương

Lời giải:
Vì

là số tự nhiên nên ta xét các trường hợp sau:

+)
+)

không là số chính phương.
ta xét:

(1)

(2)
Từ (1) và (2)

Vậy

thì

là số chính phương

Dạng 4: Tìm một số chính phương thỏa mãn các điều kiện cho trước.
Bài 1: Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta
được số B cũng là số chính phương. Tìm hai số A và B.
Lời giải:
Gọi

, khi đó:

Ta có :

TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
13

Trang

CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG

(1)
Nhận xét thấy tích với
và

là hai số nguyên dương.
(2)

Từ (1), (2)
Vậy hai số

Bài 2: Tìm 1 số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số đầu lớn hơn số gồm hai chữ số
sau một đơn vị.
Lời giải:
Gọi số chính phương có 4 chữ số là
Đặt

Mặt khác theo bài ra ta có :

Từ

suy ra

hoặc
TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
14

Trang

CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Mà

nên

Do 

Vậy số chính phương có 4 chữ số cần tìm là

Bài 3: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau.
Lời giải:
Gọi số chính phương phải tìm là :
Ta có :
(1)

Mà

là số nguyên tố

(2)

Từ (1),(2) ta suy ra
Mà

Thay

vào (1) ta được :

Bằng phép thử
Vậy số cần tìm là

từ 1 đến 9 ta thấy có

là thỏa mãn

.

TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
15

là số chính phương

Trang

CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 4: Tìm một số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương.
Lời giải:
Gọi số chính phương đó là:
Theo bài ra ta có
Vì

cũng là một số chính phương.

Mặt khác ta có :

Mà y là số chính phương nên

Vậy số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương là

Bài 5: Tìm số có hai chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng các chữ số của nó.
Lời giải:
Gọi số phải tìm là
Theo bài ra ta có:
Khi đó

là một lập phương và

là một số chính phương

Đặt
Vì

TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
16

Trang

CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
hoặc
hoặc
TH1 :

là số chính phương

TH2 :

không là số chính phương ( loại)

Vậy số có hai chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng các chữ số của nó là 27.
Bài 6: Tìm ba số chính phương lẻ liên tiếp mà tổng của chúng là một số có 4 chữ số giống nhau.
Lời giải:
Gọi ba số lẻ liên tiếp đó là:
Ta xét:

(

Theo bài ra ta có

lẻ và

)

(*)

Vì
Mà
Vì

lẻ nên
lẻ nên

+ Thay

vào (*) ta được

TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
17

Trang

CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Mà

là tích 2 số tự nhiên liên tiếp nên chỉ có tận cùng là

+ Thay

Vậy

(loại)

vào(*) ta được

ba số chính phương lẻ liên tiếp cần tìm là

Bài 7: Tìm số chính phương mà nó bằng bình phương của một số có hai chữ số và bằng lập phương
của tổng hai chữ số của số có hai chữ số đó.
Lời giải:
Gọi số chính phương cần tìm là
Theo bài ra ta có

nên

là số chính phương.

Đặt
mà
Nếu

(thỏa mãn)

Nếu

(loại)

Vậy số chính phương cần tìm là

TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
18

Trang

CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 8: Tìm một số chính phương biết nó bằng tổng của một số có hai chữ số với số gồm hai chữ số đó
viết theo thứ tự ngược lại.
Lời giải:
Gọi số chính phương đó có dạng
Theo bài ra ta có :

Mà

là số nguyên tố nên

Mà

Vậy số chính phương cần tìm là

Bài 9: Tìm một số chính phương biết nó bằng bình phương của một số có hai chữ số trừ đi bình
phương của số gồm hai chữ số đó viết theo thứ tự ngược lại.
Lời giải:
Gọi số chính phương đó có dạng
Theo bài ra ta có :

Mà

là số nguyên tố nên

TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
19

Trang

CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Vì
suy ra

là số chính phương

Mà
Mặt khác vì

cùng tính chẵn lẻ nên

Vậy số chính phương cần tìm là

Bài 10: Tìm số chính phương có dạng

, biết :

Lời giải:

Đặt
Mà
nên

Vì

là số nguyên tố

Ta có :

Bài 11: Tìm một số chính phương có 4 chữ số là số là một lập phương của một số tự nhiên.
TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
20

Trang

CHUYÊN ĐỀ 6: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Lời giải:
Gọi số chính phương đó là :
Vì

cũng là một số chính phương.

Ta có :
Mà y là số chính phương nên

Vậy số chính phương cần tìm là

Bài 12: Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố và số đó bằng
bình phương của số có tổng các chữ số là một số chính phương.
Lời giải:
Gọi số phải tìm là :
Vì
Đặt

với

là số chính phương nên

mà d là số nguyên tố nên
với k là 1 số có hai chữ số mà

có tận cùng là 5 và tổng các chữ số của

có tận cùng là 5

là một số chính phương

Vậy

TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC
21

Trang