ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP CUỐI KỲ 2 – TOÁN 9
NĂM HỌC 2025-2026
A. LÝ THUYẾT
1. Ôn tập kiến thức chương VI: Hàm số y = ax2 (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn.
2. Ôn tập kiến thức chương VII: Tần số và tần số tương đối
3. Ôn tập kiến thức chương IX: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp.
4. Ôn tập kiến thức chương X: Một số hình khối trong thực tiễn.
B. BÀI TẬP THAM KHẢO
I. TRẮC NGHIỆM
1. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn
Câu 1. Lương của các công nhân một nhà máy được cho trong bảng sau:
Lương ( triệu
[5;7)
[7;9)
[9;11)
[11;13)
[13;15)
đồng)
Tần số tương đối
20
50
70
40
20
Để vẽ biểu đồ tẩn số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng, ta dùng giá trị nào đại
diện cho nhóm số liệu [9;11) ?
A. 9.
B. 10.
C. 10,5 .
D. 11.
Câu 2: Gieo một con xúc sắc 50 lần và được kết quả như sau.
Số chấm xuất hiện 1
2
3
4
5
6
Tần số
8
7
9
8
6
12
Tần số xuất hiện mặt ba chấm là:
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
Câu 3: Đo chiều cao (đơn vị cm) của học sinh lớp 9A ở một trường THCS trên địa bàn
tỉnh HB ta có bảng tần số ghép nhóm như sau:
Chiều cao
Số học sinh
Khi đó tỉ lệ học sinh có chiều cao từ
đến dưới
là:
A.
B.
C.
D.
Câu 4: Gieo một con xúc xắc 50 lần cho kết quả như sau:
Số chấm xuất hiện 1
2
3
4
5
6
Tần số
8
7
10
8
6
11
Tần số tương đối xuất hiện mặt 5 chấm là:
A. 6%
B. 8%
C.12%
D.14%
Câu 5: Bảng thống kê sau cho biết số lượng mượn các loại sách trong một tuần tại thư
viện của trường THCS:
Loại sách Sách giáo khoa Sách tham khảo Truyện ngắn Tiểu thuyết
Số lượt
20
80
70
30
Tần số tương đối của sách tham khảo là:
A. 10%.
B. 40%.
C. 35%.
D. 15%.
Câu 6. Hình chữ nhật có chiều dài 8cm, chiều rộng 6cm. Quay hình chữ nhật đó một
vòng quanh chiều dài của nó ta được một hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy r.
Kết luận nào sau đây là đúng?
A. r = 8 cm; h = 6 cm.
B. r = 4 cm; h =3 cm.
C. r =3 cm; h = 4 cm.
D. r = 6 cm; h = 8 cm.

Câu 7. Gọi h, r lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của hình trụ (T). Thể tích V của
hình trụ (T) có công thức là:
A. V= 43πr2h.
B. V=23πr2h.
C. V= πr2h.
D. V=13πr2h.
Câu 8. Cho hình trụ có bán kính đáy r = 8cm và diện tích toàn phần 564πcm2. Chiều
cao của hình trụ bằng:
A. 27,25cm.
B. 32,25cm.
C. 70,5cm.
D. 54,5 cm.
Câu 9. Cho hình chữ nhật có chiều dài 3cm, chiều rộng 2cm. Quay hình chữ nhật đó
một vòng quanh chiều dài của nó ta được một hình trụ có diện tích xung quanh bằng
A. 6πcm2.
B. 12cm2.
C. 12πcm2.
D. 18πcm2.
Câu 10. Cho hình cầu có đường kính d = 8cm. Diện tích mặt cầu là:
A. 16π  (cm2)
B. 64π  (cm2)       
 C. 12π  (cm2)
D. 64π  (cm)
3
Câu 11. Cho mặt cầu có thể tích V = 972π (cm ). Tính đường kính mặt cầu:
A. 18cm    
 B. 12cm     
C. 9cm       
D. 16cm
2. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 1. Cho bảng tần số tương đối ghép nhóm về thời gian đi từ nhà đến trường của
học sinh lớp 9A như bảng sau:
Thời gian đến trường (phút)
Tần số tương ứng
Để vẽ biểu đồ tần số tương ứng ghép nhóm dạng đoạn thẳng, ta dùng giá trị nào đại
diện cho nhóm số liệu
?
Câu 2. Thống kê điểm sau 20 lần bắn bia của một xạ thủ như sau
8 9 10 10 9 7 9 10 8 9 10 7 9 10 9 10 8 7 9 10
Xác suất xạ thủ bắn vào điểm 9;10 là?
Câu 3. Số đo cung tương ứng của hình quạt biểu diễn tần số tương đối f3=25% là?
Câu 4. Biểu đồ đoạn thẳng dưới đây biểu diễn số lượng vé bán được với các mức giá
khác nhau của một buổi hòa nhạc, các vé bán được của buổi hòa nhạc nhận các mức
giá 150 nghìn, 200 nghìn là?

Câu 5. Bạn Thủy thống kê số sách mà mỗi bạn trong lớp đã đọc sau tuần lễ đọc sách
và ghi lại trong bảng dưới đây
Số sách (quyển)
0
1
2
3
4
5
Số học sinh
1
4
8
15
7
...
Biết tần số tương đối của giá trị số sách 2 quyển là 20%. Hỏi số học sinh đọc 5 quyển
là bao nhiêu? (5)
Câu 6. Nếu bán kính hình cầu tăng gấp đôi, thể tích tăng bao nhiêu lần?
Câu 7. Nếu đường kính của hình cầu là 12 cm, bán kính của nó là bao nhiêu?

Câu 8. Một hình cầu có diện tích bề mặt là 
, bán kính của nó là bao nhiêu?
Câu 9. Một quả bóng rổ (khi bơm căng) có đường kính 24 cm. Tìm thể tích của quả
bóng rổ đó (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Câu 10. Bạn Nam được tặng một quả bóng đá có đường kính 24 cm. Em hãy giúp bạn
ấy tính xem cần bao nhiêu mét vuông da để chế tạo quả bóng, giả sử rằng diện tích các
mép nối không đáng kể.
Câu 11. Một quả cam có thể tích là 
 . Hỏi bán kính của quả cam là bao nhiêu?
Câu 12. Một bể nước có dạng hình cầu với bán kính 1.5 m. Hãy tính
thể tích của bể nước. (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Câu 13. Tính chiều cao của hình trụ tạo thành khi quay hình chữ
nhật ABCD có CD = 3cm AD = 2cm quanh cạnh AB (hình vẽ). 
Câu 14.Tính diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy 2m
và chiều cao 3m. 
Câu 15. Tính diện tích xung quanh của hình nón có đường kính đáy
d = 10m và chiều cao h = 12m (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 16. Diện tích giấy tối thiểu để quấn quanh một hộp đào ngâm có
dạng hình trụ (Hình vẽ) là bao nhiêu centimét vuông (làm tròn kết quả
đến hàng phần trăm), biết rằng người ta chỉ quấn một lớp giấy quanh
hộp đào? 
Câu 17. Một chiếc nón lá có dạng hình nón với đường kính đáy khoảng
12cm, chiều cao 8cm. Hỏi diện tích xung quanh của chiếc nón đó bằng
bao nhiêu centimet vuông (lấy
 
và làm tròn kết quả đến hàng
phần mười)?
Câu 18. Một khối gỗ có dạng hình trụ với bán kính đáy khoảng 13cm
và chiều cao khoảng 43cm. Hỏi thể tích a khối gỗ đó là bao nhiêu
xentimét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). 
3. Trắc nghiệm đúng sai:
Câu 1: Cho bảng tần số sau:

a) Tần số của điểm 8 là 7……….
b) Tần số của điểm 8 là 12……….
c) Tần số của điểm 8 là 39…………
d) Tần số của điểm 8 là 8…………
Câu 2: Bảng thống kê sau cho biết số lượt mượn các loại sách trong một tuần tại thư
viện của một trường Trung học sơ sở:
Loại sách Sách giáo khoa Sách tham khảo Truyện ngắn
Tiểu thuyết
Số lượt
20
80
60
40
a) Tần số tương đối của số lượt mượn SGK là 10%..........
b) Tần số tương đối của số lượt mượn sách tham khảo là 30%..........
c) Tần số tương đối của số lượt mượn truyện ngắn là 30%..........
d) Tần số tương đối của số lượt mượn tiểu thuyết là 20%..........
Câu 3: Giáo viên chủ nhiệm lớp 9C đã thu được kết quả như sau: Thời gian tự học
dưới 1 giờ có 10 bạn; từ 1 giờ đến dưới 2 giờ có 15 bạn; từ 2 giờ đến dưới 3 giờ có 8
bạn; từ 3 giờ đến dưới 4 giờ có 7 bạn. Dựa vào dữ liệu trên, hãy hoàn thành các bảng
sau vào vở:

Bảng 7.1
c) 15; 10; 8; 7 …….
a) 10; 15; 7; 8 ……..
d) 10; 15; 8; 7 ……
b) 7; 8; 10; 15 …….
Bảng 7.2
a) 25%; 37,5%; 17,5%; 20%.........
c) 37,5%; 17,5%; 20%; 25%……..
b) 25%; 37,5%; 20%; 17,5%..........
d) 17,5%; 20%; 25%; 37,5%..........
Câu 4. Cho một hình trụ có bán kính đường tròn đáy là 2 cm, chiều cao là 6 cm.
a) Diện tích hình trụ là 12cm2
b) Diện tích xung quanh hình trụ là 75,36 cm2
c) Thể tích hình trụ là 75,36 cm3
d) Diện tích đáy của hình trụ nhỏ hơn 12 cm2
Câu 5. Một thùng đựng nước hình trụ có chiều cao h = 20 cm và bán kính đáy R = 7
cm. 
a) Diện tích một đáy là 49 π cm2
b) Diện tích xung quanh là 280 cm2
c) Tổng diện tích là 329 π  cm2
d) nếu muốn sơn toàn bộ mặt ngoài của thùng, diện tích cần sơn là 102 cm2
Câu 6. Một hình nón có bán kính đáy bằng 20 cm, số đo thể
tích (tính bằng cm2) bằng bốn lần số đo diện tích xung quanh
(tính bằng cm2). 
a) Đường sinh SA = 
b) Thể tích hình nón được tính bằng V = 
c) Diện tích xung quanh của hình nón được tính bằng Sxq = 
d) Chiều cao hình nón bằng 15
Câu 7. Bạn Ngọc Anh lấy thước dây đo vòng theo đường
xích đạo của quả địa cầu trong thư viện được độ dài 94,2 cm.
a) Chu vi đường tròn xích đạo là 92,2 cm
b) Diện tích mặt ngoài của quả địa cầu là 900 cm2
c) Thể tích quả địa cầu là 3400 cm3
d) Thể tích quả địa cầu là 4500 cm3
Câu 8. Một hình cầu đặt vừa khít trong một hình trụ có chiều cao
là 18cm.
a) chiều cao của hình trụ bằng đường kính đáy và bằng đường kính
của hình cầu.
b) Bán kính đáy của hình cầu là 9cm. 
c) Thể tích hình trụ là 1348 π cm3
d) Thể tích hình cầu là 972  cm3
Câu 9. Cho hai hình cầu có hiệu các bán kính bằng 3cm và hiệu
các thể tích bằng 1332 cm3
a) thể tích hình cầu lớn và cầu bé lần lượt là V1 = 
  và V2 = 

b) bán kính hình cầu nhỏ và cầu lớn lần lượt là 9cm
và 12 cm
2
c) Diện tích mặt cầu lớn là 324  cm
d) Hiệu diện tích của hai mặt cầu là 152  cm2
Câu 10. Một hình cầu nội tiếp một hình nón bán kính đáy bằng 6cm và đường sinh
bằng 10cm.
a) 
b) bán kính hình cầu r = 3 (cm)
c) Diện tích hình nón là 
d) Diện tích đáy hình nón bằng diện tích mặt cầu.
Câu 11. Cho một hình trụ có bán kính đường tròn đáy
là 2 cm, chiều cao là 6 cm.
a) Diện tích hình trụ là 12 cm2
b) Diện tích xung quanh hình trụ là 75,36 cm2
c) Thể tích hình trụ là 75,36 cm3
d) Diện tích đáy của hình trụ nhỏ hơn 12 cm2
Câu 12. Một hình nón có bán kính đáy bằng 20 cm, số đo thể tích (tính
bằng cm2) bằng bốn lần số đo diện tích xung quanh (tính bằng cm2). 
a) Đường sinh SA = 
b) Thể tích hình nón được tính bằng V = 
c) Diện tích xung quanh của hình nón được tính bằng Sxq =
d) Chiều cao hình nón bằng 15
II. TỰ LUẬN
1. Tần số và tần số tương đối
Bài 1. Người ta tiến hành phỏng vấn 40
người về một mẫu sản phẩm mới. Người
điều tra yêu cầu mỗi người được phỏng
vấn cho điểm mẫu sản phẩm đó theo
thang điểm là 100. Kết quả thống kê như
sau:
Ghép các số liệu trên thành năm nhóm sau:
[50; 60), [60; 70), [70; 80), [80; 90), [90 ; 100).
a) Lập bảng tần số và bảng tần số tương đối theo các nhóm trên.
b) Vẽ biểu đồ tần số ở dạng biểu đồ đoạn thẳng và biểu đồ cột của mẫu số liệu thống
kê đó.
Bài 2. Thống kê điểm sau 46 lần bắn bia của một xạ thủ như sau:

a) Lập bảng tần số của mẫu số liệu thống kê đó.
b) Vẽ biểu đồ tần số ở dạng biểu đồ đoạn thẳng và biểu đồ cột của mẫu số liệu thống
kê đó.
Bài 3. Kết quả đánh giá chất lượng bằng điểm của 40 sản phẩm được cho trong Bảng
24.
a) Lập bảng tần số tương đối của mẫu
số liệu thống kê đó.

b) Vẽ biểu đồ tần số tương đối ở dạng biểu đồ cột và biểu đồ hình quạt tròn của mẫu
số
Bài 4. Biểu đồ bên dưới thống kê thời gian công tác (theo năm) của các y tá ở một
phòng
khám
tư
nhân ở HB.

a) Các y tá của phòng khám có thời gian công tác nhận những giá trị
nào? Tìm tần số mỗi giá trị đó.
b) Phòng khám có tổng bao nhiêu y tá?
c) Lập bảng tần số cho bảng dữ liệu trên.
c) Có bao nhiêu y tá đã công tác ở phòng khám ít nhất 3 năm?
Bài 5. Bảng tần số sau cho biết số học sinh của lớp 9A dự đoán đội
bóng vô địch World Cup 2022
trước khi giải đấu bắt đầu.
Vẽ biểu đồ tần số dạng cột và biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng biểu diễn
bảng tần số trên.

2. Hình khối trong thực tiễn (hình trụ, nón, cầu)
Bài 1. Người ta cần sơn toàn bộ hai mặt của một chao đèn có dạng hình
nón (không tính đáy, độ dày vỏ không đáng kể) với bán kính đáy là 20
cm, độ dài đường sinh là 30 cm. (
)
a) Tính diện tích cần sơn là bao nhiêu?
b) Tính chi phí để sơn hết chao đèn biết giá sơn là 150 đ/cm2.
Bài 2: Bạn Nam được tặng một quả bóng đá có đường kính 24 cm (Hình
2). Em hãy giúp bạn ấy tính xem cần bao nhiêu diện tích da để làm bóng,
giả sử rằng diện tích các mép nối không đáng kể.
Bài 3. Hộp phô mai hình trụ có đường kính đáy 12,2
cm, chiều cao 2,4 cm.
a) Biết rằng 8 miếng phô mai được xếp nằm sát nhau
vừa khít trong hộp (Hình 3). Hỏi thể tích một miếng
phô mai là bao nhiêu?

b) Người ta gói từng miếng phô mai bằng một loại giấy đặc biệt. Giả sử phần giấy gói
vừa khít miếng phô mai. Hãy tính diện tích phần giấy gói mỗi miếng phô mai.
Bài 4. Ta coi một ống nghiệm có phần trên là hình trụ và phần dưới là hình cầu (Hình
4). Hãy tính thể tích nước cần để đổ đầy vào ống nghiệm, coi bề dày của ống nghiệm
không đáng kể.
Bài 5. Một chiếc cốc hình trụ có phần đáy bên trong là một hình tròn bán
kính bằng 12 cm. Chiều cao của mực nước trong cốc là 10 cm (Hình
9.48) (
)
a) Tính thể tích nước trong cốc.
b) Thả một quả cầu bằng kim loại có bán kính 4 cm vào cốc cho đến khi
quả cầu chìm hẳn xuống đáy cốc và mực nước đứng yên. Hỏi mực nước
trong cốc tăng thêm bao nhiêu centimet?
Bài 6: Một cái ly thủy tinh (như hình vẽ), phần phía trên là hình
nón có chiều cao 7cm, có đáy đường tròn bán kính 4cm, lấy
a) Tính thể tích của cái ly (bề dày của ly không đáng kể)
b) Biết trong ly đang chứa rượu với mức rượu đang cách miệng ly
là 3cm và bán kính đáy phần rượu là. Hỏi thể tích còn lại của ly
rượu chiếm bao nhiêu phần trăm thể tích của ly (kết quả làm tròn
đến chữ số thập phân thứ hai).
Bài 7. Giả sử một quả dưa hấu không hạt ruột đỏ dạng hình cầu có
đường kính 25 cm và phần vỏ dày 2 cm.
a) Coi phần ruột màu đỏ cũng có dạng hình cầu và đặc thể tích phần ruột đỏ chiếm
bao nhiêu phần trăm thể tích quả dưa hấu? (kq làm tròn đến số thập phân thứ hai)
b) Người ta ép phần ruột màu đỏ của quả dưa hấu trên thì thể tích nước ép thu được
bằng 80% thể tích phần ruột. Nước ép dưa hấu được đựng trong một ly thủy tinh phần
lòng trong dạng hình trụ có chiều cao 10 cm và đường kính đáy lòng là 5 cm mỗi ly
chỉ chứa 70% nước ép dưa hấu. Hỏi dùng nước ép của một quả dưa hấu nói trên thì
làm ra được bao nhiêu ly nước ép dưa hấu? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
3. Hàm số y = ax2 (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
2
a)
.
b) x −5 x+ 4=0. c) 3x2 -11x +8 = 0
d) x2 - 2√ 2x + 2 = 0
Bài 2. Cho phương trình 2 x2 −5 x +1=0
Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.
Bài 3. Cho phương trình (m+1)x2 -3x +1 = 0
a) Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho là phương trình bậc hai một ẩn
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
c) Tìm m để phương trình có nghiệm kép
Bài 4. Cho phương trình
(1) ( là tham số)
a) Giải phương trình (1) khi
.
để phương trình (1) có hai nghiệm

b) Tìm
Bài 5. Cho phương trình
a) Giải phương trình với

.

thỏa mãn:

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

thòa

mãn:
Bài 6 Cho phương trình x 2−2 ( m−1 ) x +2 m−8=0 ( 1 ) (m là tham số, x là biến số).
1.Giải phương trình khi m = 2
2.Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm x 1 ; x 2 thỏa mãn
2
2
( x 1 +1 ) + 2 m x 2=3 m + 4 m.
4. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp.
Bài 1. Cho tam giác
vuông tại . Lấy điểm bất kì trên đoạn
, đường tròn
đường kính
cắt hai đường thẳng
,
lần lượt tại , . Chứng minh rằng:
a) Tứ giác
nội tiếp.
b)
c) Các đường thẳng
,
,
cùng đi qua một điểm.

B
N

A

M

C

O
D

P
Bài 2. Cho đường tròn
đường kính
. Lấy điểm , thuộc
sao cho
, điểm thuộc cung nhỏ
( khác và ). Gọi là giao điểm của
và
,
là giao điểm của
và
, là giao điểm của
và
.
a) Chứng minh các tứ giác
,
nội tiếp.
b) Chứng minh
.
c) Chứng minh rằng khi các điểm
không thay đổi.

,

di chuyển trên

(thỏa mãn đề bài) thì tổng