Trung tâm bồi dưỡng văn hóa và LTĐH Tâm Minh Tuệ
Địa chỉ: 60 Nhất Chi Mai - Cẩm Lệ - ĐN

Hotline: 0763535094 (Cô Thảo)

BÀI 2: GIẢI HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN.
MÔN TOÁN ĐẠI SỐ LỚP 9-HỌC KỲ I
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Phương pháp thế.
- Các giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:
+ Bước 1: Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào
phương trình còn lại của hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
+ Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ
phương trình đã cho.
2. Phương pháp cộng đại số.
- Các giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.
+ Bước 1: Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình
chỉ còn chứa một ấn.
+ Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ
phương trình đã cho.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
* Dạng 1: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế.
* Phương pháp giải:
- Sử dụng kiến thức cần nhớ.

* Ví dụ: Giải hệ phương trình

.

* Hướng dẫn giải:
* Cách 1: Từ phương trình thứ nhất ta có:
được:
hay

suy ra:

trình đã cho có nghiệm là:

. Từ đó:

cho có nghiệm là:

suy ra:

. Từ đó:

. Thế vào phương trình thứ nhất, ta

. Vậy hệ phương trình đã

.

Đăng ký học thử miễn phí:
2

. Vậy hệ phương

.

* Cách 2: Từ phương trình thứ hai ta có:
được:
hay

. Thế vào phương trình thứ hai, ta

https://bit.ly/TamMinhTue

Trung tâm bồi dưỡng văn hóa và LTĐH Tâm Minh Tuệ
Địa chỉ: 60 Nhất Chi Mai - Cẩm Lệ - ĐN

Hotline: 0763535094 (Cô Thảo)

* Dạng 2: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại
số.
* Phương pháp giải:
- Sử dụng kiến thức cần nhớ.

* Ví dụ: Giải hệ phương trình

.

* Hướng dẫn giải: Nhận thấy hệ số của
nhau sẽ bằng

). Trừ theo vế hai phương trình, ta được
hay

Thế

trong hai phương trình bằng nhau (trừ

suy ra:

hay

.

vào phương trình thứ nhất ta được:

.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là
* Dạng 3: Phương pháp đặt ẩn phụ.

* Phương pháp giải: Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
v là các ẩn khác x, y.

+ Bước 1: Đặt:

. Hệ phương trình trở thành:

. Trong đó: u,

.

+ Bước 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế và đại số.

* Ví dụ: Giải hệ phương trình sau:

* Hướng dẫn giải: Đặt:
ta có:

Đăng ký học thử miễn phí:
2

.

phương trình trở thành:

. Cộng vế theo vế

https://bit.ly/TamMinhTue

Trung tâm bồi dưỡng văn hóa và LTĐH Tâm Minh Tuệ
Địa chỉ: 60 Nhất Chi Mai - Cẩm Lệ - ĐN
suy ra:
Khi đó:

Hotline: 0763535094 (Cô Thảo)

. Thay vào phương trình thứ nhất ta có:

hệ phương trình trở thành:

hay

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

suy ra:

suy ra:

.

.

.

* Dạng 4: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp đồ thị.
* Phương pháp giải:

Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
làm như sau:

bằng phương pháp giải đồ thị, ta

+ Bước 1. Vẽ hai đường thẳng d: ax + by = c và d': a'x + b'y = c' trên cùng một hệ
trục tọa độ.
+ Bước 2. Xác định nghiệm của hệ phương trình dựa vào đồ thị đã vẽ ở Bước 1.
* Ví dụ:

Tìm nghiệm của hệ phương trình sau:

.
* Hướng dẫn giải:
- Vẽ hai đường thẳng:

và

trên cùng

mặt phẳng toạ độ.
- Giao điểm

là nghiệm của hệ phương trình trên.

C. BÀI TẬP ÁP DỤNG
* Dạng 1: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế.
Bài 1. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế

a)

.

b)

Đăng ký học thử miễn phí:
2

.

c)

.

https://bit.ly/TamMinhTue

Trung tâm bồi dưỡng văn hóa và LTĐH Tâm Minh Tuệ
Địa chỉ: 60 Nhất Chi Mai - Cẩm Lệ - ĐN

d)

.

e)

Hotline: 0763535094 (Cô Thảo)

.

f)

.

Bài 2. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế

a)

.

d)

.

b)

.

c)

e)

.

f)

.

.

* Dạng 2: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại
số.
Bài 3. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số

a)

.

d)

b)

.

e)

.

.

c)

.

f)

.

Bài 4. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số

a)

.

b)

.

c)

d)

.

e)

.

f)

.

.

* Dạng 3: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bài 5. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

a)

.

d)

b)

.

.

e)

c)

.

f)

.

.

Bài 6. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

a)

.

b)

Đăng ký học thử miễn phí:
2

.

c)

.

https://bit.ly/TamMinhTue

Trung tâm bồi dưỡng văn hóa và LTĐH Tâm Minh Tuệ
Địa chỉ: 60 Nhất Chi Mai - Cẩm Lệ - ĐN

d)

.

Hotline: 0763535094 (Cô Thảo)

e)

.

f)

.

* Dạng 4: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp đặt ẩn
phụ.
Bài 7. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp đặt ẩn phụ

a)

.

b)

.

c)

d)

.

e)

.

f)

.

.

Bài 8. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp đặt ẩn phụ

a)

.

d)

.

b)

e)

.

.

c)

f)

.

.

* Dạng 5: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp đồ thị.

Bài 9. Cho hệ phương trình

Bài 10.

. Hãy tìm nghiệm của hệ phương trình trên.

Cho hệ phương trình

. Hãy tìm nghiệm của hệ

Cho hệ phương trình

. Hãy tìm nghiệm của hệ

phương trình trên.

Bài 11.
phương trình trên.
D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Trong các hệ phương trình sau, hệ nào không phải là hệ phương trình bậc
nhất hai ẩn?

Đăng ký học thử miễn phí:
2

https://bit.ly/TamMinhTue

Trung tâm bồi dưỡng văn hóa và LTĐH Tâm Minh Tuệ
Địa chỉ: 60 Nhất Chi Mai - Cẩm Lệ - ĐN

A.

Hotline: 0763535094 (Cô Thảo)

B.

C.

Câu 2: Cho hệ phương trình
A.

và

B.

và

C.

và

D.

và

, hệ số

Câu 3: Cho hệ phương trình
trình?
A.

và

của hệ phương trình?

, cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ phương

B.

Câu 4: Hệ phương trình
A.

D.

C.

D.

có nghiệm duy nhất khi:
B.

Câu 5: Hệ phương trình
A. Nghiệm duy nhất
Vô nghiêm

Câu 6: Hệ phương trình
A. Nghiệm duy nhất
Vô nghiêm

Câu 7: Hệ phương trình
A. Nghiệm duy nhất
Vô nghiêm

C.

D.

B. Hai nghiệm

C. Vô số nghiệm D.

B. Hai nghiệm

C. Vô số nghiệm D.

B. Hai nghiệm

C. Vô số nghiệm D.

có?

có?

có?

Câu 8: Để chuẩn bị cho buổi liên hoan của gia đình, bác Ngọc mua hai loại thực phẩm
là thịt lợn và cá chép. Giá tiền thịt lợn là
nghìn đồng/kg. Bác Ngọc đã chi

Đăng ký học thử miễn phí:
2

nghìn đồng/kg, giá tiền cá chép là

nghìn để mua

hai loại thực phẩm

https://bit.ly/TamMinhTue

Trung tâm bồi dưỡng văn hóa và LTĐH Tâm Minh Tuệ
Địa chỉ: 60 Nhất Chi Mai - Cẩm Lệ - ĐN

Hotline: 0763535094 (Cô Thảo)

trên. Gọi
và
lần lượt là số kilogam thịt lợn và cá chép mà bác Ngọc đã
mua. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và
là:
A.

B.

Câu 9: Hệ phương trình
A.

Câu 10:

D.

có vô số nghiệm, khi

có giá trị:

C.

D.

B.

Hệ phương trình

A.
Câu 11:

C.

và

vô nghiệm, khi
B.

Đường thẳng

có giá trị:

C.
và

D.
cắt nhau tại điểm

. Tọa điểm

là cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ phương trình
A.

Câu 12:

B.

Hệ phương trình

B.

C.

D.

Câu 14:
Cho
A. 3

Câu 15:

Cho

A.

Câu 16:

là nghiệm của hệ phương trình
B. 4
C. 2

là các số thực thỏa mãn điều kiện
B.
C. 4

là các số thực thỏa mãn điều kiện:
B.

Cho

D.

có nghiệm là:

A.

Câu 13:
Biết rằng
A. 3

C.

. Tính
D. 5

. Tính
D. 0

. Tính
D.

là nghiệm của hệ phương trình:

Đăng ký học thử miễn phí:
2

C.

?

https://bit.ly/TamMinhTue

Trung tâm bồi dưỡng văn hóa và LTĐH Tâm Minh Tuệ
Địa chỉ: 60 Nhất Chi Mai - Cẩm Lệ - ĐN

Hotline: 0763535094 (Cô Thảo)

Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A.

Câu 17:

B.

Hệ phương trình

A.

Câu 18:

.

Biết rằng

A.
Câu 19:

C.

.

D.

có nghiệm là:
B.

.

C.

.

D.

là nghiệm của hệ phương trình:
B.

.

C.

Có bao nhiêu giá trị của tham số

. Tính

.

D.

để

là một nghiệm của hệ

phương trình:
A.
Câu 20:

.

B. .

C.

Tìm giá trị của tham số

A.

.

B.

D.

để hệ phương trình sau vô số nghiệm:

.

Câu 21:
Tìm giá trị của tham số
nghiệm:

.

C.

.

D. Không tồn tại

để hai hệ phương trình sau có cùng giá trị

và
A.
Câu 22:

A.

.

B.

Tìm giá trị của

.

.

C.
để

B.

.

D.

là nghiệm của hệ phương trình

.

C.

.

D.

Câu 23:
Cho biết , là nghiệm của hệ phương trình
Khẳng định nào dưới đây là đúng:

Đăng ký học thử miễn phí:
2

https://bit.ly/TamMinhTue

Trung tâm bồi dưỡng văn hóa và LTĐH Tâm Minh Tuệ
Địa chỉ: 60 Nhất Chi Mai - Cẩm Lệ - ĐN
A.

B.

Câu 24:
Gọi
A. 26

A. 14

C.

A.

B.

B.

B.

C. 7

Câu 30:

D.

C. 2

D. 3

để hệ phương trình:

C.

B. 2

C. 3

D. 4

Tìm các giá trị của m để phương trình sau có vô số nghiệm:

B. 2

C.

Trên mặt phẳng Oxy, cho điểm

B. 0

Đăng ký học thử miễn phí:
2

có

D. Không tồn tại k

D. 3
với x, y thỏa mãn điều kiện:

Tìm các giá trị của m để điểm M thuộc đường thẳng
A.

có một nghiệm là

Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có vô nghiệm:

A. 1

A.

.

để hai hệ phương trình sau có cùng giá trị

Câu 27:
Tìm tất cả các giá trị của tham số
nghiệm duy nhất.

Câu 29:

. Tính
D. 32

Tìm các giá trị tham số a để hệ phương trình

A. 4

Câu 28:

D.

là nghiệm của hệ phương trình
B. 27
C. 28

Câu 25:
Tìm giá trị của tham số
nghiệm

Câu 26:

Hotline: 0763535094 (Cô Thảo)

C. 2

.
D. 1

https://bit.ly/TamMinhTue

Trung tâm bồi dưỡng văn hóa và LTĐH Tâm Minh Tuệ
Địa chỉ: 60 Nhất Chi Mai - Cẩm Lệ - ĐN
Câu 31:

Có

bao

nhiêu

A. 1
Câu 32:

giá

trị

Hotline: 0763535094 (Cô Thảo)
k

để

B. 2

hệ

phương

trình

C. 3

Tìm tất cả giá trị của tham số

sau

có

nghiệm:

D. 0

để hệ phương trình sau có nghiệm duy

nhất:
A.
Câu 33:

.

Câu 34:

.

C.

.

D.

, cho điểm

để điểm

với

.

C.

.

D.

Số nghiệm của hệ phương trình
B.

.

là:
C.

.

Cho hệ phương trình

D. Vô số nghiệm.

. Chọn câu đúng.

A. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
B. Hệ phương trình vô nghiệm.
C. Hệ phương trình vô số nghiệm.

.

D. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất 
Câu 36:

Tìm tích

Câu 37:

.

để hai đường thẳng cắt nhau tại điểm

.

B. .

C.

Cho hai đường thẳng:

Tìm tích

để hai đường thẳng

A.

.

B.

Đăng ký học thử miễn phí:
2

.

Cho hai đường thẳng:
và

A.

thỏa mãn điều kiện:

thuộc đường thẳng

B.

A. .

Câu 35:

.

Trên mặt phẳng

Tìm giá trị
A.

B.

.

.

D.

.

và

.

cắt nhau tại điểm
.

C.

.

.
D.

.

https://bit.ly/TamMinhTue

Trung tâm bồi dưỡng văn hóa và LTĐH Tâm Minh Tuệ
Địa chỉ: 60 Nhất Chi Mai - Cẩm Lệ - ĐN
Câu 38:

Tìm

để đường thẳng

A.
Câu 39:

.

Tìm các giá trị của

A.

đi qua hai điểm

B.

. C.
và

đồng thời chia hết cho

các

D.

B.

.

D.
giá

.

và

.
Tìm

.

sao cho đa thức

.

C.
Câu 40:

Hotline: 0763535094 (Cô Thảo)

trị

của

.
và

sao

cho

đồng thời chia hết cho
A.

.

C.

Câu 41:

.

.

.

.

là
C.

. Tính

.

D.

Nghiệm của hệ phương trình

Tính
A.

D.

B.

.
.

B.

.

B.

Đăng ký học thử miễn phí:
2

.

là

.

C.

.

D.

Câu 43:
Nghiệm của hệ phương trình
Chọn câu đúng.
A.

và

.

Biết nghiệm của hệ phương trình

A.

Câu 42:

B.

đa

.

là
C.

.

.

.
D.

.

https://bit.ly/TamMinhTue

thức

Trung tâm bồi dưỡng văn hóa và LTĐH Tâm Minh Tuệ
Địa chỉ: 60 Nhất Chi Mai - Cẩm Lệ - ĐN

Câu 44:
.

Kết luận nào đúng khi nói về nghiệm

A.

Câu 45:

.

.
Tìm

.

C.

B.

.

.

C.

A.

B.

.

C.

(

thỏa mãn
.

B.

.

.

Câu 49:

.

Cho hệ phương trình
.

Câu 50:

.
D.

.

để hệ có nghiệm

C.

.

D.

.

. Có bao nhiêu giá trị của

B. .

.

D.

.

. Có bao nhiêu giá trị của

B. .

C.

Cho hệ phương trình

để hệ

.
C.

Cho hệ phương trình

.

.

.

để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn:
A.

.

D.

là tham số). Tìm

phương trình có nghiệm thỏa mãn:
A.

D.

đi qua điểm

Cho hệ phương trình

duy nhất

Câu 48:

.

biết đường thẳng

A.

Câu 47:

B.

của hệ phương trình

Kết luận nào đúng khi nói về nghiệm của hệ phương trình

A.
Câu 46:

Hotline: 0763535094 (Cô Thảo)

mà

.
.

D.

có nghiệm

.

. Tìm

để biểu thức

đạt giá trị lớn nhất.
A.

.

B.

Đăng ký học thử miễn phí:
2

.

C.

.

D.

.

https://bit.ly/TamMinhTue

Trung tâm bồi dưỡng văn hóa và LTĐH Tâm Minh Tuệ
Địa chỉ: 60 Nhất Chi Mai - Cẩm Lệ - ĐN

Câu 51:

Cho hệ phương trình

(

trình có nghiệm duy nhất

thỏa mãn

A.

Câu 52:
A.

.

B.

.

Cho hệ phương trình
.

B.

Đăng ký học thử miễn phí:
2

Hotline: 0763535094 (Cô Thảo)

là tham số). Tìm

C.

để hệ phương

.
.

D.

.

. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi:
.

C. mọi

.

D.

.

https://bit.ly/TamMinhTue