Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch
Tài liệu tự học 2026-2027
CHUYÊN ĐỀ 3.GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ SÁCH GIÁO KHOA
1. ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số
xác định trên tập .
- Số
được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số
trên tập
nếu
với mọi
và tồn
tại
sao cho
.
Kí hiệu
- Số
tại

hoặc

.

được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số
sao cho
.

trên tập

nếu

với mọi

và tồn

Kí hiệu
hoặc
.
Chú ý
- Ta quy ước rằng khi nói giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
(mà không nói "trên tập ")
thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của
trên tập xác định của hàm số.
- Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập , ta thường lập bảng biến thiên của hàm số
trên tập
để kết luận.
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
.
Giải.Tập xác định của hàm số là
.
Cách 1. Sử dụng định nghĩa.
Ta có:; dấu bằng xảy ra khi
Do đó

, tức là khi

hoặc

.

.

-

; dấu bằng xảy ra khi

, tức là khi

. Do đó

.

Cách 2. Sử dụng bảng biến thiên.

Với

, ta có:

.

Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn
Từ bảng biến thiên, ta được:

:
.

Chú ý. Trong thực hành, ta cũng dùng các kí hiệu
để chỉ giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất
(nếu có) của hàm số
trên tập . Do đó, trong Ví dụ 1 ta có thể viết:
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số
Giải.Ta có:

(vì

16

Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng
hàm số không có giá trị lớn nhất trên khoảng

.

).

Tính các giới hạn:
Từ bảng biến thiên, ta được:

trên khoảng

:
;
.

2. CÁCH TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN
Giả sử
là hàm số liên tục trên
và có đạo hàm trên
, có thể trừ ra tại một số hữu hạn
điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn
mà đạo hàm
bằng 0.
1

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch
Tài liệu tự học 2026-2027
Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
:
1. Tìm các điểm
, tại đó
bằng 0 hoặc không tồn tại.
2. Tính
3. Tìm số lớn nhất

và
.
và số nhỏ nhất
trong các số trên. Ta có:

Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Giải.Ta có:

trên đoạn

hoặc

Do đó:

(vì

.

);

.

Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Giải.Ta có:

trên đoạn
hoặc

(vì

.
);

Do đó:
A. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1.Cho hàm số
liên tục trên đoạn

.
và có đồ

thị như hình vẽ. Giá trị lớn nhất của hàm số

trên đoạn

bằng
A. .
C. .

B. .
D. .

Câu 2.Cho hàm số
liên tục trên đoạn
biến thiên như hình vẽ
Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn
A. .
B.
.
C.
.
D. .

Câu 3.Cho hàm số

xác định trên

như hình vẽ bên. Giá trị lớn nhất hàm số

có bảng
bằng

có đồ thị
trên đoạn

là
A. .
Câu 4.Gọi

B. .
C.
.
D. .
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của hàm số
Giá trị của biểu thức
Câu 5.Cho hàm số
đoạn

như hình vẽ bên. Khẳng định nào đúng?

A.
C.

trên đoạn
.
bằng A. .
B. .
liên tục và có bảng biến thiên trên

.
.

B.
D.

.
.

2

C. .

D.

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch
Câu 6.Cho hàm số
liên tục và có bảng biến thiên trên
đoạn

Tài liệu tự học 2026-2027

như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

.

C.

.

B.

.

D.

.

Câu 7.Giá trị lớn nhất của hàm số
A.
.
B. .
Câu 8.Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ
Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên khoảng
A. .
B. .
C.
.

Câu 9.Cho hàm số
sau.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số

trên đoạn
C. .
bằng
D.

có bảng biến thiên trên đoạn
trên đoạn

.

như

trên đoạn

A. .

Câu 12.Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau
Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hàm số
nghịch biến trên
và
B. Giá trị nhỏ nhất của hàm số

trên tập

bằng

C. Giá trị lớn nhất của hàm số

trên tập

bằng 0.

không có đường tiệm cận.

Câu 13.Cho hàm số
liên tục và có đồ thị trên đoạn
như hình vẽ bên. Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
hàm số
trên đoạn
bằng
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 14.Giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
A. 0.

B.

.

C. 4.

Câu 15.Giá trị nhỏ nhất của hàm số
khoảng
là A. .
B.
Câu 16.Cho hàm số

C.

.

B.

.

. D. .

có bảng biến thiên như hình bên.

Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn
A.

D. 20.
trên nửa

.

.

D. .
trên đoạn
là:
D. .

Câu 11.Giá trị lớn nhất của hàm số

bằng

D.

là

A. .
B. .
C. .
Câu 10.Giá trị nhỏ nhất của hàm số
A.
. B. .
C.
.

D. Đồ thị hàm số

bằng:

bằng

C. .

D.

3

B. .

C.

.

D. .

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch
Câu 17.Cho hàm số

Tài liệu tự học 2026-2027

liên tục trên đoạn

và có đồ thị

như hình vẽ sau:
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
đoạn
A. .

trên

.
B. .

C. .

Câu 18.Cho hàm số

D.

.

liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn

như hình vẽ bên.Khẳng định nào sau đây đúng?
A.

.

B.

C.

.

D.

Câu 19.Cho hàm số
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.

.

có bảng xét dấu đạo hàm như sau

.

C.

.

.

B.

.

D.

.

Câu 20.Giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn
là
A. .
B. .
C. .
Câu 21.Cho hàm số
liên tục trên
và có đồ thị như
hình bên.Gọi
lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã
cho trên đoạn
. Giá trị của
là:
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 22.Giá trị nhỏ nhất của hàm số
bằng? A. .

B.

.

.

C. .

D.

.
trên đoạn

B. .

C.

.

D.

.

Câu 24.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
A.

.

trên nửa khoảng

B.

Câu 25.Giá trị lớn nhất của hàm số
A. .
B.
Câu 26.Giá trị nhỏ nhất của hàm số
A. .
B.

.
.
.

Câu 27.Giá trị lớn nhất của hàm số

C.

.

C.

C. .
và có bảng xét dấu

B.
D.

.

4

.

.

trên đoạn
C. .
trên đoạn
là
C. .
trên đoạn

A. .
B. .
Câu 28.Cho hàm số
xác định trên
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.

.

trên đoạn

Câu 23.Giá trị lớn nhất của hàm số
bằng A.

D.

D.

.

là
D.
D.

bằng
D. .
như sau:

.
.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch
Câu 29.Cho hàm số
liên tục trên đoạn
và
có đồ thị trên như hình vẽ sau
Trên đoạn
, hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại điểm
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 30.Cho hàm số
trên đoạn

liên tục trên

Tài liệu tự học 2026-2027

và có đồ thị

như hình vẽ bên dưới. Tổng giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 31.Tìm giá trị lớn nhất
của hàm số
trên đoạn
A.
. B.
. C.
.
D.

bằng

.

Câu 32.Cho hàm số
liên tục trên đoạn
có đồ
thị như hình vẽ. Gọi
và
lần lượt là giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
. Khi đó, tổng
bằng A.
.
B.
.
C.
.
D. .
Câu 33.Giá trị lớn nhất
của hàm số
trên đoạn
A.
. B.

là?
.

C.

.

D.

.

Câu 34.Cho hàm số
có đồ thị trên đoạn
như hình
vẽ. Gọi
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số đã cho trên đoạn
. Tính
.
A. 5.
B. 8.
C. 2.
D. 6.
Câu 35.Giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn
bằng A. .
B. .
C.
.
D. .
Câu 36.Cho hàm số
liên tục trên đoạn
, có bảng
biến thiên như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.

tại

.

B.

C.

tại

.

D.

tại
tại

.

x
f  x 
f x 

.

2

4



0

4

0

 0

3


2
2

1

Câu 37.Cho hàm số
, có đồ thị trên đoạn [-2;2] như hình
vẽ.
Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên
A. 5

lần lượt là
B. 3

Câu 38.Cho hàm số

và

. Khi đó
C. -4

bằng:
D. 0

có đồ thị như hình vẽ. Giá trị lớn

nhất của hàm số
trên đoạn
bằng:
A. 1
B. 4
C. -2
D. -1
Câu 39.Giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
bằng A.
.
B.
.
C. .
D.
.
Câu 40.Gọi

,

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
5

. Khẳng định nào

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch
sau đây đúng?
A.
;
. B.
;
. C.
;
. D.
Câu 41.Cho hàm số
có bảng biến thiên trên đoạn
Giá trị nhỏ nhất của hàm số
A.
. B. .

trên đoạn
C. .

D. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

Tài liệu tự học 2026-2027
;
như sau:

là
D.

.

Câu 1.Sử dụng đồ thị hàm số
(hình bên)
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
a) Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm .
b) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm
c) Hàm số đạt cực đại tại điểm

.

.

d) Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm

và

.

Câu 2.Cho hàm số
liên tục trên đoạn
và có
đồ thị như hình vẽ.
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
a) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
bằng 5.
b) Trên đoạn
,hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm
.
c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
, bằng 1.
d) Trên đoạn
, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm
.
Câu 3.Cho hàm số
liên tục trên đoạn
và có đồ thị như hình vẽ.
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
a) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
bằng 2.
b) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
bằng 2.
c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
bằng
.
d) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn
tại điểm
.
Câu 4.Cho hàm số
có bảng biến thiên như hình vẽ. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
a) Hàm số đồng biến trên khoảng
.
b) Hàm số đạt cực đại tại
và đạt cực tiểu tại
.
c) Hàm số có 3 cực trị.
d) Hàm số có giá trị lớn nhất bằng

và giá trị nhỏ nhất bằng

.
Câu 5.Cho hàm số
có bảng biến thiên như hình vẽ.
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
a) Hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
b)

.

c)

d)

.

Câu 6.Cho hàm số
xác định, liên tục trên
và có bảng biến thiên như hình vẽ.
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
a) Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
.
b) Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm
.
c)

.

d)

.
6

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch
Câu 7.Cho hàm số
a)

Tài liệu tự học 2026-2027
. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau

đạt được khi

.

b)

đạt được khi

.

c) Hàm số đã cho không có giá trị lớn nhất trên . d) Giá trị cực tiểu của
bằng 8.
Câu 8. Cho hàm số
. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
a)
с)

.

b) Hàm số đã cho có ba điểm cực trị.

.

d) Hàm số

Câu 9.Cho hàm số

không có giá trị nhỏ nhất trên tập số thực.

. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau

a) Hàm số
đồng biến trên mỗi khoảng xác định. b) Hàm số
có hai điểm cực trị.
c) Giá trị lớn nhất của hàm số bằng -7.
d) Hàm số
không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên tập xác định của nó.
Câu 10.Cho hàm số
. Đồ thị hàm số
trên đoạn
là đường cong trong hình vẽ. Biết rằng
.
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a)

.

c)

b)
.

.

d)

Câu 11.Cho hàm số
. Đồ thị hàm số
. là đường cong trong hình vẽ.Biết rằng
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a)

.

c)

trên đoạn
.

b)

.

.

d)

Câu 12.Cho hàm số

. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau

a) Đạo hàm của hàm số đã cho là

. b)

c) Hàm số có hai điểm cực trị.
Câu 13.Cho đồ thị hàm số
định trên

là điểm cực tiểu của của hàm số.

d) Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng
có hình vẽ dưới đây và có tập xác

a)Đồ thị hàm số đã cho là của hàm số

.

b)Hàm số đã cho không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
c)Hàm số có đồ thị đã cho đồng biến trên .
d)Đồ thị hàm số đã cho có hai cực trị.
Câu 14.Cho hàm số
Hàm số

có đạo hàm liên tục trên

có đồ thị như hình dưới đây.

a)Hàm số

đồng biến trên khoảng

b)Trên đoạn

thì giá trị lớn nhất của hàm số

c)
d) Hàm số

.

là

.
có hai cực trị
7

.

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch
Câu 15.Cho hàm số

Tài liệu tự học 2026-2027
.

a)Đạo hàm của hàm số đã cho là

.b)Hàm số

c)Hàm số

.

đồng biến trên khoảng

d)Giá trị lớn nhất của

trên đoạn

Câu 16.Cho hàm số
a)

;

là

có

điểm cực trị thuộc

.

.
.

b) Đạo hàm của hàm số đã cho là

c) Nghiệm của phương trình
d) Giá trị lớn nhất của

trên đoạn
trên đoạn

Câu 17.Cho hàm số

là

là

.

.

b)Nghiệm của phương trình
c)Giá trị nhỏ nhất của

.
trên đoạn

trên đoạn

Câu 18.Cho hàm số
a) Một nghiệm của phương trình

là
là

.

.

d)

;

.

.
là

.

c) Đạo hàm của hàm số là

b)

.

.

d) Tổng các nghiệm của phương trình

trong đoạn

Câu 19.Cho hàm số

. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Hàm số đã cho có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên

tại

d) Có 20 giá trị nguyên của

.

trên đoạn

. Khi đó

.
để phương trình

có 3 nghiệm phân biệt

.

Câu 20.Cho hàm số

. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Hàm số đã cho có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên
b)Gọi

bằng

.

lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

c) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên
trên

.

.

a)Đạo hàm của hàm số đã cho là

b)Gọi

.

.

lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

c) Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên
d) Có 2026 giá trị nguyên của

tại

trên

. Khi đó

.
để bất phương trình

.
Câu 21.Cho hàm số

8

nghiệm đúng

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch
a)

Tài liệu tự học 2026-2027

.

b)

.

c)Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

trên đoạn

d)Hàm số
đạt giá trị lớn nhất trên đoạn
Câu 22.Cho hàm số
a) Tập xác định của hàm số là

.

tại

lần lượt là
.

b) Đạo hàm của hàm số là

c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

bằng .

d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn

bằng

.

.

.

Câu 23.Cho hàm số
a) Tập xác định của hàm số là

.

b) Đạo hàm của hàm số là

c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

bằng .

d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn

bằng

.

.

Câu 24.Cho hàm số
a)Đạo hàm của hàm số
c)Giá trị của hàm số

là

. b)Hàm số

tại điểm

là

có một điểm cực tiểu.

d)Hàm số đồng biến trên khoảng

.
Câu 25.Một hồ nước nhân tạo có dạng tam giác
, bên bờ
có một phần đất nhô ra dạng bán đảo
. Trong mô hình
minh họa với hệ trục
bờ của bán đảo
là một phần của
đường parbol có đỉnh
và cắt trục hoành tại hai điểm có
hoành độ lần lượt là
và
. Bờ BC là một phần của
đường thẳng cắt trục
tại điểm

tại điểm

và cắt trục

(hình vẽ). Người ta dự định xây một cây

cầu MH từ bán đảo (P) đến bờ BC sao cho chiều dài cây cầu ngắn nhất với
là điểm có hoành độ
nằm trên bờ của bán đảo
. (Đơn vị đo độ dài trên mỗi trục tọa độ là 10m).
a) Đường thẳng
có phương trình là
.
b)

có tọa độ là

c) Khoảng cách từ

với
đến bờ

.

là

.

d)Chiều dài của cây cầu
bằng 20 mét.
Câu 26. Nhà máy chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy . Hai nhà máy thỏa thuận
rằng, hằng tháng nhà máy
cung cấp cho nhà máy số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng
của nhà máyB.Nếu số lượng đặt hàng là tấn sản phẩm thì giá bán mỗi tấn sản phẩm là
(triệu đồng). Chi phí để nhà máy
sản xuất tấn sản phẩm trong một
tháng là
(triệu đồng).
a) Chi phí để nhà máy sản xuất
tấn sản phẩm trong một tháng là
triệu đồng.
b) Số tiềnnhà máy thu được khi bán
tấn sản phẩm cho nhà máy là
triệu đồng.
9

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch
c) Lợinhuận mànhà máy
thu được khi bán

tấn sản phẩm

Tài liệu tự học 2026-2027
cho nhà máy là

(triệu đồng).
d)Để thu được lợi nhuận lớn nhất thì mỗi tháng nhà máy bán cho nhà máy
khoảng
tấn sản phẩm(số tấn làm tròn đến hàng phần chục)
Câu 27.Một trang trại nuôi tôm dự định thả nuôi không quá 600.000 con tôm
giống. Nếu trang trại thả nuôi con tôm giống thì sản lượng tôm thu hoạch
được ước tính là
(kg). Trong khi chi phí
thức ăn bình quân cho mỗi con tôm là
(đồng) và giá bán mỗi kg tôm là 150.000 đồng.
a)Chi phí thức ăn khi trang trại thả nuôi con tôm giống là
(đồng).
b)Số tiền bán được khi trang trại thả nuôi 1000 con tôm giống là 450000000 (đồng).
c) Lợi nhuận thu được khi trang trại thả nuôi con tôm giống là
(đồng).
d) Khi trang trại thả nuôi 1263 con tôm giống thì lợi nhuận thu được là lớn nhất.
Câu 28. Một tàu đổ bộ tiếp cận Mặt Trăng theo cách tiếp cận thẳng
đứng và đốt cháy các tên lửa hãm ở độ cao
so với bề mặt của
Mặt Trăng. Trong khoảng
giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các
tên lửa hãm, độ cao của con tàu so với bề mặt của Mặt Trăng được
tính (gần đúng) bởi hàm
, trong
đó là thời gian tính bằng giây và là độ cao tính bằng
.
Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau.
a)Con tàu đạt khoảng cách
so với bề mặt của Mặt Trăng tại
thời điểm
(s).
b)Gọi
là vận tốc tức thời của con tàu ở thời điểm (giây) kể từ
khi đốt cháy các tên lửa hãm với
.
Vận tốc tức thời của con tàu tại thời điểm
(giây) là
c)Trong khoảng thời gian từ giây thứ
đến giây thứ , độ cao của con tàu tăng dần so với bề mặt của
Mặt Trăng.
d)Với
thì tại thời điểm
giây, con tàu đạt khoảng cách nhỏ nhất so với bề mặt của Mặt
Trăng và khoảng cách nhỏ nhất này bằng
(làm tròn đến hàng đơn vị).
Câu 29.Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được
giám sát bởi bác sĩ. Biết nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong giờ được
cho bởi công thức
a)Sau khi tiêm thuốc

.
giờ thì nồng độ thuốc trong máu của bện nhân bằng

b) Sau khi tiêm thuốc thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân có thể vượt quá
c)Sau khi tiêm thuốc giờ thì nồng độ thuốc trong máu của bện nhân cao nhất.
d) Sau khi tiêm thuốc thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất bằng
Câu 30.Những ngày giáp Tết Nguyên Đán
cũng là dịp bước vào vụ Đông Xuân, bà con
nông dân tích cực xuống đồng cấy lúa. Cây lúa
sau khi được cấy trải qua quá trình tăng trưởng
để nhanh và phát triển chiều cao trước khi làm
đòng, trổ bông. Qua nghiên cứu một giống lúa
mới, các nhà khoa học nhận thấy một cây lúa
tính từ lúc được cấy bằng một cây mạ với chiều
cao
có tốc độ tăng trưởng chiều cao cho
bởi hàm số
, trong đó tính
10

.
.
.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch
theo tuần,
tính bằng cm/tuần. Gọi
a)

.

Tài liệu tự học 2026-2027
là chiều cao của cây lúa ở tuần thứ
.
b) Giai đoạn tăng trưởng chiều cao của cây lúa kéo dài 12 tuần.

c) Chiều cao tối đa của cây lúa là
.
d) Vào thời điểm cây lúa phát triển nhanh nhất, chiều cao của cây đã lớn hơn
Câu 31.Một tấm nhôm hình vuông cạnh
. Người ta cắt ở
bốn góc của tấm nhôm đó bốn hìnhvuông bằng nhau, mỗi hình
vuông có cạnh bằng
, rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ
dưới đây để được một cái hộp không nắp.
a)Thể tích khối hộp nhận được khi tính theo là
.
b)Khi

thì thể tích của khối hộp nhận được là

c)Để hộp nhận được có thể tích lớn nhất thì

.

. d)Hộp nhận được có thể tích lớn nhất là

Câu 32.Trong một phòng thí nghiệm có máy đo nồng độ khí
thay đổi theo thời gian
(khi nói nồng độ khí

cho thấy: nồng độ khí

(tính bằng giờ) và được thể hiện qua hàm số

.

trong phòng
với

trong không khí là 400 ppm, điều đó có nghĩa là trong một triệu phần thể tích của

không khí, có 400 phần thể tích là khí
a)Nồng độ khí

.

).

trong phòng tại thời điểm

c)Nghiệm của phương trình

là

là 400

. b)

với

.

.

d)Nồng độ khí
cao nhất đo được trong phòng thí nghiệm (làm tròn đến hàng đơn vị) là 947
.
Câu 34.Một công ty nước ngoài đang cần thuê nhân viên để bán các hợp đồng bảo hiểm cho khách hàng.
Công ty nhận thấy nếu thuê nhân viên với chi phí là
/tuần cho mỗi nhân viên thì công ty sẽ bán
được
hợp đồng bảo hiểm. Do hạn chế về không gian, công ty không thể thuê quá 7
nhân viên. Biết công ty nhận được 50 USD cho mỗi hợp đồng bán ra, chi phí cố định mỗi tuần là 2500
USD.
a)Điều kiện của là:
và
.
b)Chi phí hàng tuần mà công ty phải thanh toán là

.

c)Lợi nhuận hàng tuần của công ty là
.
d)Công ty cần thuê 6 nhân viên để đạt lợi nhuận hàng tuần nhiều nhất.
Câu 35.Một trang trại cần xây một bể chứa nước hình trụ bằng bê tông (có
nắp đậy) để chứa
nước tưới tiêu. Chi phí xây dựng chủ yếu phụ
thuộc vào diện tích bề mặt bê tông cần sử dụng (diện tích toàn phần của bể
tính theo phần bên trong của bể). Theo hợp đồng với nhà thầu xây dựng, chi
phí mỗi mét vuông xây dựng theo cách tính trên là
triệu đồng. Gọi là
bán kính đáy và là chiều cao của bể (đơn vị tính của
là mét).
a)Thể tích của bể là:

.

b)Diện tích toàn phần

của bể chứa nước được biểu diễn theo bán kính

là

.

c)Để tiết kiệm chi phí nhất, bể nên được xây với bán kính đáy là
d)Chi phí thấp nhất để xây dựng bể chứa nước nói trên là
vị).
11

.

triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng đơn

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch
Tài liệu tự học 2026-2027
Câu 36.Người ta ước tính rằng số lượng cá thể của một loài có nguy cơ tuyệt chủng vẫn còn trong tự nhiên
năm sau khi chính sách bảo vệ được thiết lập có thể được mô hình hoá bằng hàm số
.
a)Số lượng cá thể của loài đó tại thời điểm khi bắt đầu thiết lập chính sách bảo vệ là 150 con.
b)Sau khi chính sách bảo vệ được thiết lập, số lượng cá thể của loài đó lúc đầu tăng nhưng sau đó sẽ giảm
dần.
c)Cần ít nhất 50 năm kể từ khi chính sách bảo vệ được thiết lập để số lượng cá thể của loài đó sẽ vượt mức
300 con.
d)Số lượng cá thể của loài đó không bao giờ vượt quá 600 con.
Câu 37.Trong một thí nghiệm xử lý nước thải tại phòng thí nghiệm, người ta quan sát sự thay đổi nồng độ
một chất ô nhiễm (đơn vị: NTU – chỉ số biểu thị mức độ ô nhiễm, giá trị càng cao thì mức độ ô nhiễm càng
lớn) trong bể nước theo thời gian t (tính bằng giờ) kể từ khi bắt đầu thử nghiệm. Khi bắt đầu, một lượng hóa
chất được đưa vào bể. Nhờ quá trình phản ứng, hấp thụ và tự phân hủy sinh học, mức độ ô nhiễm thay đổi
theo thời gian và được mô phỏng xấp xỉ bằng công thức:

, với

(Đồ thị dưới đây biểu

diễn mức độ ô nhiễm của nước theo thời gian)
a)Tại thời điểm độ ô nhiễm đạt mức thấp nhất, nước đã đạt
trạng thái sạch ổn định.
b)Trong toàn bộ quá trình theo dõi, nồng độ ô nhiễm không
vượt quá 5NTU.
c)Sau 1 giờ kể từ khi thử nghiệm bắt đầu, nồng độ ô nhiễm
trong nước là 3,5NTU.
d)Nồng độ ô nhiễm đạt mức thấp nhất tại thời điểm

.

Câu 38.Chi phí nhiên liệu của một chiếc tàu chạy trên sông được chia làm hai phần. Phần thứ nhất không
phụ thuộc vào vận tốc và bằng
nghìn đồng trên giờ. Phần thứ
hai tỉ lệ thuận với lập phương của vận tốc, khi
(km/h) thì phần
thứ hai bằng
nghìn đồng trên một giờ.
a) Khi vận tốc
(km/h) thì chi phí nguyên liệu cho phần thứ nhất
trên một kilomet đường sông là
đồng.
b) Hàm số xác định tổng chi phí nguyên liệu trên một kilomet đường
sông với vận tốc

(km/h) là

.

c) Khi vận tốc
(km/h) thì tổng chi phí nguyên liệu trên một km đường sông là 43000 đồng.
d)Vận tốc nhỏ nhất của tàu là
(km/h) thì tổng chi phí nguyên liệu trên một km đường sông là nhỏ
nhất
Câu 39.Giá của một mã cổ phiếu (đơn vị tính: nghìn đồng) trong ngày thứ của quý năm
được
cho bởi hàm số
a)Giá của cổ phiếu
vào ngày thứ
trong quý (ngày
tháng
năm
) là
nghìn đồng/cổ
phiếu.
b)Giá của mã cổ phiếu
liên tục giảm trong cả quý .
c)Giá của mã cổ phiếu đạt mức cao nhất trong quý là
nghìn đồng/cổ phiếu.
d)Một nhà đầu tư mua
cổ phiếu
vào ngày thứ
và bán hết vào ngày thứ
. Nếu tất cả các loại
thuế và phí nhà đầu tư này phải nộp cho mỗi lần giao dịch (mua hoặc bán cổ phiếu) là
tổng giá trị
giao dịch thì lãi ròng (sau khi trừ các loại thuế và phí) mà nhà đầu tư đó thu được qua vụ đầu tư này là

12

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch
triệu
nghìn đồng.
Câu 40.Trong một trận bóng đá, một cầu thủ hậu vệ
A đang có bóng ở phần sân nhà và quyết định
chuyền bóng cho tiền đạo B của đội mình. Giả sử tại
thời điểm ban đầu
, quả bóng bắt đầu rời chân
hậu vệ A, Do đường chuyền bị lỗi nên sau khi
chuyền, quả bóng bay lên và chạm mặt sân lần đầu
tiên ở giây thứ tư, rồi lại bay lên và chạm mặt sân
lần thứ hai ở giây thứ sáu. Độ cao tính bằng mét của
quả bóng so với mặt đất ở giây thứ

Tài liệu tự học 2026-2027

được cho bởi hàm số liên tục
a)

.

b)

.
.

c)
.
d)Độ cao lớn nhất mà quả bóng đạt được so với mặt sân trong 6 giây đầu là 3 mét.
C. TRẢ LỜI NGẮN
Câu 1.Bạn An có một đoạn dây thép dài
muốn uốn thành một
kim tự tháp có dạng chóp tứ giác đều (đoạn dây thép được uốn thành 4
cạnh bên và 4 cạnh đáy của kim tự tháp). Hỏi thể tích lớn nhất của kim
tự tháp bạn An có thể làm được là bao nhiêu? (đơn vị:
, kết quả làm
tròn đến hàng phần trăm).
Câu 2.Một vật chuyển động theo quy luật

,

với được đo bằng đơn vị giây là khoảng thời gian từ lúc bắt đầu
chuyển động. Hỏi trong 12 giây đầu tiên kể từ lúc bắt đầu chuyển động
vật đạt được vận tốc lớn nhất là bao nhiêu?
Câu 3.Để tích trữ nước ngọt sinh hoạt chuẩn bị cho mùa hạn mặn ở
Đồng bằng sông Cửu Long, một hộ dân muốn xây một bể nước không
nắp dạng khối hộp chữ nhật