Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

BÀI 5: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN THỰC
TIỄN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
1. TỐC ĐỘ THAY ĐỔI CỦA MỘT ĐẠI LƯỢNG
Giả sử

là một hàm số của

và ta viết

và sự thay đổi tương ứng của
Tỉ số

. Nếu

thay đổi từ

, thì sự thay đổi của

là

là

được gọi là tốc độ thay đổi trung bình của

Giới hạn

đến

đối với

trên đoạn

được gọi là tốc độ thay đổi tức thời của

đối với

.
tại điểm

.

Như vậy, đạo hàm
là tốc độ thay đổi tức thời của đại lượng
đối với tại điêm
. Dưới
đây, chúng ta xem xét một số ứng dụng của ý tưởng này đối với vật lí, hoá học, sinh học và kinh tế:
- Nếu
là hàm vị trí của một vật chuyển động trên một đường thẳng thì
biểu thị vận tốc tức
thời của vật (tốc độ thay đổi củ̉a độ dịch chuyển theo thời gian). Tốc độ thay đổi tức thời của vận tốc theo
thời gian là gia tốc tức thời của vật:

.

-Nếu
là nồng độ của một chất tham gia phản ứng hoá học tại thời điểm , thì
ứng tức thời (tức là độ thay đổi nồng độ) của chất đó tại thời điểm .

là tốc độ phản

- Nếu
là số lượng cá thể trong một quần thể động vật hoặc thực vật tại thời điểm , thì
thị tốc độ tăng trưởng tức thời của quần thể tại thời điểm .
- Nếu
thời

là hàm chi phí, tức là tổng chi phí khi sản xuất

biểu

đơn vị hàng hoá, thì tốc độ thay đổi tức

của chi phí đối với số lượng đơn vị hàng được sản xuất được gọi là chi phí biên.

- Về ý nghĩa kinh tế, chi phí biên
xấp xỉ với chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hoá tiếp theo,
tức là đơn vị hàng hoá thứ
(xem SGK Toán 11 tập hai, trang 87 , bộ sách Kết nối tri thức với cuộc
sống).
Ví dụ 1. Khi bỏ qua sức cản của không khi, độ cao (mét) của một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ
điểm cách mặt đất
với vận tốc ban đầu
là
NXB Giáo dục Việt Nam, 2016).
a) Tìm vận tốc của vật sau 2 giây.
b) Khi nào vật đạt độ cao lớn nhất và độ cao lớn nhất đó là bao nhiêu?
c) Khi nào thì vật chạm đất và vận tốc của vật lúc chạm đất là bao nhiêu?
Lời giải

(theo Vật lí đọi cương,

a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc của vật là

.

Do đó, vận tốc của vật sau 2 giây là
b) Vì

là hàm số bậc hai có hệ số

.
nên

(giây). Khi đó, độ cao lớn nhất của vật là

đạt giá trị lớn nhất tại
.

c) Vật chạm đất khi độ cao bằng 0 , tức là

, hay

(giây).

Vận tốc của vật lúc chạm đât là
.
Vận tốc âm chứng tỏ chiều chuyển động của vật là ngược chiều dương (hướng lên trên) của trục đã chọn
(khi lập phương trình chuyển động của vật).
Ví dụ 2. Giả sử số lượng của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được
mô hinh hoá bằng hàm số
, trong đó thời gian được tính bằng giờ. Tại thời điểm ban đầu
, quần thể có 20 tế bào và tăng với tốc độ 12 tế bào/giờ. Tìm các giá trị của và . Theo mô hình này,
điều gì xảy ra với quần thể nấm men về lâu dài?
Lời giải
1

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Ta có:

.

Theo đề bài, ta có:

và

. Do đó, ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình này, ta được

Khi đó,

và

, tức là số lượng quần thể nấm men luôn tăng.

Tuy nhiên, do
100 tế bào.

nên số lượng quần thể nấm men tăng nhưng không vượt quá

Ví dụ 3. Giả sử chi phí

(nghìn đồng) để sản xuất

hàm số

đơn vị của một loại hàng hoá nào đó được cho bởi

.

a) Tìm hàm chi phí biên.
c) So sánh

.

b) Tìm

và giải thích ý nghĩa.

với chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ 201.
Lời giải

a) Hàm chi phí biên là

.

b) Ta có:
.
Chi phí biên tại
là 14300 nghìn đồng, nghĩa là chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hoá tiếp
theo(đơn vị hàng hoá thứ 201) là khoảng 14300 nghìn đồng.
c) Chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ 201 là
(nghìn đồng)
Giá trị này xấp xỉ với chi phí biên
đã tính ở câu b.
Ví dụ 4. Để loại bỏ
chất gây ô nhiễm không khí từ khí thải của một nhà máy, người ta ước tính chi phí
cần bỏ ra là

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

. Tự đó, hãy cho biết:
a) Chi phí cần bỏ ra sẽ thay đổi như thế nào khi tăng?
b) Có thể loại bỏ được
chất gây ô nhiễm không khí không? Vì sao?
Lời giải
Xét hàm số
Ta có:-

.
, với mọi

Do đó hàm số luôn đồng biến trên nửa khoảng
-

.
.

, nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là

2

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số như Hình 1.34 .
a) Chi phí cần bỏ ra

sẽ luôn tăng khi

tăng.

b) Vì
(hàm số
không xác định khi
nên nhà máy không thể loại bỏ
chất gây ô nhiễm không khí
(dù bỏ ra chi phí là bao nhiêu đi chăng nữa)

2. MỘT VÀI BÀI TOÁN TỐI ƯU HOÁ ĐƠN GIẢN
Một trong những ứng dụng phổ biến nhất của đạo hàm là cung cấp một phương pháp tổng quát, hiệu quả để
giải những bài toán tối ưu hoá. Trong mục này, chúng ta sẽ giải quyết những vấn đề thường gặp như tối đa
hoá diện tích, khối lượng, lợi nhuận, cũng như tối thiểu hoá khoảng cách, thời gian, chi phí.
Khi giải những bài toán như vậy, khó khăn lớn nhất thường là việc chuyển đổi bài toán thực tế cho bằng lời
thành bài toán tối ưu hoá toán học bằng cách thiết lập một hàm số phù hợp mà ta cần tìm giá trị lớn nhất
hoặc giá trị nhỏ nhất của nó, trên miền biến thiên phù hợp của biến số.
Quy trình giải một bài toán tối ưu hoá:
Bước 1. Xác định đại lượng
mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất hoặc nhỏ nhất và biểu
diễn nó qua các đại lượng khác trong bài toán.
Bước 2. Chọn một đại lượng thich hợp nào đó, kí hiệu là , và biểu diễn các đại lượng khác ở Bước 1 theo
. Khi đó, đại lượng

sẽ là hàm số của một biến

. Tìm tập xác định của hàm số

.

Bước 3. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số
bằng các phương pháp đã biết và
kết luận.
Ví dụ 5. Một nhà sản xuất cần làm những hộp đựng hình trụ có thể tích 1 lít. Tìm các kích thước của hộp
đựng để chi phí vật liệu dùng để sản xuất là nhỏ nhất (kết quả được tính theo centimét và làm tròn đến chữ
số thập phân thứ hai).
Lời giải
Đổi 1 lít

.Gọi

là bán kính đáy của hình trụ,

Diện tích toàn phần của hình trụ là:
Do thể tích của hình trụ là

là chiều cao của hình trụ.

.
nên ta có:

, hay

Do đó, diện tích toàn phần của hình trụ là:
Ta cần tìm sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.

.

Ta có
Bảng biến thiên:

Khi đó:
.
Vậy cần sản xuất các hộp đựng hình trụ có bán kính đáy
và chiều cao
3

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Chú ý. Từ lời giải Ví dụ 5 ta thấy: Nếu hình trụ có thể tích
nhỏ nhất khi chiều cao bằng đường kính đáy.
Ví dụ 6. Giải bài toán trong tình huống mở đầu.
Lời giải
Gọi

(nghìn đồng) là giá của mỗi vé;

giả thiết, tốc độ thay đổi của
Giá vé

là số khán giả mua vé. Ta cần xác định hàm cầu

tỉ lệ với tốc độ thay đổi của

ứng với

và giá vé

Do đó, phương trình đường thẳng

Hàm doanh thu từ tiền bán vé là
Ta cần tìm

sao cho

không đổi thì diện tích bề mặt của hình trụ

nên hàm số

là hàm số bậc nhất.

ứng với

đi qua hai điểm

.
và

, hay

. Theo

là

, tức là

.

đạt giá trị lớn nhất.

Ta có:
Bảng biến thiên:
Vậy với giá vé là 95 nghìn đồng một vé thì doanh thu bán vé là lớn nhất.
Ví dụ 7. Một nhà phân tích thị trường làm việc cho một công ty sản xuất thiết bị gia dụng nhận thấy rằng
nếu công ty sản xuất và bán chiếc máy xay sinh tố hằng tháng thì lợi nhuận thu được (nghìn đồng) là
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
. Sử dụng
đồ thị đã vẽ để trả lời các câu hỏi sau:
a) Khi chỉ sản xuất một vài máy xay sinh tố, công ty sẽ bị lỗ (vì lúc này lợi nhuận âm). Hỏi hằng tháng công
ty phải sản xuất ít nhất bao nhiêu chiếc máy xay sinh tố để hoà vốn?
b) Lợi nhuận lớn nhất mà công ty có thể đạt được là bao nhiêu? Công ty có nên sản xuất 200 chiếc máy xay
sinh tố hằng tháng hay không?
Lời giải
Xét hàm số
Ta có:

.

-

(vì

với mọi

.

Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng
khoảng

).

. Tại

và nghịch biến trên

với mọi
Bảng biến thiên:

, hàm số đạt cực đại và
.

-

.

Đồ thị hàm số như Hình 1.36 (ở đây ta lấy một đơn vị trên trục hoành bằng 1000 đơn vị trên trục tung).

4

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Từ đồ thị đã vẽ suy ra:
a) Đồ thị xuất phát từ điểm
, ở phia dưới trục hoành (tức là công ty đang bị lõm), và giao với
trục hoành tại điểm đầu tiên có hoành độ
. Do đó, hằng tháng công ty cần sản xuất ít nhất 20 chiếc
máy xay sinh tố để hoà vốn.
b) Từ đồ thị ta thấy khi sản xuất hơn 100 chiếc máy xay sinh tố mỗi tháng thì càng sản xuất nhiều lợi nhuận
càng giảm. Do đó, công ty không nên sản xuất 200 chiếc máy xay sinh tố hằng tháng.
Lợi nhuận lớn nhất mà công ty có thể thu được là
(nghìn đồng), tức là 192 triệu
đồng, đạt được khi sản xuất đúng 100 chiếc máy xay sinh tố mỗi tháng.
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
1.26. Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho toạ độ của
hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm (giây) là
.
a) Tìm các hàm vận tốc và gia tốc.
b) Khi nào thì hạt chuyển động lên trên và khi nào thì hạt chuyển động xuống dưới?
c) Tìm quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian
.
d) Khi nào hạt tăng tốc? Khi nào hạt giảm tốc?
1.27. Giả sử chi phí (tính bằng trăm nghìn đồng) để sản xuất đơn vị hàng hoá nào đó là:
a) Tìm hàm chi phí biên.
b) Tìm

và giải thich ý nghĩa của nó.

c) So sánh
với chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ 101
1.28. Người quản lí của một khu chung cư có 100 căn hộ cho thuê nhận thấy rằng tất cả các căn hộ sẽ có
người thuê nếu giá thuê một căn hộ là 8 triệu đồng một tháng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng,
trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm 100 nghin đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống.
Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất?
1.29. Giả sử hàm cẩu đối với một loại hàng hoá được cho bởi công thức
trong đó
là
giá bán (nghin đồng) của mỗi đơn vị sản phẩm và là số lượng đơn vị sản phẩm đã bán.
a) Tìm công thức tính như là hàm số của . Tìm tập xác định của hàm số này. Tính số đơn vị sản phẩm
đã bán khi giá bán của mỗi đơn vị sản phẩm là 240 nghin đồng.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
. Tử đồ thị đã vẽ, hãy cho biết:
- Số lượng đơn vị sản phẩm bán được sẽ thay đổi thế nào khi giá bán
tăng;
- Ý nghĩa thực tiễn của giới hạn
.
C. TRẮC NGHIỆM 4 PHƯƠNG ÁN
Câu 1:Công suất (đơn vị ) của một mạch điện được cung cấp bởi một nguồn pin
công thức

với

(đơn vị

được cho bởi

) là cường độ dòng điện. Tìm công suất tối đa của mạch điện.
5

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

A.
.
B. .
C.
.
D.
.
Câu 2:Khi nuối cá thí nghiệm trong hồ, một nhà khoa học đã nhận thấy rằng: nếu trên mỗi đơn vị diện tích
của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng là
. Hỏi phải
thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?
A. 14
B. 13
C. 12
D. 11
Câu 3:Để giảm nhiệt độ trong phòng từ
Gọi

(đơn vị

, một hệ thống làm mát được phép hoạt động trong 10 phút.

) là nhiệt độ phòng ở phút thứ

được cho bởi công thức

với

. Tìm nhiệt độ thấp nhất trong phòng đạt được trong thời gian 10 phút kể từ khi hệ thống làm mát
bắt đầu hoạt động.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 4:Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá
2.000.000 đồng mỗi tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ
100.000 đồng mỗi tháng thì có thêm 2 căn hộ bị bỏ trống. Muốn có thu nhập cao nhất, công ty đó phải cho
thuê với giá mỗi căn hộ là bao nhiêu?
A. 2.250.000
B. 2.350.000
C. 2.450.000
D. 2.550.000
Câu 5:Một cửa hàng bán bưởi Đoan Hùng của Phú Thọ với giá bán mỗi quả là 50.000 đồng. Với giá bán
này thì cửa hàng chỉ bán được khoảng 40 quả bưởi. Cửa hàng này dự định giảm giá bán, ước tính nếu cửa
hàng cứ giảm mỗi quả 5000 đồng thì số bưởi bán được tăng thêm là 50 quả. Xác định giá bán để cửa hàng
đó thu được lợi nhuận lớn nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu mỗi quả là 30.000 đồng.
A. 44.000đ
B. 43.000đ
C. 42.000đ
D. 41.000đ
Câu 6:Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được đo bởi công thức

trong đó

và x > 0 là lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân. Để huyết áp giảm nhiều nhất thì cần tiêm cho bệnh
nhân một liều lượng bằng bao nhiêu:
A. 15mg
B. 30mg
C. 40mg
D. 20mg
Câu 7:Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất
hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là

, (kết quả khảo sát được trong 10 tháng vừa qua).

Nếu xem
ngày thứ:
A. 25

C. 20

là tốc độ truyền bệnh (người / ngày) tại thời điểm t thì tốc độ truyền bệnh lớn nhất sẽ vào
B. 30

D. 15

Câu 8:Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. độ sâu

của mực nước trong

kênh tính theo thời gian
trong ngày cho bởi công thức
của kênh là cao nhất với thời gian ngắn nhất?

. Khi nào mực nước

A.

B.

C.

D.

Câu 9:Thể tích nước của một bề bơi sau t phút bơm tính theo công thức
.Tốc độ bơm nước tại thời điểm t được tính bởi
.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng.
A. Tốc độ bơm giảm từ phút 60 đến phút thứ 90. B. Tốc độ bơm luôn giảm.
C. Tốc độ bơm tăng từ phút 0 đến phút thứ 75.
D. Cả A, B, C đều sai.
Câu 10: Một xe khách đi từ Việt Trì về Hà Nội chở tối đa được là 60 hành khách một chuyến. Nếu một
chuyến chở được m hành khách thì giá tiền cho mỗi hành khách được tính là
hành khách trên mỗi chuyến xe để nhà xe thu được lợi nhuận mỗi chuyến xe là lớn nhất.?
A. 30
B. 40
C. 50
D. 60
6

đồng. Tính số

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 11: Gia đình ông Thanh nuôi tôm với diện tích ao nuôi là
độ là

. Vụ tôm vừa qua ông nuôi với mật

tôm giống và sản lượng tôm khi thu hoạch được khoảng 2 tấn tôm. Với kinh nghiệm nuôi

tôm nhiều năm, ông cho biết cứ thả giảm đi
tôm giống thì sản lượng tôm thu hoạch được 2,2
tấn tôm. Vậy vụ tới ông phải thả bao nhiêu kg tôm giống để đạt sản lượng tôm cho thu hoạch là lớn nhất?
(Giả sử không có dịch bệnh, hao hụt khi nuôi tôm giống).
A.
B.
C.
D.
Câu 12: Một khách sạn có 50 phòng. Hiện tại mỗi phòng cho thuê với giá 400 ngàn đồng một ngày thì
toàn bộ phòng được thuê hết. Biết rằng cứ mỗi lần tăng giá thêm 20 ngàn đồng thì có thêm 2 phòng trống.
Giám đốc phải chọn giá phòng mới là bao nhiêu để thu nhập của khách sạn trong ngày là lớn nhất.
A. 480 ngàn.
B. 50 ngàn.
C. 450 ngàn.
D. 80 ngàn.
Câu 13: Một doanh nghiệp bán xe gắn máy trong đó có loại xe A bán ế nhất với giá mua vào mỗi chiếc xe
là 26 triệu VNĐ và bán ra 30 triệu VNĐ, với giá bán này thì số lượng bán một năm là 600 chiếc. Cửa hàng
cần đẩy mạnh việc bán được loại xe này nên đã đưa ra chiến lược kinh doanh giảm giá bán và theo tính toán
của CEO nếu giảm 1 triệu VNĐ mỗi chiếc thì số lượng xe bán ra trong một năm sẽ tăng thêm 200 chiếc.
Hỏi cửa hàng định giá bán loại xe đó bao nhiêu thì doanh thu loại xe đó của cửa hàng đạt lớn nhất.
A. 29 triệu VNĐ
B. 27, 5 triệu VNĐ
C. 29, 5 triệu VNĐ
D. 27 triệu VNĐ
Câu 14: Công ty dụ lịch Ban Mê dự định tổ chức một tua xuyên Việt. Công ty dự định nếu giá tua là 2
triệu đồng thì sẽ có khoảng 150 người tham gia. Để kích thích mọi người tham gia, công ty quyết định giảm
giá và cứ mỗi lần giảm giá tua 100 ngàn đồng thì sẽ có thêm 20 người tham gia. Hỏi công ty phải bán giá
tua là bao nhiêu để doanh thu từ tua xuyên Việt là lớn nhất.
A. 1375000.
B. 3781250.
C. 2500000.
D. 3000000.
Câu 15: Một cửa hàng nhận làm những chiếc xô bằng nhôm hình trụ không có nắp đủ chứa được10 lít
nước. Hỏi bán kính đáy (đơn vị cm, làm tròn đến hàng phần chục) của chiếc xô bằng bao nhiêu để cửa hàng
tốn ít nguyên vật liệu nhất.
A.
B.
C.
D.
Câu 16:Một người đàn ông muốn chèo thuyền ở vị trí A tới điểm B về phía hạ lưu bờ
đối diện, càng nhanh càng tốt, trên một bờ sông thẳng rộng
(như hình vẽ). Anh có
thể chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến C và sau đó chạy đến B, hay có thể
chèo trực tiếp đến B, hoặc anh ta có thể chèo thuyền đến một điểm D giữa C và B và
sau đó chạy đến
Biết anh ấy có thể chèo thuyền
, chạy
và quãng
đường
. Biết tốc độ của dòng nước là không đáng kể so với tốc độ chèo
thuyền của người đàn ông. Tìm khoảng thời gian ngắn nhất (đơn vị: giờ) để người đàn
ông
đến
A.

;

B.

;

C.

;

D.

.

Câu 17:Một vật chuyển động theo quy luật
với (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc bắt
đầu chuyển động và (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời
gian
giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?
A.

B.

C.

D.

Câu 18: Một vật chuyển động theo quy luật
với (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật
bắt đầu chuyển động và (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong
khoảng thời gian giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?
A.
B.
C.
D.
Câu 19: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh
cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình
vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng
(cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để
được một cái hộp không nắp. Tìm để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.
7

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

A.
B.
C.
D.
Câu 20: Một kiến trúc sư mốn thiết kế một mô hình kim tự tháp Ai Cập có dạng là một hình chóp tứ giác
đều ngoại tiếp một mặt cầu có bán kính bằng
.Đề tiết kiệm nguyên liệu xây dựng thì kiến trúc sư đó phải
thiết kế kim tự tháp sao cho có thể tích nhỏ nhất. Chiều cao của kim tự tháp đó là:
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 21: Một công ty chuyên sản xuất thùng phi nhận được đơn đặt hàng với yêu cầu là thùng phi phải
chứa được
nhất?

mỗi chiếc. Hỏi chiếc thùng phải có kích thước như thế nào để sản suất ít tốn vật liệu

A.
; B.
; C.
; D.
Câu 22:Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12cm. Người ta cắt ở bốn góc của
tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh
gấp tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được cái hộp không nắp.
Tìm x để được một cái hộp có thể tích lớn nhất.
A.

B.

C.

, rồi

D.
x
x
12

Câu 23: Cuốn sách giáo khoa cần một trang chữ có diện tích là
và lề phải là
. Kích thước tối ưu của trang giấy?
A. Dài
, rộng
B. Dài
, rộng
C. Dài
, rộng
D. Dài
, rộng
Câu 24:Một màn ảnh hình chữ nhật cao 1,4 mét và đặt ở độ cao 1,8
mét so với tầm mắt (tính từ đầu mép dưới của màn hình). Để nhìn rõ
nhất phải xác định vị trí đó? Biết rằng góc
A.

B.

C.

D.

. Lề trên và dưới là

, lề trái

C
1,4

là góc nhọn.

B
1,8
O

A

Câu 25:Một khúc gỗ tròn hình trụ cần xẻ thành một chiếc xà có tiết diện ngang là hình vuông và 4 miếng
phụ như hình vẽ. Hãy xác định kích thước của các miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là
lớn nhất. Biết đường kính khúc gỗ là d.
A. Rộng

, dài

B. Rộng

, dài

C. Rộng

, dài

d

8

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

D. Rộng
, dài
Câu 26: Nhà Long muốn xây một hồ chứa nước có dạng một khối hộp chữ nhật có nắp đậy có thể tích
bằng

. Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá tiền thuê nhân công để xây hồ

tính theo
là
đồng/m2. Hãy xác định kích thước của hồ chứa nước sao cho chi phí thuê nhân
công là ít nhất và chi phí đó là bao nhiêu?
A. Rộng 6m, dài 12m, cao 8m. Tiền: 216 triệu;
B. Rộng 6m, dài 12m, cao 8m. Tiền: 215 triệu
C. Rộng 6m, dài 12m, cao 8m. Tiền: 214 triệu;
D. Rộng 6m, dài 12m, cao 8m. Tiền: 213 triệu.
Câu 27: Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính R, nếu một cạnh
của hình chữ nhật nằm dọc theo đường kính của hình tròn mà hình chữ nhật đó nội tiếp?
A.

B.

C.

D.

Câu 28: Để thiết kế một chiếc bể cá hình chữ nhật có chiều cao là
thể tích là
, người
2
thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 70.000 đồng/m và loại kính để làm mặt đáy có giá
thành là 100.000 đồng/m2. Chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá là:
A.
đồng
B. 382.000 đồng
C. 83.200 đồng
C. 8.320.000 đồng.
D. TRẢ LỜI NGẮN
Câu 1:Ông Thanh nuôi cá chim ở một cái ao có diện tích là

.Vụ trước ông nuôi với mật độ là

con/m2 và thu được 1,5 tấn cá. Theo kinh nghiệm nuôi cá của mình thì cứ thả giảm đi 8
thì mỗi
con cá khi thu hoạch tăng lên 0,5kg. Vậy vụ tới ông phải thả bao nhiêu con cá giống để được tổng năng suất
khi thu hoạch là cao nhất? Giả sử không có hao hụt khi nuôi.
Câu 2:Người ta cần làm một hộp theo dạng một khối lăng trụ đều không nắp với thể tích lớn nhất từmột
miếng tôn hình vuông có cạnh là 1 mét. Thể tích của hộp cần làm.
Câu 3:Một công ty muốn làm đường ống dẫn từ một điểm A trên bờ đến một điểm B trên một hòn đảo. Hòn
đảo cách bờ biển 6km. Giá thành để xây đường ống trên bờ là 50.000USD mỗi km, và 130.000USD mỗi km
để xây dưới nước. B' là điểm trên bờ sao cho BB' vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ A đến B' là 9km.
Vị trí C trên đoạn AB' sao cho khi nối ống theo hướng ACB thì số tiền ít nhất. Khi đó C cách A một đoạn
bằng:
A. 9km
B. 6,5km
C. 5km
D. 4km.
Câu 4:Có một tấm gỗ hình vuông có độ dài cạnh là 2m. Cắt tấm gỗ đó thành tấm gỗ có hình dạng là một
tam giác vuông sao cho tổng của một cạnh tam giác vuông và cạnh huyền của tấm gỗ tam giác vuông đó
bằng 1,2m. Hỏi cạnh huyền của tấm gỗ tam giác vuông đó bằng bao nhiêu để tam giác vuông có diện tích
lớn nhất.
Câu 5:Anh Tuân muốn xây dựng một hố ga không có nắp đậy dạng hình hộp chữ nhật có thể tích chứ được
3200cm3, tỉ số giữa chiều cao và chiều rộng của hố ga bằng 2. Xác định diện tích đáy của hố ga để khi xây
hố tiết kiệm được nguyên liệu nhất.
Câu 6:Có hai cây cột dựng trên mặt đất lần lượt cao 1m và 4m,
B
đỉnh của hai cây cột cách nhau 5m. Người ta chọn một vị trí trên
mặt đất (nằm giữa hai chân cột) để giăng dây nối đến hai đỉnh cột
5
để trang trí như hình dưới. Tính độ dài dây ngắn nhất.
4

A
1

D

x
C

E

Câu 7: Bác nông dân muốn làm hàng rà trồng ra hình chữ nhật có chiều dài song song với hàng tường
gạch. Bác chỉ làm ba mặt hàng rào bởi vì mặt thứ tư bác tận dụng luôn bờ tường. Bác dự tính sẽ dùng 200m
lưới để làm nên toàn bộ hàng rào đó. Diện tích đất trồng rau lớn nhất bác có thể rào nên là:
Hàng rào

Bờ tường
9

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 8:Một người có một dây ruy băng dài 130 cm, người đó cần bọc dải
ruy băng này quanh một hộp quà hình trụ. Khi bọc quà, người này dùng
10cm của dải ruy băng để thắt nơ ở trên nắp hộp ( như hình vẽ minh họa ).
Hỏi dải ruy băng có thể bọc được hộp quà có thể tích lớn nhất là bao
nhiêu?
Câu 9:Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục
tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn
phần hình trụ nhỉ nhất. Muốn thể tích khối trụ đó bằng 2 và diện tích toàn
phần hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy gần số nào nhất?
Câu 10:Do nhu cầu sử dụng người ta cần tạo ra một lăng trụ đứng có đáy
là hình vuông cạnh và chiều cao , có thể tích là
. Với
nào để đỡ tốn nhiều vật liệu nhất?
Câu 11:Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có

như thế
. Ta gấp tấm nhôm theo 2 cạnh

vào phía trong đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ để được 1 hình lăng trụ khuyết 2
đáy. Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất?
M

B

Q

C

M

Q
B,C

A

x

x
N

P

D

N

60cm

A.

P

A,D

B.

C.

10

D.