Lê Nguyên Thạch 0394838727
17 CHUYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ 12
CHUYÊN ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Câu 1. Trong 5 giây đầu tiên, một chất điểm chuyển động theo phương trình

trong đó

tính bằng giây vàs tính bằng mét. Chất điểm có vận tốc tức thời lớn nhất bằng bao nhiêu
trong 5 giây đầu tiên đó?
Câu 2. Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường đi được là

là hàm

phụ thuộc theo biến (giây) tuân theo biểu thức sau:
. Hỏi vận
tốc của tên lửa sau 1 giây là bao nhiêu, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị (biết hàm biểu thị
vận tốc là đạo hàm cấp một của hàm biểu thị quãng đường theo thời gian)?

Câu 3. Giả sử lợi nhuận của một cửa hàng tạp hoá nhỏ trong ngày thứ

của một tháng nào đó được cho bơi

công thức
(đơn vị: nghìn đồng). Giả sử tháng đó có 30 ngày, hỏi có bao nhiêu ngày
trong tháng đó cửa hàng có lợi nhuận tăng so với lợi nhuận ngày liền trước đó?
Câu 4. Kính viễn vọng không gian Hubble được đưa vào vũ trụ ngày 24/4/1990 bằng tàu
con thoi D2isc0overy. Vận tốc của tàu con thoi trong sứ mệnh này, từ lúc cất cánh tại thời
điểm

cho đến khi tên lửa đẩy được phóng đi tại thời điểm

(s) được cho

bởi hàm số sau: được tính bằng
Hỏi gia tốc của tàu con
thoi sẽ tăng trong khoảng thời gian nào tính từ thời điểm cất cánh cho đến khi tên lửa đẩy
được phóng đi? (kết quả thời gian được tính bằng giây và làm tròn đến hàng phần mười).

Câu 5. Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất
hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ

là

. Nếu coi

là hàm số xác

định trên đoạn
thì đạo hàm
được xem là tốc độ truyền bệnh (đơn vị: người/ngày) tại thời điểm
. Hỏi trong 30 ngày đó, có bao nhiêu ngày mà tốc độ truyền bệnh giảm?
Câu 6. Tại một công ty sản xuất đồ chơi an toàn cho trẻ em, công ty phải chi 34567 USD để thiết lập dây
chuyền sản xuất ban đầu. Sau đó, cứ sản xuất được một sản phẩm đồ chơi
, công ty phải trả 8 USD cho
nguyên liệu ban đầu và nhân công. Gọi
là số đồ chơi
mà công ty đã sản xuất và
USD) là tổng số tiền bao gồm cả chi phí ban đầu mà công ty phải chi trả khi sản xuất đồ chơi

(đơn vị:
. Khi đó

chi phí trung bình cho mỗi sản phấm đồ chơi
là hàm số
xác định trên
. Khi số đồ
chơi sản xuất tăng lên thì chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm đồ chơi
giảm xuống nhưng không xuống
dưới mức tối thiểu là bao nhiêu USD?
Câu 7. Một khách sạn có 50 phòng cho thuê. Giả sử doanh thu (tức là tổng số tiền thu được) là
(triệu đồng) với
của

nằm trong miền doanh thu

là số phòng cho thuê được. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương
tăng?

Câu 8. Một con cá bơi ngược dòng để vượt khoảng cách
nước là

. Nếu vận tốc boi của cá khi nước đứng yên là

lượng tiêu hao của cá trong

, trong đó

là

tính bằng Jun. Khi vận tốc bơi của cá nằm trong

) lớn nhất (

là số nguyên hoặc là phân số tối giản) thì năng lượng

tiêu hao của cá giảm. Tính
Câu 9. Công suất

thì năng

giờ được cho bởi công thức

một hằng số và năng lượng
khoảng (

. Vận tốc dòng

.

(đơn vị W) của một mạch điện được cung cấp bởi một nguồn

pin 12V được cho bởi công thức
cường độ dòng điện. Biết công suất

, với

(đơn vị A) là

tăng trong khoảng cường độ dòng điện từ

đến
thì giảm, tìm
?
Câu 10.Một chất điểm chuyển động thẳng trên một trục số nằm ngang có chiều dương
hướng sang phải theo quy luật

, với

là thời gian tính

1

(giây)

Lê Nguyên Thạch 0394838727

17 CHUYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ 12

từ lúc bắt đầu chuyển động và
là vị trí của chất điểm tại thời điểm . Hỏi kể từ lúc bắt đầu chuyển
động, chất điểm chuyển động sang phải trong khoảng thời gian bao nhiêu giây?
Câu 11.Một cửa hàng quần áo đã thống kê số lượng quần áo bán ra trong ngày thứ
tháng xác định tuân theo quy luật được mô hình hoá bởi hàm số
đó, có bao nhiêu ngày có số lượng quần áo bán ra nhiều hơn ngày hôm trước?

của một
. Hỏi trong tháng

Câu 12.Xét một chất điểm chuyển động trên một trục số nằm ngang, chiều dương từ
trái sang phải. Giả sử vị trí

(mét) của chất điểm trên trục số đã chọn tại thời

điểm (giây) được cho bởi công thức
. Hỏi chất điểm
chuyển động sang trái trong khoảng thời gian bao nhiêu giây?
Câu 13.Vận tốc dòng xe trên một đoạn đường quốc lộ 123 từ 6 giờ sáng đến 10 giờ
sáng trong ngày thường được xấp xỉ bởi
đó

đo bằng km/giờ và

trong

đo bằng giờ, với

ứng với 6 giờ sáng. Qua đó

người ta tìm được vào buổi sáng, tốc độ dòng xe giảm từ

giờ đến

giờ. Tìm

Câu 14.Giả sử sự lây lan của một loại virus ở một địa phương có thể được mô hình hoá bằng hàm số
,
gian (tuần). Gọi

, trong đó

là số người bị nhiễm bệnh (đơn vị là trăm người) và

là thời

là khoảng thời gian lâu nhất mà số người bị nhiễm bệnh tăng lên. Tính giá trị

.
CHUYÊN ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Câu 1. Cường độ âm thanh (dB) tại một địa điểm được đo liên tục trong 12
giờ là một hàm số
có bảng biến thiên như sau:Tại thời điểm
bằng bao nhiêu trong thời gian khảo sát thì cường độ âm thanh là nhỏ nhất ?
Câu 2. Một vật chuyển động theo quy luật

với

là khoảng thời gian tính từ khi vật đó bắt đầu chuyển động và
là quãng đường vật di chuyển được
trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn
nhất của vật đạt được bằng bào nhiêu?
Câu 3. Một cửa hàng cà phê bán cà phê espresso, nhận thấy rằng lợi nhuận của cửa hàng
(tính theo đơn
vị triệu đồng/ngày) phụ thuộc vào giá bán (chục nghìn đồng) mỗi ly espresso. Qua khảo sát, cửa hàng mô
tả lợi nhuận theo hàm số sau:
nghìn đồng để lợi nhuận tối ưu nhất?

. Hỏi cửa hàng nên chọn mức giá mỗi ly là bao nhiêu

Câu 4. Một vật chuyển động với vận tốc
đó
là gia tốc của vật tại thời điểm
3 giây đầu là bao nhiêu m/s?

được xác định bởi hàm số

với

. Khi

(giây). Vận tốc của vật đạt được cao nhất trong khoảng thời gian

Câu 5. Doanh số bán hàng của một loại sản phẩm (chục triệu đồng) trong một
phiên livestream bán hàng kéo dài sáu giờ theo quy luật hàm số

trong đó thời gian

được tính bằng giờ kể từ khi bắt đầu

livestream..Khi đó, đạo hàm
sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau bao nhiêu
giờ kể từ khi bắt đầu phiên livestream thì doanh số bán hàng là lớn nhất?

, Thành phố trang trí đèn led biểu tượng hình chữ
được ghép từ các
Câu 6. Chào đón năm mới
thanh
,
sao cho tam giác
vuông tại . Để tăng hiệu ứng, các kỹ sư đã thiết kế
một chuỗi led chạy từ
xuống
với vận tốc
phút và một chuỗi led chạy từ
lên
với vận tốc
2

Lê Nguyên Thạch 0394838727

17 CHUYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ 12

phút. Sau khi đóng nguồn điện thì cả hai chuỗi led đồng thời xuất phát. Hỏi sau bao
nhiêu giây từ thời điểm đóng nguồn thì khoảng cách giữa hai điểm sáng đầu tiên của hai
chuỗi led là nhỏ nhất ?
Câu 7. Vận tốc của một tàu con thoi từ lúc cất cánh tại thời điểm
điểm

được cho bởi công thức

cho đến thời
(vận

tốc được tính bằng đơn vị
). Hỏi tại thời điểm tàu con thoi đạt gia tốc nhỏ nhất thì vận
tốc tàu con thoi gần bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Câu 8. Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định)
tuân theo quy luật logistic được mô hình hoá bằng hàm số

trong đó thời gian

được

tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm
sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi
sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)
Câu 9. Anh Ba đang trên chiếc thuyền tại vị trí A cách bờ

sông
, anh dự định chèo thuyền vào bờ và tiếp tục chạy
bộ theo một đường thẳng để đến một địa điểm B tọa lạc ven bờ
sông, B cách vị trí O trên bờ gần với thuyền nhất là

(hình

vẽ). Biết rằng anh Ba chèo thuyền với vận tốc

và chạy

bộ trên bờ với vận tốc
. Khoảng thời gian ngắn nhất
để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm B là bao nhiêu
phút?
Câu 10.Nồng độ

của một hoá chất sau

giờ tiêm vào cơ

thể được xác định bởi công thức
với
.
Sau khoảng bao nhiêu giờ tiêm thì nồng độ của hoá chất trong
máu là lớn nhất? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Câu 11.Một vật chuyển động với vận tốc
vào thời gian

phụ thuộc

có đồ thị của hàm số dạng hàm bậc ba như

hình bên. Biết rằng tại thời điểm
và tại thời điểm

vật có vận tốc
vật có vận tốc

. Hỏi vận tốc của vật tại thời điểm
bao nhiêu km/h?

bằng

Câu 12.Một xưởng sản xuất nón bảo hiểm có hàm chi phí sản xuất cho

chiếc nón là

(nghìn đồng). Giá bán mỗi chiếc nón là 50 nghìn đồng. Hãy xác định số lượng
nón cần sản xuất để xưởng đạt lợi nhuận tối đa.
Câu 13.Trong một phản ứng hóa học, tốc độ phản ứng


được biểu diễn theo công thức:

trong đó:
là tốc độ phản ứng (mol/l/s),


là hằng số tốc độ phản ứng,
[A] và [B] lần lượt là nồng độ của hai chất phản ứng (mol/l).
Giả sử tổng nồng độ ban đầu của [A] và [B] là
nồng độ của [A] tại đó tốc độ phản ứng đạt cực đại.

, tức là

3

Hãy tìm

Lê Nguyên Thạch 0394838727

17 CHUYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ 12

Câu 14.Giả sử tổng chi phí sản xuất

đơn vị sản phẩm

mỗi ngày tại một nhà máy được cho

bởi công thức
(nghìn đồng) và toàn bộ chúng được bán hết với giá
nghìn
đồng một sản phẩm. Tìm mức sản lượng (đó là số lượng sản phẩm được sản xuất) để chi phí trung bình tính
trên mỗi đơn vị sản phẩm là đạt cực tiểu.
Câu 15.Lợi nhuận tổng hàng ngày (tính theo đô la) mà TKK Corporation thu được từ việc sản xuất và bán
đĩa
DVD
có
thể
ghi
lại
được
cho
bởi
hàm
lợi
nhuận
Tìm mức sản xuất để lợi nhuận hàng ngày đạt cực đại. (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
Câu 16.Vận tốc trung bình của dòng xe trên đoạn đường 124 từ 6#A.M. đến 10#A.M. được xấp xỉ bởi
trong đó tính bằng giờ kể từ A.M. và
tính bằng km/giờ. Hỏi vào
thời điểm mấy giờ trong buổi sáng (giữa 6#A.M. và 10#A.M.) thì vận tốc trung bình thấp nhất?
Câu 17.Trong một nghiên cứu tại Viện Sức khỏe Tâm thần Quốc gia, các nhà khoa học
theo dõi độ dày vỏ não (cortex) của 307 trẻ em có IQ cao (121-149) qua tuổi (tính bằng
năm), với mô hình
.Hỏi vỏ não của trẻ có IQ siêu trí tuệ đạt độ dày cực đại vào khoảng bao nhiêu tuổi (làm
tròn kết quản đến hàng đơn vị)
Câu 18.Định mức cầu mỗi tháng của đồng hồ đeo tay Peget phụ thuộc vào giá đơn vị
theo phương trình cầu

trong đó

tính bằng đô la và
thu

tính bằng nghìn chiếc. Hỏi nhà sản xuất phải bán bao nhiêu nghìn chiếc để doanh

đạt cực đại?

Câu 19.Một bể ban đầu chứa 10 gal dung dịch muối với 2 lb muối. Dung dịch vào có nồng
độ

chảy vào với tốc độ

phút, và hỗn hợp trong bể chảy ra với tốc độ

phút. Người ta cho biết lượng muối trong bể sau

phút là

(pound), với

Hỏi lượng muối tối đa có thể có
trong bể tại một thời điểm nào đó là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Câu 20.Sau khi kinh tế suy giảm, giá thuê văn phòng cao ngất ngưởng cuối thập niên 1990
bắt đầu hạ nhiệt. Hàm
cho giá thuê (USD/
Bay và Financial District (Boston) từ đầu 1997

) của văn phòng hạng A ở khu Back

đến đầu
là
giai đoạn này là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)
Câu 21.Một bồn hình trụ cao
chảy qua lỗ ở độ sâu

chứa nước. Theo định luật Torricelli, vận tốc tia nước

so với mặt nước là

(feet) của tia nước được cho bởi

.Biết lỗ phun nên đặt ở độ cao

so với mặt bồn thì tầm xa
Câu 22.Một con thuyền rời bến

. Người ta cho rằng tầm xa

đạt cực đại. Tìm

trên một bờ sông, luôn đi với vận tốc không

đổi 20 dặm/giờ hướng về bến
(phía đông của
chảy ngược lên phía bắc với tốc độ 5 dặm/giờ.

); đồng thời nước sông

Người ta cho rằng đường đi của thuyền là
Tìm độ lệch bắc lớn nhất mà thuyền đạt được trong suốt hành trình.

4

Hỏi giá thuê cao nhất trong

Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 23.Khi chế tạo một biến áp

17 CHUYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ 12

, một lõi sắt dạng hình chữ thập được đặt

vào cuộn dây (xem hình). Giả sử bán kính cuộn là . Hỏi góc
nhiêu độ để tổng diện tích bề mặt lõi sắt là lớn nhất.

bằng bao

Câu 24.Một tay lái mô tô nặng 180 (lb), di chuyển với vận tốc không đổi 30
dặm/giờ, thực hiện một khúc cua trên đường cho bởi đồ thị
.Có thể chứng minh rằng độ lớn của lực
pháp tuyến tác dụng lên tay lái mô tô xấp xỉ

(đơn vị lb).Hãy tìm lực pháp tuyến lớn nhất tác
dụng lên tay lái trong suốt khúc cua (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
Câu 25.Khi chất thải hữu cơ được đổ vào một cái ao, quá trình ôxy hóa xảy ra
sẽ làm giảm hàm lượng ôxy trong nước. Tuy nhiên, theo thời gian, tự nhiên sẽ
phục hồi lại mức ôxy về giá trị bình thường. Trong đồ thị kèm theo,
cho
biết phần trăm hàm lượng ôxy (so với mức bình thường) sau ngày kể từ khi
chất thải được đổ vào ao.Giả sử hàm số cho hàm lượng ôxy là
(

mức bình thường),

Khi đó tọa

độ của điểm
trên đồ thị là điểm cực trị của đồ thị hàm số
. Tính
?
Câu 26.Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất
hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ

là

(người). Nếu xem

là tốc độ truyền bệnh (người/ ngày) tại thời điểm thì tốc độ truyền bệnh lớn nhất sẽ vào
ngày thứ bao nhiêu?
Câu 27.Một người có một dây ruy băng dài 130 cm, người đó cần bọc dải ruy băng này quanh một
hộp quà hình trụ. Khi bọc quà, người này dùng 10 cm của dải ruy băng để thắt nơ ở trên nắp hộp
(như hình vẽ). Dải ruy băng có thể bọc được hộp quà có thể tích bằng
lớn nhất của là bao nhiêu?

5

. Giá trị

Lê Nguyên Thạch 0394838727
Câu 28.Hai chất điểm

và

hình vẽ), biết rằng vận tốc
cách giữa hai chất điểm

17 CHUYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ 12

chuyển động thẳng đều cùng hướng về
và góc

và

(như

. Biết rằng khi khoảng

là nhỏ nhất thì số đo góc

Tìm

Câu 29.Cho một tấm bìa hình vuông có cạnh
. Từ tấm bìa này làm một mô hình
kim tự tháp Ai Cập, người ta cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy là các
cạnh của hình vuông rồi gấp lên và ghép lại thành một hình chóp tứ giác đều. Thể

I

A

B

M
K

tích của mô hình lớn nhất khi cạnh đáy của mô hình bằng
nguyên tố cùng nhau). Tính tổng

(
?

x

J

N

Q

O

P

D

C

Câu 30.Một cái hồ rộng có hình chữ nhật. Tại một góc hồ người ta đóng một cái cọc
ở vị trí

cách bờ

là

và cách bờ

thẳng

ngăn một góc của hồ để thả bèo (như hình vẽ). Tính chiều dài ngắn nhất

của cây sào để cây sào có thể chạm vào hai bờ
tròn đến hàng đơn vị của mét).

là

, rồi dùng một cây sào
và cây cọc (kết quả làm

Câu 31.Khi một vật lạ mắc kẹt trong khí quản khiến ta phải ho, cơ hoành đẩy lên trên gây ra tăng áp lực
trong phổi, theo đó cuống họng co thắt làm hẹp khí quản khiến không khí đi qua mạnh hơn. Đối với một
lượng không khí bị đẩy ra trong một khoảng thời gian cố định, khí quản càng nhỏ thì luồng không khí càng
đẩy ra nhanh hơn. Vận tốc luồng khí thoát ra càng cao, lực tác động lên vật lạ càng lớn.
Qua nghiên cứu một số trường hợp, người ta nhận thấy vận tốc của luồng khí liên hệ với bán kính của
khí quản theo công thức:
trong đó là hằng số
và
là bán
kính khí quản ở trạng thái bình thường(Theo James Stewart, J. (2015). Calculus. Cengage Learning).
Khi đó
thì vận tốc luồng khí của một cơn ho trong trường hợp này là lớn nhất (làm tròn kết
quả đến hàng phần trăm).

6

Lê Nguyên Thạch 0394838727
17 CHUYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ 12
CHUYÊN ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Câu 1. Bạn An có một đoạn dây thép dài
muốn uốn thành một kim tự tháp có dạng
chóp tứ giác đều (đoạn dây thép được uốn thành 4 cạnh bên và 4 cạnh đáy của kim tự tháp).
Hỏi thể tích lớn nhất của kim tự tháp bạn An có thể làm được là bao nhiêu? (đơn vị:
quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Câu 2. Một vật chuyển động theo quy luật
bằng đơn vị giây là khoảng thời gian từ lúc bắt đầu chuyển động.

, với

, kết

được đo

Hỏi trong 12 giây đầu tiên kể từ lúc bắt đầu chuyển động vật đạt được vận tốc lớn nhất là bao nhiêu?
Câu 3. Để tích trữ nước ngọt sinh hoạt chuẩn bị cho mùa hạn mặn ở Đồng bằng sông
Cửu Long, một hộ dân muốn xây một bể nước không nắp dạng khối hộp chữ nhật
không nắp có thể tích bằng

Đáy bể là hình hộp chữ nhật có chiều dài gấp đôi

chiều rộng. Biết chi phí xây bể là
nghìn đồng/m2. Hãy tính chi phí thấp nhất mà
hộ gia đình cần bỏ ra để xây dựng bể chứa nước ngọt dự trữ (làm tròn đến đơn vị triệu
đồng).

Câu 4. Diện tích một trang của một cuốn sách là

. Do yêu cầu kĩ thuật, cần

để lề trên và lề dưới là
, lề trái là
và lề phải là
. Tính diện tích lớn
nhất của phần chữ in vào cuốn sách được (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Câu 5. Trận bóng đá giao hữu giữa đội tuyển Việt Nam và Thái Lan ở sân vận động
Mỹ Đình có sức chứa 55 000 khán giả. Ban tổ chức bán vé với giá mỗi vé là 100 nghìn
đồng, số khán giả trung bình đến sân xem bóng đá là 27 000 người. Qua thăm dò dư
luận, người ta thấy rằng mỗi khi giá vé giảm thêm 10 nghìn đồng, sẽ có thêm khoảng 3
000 khán giả. Hỏi ban tổ chức nên đặt giá vé là bao nhiêu để doanh thu từ tiền bán vé
là lớn nhất với đơn vị tính giá vé là nghìn đồng?
Câu 6. Một hộ gia đình chuyên làm thịt trâu sấy khô để bán, mỗi ngày hộ đó sản suất
được kg thịt,
. Tổng chi phí sản xuất
nghìn đồng, cho bởi hàm chi phí:

kg thịt trâu khô, tính bằng

. Giả sử hộ gia đình này bán hết số thịt làm ra mỗi ngày với giá
đồng/kg. Gọi
là lợi nhuận thu được khi bán
đình này thu được trong một ngày?
Câu 7. Một người nông dân đang đứng ở góc
có chiều rộng
đến góc đối diện

km và chiều dài

kg thịt trâu sấy khô. Hỏi lợi nhuận tối đa mà hộ gia

của một cánh đồng hình chữ nhật

6km

A

B

km. Người đó muốn đi

. Người nông dân có thể đi bộ trên cánh đồng cỏ với tốc độ

km/h và đi bộ trên đường dọc theo cạnh
nhất, người đó nên đi theo đường thẳng từ

nghìn

với tốc độ km/h. Để đến
nhanh
đến một điểm
nào đó trên cạnh

, sau đó

2km
D

x

E

C

đi bộ dọc theo đường từ
đến . Hỏi điểm
phải cách điểm
bao xa để tổng thời gian di chuyển là ít
nhất?(kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 8. Giả sử doanh số bán hàng (đơn vị triệu đồng) của một sản phẩm mới trong vòng một số năm nhất
định tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số
tính bằng năm kể từ khi phát hành sản phẩm mới,

là tham số. Khi đó đạo hàm

sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Tính tổng các giá trị nguyên âm của
biết
rằng tốc độ bán hàng luôn tăng trong khoảng thời gian 10 năm đầu phát hành sản
phẩm.
Câu 9. Ở một vịnh biển, ngoài khơi xa có một hòn đảo nhỏ. Người ta tiến hành
lấn biển để xây dựng khu đô thị và làm một tuyến cáp treo nối khu đô thị với hòn
đảo để phát triển du lịch.
Xét trong hệ tọa độ

với đơn vị tương ứng

7

với

là thời gian

Lê Nguyên Thạch 0394838727
1km có hòn đảo ở

17 CHUYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ 12

thì đường bao của phần đất lấn biển có dạng là một phần của đồ thị hàm số

. Giả sử tuyến cáp treo được thiết kế nối đảo với đường bao của khu đô thị với độ dài ngắn
nhất. Độ dài của tuyến cáp treo là bao nhiêu km (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Câu 10.Hai thành phố A và B cách nhau một con sông. Người ta xây dựng một
cây cầu
bắc qua sông.Biết rằng thành phố
cách con sông một khoảng là
và thành phố

cách con sông một khoảng là
và độ dài

thành phố
là bao nhiêu
ngắn nhất (đi theo đường

(hình vẽ), biết

không đổi. Hỏi xây cây cầu tại vị trí

cách

để đường đi từ thành phố A đến thành phố B là
)? (kết quả làm tròn đến phần trăm).

Câu 11.Một cái ao có hình ABCDE (như hình vẽ), ở giữa ao có một mảnh vườn
hình tròn bán kính 10m, người ta muốn bắc một cây cầu từ bờ AB của ao đến
vườn. Hỏi độ dài ngắn nhất l (đơn vị mét) của cây cầu là bao nhiêu (làm tròn đến
chữ số hàng phần chục), biết:
- Hai bờ AE và BC nằm trên hai đường thẳng vuông góc với nhau, hai đường
thẳng này cắt nhau tại điểm O;
- Bờ AB là một phần của một parabol có đỉnh là điểm A và có trục đối xứng là
đường thẳng OA ;
- Độ dài đoạn OA và OB lần lượt là 40m và 20m;
- Tâm I của mảnh vườn cách đường thẳng AE và BC lần lượt là 40m và 30m.

Câu 12.Để chặn đường hành lang hình chữ L, người ta dùng một que sào thẳng
dài đặt kín những điểm chạm với hành lang (như hình vẽ). Biết

và

, Biết chiều dài tối thiểu của que sào thỏa mãn điều kiện trên là

. Tính giá trị của

.
Câu 13.Một gia đình đan lưới đánh cá, mỗi ngày đan được
. Tổng chi phí sản xuất
hàm chi phí:

mét lưới

mét lưới, tính bằng nghìn đồng, cho bởi
.Giả sử gia đình làm nghề đan lưới

bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá
nghìn đồng/mét.Gọi
thu được khi bán
mét lưới.Hỏi lợi nhuận

là lợi nhuận

tối đa của gia đình đan lưới trong một ngày (đơn vị tính nghìn đồng)?

Câu 14.Khi sản xuất vỏ lon sữa DUTCH LADY, các nhà sản xuất luôn đặt tiêu chí sao
cho chi phí sản xuất vỏ lon là nhỏ nhất. Biết rằng lon sữa có hình trụ và thể tích của lon
sữa là
. Khi diện tích toàn phần của lon sữa nhỏ nhất thì bán kính đáy của nó
bằng bao nhiêu centimet? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Câu 15.Trên mảnh đất hình chữ nhật
có diện tích
, người chủ lấy một
phần đất để trồng cỏ. Biết phần đất trồng cỏ này có dạng hình chữ nhật với hai đỉnh đối
diện là
và
, với
thuộc cạnh
Hỏi số tiền lớn nhất người chủ cần chuẩn bị để
trồng cỏ (miền tô đậm) là bao nhiêu ( làm tròn đến nghìn đồng) với chi phí trồng cỏ là
đồng/

 ?

Câu 16.Anh An muốn di chuyển từ vị trí
đến điểm
càng nhanh càng tốt (như hình vẽ). Để di chuyển
từ vị trí
đến điểm
anh An có thể chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến
và sau đó chạy
đến , hay có thể chèo thuyền trực tiếp đến , hoặc anh ta có thể chèo thuyền đến một điểm
nằm giữa
và
sau đó chạy đến . Biết anh ấy có thể chèo thuyền với vận tốc
, chạy với vận tốc
,
8

Lê Nguyên Thạch 0394838727

17 CHUYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ 12

và vận tốc dòng nước là không đáng kể so với vận tốc chèo
thuyền của anh An. Tìm khoảng thời gian nhanh nhất (đơn vị: giờ) để anh An đến
(kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm).
Câu 17.Giả sử số lượng tế bào của một quần thể nấm men tại môi
trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hình hóa bằng hàm số
(với

), trong đó thời gian

Đạo hàm của hàm số

được tính bằng giờ.

biểu thị tốc độ sinh trưởng của nấm men (tính bằng tế bào/giờ) tại thời điểm

(giờ). Tại thời điểm ban đầu
, quần thể có 20 tế bào và tốc độ sinh trưởng là 10
tế bào/giờ. Tìm số lượng tế bào của quần thể nấm men tại thời điểm tốc độ sinh trưởng
của quần thể đạt mức tối đa.
Câu 18.Một khu vui chơi giải trí giành cho trẻ em đang có kế hoạch điều chỉnh giá vé
để tăng lợi nhuận. Sau khi khảo sát thị trường, người ta xác định được rằng: nếu giá
vévào cửa là 50000/người thì trung bình có 500 người đến. Nhưng nếu tăng thêm
1000/người thì sẽ mất 10 khách hàng hoặc giảm đi 1000/người thìsẽcóthêm10khách hàng
trongsốtrungbình.Biếtrằng,trungbình,mỗikháchhàngcòn đem lại 5000 lợi nhuận
trongcácdịchvụđi kèm. Hỏigiávévàocửalàbaonhiêu nghìn đồng đểthunhập là lớnnhất?

Câu 19.Một hình chữ nhật

được vẽ bên trong parabol

thuộc

như hình vẽ (đơn vị trên trục

;

,

thuộc trục

Hình chữ nhật
đến hàng phần mười).

điểm

và

nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng

của đoạn thẳng

một khoảng

đường ống dẫn nước từ nhà máy nước
thẳng

,
là mét).

có diện tích lớn nhất là bao nhiêu mét vuông? (Kết quả làm tròn

Câu 20.Hai nhà máy sản xuất đặt tại các vị trí
đặt ở vị trí

sao cho

cách nhau

. Một nhà máy cung cấp nước được
C

, cách trung

. Người ta muốn làm một

đến một vị trí