Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
Tài liệu tự học 2026-2927
Chuyên đề 8.VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ
1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
- Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.
- Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
Chú ý. Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, đối với vectơ trong không gian ta cũng có các kí hiệu và khái niệm
sau:

- Vectơ có điểm đầu là
và điểm cuối là
được kí hiệu là
.
- Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ thì vectơ còn được
kí hiệu là
- Độ dài của vectơ
được kí hiệu là
, độ dài của vectơ được kí
hiệu là
.
- Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.
Ví dụ 1: Cho tứ diện
có độ dài mỗi cạnh bằng 1.
a) Có bao nhiêu vectơ có điểm đầu là
và điểm cuối là một trong các đỉnh còn
lại của tứ diện?
b) Trong các vectơ tìm được ở câu a, những vectơ nào có giá nằm trong mặt phẳng
?
c) Tính độ dài của các vectơ tìm được ở câu#a.
Giải.a) Có ba vectơ là
và
.
b) Trong ba vectơ
và
chỉ có hai vectơ
và
có giá nằm trong
mặt phẳng
.
c) Vì tứ diện
có độ dài mỗi cạnh bằng 1 nên
.
Tương tự như trường hợp của vectơ trong mặt phẳng, ta có các khái niệm sau đối với vectơ trong không
gian:
- Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.
- Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.
- Hai vectơ và được gọi là bằng nhau, kí hiệu
, nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Chú ý. Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, ta có tính chất và các quy ước sau đối với vectơ trong không
gian:
- Trong không gian, với mỗi điểm
và vectơ cho trước, có duy nhất điểm
sao cho
.
- Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ví dụ như
gọi là các vectơ-không.
- Ta quy ước vectơ-không có độ dài là 0, cùng hướng (và vì vậy cùng phương) với mọi vectơ. Do đó, các
vectơ-không đều bằng nhau và được kí hiệu chung là .
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ
.
a) Trong ba vectơ
b) Gọi

và

, vectơ nào bằng vectơ

là trung điểm của cạnh

Giải.a) Hai đường thẳng

và

. Xác định điểm

và

sao cho

chéo nhau nên hai vectơ

cùng phương. Do đó, hai vectơ
và
Tứ giác
là hình bình hành nên
Hai vectơ

? Giải thích vì sao.

không bằng nhau.
và

.
và

không

.

có cùng độ dài và cùng hướng nên hai vectơ đó bằng nhau.

Tương tự, hai vectơ
và
có cùng độ dài và ngược hướng nên hai vectơ
và
không bằng
nhau.
b) Gọi
là trung điểm của cạnh
. Vì tứ giác
là hình bình hành nên
và
. Hình lăng trụ
có
và
, suy ra
và
.
Hai vectơ
và
có cùng độ dài và cùng hướng nên
. Vậy trung điểm của cạnh
là
điểm
cần tìm.
1

2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
a) Tổng của hai vectơ trong không gian
Trong không gian, cho hai vectơ
và . Lấy một điểm
bất kì và các
điểm
sao cho
. Khi đó, vectơ
được gọi là tổng
của hai vectơ và , kí hiệu là
.
Trong không gian, phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.
Nhận xét. Quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành trong mặt phẳng vẫn
đúng trong không gian:
- Nếu
là ba điểm bất kì thì
;
- Nếu
là hình bình hành thì
.
Ví dụ 3: Cho hình lập phương
có độ dài mỗi cạnh bằng 1.
Tính độ dài của vectơ
.
Giải.Tứ giác
là hình vuông nên
.
Do đó
.
Tứ giác

là hình vuông nên

suy ra

,

.

Chú ý.Tương tự như phép cộng vectơ trong mặt phẳng, phép cộng vectơ trong không gian có các tính chất
sau:
- Tính chất giao hoán: Nếu và là hai vectơ bất kì thì
.
- Tính chất kết hợp: Nếu
và là ba vectơ bất kì thì
.
- Tính chất cộng với vectơ : Nếu là một vectơ bất kì thì
.
Từ tính chất kết hợp của phép cộng vectơ trong không gian, ta có thể viết tổng của ba vectơ
và là
mà không cần sử dụng các dấu ngoặc. Tương tự đối với tổng của nhiều vectơ trong không gian.
Ví dụ 4: Cho tứ diện
. Chứng minh rằng
.
Giải.Theo quy tắc ba điểm trong không gian, ta có
.
Từ đó lần lượt áp dụng tính chất của phép cộng vectơ trong không gian, ta
được:

Quy tắc hình hộp.
Cho hình hộp

. Khi đó, ta có

.

Ví dụ 5: Cho hình hộp
. Chứng minh rằng
.
Giải.Vì tứ giác
là hình bình hành nên
và
.
Áp dụng quy tắc hình hộp suy ra
.
b) Hiệu của hai vectơ trong không gian
Trong không gian, vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ được gọi là vectơ đối của vectơ , kí
hiệu là
.
Chú ý- Hai vectơ là đối nhau nếu và chỉ nếu tổng của chúng bằng .
- Vectơ
là một vectơ đối của vectơ
.
- Vectơ được coi là vectơ đối của chính nó.
Tương tự như hiệu của hai vectơ trong mặt phẳng, ta có định nghĩa về hiệu của hai vectơ trong không gian:
Vectơ
được gọi là hiệu của hai vectơ và và kí hiệu là
.
Trong không gian, phép lấy hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ.
Nhận xét. Với ba điểm
bất kì trong không gian, ta có
.
Ví dụ 6: Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Gọi
lần lượt là trung điểm của
. Chứng minh rằng:
2

a)
và
là hai vectơ đối nhau;
b)
.
Giải.a) Tứ giác
là hình bình hành nên
và
,
suy ra
và
. Hai vectơ
và
có cùng độ
dài và ngược hướng nên chúng là hai vectơ đối nhau.
b) Từ câu a, ta có
.
Suy ra
.
3. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Tương tự như tích của một số với một vectơ trong mặt phẳng, ta có định nghĩa về tích của một số với một
vectơ trong không gian:
Trong không gian, tích của một số thực
với một vectơ
là một vectơ, kí hiệu là
, được xác
định như sau:
- Cùng hướng với vectơ a nếu
; ngược hướng với vectơ nếu
;
- Có độ dài bằng
.
Trong không gian, phép lấy tích của một số với một vectơ được gọi là phép nhân một số với một vectơ.
Chú ý
- Quy ước
nếu
hoặc
.
- Nếu
thì
hoặc
.
- Trong không gian, điều kiện cần và đủ để hai vectơ và
cùng phương là có một số thực sao
cho
.
Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ tam giác
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
.

Gọi

là giao điểm của

Giải.Vì

và

.Chứng minh rằng

.

là trung điểm của
nên
là đường trung bình của tam giác
. Tứ giác
là hình bình hành nên
và
.

. Suy ra

và

Do đó
và
. Vì hai vectơ
và
ngược hướng nên
.
Chú ý. Tương tự như phép nhân một số với một vectơ trong mặt phẳng, phép nhân một số với một vectơ
trong không gian có các tính chất sau:
- Tính chất kết hợp: Nếu
là hai số thực và là một vectơ bất kì thì
.
- Tính chất phân phối: Nếu
là hai số thực và
là hai vectơ bất kì thì
và
.
- Tính chất nhân với 1 và
: Nếu là một vectơ bất kì thì
Ví dụ 8: Cho tứ diện
. Gọi
là trọng tâm của tam giác
Chứng minh rằng
.
Giải.Vì
là trọng tâm của tam giác
nên
Do đó ta có:
Chú ý. Tương tự như trong mặt phẳng, nếu
thì với điểm
tuỳ ý, ta có

và

.

.

là trọng tâm của tam giác

3

.

4. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
a) Góc giữa hai vectơ trong không gian
Trong không gian, cho hai vectơ
khác . Lấy một điểm
bất kì và gọi
là hai điểm sao cho

. Khi đó, góc

được gọi là góc giữa hai vectơ và , kí hiệu là
.
Nếu góc giữa hai vectơ và là
thì ta nói hai vectơ và vuông góc với
nhau và kí hiệu là
.
Chú ý
- Để xác định góc giữa hai vectơ
và
trong không gian ta có thể lấy điểm
sao cho

, khi đó

.

- Quy ước góc giữa một vectơ bất kì và
.
Ví dụ 9: Cho hình lập phương
a)
và
;
b)
và

có thể nhận một giá trị tuỳ ý từ

đến

. Tính góc giữa các cặp vectơ sau:
.

Giải.a) Hai vectơ

và

cùng hướng nên

b) Vì tứ giác

là hình bình hành nên

Do đó

.
.

.

Tam giác

vuông cân tại

nên

, vì vậy

.

b) Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
Hãy nhắc lại công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng.
Trong không gian, cho hai vectơ
đều khác . Tích vô hướng của hai vectơ
là
, được xác định bởi công thức:
Chú ý- Quy ước nếu
hoặc
thì
- Cho hai vectơ
đều khác . Khi đó:
- Với mọi vectơ
- Nếu

, ta có

là hai vectơ khác

.

.
thì

.
.

.

Do đó
b) Tứ giác
có

là một số, kí hiệu

.

Ví dụ 10: Cho hình chóp tứ giác đều
có độ dài tất cả các cạnh bằng
Tính các tích vô hướng sau:
a)
; b)
.
Giải.a) Tam giác
có ba cạnh bằng nhau nên là tam giác đều,
suy ra
. Tứ giác
là hình vuông nên
,
suy ra

và

.
là hình vuông có độ dài mỗi cạnh là a nên độ dài đường chéo
là
và
nên tam giác
vuông cân tại , suy ra
.

4

. Tam giác
. Do đó

Nhận xét. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian cũng có các tính chất giống như các tính chất của
tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng. Cụ thể, nếu
là các vectơ trong không gian và là một
số thực thì ta có: Ví dụ 11: Cho tứ diện
có
và
của hai cạnh
. Chứng minh rằng:
a)

;

b)

; cùng vuông góc với

.

Giải.a) Ta có:
và
Do đó
Vì
lần lượt là trung điểm của
Suy ra

. Gọi

.
lần lượt là trung điểm

.
.
nên

, hay

.
.

b) Từ giả thiết, ta có

.

Vì vậy,

.

A. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1.Cho tứ diện
. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác vectơ mà mỗi vectơ có điểm đầu, điểm cuối là
hai đỉnh của tứ diện
?
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 2.Cho hình lập phương
. Mệnh đề nào sau đây sai?
A.

.

B.

Câu 3.Cho hình tứ diện

có trọng tâm

A.

.

C.
A.

, gọi
.

B.

C.

D.

.

.

D.
,

.

. Mệnh đề nào sau đây sai?

B.
.

Câu 4.Cho tứ diện

.

.

lần lượt là trung điểm của
.

C.

và

; Đẳng thức nào sai?
.

D.

.

Câu 5.Cho tứ diện
. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
A.
. B.
. C.
.
D.
.
Câu 6.Cho hình hộp
. Chọn đẳng thức vectơ đúng:
A.
. B.
.C.
. D.
.
Câu 7.Cho hình hộp
. Biểu thức nào sau đây đúng:
A.
.
B.
. C.
. D.
.
Câu 8.Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm của AD và
.Khẳng định nào sau đây sai?
A.
. B.
.
C.
. D.
.
Câu 9.Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
. B.
. C.
.
D.
.
Câu 10.Cho hình lăng trụ tam giác
. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng
? A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 11.Cho hình chóp
, gọi
là trọng tâm tam giác
. Ta có
A.
. B.
. C.
.
D.
.
Câu 12.Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
,
là trung điểm của
.
Cho các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 13.Cho hình lăng trụ tam giác
. Đặt
. Trong các biểu thức
véctơ sau đây, biểu thức nào đúng.
5

A.
.
B.
.
Câu 14.Trong không gian cho điểm
và bốn điểm
tạo thành hình bình hành là:
A.

.B.

C.

.
D.
.
không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để

.C.

Câu 15.Cho hình hộp chữ nhật
A.
.
B.
Câu 16.Cho hình lập phương

.D.

. Khi đó, vectơ bằng vectơ
là vectơ nào dưới đây?
C.
.
D.
.
. Gọi
là tâm của hình lập phương. Chọn đẳng thức đúng?

.

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Câu 17.Cho tứ diện

. Gọi

thức vectơ:

là trọng tâm tam giác
A.

B.

Câu 18.Cho hình hộp

với tâm

A.

.

C.

C.

thích hợp điền vào đẳng

.

D.

.

. Chọn đẳng thức sai.

B.
.

Tìm giá trị của

.

D.

.

Câu 19.Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Đặt
;
;
;
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 20. Cho tứ diện
. Gọi
là trung điểm của
và
. Chọn khẳng định đúng?
A.

.

Câu 21. Cho tứ diện

B.
. Gọi

.C.
và

lần lượt là trung điểm của

hợp điền vào đẳng thức vectơ:

A.

Câu 22. Cho hình hộp

và

B.

D.

.

. Tìm giá trị của
C.

thích

D.

. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A.
.
B.
Câu 23. Cho tứ diện
A.

.

.

và

. C.
là trọng tâm tam giác

. B.

. D.
. Đẳng thức đúng là.

. C.

.

.

D.

.

Câu 24.Cho hình lập phương
A.
.
Câu 25. Cho hình chóp

, thực hiện phép toán:
B.
.
C.
.
D.
.
có đáy là hình bình hành tâm . Gọi
là điểm thỏa mãn:
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. , không thẳng hàng.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 26. Cho hình hộp
. Tìm giá trị của thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 27.Cho hình hộp
. Chọn đẳng thức sai?
A.
Câu 28.Gọi
điểm đoạn

.B.
.C.
.D.
.
lần lượt là trung điểm của các cạnh
và
của tứ diện
. Gọi là trung
và là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của thích hợp điền vào đẳng thức

vectơ:

.A.

Câu 29.Cho hình hộp
A.

. Gọi
.

.

B.

.

là trung điểm

B.

C.

D.

. Chọn đẳng thức đúng.
.

6

.

.

C.
.
D.
.
Câu 30. Cho tứ diện
. Gọi
,
lần lượt là trung điểm của
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A.
.B.
.C.
Câu 31.Cho tứ diện
và điểm
thỏa mãn
Gọi

là giao điểm của

và mp

A.
.
Câu 32.Cho tứ diện đều
đây sai?.
A.

,

,

và

.D.
.
( là trọng tâm của tứ diện).

. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

B.
và

.
C.
.
theo thứ tự là trung điểm của cạnh

.B.

.C.

Câu 33.Cho
định sau:

là trung điểm của

D.
và

.
. Mệnh đề nào sau

. D.

.

là hình hộp, với K là trung điểm CC1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng

A.

B.

C.

Câu 34.Cho hình hộp

D.

với

B.

. Khi đó: A.

C.

Câu 35. Cho

D.

là hình hộp, trong các khẳng định sau khẳng định sai:

A.

B.

C.

D.

Câu 36. Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa
( G là trọng tâm của tứ diện). Gọi O là
giao điểm của GA và mặt phẳng (BCD). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A.
B.
C.
D.
Câu 37.Cho hình lập phương
.Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.

.

B.

Câu 38.Cho hình lăng trụ

. C.

.

Đặt

A.
.
Câu 39.Cho lăng trụ tam giác

.

B.

. C.

.
D.
. Hãy phân tích (biểu thị) vectơ

có

B.

. C.
gọi

. B.

.

lần lượt là trung điểm của

,
.

Trong các khẳng

và

. Đặt

.
,

. D.

.Mệnh đề nào sau đây sai?

đồng phẳng.

B. Các véc tơ

đồng phẳng.

C. Các véc tơ

đồng phẳng.

D. Các véc tơ

đồng phẳng.

. Chọn khẳng định đúng.
7

,
.

A. Các véc tơ
Câu 44.Cho hình hộp

,

D.

.C.

Câu 43. Cho hình lập phương

.

D.

.

B.

D.
. Đặt

là trung điểm của

. C.

Câu 42.Cho tứ diện
. Gọi
và
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.

và
.

Câu 41.Cho tứ diện
. Đặt
định sau, khẳng định nào đúng?
A.

.

Khẳng định nào sau đây đúng?

qua các vectơ
.A.
B.
C.
Câu 40. Cho tứ diện
. Gọi
và lần lượt là trung điểm của
. Khẳng định nào sau đây đúng.
A.

D.

A.

đồng phẳng.

B.

đồng phẳng.

C.
đồng phẳng.
D.
Câu 45.Cho hình hộp
. Gọi
. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Bốn điểm
đồng phẳng.
C. Ba vectơ

đồng phẳng.
và
lần lượt là tâm của hình bình hành
B.

không đồng phẳng.

và

.

D.

.

Câu 46.Cho hình hộp
. Gọi là tâm hình bình hành
và
là tâm hình bình hành
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A.
,
,
đồng phẳng.
B.
,
,
đồng phẳng.
C.
,
,
đồng phẳng.
D.
,
,
đồng phẳng.
Câu 47.Cho hình hộp ABCD. A'B'C'D'. Bộ 3 vectơ nào sau đây đồng phẳng:
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 48.Cho tứ diện ABCD.Gọi M, N là trung điểm AB và CD.Ba véc tơ nào đồng phẳng:
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 49.Cho ba vectơ

. Điều kiện nào sau đây khẳng định

A. Tồn tại ba số thực

thỏa mãn

B. Tồn tại ba số thực

đồng phẳng?

và

thỏa mãn

.

và

.

C. Tồn tại ba số thực
sao cho
.
D. Giá của
đồng qui.
Câu 50. Cho tứ diện
. Gọi
,
lần lượt là trung điểm của
,
. Trong các khẳng định sau,
khẳng định nào sai?
A. Các vectơ
,
đồng phẳng.
B. Các vectơ
,
,
đồng phẳng.
C. Các vectơ
,
,
không đồng phẳng. D. Các vectơ
,
,
đồng phẳng.
Câu 51.Cho hình chóp
có
, các cạnh còn lại đều bằng . Góc giữa hai vectơ
và
bằng A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 52.Cho tứ diện
có
,
Gọi là góc giữa hai vecto
và
. Chọm mệnh đề đúng?
A.

.

B.

.

Câu 53.Cho hình lập phương
A.

.

Câu 54.Cho tứ diện
. A.
.

Câu 55.Cho tứ diện đều
A.

.

.
có hai mặt
.
có cạnh bằng

B.

.

D.

.

. Tính

B.
B.

C.

C.
và

.

D.

.

là các tam giác đều. Tính góc giữa hai vecto
C.
.
D.
.
. Giá trị tích vô hướng

.

C.

.

bằng
D.

.

Câu 56.Cho hình chóp
có
,
. Tính số đo của góc giữa hai vecto
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 57.Nếu một vật có khối lượng
thì lực hấp dẫn
của Trái Đất tác
dụng lên vật được xác định theo công thức
, trong đó là gia tốc rơi tự
do có độ lớn
. Tính độ lớn của lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng
lên một quả táo có khối lượng 102 gam (Hình).
A.
.
B.
. C.
.
D.
.

8

và

và

Câu 58.Một chất điểm chịu tác động bởi 3 lực

có chung điểm đặt

và có giá vuông góc với nhau từng đôi một. Biết cường độ của các lực
lần lượt là
và
, xác định hợp lực của 3 lực và tính cường độ của
hợp lực (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 59.Cho lăng trụ tam giác

Đặt

Gọi I là điểm thuộc đường thẳng

sao cho
điểm thỏa mãn
Biểu diễn vectơ
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định đúng?
A.

. B.

Câu 60.Cho hình lăng trụ
Đặt
A.

. C.

. Khi đó

.

. D.

với
là trọng tâm của tam giác
bằng

B.

.

qua các vectơ

.

C.

.

D.

Câu 61.Cho tam giác
có AB = 2; AC = 5, gọi AD là phân giác trong của góc A (D thuộc cạnh
BC). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.

.

B.

.

Câu 62.Cho tứ diện
có
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.

.

Câu 63. Cho hình hộp

D.

. Đặt
.

. Gọi

.
.

C.

có tâm

,

.

là trọng tâm tam giác

. B.
,

C.

D.

là tâm hình bình hành

.
.Đặt

,

. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Câu 64.Cho tứ diện ABCD.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.Trên các cạnh AD và BC lần lượt
lấy các điểm P, Q sao cho
,
. Các vectơ
đồng phẳng khi chúng thỏa
mãn đẳng thức vectơ nào sau đây:
A.

. B.

Câu 65.Cho tứ diện đều

C.

. D.

,
là trung điểm của cạnh
. Phân tích véc tơ
theo
.

A.
Câu 66.Cho ba vectơ
A. Các vectơ

.

. B.
,

,

và

.

là trộng tâm cảu tam giác

. C.

. D.

.

không đồng phẳng. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
,
đồng phẳng.

B. Các vectơ

,

đồng phẳng.

C. Các vectơ

,

đồng phẳng.

D. Các vectơ
,
,
đồng phẳng.
Câu 67.Cho tứ diện ABCD.Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho
. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AD và BC.Khẳng định nào sau đây sai?
A. Các vectơ
đồng phẳng.
B. Các vectơ
đồng phẳng.
C. Các vectơ

. Đặt

đồng phẳng.

D. Các vectơ
9

đồng phẳng.

,

Câu 68. Cho tứ diện
đây đồng phẳng?
A.
Câu 69.Cho tứ diện
. Nếu
A.

. B.

và

theo thứ tự là trung điểm của

B.
C.
là điểm trên đoạn
và
đồng phẳng thì giá trị của là:

.

C.

.

và

D.
là điểm trên đường thẳng

.

D.

. Bộ ba vecto nào dưới

mà

.

Câu 70.Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AC, BD lần lượt lấy M, Nsao cho AM=3MD; BN=3NC.
Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AD, BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Các vec tơ
không đồng phẳng
B. Các vec tơ
đồng phẳng
C. Các vec tơ
đồng phẳng
D. Các vec tơ
đồng phẳng
Câu 71.Cho hình chóp
có ba cạnh
,
,
đôi một vuông góc và
là trung điểm cạnh
. Góc tạo bởi hai vectơ
và
bằng
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 72.Cho hình hộp chữ nhật
biết đáy
là hình vuông.Tính góc giữa
A.
B.
C.
D.
Câu 73.Cho hình lăng trụ tam giác đều
A. .

B.

có tất cả các cạnh đều bằng
.

C.

.

. Gọi

và

, tính
D.

.

Câu 74.Cho hình chóp
có ba cạnh
đôi một vuông góc và
. Gọi
là trung điểm cạnh
. Góc hợp bởi hai véc tơ
và
bằng
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 75.Cho hình lăng trụ
có đáy
là tam giác đều cạnh , tam giác
đều nằm
trong mặt phẳng vuông góc với
.
là trung điểm cạnh
. Tính cosin góc
giữa hai vecto
và

. A.

.

Câu 76.Cho hình chóp

B.

.

C.

.

có

D.

và góc

Giá trị

gần nhất với giá trị nào sau đây? A.
B.
C.
Câu 77.Cho hình chóp
có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng
Gọi

là trung điểm của

Giá trị

bằng A.

D. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

.

B.

.

Câu 1.Trong không gian, cho hình chóp
có đáy
là hình
bình hành tâm .
a)Cóbốn vectơ khác vectơ – không có điểm đầu là và điểm cuối là các
đỉnh còn lại của hình chóp.
b) Trongbốn vectơ
thì có hai vectơ có giá nằm trên mặt
phẳng
là
c) Hai vectơ
và
d)Hai vectơ
và

.
là hai vectơ cùng phương.
là hai vectơ bằng nhau.

10

.

C.

D.
và
.

là hình vuông.
D.

.

Câu 2.Trong không gian cho hình hộp
tâm .
a) Cóbảy vectơ khác vectơ – không có điểm đầu là và điểm cuối là các
đỉnh còn lại của hình hộp.
b) Trongbốn vectơ
thì có ba vectơ cùng phương là
và
.
c) Trongbốn vectơ
thì có ba vectơ có giá nằm trên mặt
phẳng
là vectơ
và
.
d) Cóba vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp bằng
Câu 3. Cho tứ diện
có
đôi một vuông góc. Cạnh
Gọi
là trung điểmcủa
,
là trung điểmcủa
.
a)

b)Góc giữa hai vectơ

c)

d)

và

.

bằng

Câu 4.Cho hình lập phương
có cạnh bằng . Gọi là tâm
hình vuông
, gọi
là trọng tâm của tam giác
(tham khảo
hình vẽ).
a)
.
b)
.
c)

.

d)

.

Câu 5.Trong không gian, cho hình lập phương
a)
d)Gọi

b)
là điểm thỏa

c)
Khi đó

Câu 6.Cho hình hộp chữ nhật
cạnh có độ dài bằng . Đường thẳng

có đáy ABCD là hình vuông
tạo với đáy
góc sao

cho
.
a)Thể tích khối hộp chữ nhật

là

b)Góc nhị diện
c)Khoảng cách giữa BD và

có canh bằng

có số đo bằng
bằng

.

d)

Câu 7.Trong không gian, cho hình hộp
Các mệnh đề sau là đúng hay sai ?
a)
.
b)
c)
.
d)
Câu 8.Trong không gian, cho tứ diện
của các cạnh
và là trung điểm
Các mệnh đề sau là đúng hay sai ?
a)
b)
c)
d)

.
.

.
.
Gọi

lần lượt là trung điểm

11

Câu 9.Cho hình chóp tứ giác đều
Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau.
a)
b)
c) Độ dài của tổng
bằng
.
d)

có các cạnh bằng

.

Câu 10.Cho hình hộp chữ nhật
có
. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:
a)
c)

;
.

b)

và

;

d)

Câu 11. Cho hình hộp
mệnh đề sau:
a)
;
c)

. Đặt

và

. Xét tính đúng, sai của các

b)
.

d)

Câu 12.Cho hình lăng trụ đứng
là hình thoi có
và
đề sau:
a)

.

;b)

. Biết rằng
và tứ giác
. Xét tính đúng, sai của các mệnh
;c)

Câu 13.Trong không gian, cho hai vectơ

và

;d)
thoả mãn

và

. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:
a)
.
b)
;
c)
Câu 14.Cho hình lập phương
Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:
a)
;
b)
;
c)

d)

.

Câu 15.Cho hình lập phương
Tính:Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:
a)
;
b)
c)

;
d)
có độ dài các cạnh bằng .

có cạnh bằng

d)

12

(Hình).

.

Câu 16. Cho hình chóp
có
.Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:
a) Tam giác
vuông tại
và tam giác
đều.
b)

và

. c)

.

và

d)

.

Câu 17.Cho hình chóp tứ giác đều
có độ dài tất cả các cạnh đều
bằng .Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:
a) Tứ giác
là hình vuông.
b) Tam giác
vuông cân tại .
c)
.
d)
.

Câu 18. Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
và là trung điểm của
. Gọi
là trọng tâm của tam giác
(Hình).
Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.

Câu 19.Cho hình chóp đều
.
Gọi
là giao điểm của
và
(Hình).
Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:
a)
.
b)
c)
.
d)

.
.

Câu 20. Cho hình hộp chữ nhật
có
,
. Gọi
là một điểm trên đoạn
sao cho
(Hình).Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:
a)
c)

.

b)
.

d)

.
.

Câu 21.Trong không gian cho hình chóp
có đáy
bình hành tâm . Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
a)
b)
c)
d)

13

là hình

Câu 22.Cho tứ diện
a)
c)

. Các mệnh đề sau đúng hay sai
b)
d)

Câu 23.Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
. Các mệnh đề sau đúng hay sai
a)

và

là hai vectơ đối nhau.

с)

b)

d)

.

Câu 24.Cho hình chóp
. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
a) Nếu
là hình bình hành thì
.
b) Nếu
thì
là hình bình hành.
c) Nếu
là hình thang thì
.
d) Nếu
thì
là hình thang.

Câu 25.Cho hình chóp
có đáy là hình bình hành. Gọi
lần
lượt là trung điểm của
và
. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
a)
và
là hai vectơ đối nhau.
b)
c)
d)
.

Câu 26. Cho tứ diện
có
lần lượt là trung điểm của các cạnh
. Gọi
là trung điểm của đoạn thẳng
và
là trọng tâm tam
giác
. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
a)
.
b)
c)
d)

Câu 27. Cho hình hộp
a)
c)

. Các mệnh đề sau đúng hay sai
b)
.

d)

.

14

Câu 28. Cho hình hộp
a)
.

b)

c)

d)

.

. Các mệnh đề sau đúng hay sai
.
.

Câu 29.Cho tứ diện
có
lần lượt là trung điểm của các cạnh
. Gọi
là trung điểm của đoạn thẳng
.
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
a)
b)
với
là một điểm tuỳ ý
c)

với

là trọng tâm tam giác

d)

với

.

là trọng tâm tam giác

Câu 30.Cho hình tứ diện
có
và lần lượt là trung điểm của
và
Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a)

. Gọi
.

b)

с)

.

d)

Câu 31.Cho hình hộp
a)

với tâm
b)

.

c)

. Các mệnh đề sau đúng hay sai
.

d)

Câu 32.Cho hình hộp
Các mệnh đề sau đúng hay sai:

. Gọi

a)

b)

c)

d)

Câu 33.Cho hình hộp
hình bình hành
sau:

b)

c)

d)

.
;

.

Câu 34.Cho hình lăng trụ tam giác
là trọng tâm tam giác
và
Đặt

là trung điểm

. Gọi và
lần lượt là tâm của
. Xét tính đúng sai của các mệnh đề

và

a)

. Gọi
và
là giao điểm của

lần lượt
và
.

. Các khẳng định sau đúng hay sai.

a)
c)

.

.
.

b)

.

d)

15

Câu 35.Trong không gian cho hai vectơ
bằng
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)

;b)

và

;с)

.;d)

Câu 36.Cho hình chóp tứ giác đều
Các mệnh đề sau đúng hay sai
a)

; b)

.

có tất cả các cạnh bằng

.;с)

. ;d)

Câu 37.Cho hình lập phương
Các mệnh đề sau đúng hay sai
a)
b)
c)

cùng có độ dài bằng 1. Biết góc giữa hai vectơ đó

có cạnh bằng

.

d)

Câu 38.Cho tứ diện
có các cạnh đều bằng
Các mệnh đề sau đúng hay sai
a)

.

b)

c)

d)

Câu 39.Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông
cạnh , cạnh bên
vuông góc với đáy,
. Gọi
là trung
điểm của
. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Góc giữa hai vectơ
và
bằng
. b)
c)

. d) Góc giữa hai vectơ

Câu 40.Cho hình lập phương
lượt là trung điểm của các cạnh
của các mệnh đề sau: a)
c) Góc giữa hai vectơ
d) Gọi

b)

bằng

là góc giữa hai vectơ

bằng

.
.

thì

Câu 41.Cho tứ diện đều
, gọi
là trung điểm của
là trung điểm của
. Gọi
là góc tạo bởi