Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Tài liệu tự học 2026-2027

CHUYÊN ĐỀ 9.CÁC PHÉP TOÁN VỀ VÉC TƠ

PHẦN A. LÝ THUYẾT
I. TỌA ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM
1. Hệ trục toạ độ trong không gian
Hệ gồm ba trục
đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc
gian, hay đơn giản gọi là hệ toạ độ
.
Chú ý: Ta gọi
lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục
.
Trong hệ toạ độ
(Hình), ta gọi: điểm
là gốc toạ độ;
là trục
hoành,
là trục tung,
là trục cao; các mặt phẳng
là các mặt phẳng toạ độ.
Không gian với hệ toạ độ
còn được gọi là không gian
.
Nhận xét:
Các mặt phẳng toạ độ
đôi một vuông góc với nhau.
Ví dụ 1: Một sân tennis với hệ toạ độ
được chọn như ở Hình.
a) Hỏi mặt sân nằm trong mặt phẳng tọa độ nào?
b) Trục
có vuông góc với mặt sân hay không?
Giải
a) Mặt sân nằm trong mặt phẳng toạ độ
b) Trục
vuông góc với mặt phẳng tọa độ
nên trục
vuông
góc với mặt sân.
2. Toạ độ của một điểm.Ta có định nghĩa sau (Hình):
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho điểm
.
- Xác định hình chiếu
của điểm
trên mặt phẳng

. Trong

mặt phẳng toạ độ
, tìm hoành độ , tung độ của điểm
.
- Xác định hình chiếu
của điểm
trên trục cao
, điểm
ứng
với số trên trục
. Số là cao độ của điểm
.
Bộ số
là toạ độ của điểm
trong không gian với hệ toạ độ
, kí hiệu là
.
Chú ý
- Toạ độ của một điểm
trong không gian với hệ toạ độ
luôn
tồn tại và duy nhất.
- Người ta còn có thể xác định tọa độ điểm
theo cách sau (Hình):
+ Xác định hình chiếu
của điểm
trên trục hoành
, điểm
ứng với số trên trục
. Số là hoành độ của điểm
.
+ Xác định hình chiếu
của điểm
trên trục tung
, điểm
ứng
với số trên trục
. Số là tung độ của điểm
.
+ Xác định hình chiếu
của điểm
trên trục cao
, điểm
ứng
với số trên trục
. Số là cao độ của điểm
.
Khi đó, bộ số
là toạ độ của điểm
trong không gian với hệ toạ độ
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ
, cho điểm
. Gọi
lần lượt là hình chiếu của điểm
trên các mặt phẳng toạ độ
,

(Hình). Tìm toạ độ của các điểm

Giải.Gọi
Với

.

.

.
, đặt

. Ta có:
và

Do đó

trong không

(vì

nằm trên mặt phẳng

.

.
và

(vì

nằm trên mặt phẳng
1

. Do đó

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
và
(vì
nằm trên mặt phẳng

II. TỌA ĐỘ CỦA MỘT VECTƠ

Toạ độ của điểm
được gọi là toạ độ của vectơ
Nếu
có tọa độ
thì ta viết

Tài liệu tự học 2026-2027
. Do đó
.

.
, trong đó

gọi là hoành độ của vectơ
gọi là tung độ của vectơ
và gọi là cao độ của vectơ
(Hình).
Chú ý: Trong không gian với hệ toạ độ
, ta có:
;
- Vectơ đơn vị
Vectơ đơn vị

trên trục

có tọa độ là

trên trục

;

có tọa độ là

;

Vectơ đơn vị trên trục
có toạ độ là
(Hình).
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ toạ độ
, cho hai điểm
và
. Tìm tọa độ của các vectơ
.
Giải.Ta có:
và
.
Do đó,
.
Trong không gian với hệ toạ độ
, toạ độ của một vectơ là toạ
độ của điểm , trong đó
là điểm sao cho
.
Nếu có tọa độ
thì ta viết
, trong đó gọi
là hoành độ, gọi là tung độ và gọi là cao độ của vectơ .
Ví dụ 4: Tìm tọa độ của các vectơ
ở Hình.
Giải.Trong Hình, ta có:
mà
và
.
Do đó,
và
.Ta có định lí sau:
Trong không gian với hệ tọa độ
, nếu
thì
Ngược lại, nếu
thì
Chú ý: Với

và

, ta có:

.

Như vậy, mỗi vectơ hoàn toàn được xác định khi biết toạ độ của nó.
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
; - 3) và vectơ
Hãy biểu diễn theo các vectơ
và mỗi vectơ sau:
a)
;
b) .
Giải.a) Vì điểm
có toạ độ là
nên
Do đó,
b) Vì

nên

.

Ta có định lí sau:

Trong không gian với hệ tọa độ

, cho hai điểm

Khi đó,ta có:

và

.

.

Ví dụ 6:

Trong không gian với hệ toạ độ
. a) Tìm toạ độ của vectơ
.
Giải.a) Ta có:
b) Gọi tọa độ của điểm
Tứ giác

.

là

, cho hình bình hành có ba đỉnh
b) Tìm toạ độ của điểm .

và

, ta có:

là hình bình hành khi và chỉ khi

Vậy
2

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
Tài liệu tự học 2026-2027
III. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP CỘNG HAI VECTƠ, PHÉP TRỪ HAI VECTƠ, PHÉP
NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ
Nếu
và
thì
Nhận xét: Hai vectơ
sao cho

cùng phương khi và chỉ khi có một số thực

.

Ví dụ 7: Cho
a) ;
b)
;
c)

. Tính tọa độ của mỗi vectơ sau:

.

Giải
Ta có:
a)
b) Ta có

. Vậy
và

Vậy

.

c) Do

và

.
. Do đó,

.

nên

. Ngoài ra, vì

nên

.
IV. TOẠ ĐỘ TRUNG ĐIỂM ĐOẠN THẲNG. TOẠ ĐỘ TRỌNG TÂM TAM GIÁC
- Cho hai điểm
và
. Nếu
là trung điểm đoạn thẳng

- Cho tam giác
giác
thì

có

. Nếu

Ví dụ 8: Cho tam giác
có
và trọng tâm
của tam giác
.
Giải
Do
là trung điểm đoạn thẳng

Vậy

.

Do

là trọng tâm tam giác

. Tìm toạ độ trung điểm

nên

nên

3

thì

là trọng tâm tam

của đoạn thẳng

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
Vậy

Tài liệu tự học 2026-2027

.

V. BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG
Nếu
và
thì
Nhận xét
a) Nếu
thì
.
b) Nếu

và

c) Với hai vectơ
-

và

.

thì
và

khác vectơ

, ta có:

vuông góc vối nhau khi và chỉ khi

.
.

Ví dụ 9: Trong không gian với hệ toạ độ
, cho
a) Chứng minh rằng
không thẳng hàng.
b) Tính chu vi của tam giác
.
c) Tính
.
Giải
a) Ta có:
. Suy ra
không thẳng hàng.
b) Ta thấy:

Vậy chu vi của tam giác
c) Ta có:

bằng

và

.

với mọi

. Vậy ba điểm

.

VI. CÁCH TÌM TOẠ ĐỘ CỦA MỘT VECTƠ VUÔNG GÓC VỚI HAI VECTƠ CHO TRƯỚC
Ta có định lí sau:
Cho hai vectơ
và
không cùng phương.
Khi đó, vectơ
vuông góc với cả hai vectơ và .
Nhận xét
- Vectơ
trong định lí trên còn được gọi là tích có hướng của hai vectơ và , kí hiệu là
- Để thuận tiện trong cách viết, ta quy ước:
Khi đó, với hai vectơ

và

, với

.

là các số thực.

, ta có:

- Hai vectơ
không cùng phương khi và chỉ khi vectơ
Ví dụ 10: Trong không gian với hệ toạ độ
, cho hai vectơ
toạ độ của một vectơ
khác vuông góc với cả hai vectơ và .
Giải
Ta có:

4

.
và

. Hãy chỉ ra

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
Tài liệu tự học 2026-2027
Chọn
. Theo định lí trên, vectơ
vuông góc với cả hai vectơ và .
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1.Trong không gian tọa độ
, cho
và
. Tọa độ của vectơ
là:
A.

.

B.

.

C.

. D.

Câu 2.Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm
thẳng

ngắn nhất.A.

. B.

Câu 3.Trong không gian
A.

. Tìm điểm
.

, cho hai điểm

.B.

C.

trên mặt phẳng

là A.

.

B.

.

của

là A.

A.

. B.

.

.

.

B.

.

B.

.

C.

Câu 13.Trong không gian
A.

độ điểm

làA.

.

A.

.

D.
.

có tọa độ là A.
Câu 18. Trong không gian
A. .
B. .
Câu 19.Trong không gian

.
.

D.

.

bằng

thỏa mãn
.

D.

.
. Tọa độ

B.
.

.

C.

có

C.

.
và

B.

.
,

D.
Vectơ

, cho hai điểm
,
C. .
D. .
, côsin của góc giữa hai vectơ
5

. Tọa

có tọa độ
D.

C.

.

.

, hình chiếu vuông góc của điểm
.

D.
,

C.
B.

là:

.

C.

, cho hai điểm

.

.

D.

, cho
.

Câu 17.Trong không gian với hệ tọa độ

.
và

D.

.

. Tìm tọa độ điểm

B.

Câu 16.Trong không gian

.

độ dài đoạn

, cho hình bình hành
.

D.

Tọa độ của véctơ

C.
,

là:A.

.
;

C.

.

Câu 14.Trong không gian với hệ trục tọa độ
Câu 15.Trong không gian

C.

. Độ dài đoạn thẳng
C. .
D. .
và
là điểm đối xứng với
qua trục
. Độ dài

B.

của véctơ

.

. Tọa

cho các điểm

, cho

.

.

và

.

.

Câu 12.Trong không gian cho hai điểm
A.

có

cho véctơ

Câu 10.Trong không gian với hệ tọa độ
bằng A. .
B. .
Câu 11.Trong không gian
, cho điểm
bằng A.

D.

C.

B.

đoạn thẳng

.

, cho hai véc tơ

Câu 9.Trong không gian với hệ trục tọa độ
A.

có tọa độ

. Khi đó tọa độ của véctơ
.
D.
.
. Tọa độ của vectơ
là
.
D.
.
. Tọa độ hình chiếu vuông góc của

C.

B.

Câu 8.Trong không gian với hệ trục tọa độ
Khẳng định nào dưới đây đúng?

.

.

, cho tam giác
.

D.

Vectơ

, cho
và
.
C.
, cho điểm
.
C.
, cho điểm

Câu 7.Trong không gian với hệ tọa độ
độ trung điểm

.

D.

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ
bằng:A.
.
B.
Câu 5.Trong không gian với hệ tọa độ
A.
.
B.
Câu 6.Trong không gian với hệ tọa độ

sao cho độ dài đoạn

C.
và

.

.

trên mặt phẳng
D.

. Độ dài đoạn thẳng
,

.
.
là
là

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
A.

.

B.

.

C.

Câu 20.Trong không gian với hệ tọa độ
vecto

và

.A

B.

của đoạn thẳng

Câu 22.Trong không gian tọa độ

có độ dài bằng A.
.
Câu 24.Trong không gian
đường phân giác trong góc

, cho điểm
.

, cho điểm

,

.

Câu 26.Trong không gian

.

D.

.

làA.

D.

.

.

C.

là

D.

.

D.

.

là

.

, cho ba véc tơ

.

. Toạ độ

B.

Câu 28.Trong không gian với hệ trục tọa độ
bằng A.

, đoạn

.

. Toạ độ véctơ

Tọa độ của điểm
.

.

Tọa độ chân

C.

Câu 27.Trong không gian với hệ trục toạ độ

và

.

, cho véctơ

B.

góc giữa hai vectơ

C.

trên mặt

D.
là trung điểm

C.

, cho

.

.
. Gọi

.

B.

của véc tơ

C.

B.
.
cho tam giác
có
của tam giác
là
B.

D.

. Hình chiếu vuông góc của điểm

B.

.

A.

. Tọa độ trung điểm
C.

Câu 25.Trong không gian với hệ trục tọa độ
A.

D.

, cho hai điểm

.

Câu 23.Trong không gian

.
. Tính góc giữa hai

B.

là A.

D.

C.

làA

phẳng tọa độ

.

, cho hai vecto

Câu 21.Trong không gian với hệ tọa độ

A.

Tài liệu tự học 2026-2027

.

C.

.

, cho hai vectơ

.

B.

D.

,

.

C.

.
. Côsin của

.

D.

.

Câu 29.Trong không gian, cho hình lập phương
có độ dài các
cạnh bằng , điểm
trùng với gốc tọa độ (như hình vẽ).Tọa độ vectơ
có
tọa độ.A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 30.Trong không gian
, cho hai điểm
và
là điểm đối
xứng với
qua trục
. Độ dài đoạn thẳng
bằng
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 31.Trong không gian
A.

, cho

.

B.

Câu 32.Trong không gian
tâm

của tam giác

chiếu của điểm

là A.

.
, cho
B. .
, cho điểm

lên mặt phẳng

.

B.
là A.

là

C.

.

với

D.

,

B.

.

.

và
C.

. Toạ độ trọng
.

D.

.

.Giá trị của tích vô hướng
bằng
C. .
D. .
thoả mãn
. Tìm toạ độ điểm

là hình

.

Câu 35.Trong không gian với hệ toạ độ
Độ dài đoạn thẳng

.

, cho tam giác

Câu 33.Trong không gian
A. .
Câu 34.Trong không gian
A.

. Toạ độ của

.

C.

, cho hai điểm

.

Câu 36.Trong không gian với hệ tọa độ

B. .
, cho các vectơ
6

.

D.
và

.
.

C.

.

D.
.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
Điểm
thỏa mãn
, tổng
A. .
B. .
Câu 37.Trong không gian
, cho hai điểm
A.
.
Câu 38.Trong không gian
,
A.

B.
, cho hình hộp
và

Tài liệu tự học 2026-2027
bằng
C. .
và

.

D.
.
. Tính độ dài đoạn thẳng

C.

.

.

Câu 39.Trong không gian

C.

.

cho

.

D.

.

. Tọa độ của vectơ

A.
.
B.
.
C.
.
D.
Câu 40.Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai điểm
.Tìm điểm
sao cho ba điểm
A.

.

B.

.

. Giá trị của m là A.
.
Câu 42.Trong không gian với hệ tọa độ

B.
. C.
, cho các vecto

.

Câu 43.Trong không gian
A.

A.
.
Câu 46.Trong không gian

B.
.
cho tam giác
.

.
của tam giác

A.
.
Câu 52.Trong không gian
tâm của tam giác
làA.
Câu 53.Trong không gian
làA.
Câu 54.Trong không gian
A. .

.

D.

.
lên trục

D.

C.

.
.

.A.

.

.

.

.

D.

và

.

. Khi đó:

D.
và

.
. Mệnh đề

. D.
biết

.
C.

.

D.

, cho ba điểm
.B.

. C.
C.
C.

.

C.
C. .

.D.
. Vectơ

.

với
.

.
. Tìm tọa

và

và

.

Trọng tâm

C.

C.

. B.

7

và

và

, cho hai vectơ
B.
.
cho tam giác
.
B.
, cho ba vectơ
.
B.
cho hai điểm
B. .

.

D.

có

, cho tam giác
.A.

là:

. Tính góc giữa
C.

là

.

D.

, cho hai vectơ
C.
.
, cho hai vectơ

Câu 50.Trong không gian với hệ trục tọa độ
Câu 51.Trong không gian

.
.

B.

B.

Câu 49.Trong không gian với hệ toạ độ

độ điểm M thỏa mãn

C.

cho hai véctơ

Câu 47.Trong không gian với hệ trục tọa độ
bằng A. .
B. .
Câu 48.Trong không gian với hệ trục toạ độ

Tìm toạ độ trọng tâm

D.

. Tọa

C.
.

có tọa độ làA.

.

. Tọa độ của vectơ

B.

nào dưới đây sai? A.

.

cho 2 vectơ

.

D.

. Hình chiếu vuông góc của điểm
.

Câu 45.Trong toạ độ không gian

của tam giác

thẳng hàng
. Biết rằng

.

B.

Câu 44.Trong không gian
A.

B.

, cho điểm

.

.

.

, cho các điểm

làA.

là

C.

Câu 41.Trong không gian với hệ toạ độ

độ của vectơ

.

có

. Tìm toạn độ vectơ

. B.

D.

?

D.

.
có tọa độ là

.
Toạ độ trọng
.
D.
.
tọa độ của
.
D.
.
. Độ dài đoạn thẳng
bằng
D. .

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
Câu 55. Trong không gian tọa độ
cho hai điểm
kiện

. Tọa độ của điểm

Câu 56.Trong không gian
A.

làA.

.B.

, cho vectơ

.

C.

Câu 59.Trong không gian

C.

đó vectơ
có tọa độ làA.
Câu 61.Trong không gian

. B.
, cho hai vectơ

Câu 62.Trong không gian
có tọa độ là A.

.

.

.

làA.
sao cho ba điểm

.

tọa độ làA.

.

.

Câu 73.Trong không gian
.

.

,

.

thuộc mặt phẳng
.D.

.

và

. Trọng tâm của tam giác
.

C.

, cho hai véc-tơ

.

D.

có

.

. Giá trị của
bằng
D.
.
. Độ dài đoạn thẳng

.

D.

và
C.

D.

là

.

C. .
, cho hai điểm

8

.

C.

và

.

D.

, tọa độ của vectơ

C.

.

, tọa độcủa

.C.

, cho vectơ
.

.

. Tọa độ điểm

.B.

, cho hai điểm

B.

,

,

và

thẳng hàng làA.

B.

bằng

D.

C.

, cho hai điểm

Câu 71.Trong không gian
, cho hai vectơ
A. .
B.
.
Câu 72.Trong không gian với hệ trục tọa độ
bằng:A.

.

.

B.

là

.

có ba đỉnh

,

B.

B.

Câu 70.Trong không gian

D.
. Khi đó

C.

Câu 69.Trong không gian với hệ trục tọa độ
.

. Giá trị của
D. .
. Tọa độ của vectơ

.

D.
.
, cho tam giác

, cho ba vectơ
.

Câu 68.Trong không gian

C.

.

là

B.

Câu 67.Trong không gian

và

và

của tam giác

.

D.

C. .
và

Câu 65. Trong không gian
, cho hai vectơ
A. .
B. .
C. .
Câu 66.Trong không gian với hệ trục tọa độ
.

.

,

B.

. Tọa độ trọng tâm

D.

. Trung điểm của đoạn thẳng

C.

cho ba điểm
B. .
, cho hai vectơ

. Khi

D.
.
. Cosin của góc giữa hai vectơ

.

và
.

trên trục

.

C.

B.

.

A.

C.
và

.

là

D.

là hình chiếu vuông góc của điểm

cho hai điểm

Câu 63.Trong không gian
bằng A. .
Câu 64.Trong không gian
A.

D.
Tọa độ của vectơ

, gọi

B.

là

C.

Câu 60.Trong không gian

bằng A. .

là

D.

Tọa độ của điểm

B.

,

là

.

cho hai điểm

A.

.

D.

C.

B.

D.

. Tọa độ của vectơ

cho vectơ

A.

.

.

và

B.

Câu 58.Trong không gian

C.

. Tọa độ của vectơ

, cho hai điểm

A.

A.

.

B.

Câu 57.Trong không gian

A.

Tài liệu tự học 2026-2027
và vectơ
thỏa mãn điều

.

. Tích vô hướng
.

D.

bằng
.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
Câu 74. Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho 2 điểm
điểm của đoạn

là A.

.

Câu 75.Trong không gian
A.

B.

Câu 76.Trong không gian
vectơ

làA.

Câu 77.Trong không gian
bằng A.

.

Câu 78. Trong không gian
.

.

A.

.

có tọa độ làA.

.

.

.
.

B.

.

, cho hai điểm
.

.

A.

C.

lên mặt phẳng
.

C.
. Tọa độ của

B.

.

trên trục

D.

. Tọa độ của vecto
.

.

D.

.

D.

.
là:

. Tọa độ của vectơ

, cho các vectơ

.

D.

,

.

.

là

C.
C.

.
là
.

. Khi đó tọa độ vectơ

C.

.

D.

. Tìm tọa độ điểm

là

.

biết

vuông tại

D.

.

.
.

, vectơ

C.

.

khẳng định nào sau đây đúng?
.

Câu 91.Trong không gian với hệ tọa độ
Câu 92. Trong không gian

.

D.

.

, cho

B.

.

là

, hình chiếu vuông góc của điểm

B.

?A.

là
.

D.

.

C.

.

Câu 89.Trong không gian Oxyz,cho ba điểm
thứ tư của hình bình hành
, khi đó biểu thức
A.
.
B. .
C.
Câu 90.Trong không gian với hệ trục tọa độ
, ba điểm
vi của tam giác
là: choA.
. B.
vectơ

.

D.

.

C.

.

B.

.

.

. Hình chiếu vuông góc của
.

là

. Tọa độ của vectơ

C.

.

Câu 88.Trong không gian

D.

. Tọa độ của vectơ

.

B.

Câu 87.Trong không gian
, cho
và
là tâm đường tròn ngoại tiếp
A.
.
B.

.

,

, cho điểm

.

. Tọa độ của véc-tơ

C.

, cho hai điểm

B.
.

D.

,

A.
A.

.

C.

, cho hai vectơ

.

. Độ dài của

và

, cho vectơ

Câu 86.Trong không gian

.

D.

,
C.

Câu 85.Trong không gian với hệ tọa độ
.

là điểm nào?

D.
.

,

Câu 84.Trong không gian Oxyz, cho
A.

C.

, cho ba điểm

Câu 83.Trong không gian với hệ tọa độ
A.

.

.

B.
.

.

lên trục

C.

B.

Câu 82.Trong không gian với hệ trục tọa độ
có tọa độ là: A.

D.

. Toạ độ của

B.

Câu 81.Trong không gian

.

, cho ba vectơ

B.

Câu 80.Trong không gian

C.

.

B.

Câu 79.Trong không gian
A.

.

hình chiếu vuông góc của điểm

.

A.

B.

Tài liệu tự học 2026-2027
và
. Tọa độ trung

.

D.

. Điểm
là điểm
có giá trị bằng bao nhiêu?
D. .
,
và
. Chu
. C. . D.
.

, cho hai vectơ
B.

.

, cho các véc tơ

C.

.

. Tìm tọa độ
.

D.

. Khi đó tọa độ véc tơ
9

.
là?

A.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
.
B.
.

C.

.

Câu 93.Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
Với giá trị nào của
thì tam giác
vuông tại ?A.
Câu 94.Trong không gian, với hệ tọa độ
cho hai điểm
thỏa mãn đẳng thức

.A.

.

Câu 95.Trong không gian với hệ toạ độ
. A.
B.

,
B.

.

B.

.

,
.
. C.
. D.
.
. Tìm tọa độ điểm

C.

, cho vectơ
.

Tài liệu tự học 2026-2027
D.
.

.

và
.

C.

Câu 96.Trong không gian
cho tam giác
với
Tọa độ điểm
sao cho tứ giác
là hình bình hành là
A.
.
B.
.
C.

D.

.

. Tính tích vô hướng
D.
.

,

,
.

.
D.

.

Câu 97.Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2;  2;1 , B 0;1; 2  . Tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng

Oxy  sao cho ba điểm
A. M 4;  5;0  .

A , B , M thẳng hàng là

B. M 2;  3; 0  .
C. M 0;0;1 .
Câu 98.Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài
là
, chiều rộng là
và chiều cao là
. Một chiếc đèn được treo
tại chính giữa trần nhà của phòng học. Xét hệ trục toạ độ
có gốc
trùng với một góc phòng và mặt phẳng
trùng với mặt sàn, đơn vị
đo được lấy theo mét. Hãy tìm toạ độ của điểm treo đèn.
A.
B.
C.
D.

D. M 4;5;0  .

Câu 99.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
A.

.

B.

.

. Tọa độ của

C.

.

Câu 100. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điềm
trên trục

có tọa độ là:A.

.

D.

.

B.

.

. Hình chiếu vuông góc của điểm

B.

.

C.

Câu 101.Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ
A.

.

D.

C.

.

D.

là:A.

.

A.

.

B.

. Khi đó tọa độ

B.

Câu 103.Trong không gian Oxyz, cho

bằng:

.

Câu 102.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
của vectơ

.

. Khi đó tích vô hướng

.

là

.

C.

.

. Khi đó độ dài của vectơ
.

C.

.

D.

.

là:
D.

.

Câu 104.Trong không gian
, cho hai điểm
,
. Trung điểm của đoạn thẳng
có
tung độ là A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 105.Trong không gian
, cho hai vectơ
. Tích vô hướng
bằng
A.
.
B. .
C. .
D. .
Câu 106.Trong không gian với hệ toạ độ
, véctơ nào sau đây là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng
?
A.

.

B.

.

Câu 107.Trong không gian với hệ tọa độ
là A.
Câu 108.Trong không gian
A.

.

Câu 109.Trong không gian
A.

.

B.

C.

, tọa độ véctơ
.

C.

.

D.

.

là:
.

C.

cho véc tơ
B.

D.

vuông góc với cả hai véctơ
.

, tọa độ vecto
B.

.

.

và
.

C.
10

D.
. Véc tơ

.

D.

.
có toạ độ là:
.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
Câu 110.Trong không gian
, cho vec tơ
A.

. Tọa độ của

B.

D. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

Câu 1.Cho hình lập phương
Gọi
là tâm hình vuông
sai?
a)
b)

Tài liệu tự học 2026-2027
là

C.

D.

có cạnh bằng .
. Các mệnh đề sau đúng hay

c)
d)Góc giữa hai véc tơ
và
bằng
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ
a)Tọa độ trọng tâm tam giác

.
, cho tam giác

là

với

là giao điểm của đường thẳng

Câu 3.Trong không gian với hệ tọa độ
a)
c)Điểm

và

.

với mặt phẳng tọa độ

, cho

b)Điểm

là

, khi đó

là trọng tâm của tam giác

thỏa mãn

sao cho

thì

đạt giá

.
và

b)Tọa độ điểm

d)Trong không gian giả sử điểm

sao cho

không trùng với
?

sao cho

;

và
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
, khi đó
Câu 5.Cho hình lập phương
có độ dài mỗi cạnh bằng 1.
Xét hệ tọa độ
gắn với hình lập phương như hình vẽ bên.
Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:
a)Tọa độ đỉnh
;
b)Tọa độ
c)Toạ độ trọng tâm

của tam giác

.

khi đó

Gắn hệ trục
như hình vẽ.
a)Tọa độ các điểm

c)Trong không gian có đúng 2 điểm
các điểm
và

.

với

d)Gọi
là điểm trên mặt phẳng tọa độ
sao cho biểu thức
trị lớn nhất. Khi đó
.
Câu 4.Cho hình lập phương
cạnh bằng 1, có tâm
Gọi là tâm của hình vuông
và
là điểm thuộc
đoạn thẳng

.

.

b)Điểm
thỏa mãn
là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm
c)Tam giác
là tam giác tù.
d)Gọi điểm

,

.

là

d)
Câu 6.Trong không gian với hệ toạ độ
, cho
Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:
a)Để tứ giác
là hình bình hành thì toạ độ của điểm
b)Toạ độ trọng tâm
của tam giác
là
11

và
là

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
c)Chu vi của tam giác
là
d)
.
Câu 7.Một nhân viên đang sử dụng phần mềm để thiết kế khung của
một ngôi nhà trong không gian
được minh hoạ như Hình. Cho
biết
là hình hộp chữ nhật và
là hình lăng trụ
đứng.Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:
a)Tọa độ củađiểm
là
.
b)Ta có

Tài liệu tự học 2026-2027

c)Ta có
d)
Câu 8.Trong không gian
, cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật, cạnh bên
vuông góc với mặt phẳng đáy (Hình).
Cho biết
và
.
Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:
a)Toạ độ của điểm
là
.b)Diện tích của tam giác
bằng
.
c)Hình chiếu vuông góc của điểm
trên mặt phẳng
là
.
d)Gọi

là góc giữa đường thẳng

và mặt phẳng

,ta có

.
Câu 9.Trong không gian
, cho hình chóp đều
có
đáy
là hình vuông tâm , cạnh bằng
; cạnh bên
(Hình).Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:
a)Toạ độ của điểm
là
.
b)Trọng tâm của tam giác

là

.

c)Nếu

là điểm trên mặt phẳng
sao cho ba điểm
thẳng hàng thì
.
d)Nếu
là điểm trên mặt phẳng
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất thì
.
Câu 10.Trong không gian
, cho hình lập phương
. Gọi
trung điểm

,

lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh

là điểm thuộc mặt phẳng

a)Trọng tâm của tam giác

có toạ độ là

c)Góc giữa hai đường thẳng

bằng

Câu 11. Trong không với hệ toạ độ
là

d)Toạ độ điểm

trên mặt phẳng

thuộc mặt phẳng

Câu 12.Trong không gian với hệ tọa độ
. a)

.

d)Độ dài đoạn thẳng

cho tam giác

là hình chiếu của

.

là

.
ngắn nhất bằng

.

có các đỉnh

.

.

b)Toạ độ hình chiếu của điểm
c)Gọi điểm

,

.
là

và

sao cho

.

b)Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a)Toạ độ của véc-tơ

có

lên

là
, khi đó

sao cho

.
nhỏ nhất là

, cho tam giác

với

b)Hình chiếu vuông góc của
12

,
lên trục

và
là

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
c)Tồn tại 1 điểm
thuộc trục hoành sao cho tam giác
d)Nếu
là hình bình hành thì tọa độ điểm
là
Câu 13.Trong hệ tọa độ
Gọi

, cho các điểm

.

là chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh

a)Trọng tâm của tam giác

có tọa độ

của tam giác

.

,

c)Điểm
d)Gọi

.

là hình chiếu của điểm
là góc giữa hai đường thẳng

Câu 15.Trong không gian
a)Góc
b)Gọi
c)Gọi

lên mặt phẳng
và

,

Câu 16.Trong không gian

trên trục

là điểm đối xứng của điểm

c)Cho

. Tam giác

.
. Khi đó
thẳng hàng.
bằng

,

nằm trên mặt phẳng

.

. Khi đó

đạt giá trị nhỏ nhất.
có các đỉnh

vuông góc với đường thẳng

là là một đỉnh của hình bình hành

.

cho 3 diểm

d)

,

.

là trọng tâm của tam giác
là góc nhọn

bằng

sao cho

Câu 19.Trong không gian với hệ tọa độ

đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó tọa độ điểm
, cho

với

,

,

.

a)Gọi
là điểm trên mặt phẳng tọa độ
sao cho biểu thức
trị lớn nhất. Khi đó
.
b)Điểm
thỏa mãn
khi đó
.
c)Điểm

.

,
b)Góc

và

,

. Khi đó

,

a)Tích vô hướng của hai vecto
c)Côsin của góc giữa hai vectơ

.
.

thỏa mãn

a)Điểm

Câu 18.Trong không gian

là

khi và chỉ khi

cho tam giác

sao cho

.
.

. Tọa độ của điểm

vuông tại

thoả mãn

. Khi đó

có tọa độ là
qua

.

.

là trung điểm của

Khi đó
.
Câu 17.Trong không với hệ toạ độ

d)Lấy điểm

.

, cho hai điểm

b)Gọi

c)

.

. Khi đó

để

là trọng tâm tam giác

b)

.

.

là điểm thỏa mãn:
là điểm thuộc mặt phẳng

d)Điểm

.

cho 3 điểm

là góc lớn hơn

a)Hình chiếu của điểm

là một số nguyên.

tạo thành tam giác có trọng tâm là

Khi đó tổng hoành độ, tung độ, cao độ của điểm
d)Gọi

.

d)Giá trị
,

,

b)Ba điểm

.

b)

c)Tam giác
là tam giác vuông.
Câu 14.Trong không gian
, cho các điểm
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
a)

Tài liệu tự học 2026-2027
.

vuông tại
.

là trọng tâm của tam giác

thì
13

.

đạt giá

d)

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727
Câu 20.Trong không gian
, cho hình lăng trụ
có điểm
điểm
,
và
. (Tham khảo hình vẽ)
a)Thể tích của khối lăng trụ

là

b)Nếu

c)Tọa độ của điểm
là
d)Chiếu hình lăng trụ đã cho lên mặt phẳng
có diện tích bằng
Câu 21.Trong không gian
, cho
a)Trung điểm

của đoạn thẳng

b)Độ dài trung tuyến là

.

có toạ độ là

.

.

thỏa mãn

, ta được:

d)Với

là điểm trong không gian

, ta có giá trị nhỏ nhất của

Câu 22.Trong không gian

.

,cho hình hộp

b)Gọi

b)Diện tích tam giác
là 3.
là
. d)Thể tích khối hộp đã cho là 27(đvtt).
, cho tứ diện
với

Điểm

di chuyển trên trục

a)Hoành độ và tung độ của điểm

.

.

là điểm thuộc mặt phẳng

Khi đó giá trị của biểu thức
Câu 25.Trong hệ trục tọa độ

bằng 30 (đvtt)

là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD. Khi đó điểm

c)Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là
d)Gọi

.

.

a)Tọa độ trung điểm của AB là
;b)
c)Tam giác
vuông tại ; d)Thể tích khối tứ diện
Câu 24.Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có
.
.

là

có

là trọng tâm tam giác

a)Tọa độ điểm
là
.
c)Góc giữa hai đường thẳng
và
Câu 23.Trong không gian với hệ tọa độ
và

a)

thì

, ta được một đa giác

c)Điểm

. Lấy

Tài liệu tự học 2026-2027
trùng với gốc tọa độ , các

, sao cho

đạt giá trị nhỏ nhất.

bằng 2025.
cho 3 điểm
và điểm

và

.

thỏa mãn đẳng thức

bằng nhau.

b)

c)Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.
là

.

d)Trọng tâm tam giác
là điểm
.
Câu 26.Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng
với
là hình chữ nhậ