ĐỀ 1

TP.HCM
Năm học: 2014 – 2015
Bài 1: (2 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a)

; b)

; c)

; d)

Bài 2: (1,5 điểm)
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số
và đường thẳng (D):
trên cùng một hệ trục
toạ độ.
b) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính.
Bài 3: (1,5 điểm) Thu gọn các biểu thức sau:
;

(x>0)

Bài 4: (1,5 điểm) Cho phương trình
(1) (x là ẩn số)
a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu
b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1):
Tính giá trị của biểu thức :
Bài 5: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O (AB <
AC). Các đường cao AD và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác BFHD nội tiếp. Suy ra
b) Gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) (M khác B và C) và N là
điểm đối xứng của M qua AC. Chứng minh tứ giác AHCN nội tiếp.
c) Gọi I là giao điểm của AM và HC; J là giao điểm của AC và HN.
Chứng minh
d) Chứng minh rằng : OA vuông góc với IJ
BÀI GIẢI
Bài 1: (2 điểm)
a) x = 4; x= 3

;

b)

c)
;
Bài 2: b) Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (D) là
Bài 3:
B=1
Câu 4: b) P = 0 (Vì
)
Câu 5
a) Ta có tứ giác BFHD nội tiếp do có 2 góc đối
F và D vuông
b)
cùng chắn cung AC
mà
do M, N đối xứng
Vậy ta có
và
bù nhau
tứ giác AHCN nội tiếp
c) Ta sẽ chứng minh tứ giác AHIJ nội tiếp
Ta có
do MN đối xứng qua AC mà
(do AHCN nội tiếp)
tứ giác HIJA nội tiếp.
1

d) (2; 1)
x

A

N
J

O
F

B

Q

H

I
C

D
M

K

bù với

mà

bù với

(do AHCN nội tiếp)

Cách 2 :
Ta sẽ chứng minh IJCM nội tiếp
Ta có
=
do AN và AM đối xứng qua AC.
Mà
=
(AHCN nội tiếp) vậy
=
IJCM nội tiếp
d) Kẻ OA cắt đường tròn (O) tại K và IJ tại Q ta có
=
vì
=
(cùng chắn cung AC), vậy
=
=
Xét hai tam giác AQJ và AKC :
Tam giác AKC vuông tại C (vì chắn nửa vòng tròn ) 2 tam giác trên đồng dạng
Vậy
. Hay AO vuông góc với IJ
Cách 2 : Kẻ thêm tiếp tuyến Ax với vòng tròn (O) ta có
=
mà
=
do chứng minh trên vậy ta có
=
JQ song song Ax
vậy IJ vuông góc AO (do Ax vuông góc với AO)
Bài I (2,0 điểm)
1) Tính giá trị của biểu thức
2) Cho biểu thức
a) Chứng minh rằng

ĐỀ 2: HÀ NỘI
khi x = 9
với x > 0 và
; b)Tìm các giá trị của x để

Bài II (2,0 điểm) Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm
trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm
nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày. Hỏi theo kế
hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?
Bài III (2,0 điểm)
1) Giải hệ phương trình:
2) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = -x + 6 và parabol (P): y = x2.
a) Tìm tọa độ các giao điểm của (d) và (P).
b) Gọi A, B là hai giao điểm của (d) và (P). Tính diện tích tam giác OAB.
Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB cố định. Vẽ đường kính
MN của đường tròn (O; R) (M khác A, M khác B). Tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại
B cắt các đường thẳng AM, AN lần lượt tại các điểm Q, P.
1) Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật.
2) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.
3) Gọi E là trung điểm của BQ. Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại
điểm F. Chứng minh F là trung điểm của BP và ME // NF.
2

4) Khi đường kính MN quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định
vị trí của đường kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất.
Bài V (0,5 điểm)
Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 2. Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức
Bài
Bài I:
1) Với x = 9 ta có
(2,0
điểm)

BÀI GIẢI + THANG ĐIỂM DỰ KIẾN

Đáp án

Điểm
0,5
0,75

2) a)
b)Từ câu 2a ta có
 

và x > 0
và x >0

và x >0
0,75

Bài II: Gọi x là sản phẩm xưởng sản xuất trong 1 ngày theo kế hoạch (x>
(2,0 0)
điểm)
Số ngày theo kế hoạch là :
.
Số ngày thực tế là
-

. Theo giả thiết của bài toán ta có :

0,25

= 2.

(loại)
Vậy theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất là 50 sản
phẩm.
Bài
III:
(2,0
điểm)

0,25
0,25

0,5
0,25

1) Hệ phương trình tương đương với:
Đặt

và

. Hệ phương trình thành :
0,5

Do đó, hệ đã cho tương đương :

0,5
2)
3

a) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là
P

Ta có y (2)=N 4; y(-3) = 9. Vậy tọa độ giao điểm của (d) và (P) là
B(2;4) và A(-3;9)
F
b) Gọi A', B' lần lượt là hình chiếu của A và B xuống trục hoành.
Ta
có O
B
A
Ta có A'B' =
, AA' =
, BB' =

0,5
0,5

Diện tích hình thang :
M

(đvdt)

E

(đvdt);
Q

(đvdt)
(đvdt)

Bài IV
(3,5
điểm)

4

0,25

1) Tứ giác AMBN có 4 góc vuông, vì là 4 góc nội tiếp chắn nửa
đường tròn.

0,75

2) Ta có
(cùng chắn cung AM)
và
(góc có cạnh thẳng góc)
vậy
nên MNPQ nối tiếp.
3) OE là đường trung bình của tam giác ABQ.
OF // AP nên OF là đường trung bình của tam giác ABP
Suy ra F là trung điểm của BP.
Mà AP vuông góc với AQ nên OE vuông góc OF.
Xét tam giác vuông NPB có F là trung điểm của cạnh huyền BP.
Xét 2 tam giác NOF = OFB (c-c-c) nên
.
Tương tự ta có
nên ME // NF vì cùng vuông góc với
MN.
4)

1,0

1,0

0,5

Tam giác ABP đồng dạng tam giác QBA suy ra
Nên áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có
Ta có

= 2R2

Do đó,
. Suy ra
Dấu bằng xảy ra khi AM =AN và PQ = BP hay MN vuông góc
AB.
Bài V: Ta có
(0,5
(Do a + b +c = 2)
điểm)
(Áp dụng bất đẳng
thức với 2 số dương u=a+b và v=a+c)
Vậy ta có

0,25

(1)

Tương tự ta có :

(2)
(3)

Cộng (1) (2) (3) vế theo vế
Khi a = b = c =

thì Q = 4 vậy giá trị lớn nhất của Q là 4.

0,25

ĐỀ 3: TP.ĐÀ NẴNG

Bài 1: (1,5 điểm)
1) Tính giá trị của biểu thức
Rút gọn biểu thức

, với x > 0,

Bài 2: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
Bài 3: (2,0 điểm) Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) và hàm số y = 4x + m có đồ thị (dm)
1)Vẽ đồ thị (P)
2)Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (d m) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt,
trong đó tung độ của một trong hai giao điểm đó bằng 1.
Bài 4: (2,0 điểm) Cho phương trình x2 + 2(m – 2)x – m2 = 0, với m là tham số.
1)Giải phương trình khi m = 0.
2)Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 với x1 < x2, tìm
tất cả các giá trị của m sao cho
Bài 5: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH (H thuộc BC). Vẽ
đường tròn (C) có tâm C, bán kính CA. Đường thẳng AH cắt đường tròn (C) tại điểm thứ
hai là D.
5

1) Chứng minh BD là tiếp tuyến của đường tròn (C).
2) Trên cung nhỏ
của đường tròn (C) lấy điểm E sao cho HE song song với AB.
Đường thẳng BE cắt đường tròn (C) tại điểm thứ hai là F. Gọi K là trung điểm của EF.
Chứng minh rằng:
a) BA2 = BE.BF và
b) Ba đường thẳng AF, ED và HK song song với nhau từng đôi một.
BÀI GIẢI

Bài 1: 1)A = 1 ; 2) P = 1
Bài 2: (-1; 2)
Bài 3: 2)Phương trình hoành độ giao điểm của y = x2 và đường thẳng y = 4x + m là :
x2 = 4x + m
x2 – 4x – m = 0 (1)
(1) có
Để (dm) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì
y = 4x + m = 1 => x =
Yêu cầu của bài toán tương đương với

(loại) hay

Bài 4:
1)Khi m = 0, pt thành : x2 – 4x = 0
x = 0 hay x – 4 = 0
2)
nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Ta có
Ta có
Khi m = -1 ta có
Khi m = 5 ta có
Vậy m = 5 thỏa yêu cầu bài toán.
Bài 5:
1)Ta có
nên BA là tiếp tuyến với (C).
BC vuông góc với AD nên
H là trung điểm AD. Suy ra
nên BD cũng là tiếp tuyến với (C)
2)
6

(loại)
(thỏa)

x = 0 hay x = 4

a) Trong tam giác vuông ABC
ta có
(1)
Xét hai tam giác đồng dạng ABE và FBA
vì có góc B chung
và
(cùng chắn cung AE)
suy ra

(2)

Từ (1) và (2) ta có BH.BC = BE.FB
Từ BE.BF= BH.BC
2 tam giác BEH và BCF đồng dạng vì có góc B chung và
b) do kết quả trên ta có
A
, do AB //EH. suy ra
, 2 góc này chắn các cung
nên hai cung này bằng nhau
Gọi giao điểm của AF và EH là N. Ta có 2 tam giác HED và HNA bằng nhau
(vì góc H đối đỉnh, HD = HA,
(do AD // AF)
Suy ra HE = HN, nên H là trung điểm của EN. Suy ra HK là đường trung bình của tam
giác EAF. => HK // AF.
Vậy ED // HK // AF.
ĐỀ 4: KHÁNH HOÀ (không chuyên)
Bài 1: (2,00 điểm) Rút gọn.
1)

; 2) B =

với a > 0, a  4.

Bài 2: (2,00 điểm)
1) Cho hệ phương trình:
Tìm a và b biết hệ phương trình đã cho có nghiệm (x, y) = (2; 3).
2) Giải phương trình:
Bài 3: (2,00 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P):
a) Vẽ đồ thị (P).
b) Trên (P) lấy điểm A có hoành độ xA = -2. Tìm tọa độ điểm M trên trục Ox sao cho
MA – MB đạt giá trị lớn nhất, biết rằng B(1; 1).
Bài 4: (2,00 điểm) Cho nửa đường tròn (O) đường kình AB = 2R. Vẽ đường thẳng d là
tiếp tuyến của (O) tại B.
7

Trên cung

lấy điểm M tùy ý (M khác A và B), tia AM cắt d tại N. Gọi C là trung

điểm của
AM , tia CO cắt d tại D.
a) Chứng minh rằng: OBNC nội tiếp.
b) Chứng minh rằng: NO  AD
c) Chứng minh rằng: CA. CN = CO . CD.
d) Xác định vị trí điểm M để (2AM + AN) đạt giá trị nhỏ nhất.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: (2,00 điểm):

1)

; 2)

Bài 2: (2,00 điểm)
1) Vì hệ phương trình:

có nghiệm (x, y) = (2; 3) nên ta có hpt:

Vậy a = 1, b = 1
2) Giải phương trình:

; ĐKXĐ:

Vậy pt có nghiệm x = 3.
Bài 3: (2,00 điểm) a)Lập bảng giá trị (HS tự làm).

b)Vì A  (P) có hoành độ xA = -2 nên yA = 2. Vậy A(-2; 2)
Lấy M(xM; 0) bất kì thuộc Ox,
Ta có: MA – MB  AB (Do M thay đổi trên Ox và BĐT tam giác)

8

Dấu “=” xẩy ra khi 3 điểm A, B, M thẳng hàng, khi đó M là giao điểm của đường thẳng
AB và trục Ox.
- Lập pt đường thẳng AB
- Tìm giao điểm của đường thẳng AB và Ox, tìm M (4; 0).
Bài 4: (2,00 điểm)
a) Chứng minh rằng: OBNC nội tiếp.

N

HD: Tứ giác OBNC nội tiếp có

M

b) Chứng minh rằng: NO  AD

d

C

HD: AND có hai đường cao cắt nhau tại O,
suy ra: NO là đường cao thứ ba hay: NO  AD
A

c) Chứng minh rằng: CA. CN = CO . CD.

O

B

HD: CAO  CDN 

 CA. CN = CO . CD

D

d) Xác định vị trí điểm M để (2AM + AN) đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có: 2AM + AN  2

(BĐT Cauchy – Côsi)

Ta chứng minh: AM. AN = AB2 = 4R2. (1)
Suy ra: 2AM + AN  2

= 4R

Đẳng thức xẩy ra khi: 2AM = AN  AM = AN/2

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: AM = R
 AOM vuông tại O  M là điểm chính giữa cung AB
ĐỀ 5: QUẢNG NGÃI (không chuyên)

Bài 1: (1,5 điểm)
a/ Tính:
b/ Xác định a và b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A(1;  2) và điểm B(3; 4)
c/ Rút gọn biểu thức A =

với x  0 và x  4

Bài 2: (2,0 điểm)
1/ Giải phương trình x4 + 5x2  36 = 0
2/ Cho phương trình x2  (3m + 1)x + 2m2 + m  1 = 0 (1) với m là tham số.
a/ Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của
m.
b/ Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1). Tìm m để biểu thức
B = x12 + x22  3x1x2 đạt giá trị lớn nhất.
9

Bài 3: (2,0 điểm)
Để chuẩn bị cho một chuyến đi đánh bắt cá ở Hoàng Sa, hai ngư dân đảo Lý
Sơn cần chuyển một số lương thực, thực phẩm lên tàu. Nếu người thứ nhất chuyển
xong một nửa số lương thực, thực phẩm; sau đó người thứ hai chuyển hết số còn
lại lên tàu thì thời gian người thứ hai hoàn thành lâu hơn người thứ nhất là 3 giờ.
Nếu cả hai cùng làm chung thì thời gian chuyển hết số lương thực, thực phẩm lên
tàu là

giờ. Hỏi nếu làm riêng một mình thì mỗi người chuyển hết số lương

thực, thực phẩm đó lên tàu trong thời gian bao lâu?
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Gọi M là điểm chính giữa
của cung AB; P là điểm thuộc cung MB (P khác M và P khác B). Đường thẳng AP
cắt đường thẳng OM tại C; đường thẳng OM cắt đường thẳng BP tại D. Tiếp tuyến
của nửa đường tròn ở P cắt cắt CD tại I.
a/ Chứng minh OADP là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b/ Chứng minh OB.AC = OC.BD.
c/ Tìm vị trí của điểm P trên cung MB để tam giác PIC là tam giác đều. Khi
đó hãy tính diện tích của tam giác PIC theo R.
Bài 5: (1,0 điểm)
Cho biểu thức A = (4x5 + 4x4  5x3 + 5x  2)2014 + 2015. Tính giá trị của biểu
thức A khi x =

.
GỢI Ý

Bài 1:

a/ 16 ;

b/ (d): y = 3x + 5

;

c/

Bài 2: 1/  x =  2 ;
2/ a/ Có  = (m + 1)2 + 4 > 0 m
b/ Vậy Bmin =

khi m =

Bài 3: Gọi x (giờ) là thời gian người thứ I một mình làm xong cả công việc.
và y (giờ) là thời gian người thứ II một mình làm xong cả công việc. (Với x, y >
Ta có hệ phương trình:

)



Từ (1) và (2) ta có phương trình:

. Giải phương trình được x1 = 4, x2 =


Chọn x = 4.
D
Vậy thời gian một mình làm xong cả công việc của người thứ I là 4 giờ, của người
thứ II là 10 giờ.
Bài 4:
I
0
a/ C/minh AOD = APD = 90
M
O và P cùng nhìn đoạn AD dưới một góc 900
P
 OADP tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AD
C
b/ C/ minh  AOC

DOB (g.g) 

 OB.AC = OC.BD (đpcm)
10

A

O

B

c/ Ta có IPC = PBA (cùng chắn cung AP của (O))
và có ICP = PBA (cùng bù với OCP)
Suy ra IPC = ICP  IPC cân tại I.
Để IPC là tam giác đều thì IPC = 600  PBA = 600
 OP = PB = OB = R  số đo cung PB bằng 600
C/minh DIP cân tại I  ID = IP = IC = CD:2
Do đó SPIC =

SDPC =

Bài 5: Ta có: x =
 x2 =

.

.CP.PD =

=

; x3 = x.x2 =

.

.R =

(đvdt)

=
; x4 (x2)2 =

; x5 = x.x4 =

Do đó: 4x5 + 4x4  5x3 + 5x  2 =
Vậy A = (4x5 + 4x4  5x3 + 5x  2)2014 + 2015 = (1)2014 + 2015 = 1 + 2015 = 2016
ĐỀ 6: HẢI DƯƠNG (không chuyên)
Câu I ( 2,0 điểm)
1) Giải phương trình:
2) Rút gọn biểu thức:
Câu II ( 2,0 điểm)
Cho Parabol (P):
và đường thẳng (d):
(tham số m)
1) Với m = 2, tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d). 
2) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung. 
Câu III ( 2,0 điểm)
1) Cho hệ phương trình:

( tham số m)

Tìm m để hệ đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn x2 – y2 đạt giá trị lớn nhất.
2) Một ô tô dự định đi từ A đến B dài 80 km với vận tốc dự định. Thực tế trên nửa
quãng đường đầu ô tô đi với vận tốc nhỏ hơn vận tốc dự định là 6 km/h. Trong nửa
quãng đường còn lại ô tô đi với vận tốc nhanh hơn vận tốc dự định là 12 km/h. Biết rằng
ô tô đến B đúng thời gian đã định. Tìm vận tốc dự định của ô tô.
Câu IV ( 3,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AM, BN, CP của tam giác ABC cắt nhau
tại H. Dựng hình bình hành BHCD.
1) Chứng minh: Các tứ giác APHN, ABDC là các tứ giác nội tiếp.
2) Gọi E là giao điểm của AD và BN. Chứng minh: AB.AH = AE.AC
3) Giả sử các điểm B và C cố định, A thay đổi sao cho tam giác ABC nhọn và
không đổi. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tứ giác APHN có diện tích
không đổi.
Câu V ( 1,0 điểm) Cho x; y là hai số dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

I) HƯỚNG DẪN CHUNG
11

- Thí sinh làm bài theo cách khác nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm.

II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM

Câu Ý
I
1 Giải phương trình:

Nội dung

Điểm
1,00
0,25

I

2

(1)

0,25

(2)

0,25

Kết hợp nghiệm ta có
(thỏa mãn),
Vậy tập nghiệm phương trình đã cho là
Rút gọn biểu thức:

( loại)

0,25
1,00

0,25
0,25

0,25

( vì
II

Cho Parabol

0,25

)

và đường thẳng

2,00

(tham số m)
1 Với m = 2, tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d).
m = 2 ta có phương trình đường thẳng (d) là: y = x + 6
Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình

1,00
0,25
0,25
0,25

*
*
Vậy m = 2 thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm
12

0,25
và

II

2 Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung. 1,00
Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình
0.25

(*)
(d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung khi và
chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu

0,25
0,25
0,25

III

1 Cho hệ phương trình:

( tham số m)

1,00

Giải hệ phương trình ta có

0,25
0,25

Do

với mọi m; dấu “ = ” xẩy ra khi

0,25

, dấu “ = ” xẩy ra khi
hay
III

lớn nhất bằng

0,25

khi

2 Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h) (x >6 )

0,25

Khi đó thời gian ô tô dự định đi hết quãng đường AB là
Thời gian thực tế ô tô đi nửa quãng đường đầu là

0,25

Thời gian thực tế ô tô đi nửa quãng đường còn lại là
Theo bài ra ta có phương trình:

0,25

Giải phương trình ta được
( thỏa mãn)
Vậy vận tốc dự định của ô tô là 24 (km/h)

0,25
A

Từ giả thiết ta có

và

N
P

H

0,25

E
O

B

IV

1

C

M I

D

13

IV

tứ giác APHN nội tiếp đường tròn (đường kính AH)
Ta có : BD// CH ( BDCH là hình bình hành) và CH AB
BD AB
Tương tự có
tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn ( đường kính AD )
2 Xét 2 tam giác ABE và ACH có :
( cùng phụ với
) (1)
phụ với
;
(góc nt cùng chắn
)
phụ với
(2)
Từ (1) và (2) suy ra 2 tam giác ABE, ACH đồng dạng

IV

0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25

3 Gọi I là trung điểm BC
I cố định (Do B và C cố định)
Gọi O là trung điểm AD
O cố định ( Do
không đổi,
B và C cố định, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC )
0,25
độ dài OI không đổi
ABDC là hình bình hành
I là trung điểm HD
( OI là đường trung bình tam giác ADH)
độ dài AH không đổi

V

Vì AH là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác APHN, độ
dài AH không đổi
độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ
giác APHN không đổi
đường tròn ngoại tiếp tứ giác APHN
có diện tích không đổi.

0,25
0,25

Ta có:
0,25

0,25
Do x; y là các số dương suy ra
 ; « = »
0,25
 ;« = »
14

Cộng các bđt ta được
.Vậy Min S = 6 khi và chỉ khi x = y

0,25

ĐỀ 8: BẮC NINH (không chuyên)
Câu I. ( 1, 5 điểm ) Cho phương trình
(1) , với ẩn x , tham số m
1) Giải phương trình (1) khi m = 1
2) Xác định giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 sao cho
nhỏ nhất.
Câu II. ( 1,5 điểm ) Trong cùng một hệ toạ độ , gọi (P ) là đồ thị của hàm số y = x2 và
(d) là đồ thị của hàm số y = -x + 2
1) Vẽ các đồ thị (P) và (d) . Từ đó , xác định toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng
đồ thị .
2) Tìm a và b để đồ thị
của hàm số y = ax + b song song với (d) và cắt (P) tại
điểm có hoành độ bằng -1
Câu III .( 2,0 điểm )
1) Một người đi xe đạp từ địa điểm A đến địa điểm B , quãng đường AB dài 24
km . Khi đi từ B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4km so với lúc đi , vì vậy thời gian
về ít hơn thời gian đi 30 phút . Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B .
2 ) Giải phương trình
Câu IV . ( 3,0 điểm ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và ba đường cao AA' ,
BB' ,CC' cắt nhau tại H .Vẽ hình bình hành BHCD . Đường thẳng qua D và song song
với BC cắt đường thẳng AH tại M .
1) Chứng minh rằng năm điểm A, B ,C , D , M cùng thuộc một đường tròn.
2) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .Chứng minh rằng BM = CD
và góc BAM = góc OAC .
3) Gọi K là trung điểm của BC , đường thẳng AK cắt OH tại G . Chứng minh rằng
G là trọng tâm của tam giác ABC.
Câu V .( 2, 0 điểm )
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2014 .
2) Có 6 thành phố trong đó cứ 3 thành phố bất kỳ thì có ít nhất 2 thành phố liên lạc
được với nhau . Chứng minh rằng trong 6 thành phố nói trên tồn tại 3 thành phố
liên lạc được với nhau.
Thi vào THPT chuyên Tỉnh Bắc Ninh và câu V chuyên toán
Câu I.
1) GPT khi m =1
+ Thay m =1 v ào (1) ta đ ư ợc x2 + 2x – 8 = 0  ( x + 4 ) ( x – 2 ) = 0  x = { - 4 ;
2}
KL :
2) x ét PT (1) :
(1) , với ẩn x , tham số m .
+ Xét PT (1) có
(luôn đúng ) với mọi m => PT (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với mọi m
+ Mặt khác áp dụng hệ thức viét vào PT ( 1) ta có :
(I)
2
2
+ Lại theo đề và (I) có :A = x1 + x2
= ( x1 + x2 )2 – 2 x1x2
= ( - 2m )2 + 2 ( 2m + 6 )
= 4m2 + 4m + 12
15

= ( 2m + 1)2 + 11

với mọi m => Giá trị nhỏ nhất của A là 11 khi m =

.

Câu II.
HD : 1) v ẽ ch ính xác và xác định đ ược giao đi ểm của (P) v à (d) l à M ( 1 ; 1) v à
N ( -2 ; 4 )
2)T ìm đ ư ợc a = -1 v à b = 0 =>PT của
là y = - x
Câu III .( 2,0 điểm )
1) G ọi x ( km /h ) l à v ận t ốc ng ư ời đi xe đ ạp t ừ A -> B ( x > 0 ) . L ý luận đ ưa
ra PT :
=> x = 12 ( t/m ) . KL : ............
2) ĐKXĐ

Đ ặt 0 < a =

+ PT m ới l à : a +

 a2 + 2a – 3 = 0  ( a – 1 )( a + 3 ) = 0  a = { -3 ; 1 }

=> a = 1 > 0
+ Nếu a = 1 = >
x = { 0 ; 1 } ( t/m)
KL : …………..
Câu IV . ( 3,0 điểm )
HD : HS tự vẽ hình
1) Chứng minh các tứ giác ABMD , AMDC nội tiếp => A, B ,C,D , M nằm trên cùng
một đường tròn
2) Xét (O) có dây MD//BC => sđ cung MB = sđ cung CD => dây MB = dây CD hay
BM = CD
+ Theo phần 1) và BC//MD => góc BAM =góc OAC
3)Chứng minh OK là đường trung bình của tam giác AHD =>OK//AH và OK=
hay

(*)

+ Chứng minh tam giác OGK đồng dạng với tam giác HGA =>
, từ đó suy ra G là trọng tâm của tam giác ABC
Câu V .( 2, 0 điểm )
1) Giá trị nhỏ nhất của P là 2011 khi a =b = 1
2) Gọi 6 th ành phố đã cho l à A,B,C,D,E,F
+ X ét thành phố A .theo nguyên l í Dirichlet ,trong 5 thành phố còn lại thì có ít nhất
3 thành phố
liên lạc được với A hoặc có ít nhất 3 thành phố không liên lạc được với A ( v ì nếu số
thành phố liên lạc được với A cũng không vượt quá 2 và số thành phố không liên lạc
được với A cũng không vượt quá 2 thì ngoài A , số thành phố còn lại cũng không
vượt quá 4 ) . Do đó chỉ xảy ra các khả năng sau :
 Khả năng 1 :
số thành phố liên lạc được với A không ít hơn 3 , giả sử B,C,D liên lạc được với A .
Theo đề bài trong 3 thành phố B,C,D có 2 thành phố liên lạc được với nhau . Khi đó 2
thành phố này cùng với A tạo thành 3 thành phố đôi một liên lạc được với nhau .
 Khả năng 2 :
16

số thành phố không liên lạc được với A , không ít hơn ,giả sử 3 thành phố không liên
lạc được với A là D,E,F . Khi đó trong bộ 3 thành phố ( A,D,E) thì D và E liên lạc
được với nhau ( v ì D,E không
liên lạc được với A )
Tương tự trong bộ 3 ( A,E,F) v à ( A,F,D) th ì E,F liên lạc được với nhau , F và D liên
lạc
được với nhau và như vậy D,E,F l à 3 thành phố đôi một liên lạc được với nhau . Vậy
ta
có ĐPCM
ĐỀ 9: TÂY NINH (không chuyên)
Câu 1 : (1điểm) Thực hiện các phép tính
a)

b)

Câu 2 : (1 điểm) Giải phương trình:

.

Câu 3 : (1 điểm) Giải hệ phương trình:

.

Câu 4: (1 điểm) Tìm a và b để đường thẳng
có hệ số góc bằng 4 và
đi qua điểm
.
Câu 5: (1 điểm) Vẽ đồ thị của hàm số
.
Câu 6: (1 điểm) Lớp 9A dự định trồng 420 cây xanh. Đến ngày thực hiện có 7 bạn không
tham gia do được triệu tập học bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi của nhà trường nên mỗi
bạn còn lại phải trồng thêm 3 cây mới đảm bảo kế hoạch đặt ra. Hỏi lớp 9A có bao nhiêu
học sinh.
Câu 7: (1 điểm) Chứng minh rằng phương trình
luôn có hai
nghiệm phân biệt , và biểu thức
không phụ thuộc vào m.
Câu 8: (1 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH (H thuộc BC), biết
,
. Tính AB và AC theo a.
Câu 9 : (1 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định, CD là đường kính thay
đổi của đường tròn (O) (khác AB). Tiếp tuyến tại B của (O) cắt AC và AD lần lượt tại N
và M. Chứng minh tứ giác CDMN nội tiếp.
Câu 10 : (1 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tếp đường tròn tâm O, bán kính bằng a. Biết
AC vuông góc với BD. Tính
theo a.
Câu 1 : (1điểm)

BÀI GIẢI
b) B = 4.

a) A= - 1.

Câu 2 : (1 điểm) Vậy
Câu 3 : (1 điểm) Điều kiện

.
.
(nhận).

17

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

.

Câu 4: (1 điểm) Đường thẳng d có hệ số góc bằng 4
Mặt khác (d) đi qua điểm
nên thay
,
Khi đó ta có :
Vậy
và
là các giá trị cần tìm và khi đó
Câu 5: (1 điểm)
Câu 6: (1 điểm)
Gọi số học sinh lớp 9A là
.
=>

;

.

vào

.

.
.

 (nhận) ;

(loại).

Vậy lớp 9A có 35 học sinh.
Câu 7: (1 điểm)

.
.

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Khi đó, theo Vi-ét
;
.
.
(không phụ thuộc vào m).
Câu 8:

có

nên

có
Câu 9 : (1 điểm)

.
. Vậy

,

.

GT (O) đường kính AB cố định,
đường kính CD thay đổi, MN là
tiếp tuyến tại B của (O).
KL Tứ giác CDMN nội tiếp
Chứng minh tứ giác CDMN nội tiếp
Ta có :

.
.
(cùng bằng

).

Tứ giác CDMN nội tiếp được (góc ngoài bằng góc đối trong).
Câu 10 : (1 điểm)
18

GT ABCD nội tiếp
,
KL Tính
theo a.

Tính
theo a.
Vẽ đường kính CE của đường tròn (O).
Ta có :
,
(góc nội tiếp chắn đường kính EC).
ABDE là hình thang cân (hình thang nội tiếp (O))
(cạnh bên hình thang cân).
(do
Vậy

vuông tại D).

.
ĐỀ 10: NINH THUẬN

Bài 1: (2,0 điểm)
a) Giải phương trình bậc hai: x2 – 2x – 2 = 0
b) Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
Bài 2: (2,0 điểm) Cho hàm số: y = 2x – 5 có đồ thị là đường thẳng (d)
a) Gọi A, B lần lượt là giao điểm của (d) với các trục tọa độ Ox,Oy. Tính tọa độ các điểm
A, B và vẽ đường thẳng (d) trong mặt phẳng tọa độ Oxy
b)Tính diện tích của tam giác AOB
Bài 3: (2,0 điểm) Cho biểu thức: P =

, x

y

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của P khi: x =
và y =
Bài 4: (4,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = a nội tiếp trong đường tròn
tâm O, bán kính R (0 < a < 2R).
a) Tính diện tích của hình chữ nhật ABCD theo a và R.
b) Xác định giá trị của a theo R để hình chữ nhật ABCD có diện tích lớn nhất.
c) Một đường thẳng d đi qua O cắt các cạnh AB, CD lần lượt tại M, N và cắt các cạnh
AD, BC kéo dài lần lượt tại P, Q. Chứng minh rằng: ∆APM = ∆CQN.
HƯỚNG DẪN GIẢI:
Bài 1: (2,0 điểm)
a)
;

; b) (2; - 4)

Bài 2: (2,0 điểm) b) SA0B = . OA.OB =

.5.

(đvdt)

Bài 3: (2,0 điểm) b) P =
x=
Vậy: P =
19

=2-

và y =

=

-1

Bài 4: (4,0 điểm)
a)Ta có: SABCD = AB.BC = a.

= a.

Q

b)Vì: 0 < a < 2R, nên: 2R – a > 0
Ta có:

A

Hay : SABCD
Dấu “=” xảy ra khi: a =
Vậy: Max SABCD = 2R2 khi:
c) - Trước hết, ta chứng minh: ∆AOM =
∆CON (g.c.g) suy ra: AM = CN
- Xét ∆ APM và ∆CQN có:
AM = CN (cmt)
(slt)

M

B

0

D

N
C

P

(g.c.g)

ĐỀ 10: NGHỆ AN
Câu 1. (2,5 điểm) Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện xác định và rút biểu thức A
b) Tìm tất cả các giá trị của x để
.
Câu 2. (1,5 điểm) Một ô tô và một xe máy ở hai địa điểm A và B cách nhau 180 km,
khởi hành cùng một lúc đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Biết vận tốc của ô tô
lớn hơn vận tốc của xe máy 10 km/h. Tính vận tốc của mỗi xe.
Câu 3 . (2,0 điểm) Cho phương trình

(m là tham số)

a) Giải phương trình khi m = 1.
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Câu 4. (3,0 điểm) Cho điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến
AB, AC với đường tròn đó (B, C là các tiếp điểm). Gọi M là trung điểm của AB. Đường
thẳng MC cắt đường tròn (O) tại N (N khác C).
a) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh
c) Tia AN cắt đường tròn (O) tại D ( D khác N). Chứng minh:
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho ba số thực dương
20

thỏa mãn

. Chứng minh rằng:

HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. a)
b) A <0 thì: <=>

< 0 =>

- 1 < 0 =>

< 1 => x < 1

Kết hợp ĐK: để A < 0 thì 0 ≤ x < 1
Câu 2: Gọi vận tốc của ô tô là x (km/h)
vân tốc của xe máy là y (km/h) ( Đk: x > y> 0, x > 10)
ta có hệ phương trình :

(T/M ĐK)

Vậy vận tốc của ô tô là 50 km/h và vận tốc của xe máy là: 40 km/h
Câu 3. a). Khi m = 1 => Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
b). Ta có:

Nếu:

vô nghiệm

Do đó
Câu 4.

. Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
B
M
O

A
N

D

C

a). Xét tứ giác ABOC có :

nên tứ giác ABOC nội tiếp

b). Xét MBN và MCB có :
chung
(cùng chắn cung BN)
=> MBN  MCB (g-g) nên

c). Xét MAN và MCA có góc
chung.
Vì M là trung điểm của AB nên
Theo câu b ta có:
21

.

Do đó : MAN  MCA (c-g-c)
=>
(1)
mà:
( cùng chắn cung NC)
Từ (1) và (2) suy ra:
hay

.

(2)

Câu 5. Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta có:

Lại áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

Và

nên

(vì

)

Suy ra :

. Đẳng thức xảy ra khi

Vậy

.

.

Câu 1: (2,0 điểm)
1. Giải các phương trình:
a. x – 2 = 0
b. x2 – 6x + 5 = 0

ĐỀ 11: THANH HÓA

2. Giải hệ phương trình:
Câu 2: (2,0 điểm) Cho biểu thức:

với

1. Rút gọn A.
2. Tính giá trị của biểu thức A khi
Câu 3: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d):
tham số
m và Parabol (P):
.
1. Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 0).
2. Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoàng độ lần
lượt là x1, x2 thỏa mãn
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi C là trung điểm của OA; qua C kẻ
đường thẳng vuông góc với OA cắt đường tròn đó tại hai điểm phân biệt M và N. Trên
22

cung nhỏ BM lấy điểm K ( K khác B và M), trên tia KN lấy điểm I sao cho KI = KM.
Gọi H là giao điểm của AK và MN. Chứng minh rằng:
1. Tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp.
2. AK.AH = R2
3. NI = BK
Câu 5: (1,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
HƯỚNG DẪN :
SỞ GIÁO DỤC THANH
HÓA
Đề chính
thức

Câu

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN THAM KHẢO
Năm học: 2014 – 2015
Ngày thi: 30 tháng 06 năm 2014
Thời gian làm bài: 120 phút
Nội dung

1. Giải các phương trình:
a. x = 2
b. x2 – 6x + 5 = 0. Nhận thấy 1 + (-6) + 5 = 0 phương trình có dạng a+ b + c

Câu 1
(2điểm) = 0. Vậy ngiệm của phương trinh là:

Điểm
0.5
0.75

2. Giải hệ phương trình:

0.75

Câu 2 1. Với với
(2điểm)

1

2. Với

, suy ra

1
0.5
0.5

Câu 3 1. Đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 0) nên có
(2điểm) 2. Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa (d) và (P):
Có
(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoàng độ lần lượt là x1, x2 khi
23

0.5

0.75

Áp dụng hệ thức Vi – Ét ta có:
Theo bài ra ta có
0.75

là giá trị cần tìm.
Câu 4 1. Ta có
(3điểm)
2. Ta có

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn);
tứ giác BCHK nội tiếp

1.0

K

3. Ta có:

H

đều (cân tại M và O)
I

B

đều

1.0

M

O

A

C

0.25

Xét
và
có:
MK = MI (cạnh tam giác đều KMI)
0.25

(cùng cộng với góc BMI bằng 600)
MB = MN (cạnh tam giác đều BMN)

N

0.25
0.25

Câu 5 Với x, y, z là các số dương thỏa mãn xyz = 1 ta đặt x = a3, y = b3, z = c3
(1điểm) = 1
Khi đó ta có:

abc

0.25
0.25

Tương tự:

0.25

Vậy GTLN của Q = 1 khi a = b = c = 1, hay x = y = z =1

0.25

ĐỀ 12:
SỞ GIÁO DỤC &ĐÀO TẠO
MAUNăm học: 2014 – 2015
ĐỀ CHÍNH THỨC
24

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
Môn thi : TOÁN
Ngày thi 23/6/2014

CÀ

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 : (1,5 điểm)
a) Giải phương trình 6x2 – 5x – 6 = 0
b) Tìm tham số m để phương trình :x2 +2(m +1)x +2m2 +2m +1 = 0 vô nghiệm
Bài 2: (1,5 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức A =
b) Rút gọn biểu thức B =

với

Bài 3 :(2,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
b) Vẽ đồ thị của 2 hàm số : y = x 2 và y = 5x – 6 trên cùng hệ trục tọa độ Oxy và
tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị trên.
Bài 4:(2,0 điểm)
Một hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Nếu cả chiều dài và chiều
rộng cùng tăng thêm 5 cm thì dược một hình chữ nhật mới có diện tích bằng 153
cm2.Tìm chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu..
Bài 5: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, nội tiếp trong đường tròn (O).Các đường cao
BF,CK của tam giác ABC lần lượt cắt (O) tại D,E.
a) Chứng minh : Tứ giác BCFK là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh : DE //FK.
c) Gọi P,Q lần lượt là điểm đối xứng với B,C qua O.Chứng minh đường tròn
ngoại tiếp tam giác AFK có bán kính không đổi khi A thay đổi trên cung nhỏ
(không trùng với các điểm P,Q)
A
Q

D
P

I
F

E

K
B

H

O

C

M
N

a)BCFK nội tiếp
BKC=BFC=90°(CKAB và BFAC) BCFK nội tiếp
b)DE//FK
BDE=BCE( cùng chắn cung EB của (O))
BCE=BFK (cùng chắn cung BK của (BCFK))
 BDE=BFK DE//FK
c)Bán kính đường tròn (AFK) không đổi khi A di động trên cung PQ
Kẻ đường kính AN và lấy điểm M là trung điểm của BC.
 ACN=ABN=90° NCAC và NBAB mà BHAC và CHAB
 NC//BH và NB//CH BHCN hình bình hành M là trung điểm HN
Vì OA=ON OM là đường trung bình AHN OM=AH/2 và OM//AH
Gọi I là trung đi...