Lời giải các bài toán hình trong tạp chí kvant số tháng 5-6/2024
M2794: Cho đường tròn (O). Trong đường tròn (O) lấy các điểm P, Q. Đường
trung trực của PQ cắt (O) tại A và D. Đường tròn (D, DP) cắt (O) tại B và C.
Chứng minh rằng các góc ACP và BCQ bằng nhau.
Giải:
A

Q

I
P
O

B
C

D

Gọi I là giao của AD với (D, DP). Do AD là trung trực của PQ nên IP = IQ =>
cung IP = IQ => góc ICP = ICQ. Do vậy ta chỉ cần chứng minh góc ICA = ICB.
Do DB = DC = DI => cung DB = DC => góc DAC = BCD và tam giác DCI cân
tại C => góc DIC = DCI => góc DAC + ICA = ICB + BCD => góc ICA = ICB.
Xong.
M2800: Cho hình bình hành ABCD có góc B tù. Gọi M là điểm chính giữa cung
ABC của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Đường tròn (M, MD) cắt DA,
DC thứ tự tại E, F. Chứng minh rằng các điểm B, M, E, F cùng thuộc một
đường tròn.

Giải:
Bổ đề 1: Từ điểm S ngoài (O; R) kẻ cát tuyến SUV thì SU.SV = SO2 – R2
Chứng minh: SO giao (O) tại P, Q. Dễ thấy các tam giác SUQ và SPV đồng
dạng => SU/SP = SQ/SV => SU.SV = SP.SQ = (SO – R)(SO + R) = SO 2 – R2
Bổ đề 2: Gọi M là điểm chính giữa cung XBY của đường tròn ngoại tiếp tam
giác BXY. Đường tròn tâm M nếu cắt BX, BY tại E, F thì các điểm B, M, E, F
cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh:
Kẻ MH vuông góc với BX, MK vuông góc với BY. Do M là điểm chính giữa
cung XBY nên góc MBK = MXY = MBX => BM là tia phân giác của góc HBK
=> MH = MK. Kết hợp ME = MF => các tam giác MEH và MFK bằng nhau
(cạnh huyền, cạnh góc vuông) => góc MEB = MFB => BMEF nội tiếp.
Quay lại bài toán: BE, BF giao (O) tại X, Y tương ứng. Theo bổ đề 1 ta có:
AE.AD = AM2 – MD2 = CM2 – MD2 = CF.CD => AE/CD = CF/AD => AE/AB
= CF/CB => các tam giác ABE và CBF đồng dạng (c.g.c.) => góc ABX = CBY
=> cung AX = BY => M là điểm chính giữa cung XBY. Theo bổ đề 2 thì M, B,
E, F cùng thuộc một đường tròn.

S

M

B

C
Y

U

P

F
K
M

B
H
F

O

A

E

X

V

X
Q

Y

E

D

O