BÀI 3. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
CHƯƠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN (PHÂN DẠNG)
Dạng 1. Công thức cộng
Câu 1.

(SGK-CTST-11-Tập 1) Tinh

và

.
Lời giải

Câu 2.

Không dùng máy tính cầm tay, tính các giá trị lượng giác của các góc:
a)
b)

Câu 3.

.

Lời giải

Tính

Do

biết

và
Lời giải

.

nên

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 1

Câu 4.

Trong Hình 5, ba điểm
dài

, độ cao của điểm

góc

a) Tính

nằm ở đầu các cánh quạt của tua-bin gió. Biết các cánh quạt

là

so với mặt đất là

, góc giữa các cánh quạt là

và số đo

.

và

.

b) Tính
của các góc lượng giác
và
, từ đó tính chiều cao của các điểm
và
so với mặt đất (theo đơn vị mét). Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
Lời giải
a)
b)
Chiều cao điểm

Câu 5.

so với mặt đất là:

Chiều cao điểm
so với mặt đất là:
Tính các giá trị lượng giác sau:
a)

khi

b)

khi

c)

.
.
khi

.

d)

khi

và

là các góc nhọn.

Lời giải
a) Vì
Ta có:

nên

.
.

Suy ra:

Vậy
Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

.

.
Trang 2

b) Vì

nên

Ta có:

.
.

Suy ra:

.

Vậy
c) Ta có:

.

Từ đó:

d)Với
Khi đó:

là các góc nhọn, ta có:

.

Vậy:

Câu 6.

Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:
a)

,

,

khi

b)

,

,

khi

c)

,

d)

khi
,

,

,

.

.
,

khi

.
.
Lời giải

a)

,

,

khi

Ta có
Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

,

.

.
Trang 3

Vì
Khi đó

nên ta chọn

.

.
b) Tính
Đặt

,

,

khi

.

.

Ta có

.
,
.

c)

,

khi

,

.

Ta có

.

TH1: Với

.

Vì

nên ta chọn

;

TH2: Với

.

Vì
d)
Đặt

.

nên ta chọn
,

,

;
khi

.

.

.

Ta có

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

.

Trang 4

.

Câu 7.

.
Tính giá trị của biểu thức
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.

.
Lời giải

a.Tính

Mà ta có:

Vậy

.

b.Tính

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 5

c.Tính
Ta chứng minh công thức sau

Nhận Xét:
Do vậy:






Cộng theo vế

ta được:

Vậy
d.Tương tự câu c
e.





Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 6



Vậy
f.
g.

h.
Câu 8.

Chứng minh rằng:
a)

;

b)

;

c)

;

d)

.
Lời giải

a)
.
b)

.

Cách 2

c) Áp dụng ý b) ở trên và

, ta được

.
Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 7

d)

Câu 9.

.

Chứng minh các đẳng thức sau
a)

;

b)

;

c)

;

d)

;

e)
f)

;
.

Lời giải

a)

Điều phải chứng minh.
b)

Điều phải chứng minh.
c)
Xét đẳng thức:
Áp dụng:

.

Cộng theo vế ta được:
Điều phải chứng minh.
d)
Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 8

Điều phải chứng minh.
Cách 2.

Điều phải chứng minh.
e)
Ta có
+
+
+
+
+
Khi đó

Điều

phải chứng minh.
f)

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

.

Trang 9

Điều phải chứng minh.
Câu 10. Chứng minh các hệ thức sau với điều kiện cho trước
a.)

khi

b.)

khi

c.)

khi

d.)

khi
Lời giải

a. Ta có

Vậy ta có điều phải chứng minh
b. b. Ta có:

Vậy đẳng thức được chứng minh.
c. Ta có:

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 10

d.

Ta

có:

Dạng 2. Công thức nhân đôi
Câu 11. Tính

và

Lời giải

Ta có:
Vì

. Suy ra
nên

Ta có:

. Suy ra

. Suy ra

Vì
nên
. Suy ra
Câu 12. Tính các giá trị lượng giác của góc
a)
b)

và

, biết:

;

và

.

Lời giải

a)
Do
b)
Do

Câu 13.

nên

. Suy ra

nên

. Mà

. Suy ra

.

Rút gọn các biểu thức sau:
a)
b)

.

Lời giải

Câu 14. Tính các giá trị lượng giác của góc
a)

và

, biết:

;

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 11

b)

và

a) Do

.

nên

Lời giải
và

Ta có:
Suy ra:
b) Do

và
nên

Suy ra:

và

Suy ra:
và
Câu 15. Trong bài toán khởi động, cho biết vòm cổng rộng
và khoảng cách từ
đến đường
kính
là
. Tính
và
, từ đó tính khoảng cách từ điểm
đến đường kính
. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Hình 2

Lời giải

Câu 16. Trong Hình 4, pít-tông
quay trục khuỷu
trí của pít-tông khi
độ dài thanh truyền

của động cơ chuyển động tịnh tiến qua lại dọc theo xi-lanh làm

. Ban đầu

thẳng hàng. Cho

và
là hình chiếu của
nên có thể xem như độ dài

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

là góc quay của trục khuỷu,

là vị

lên
. Trục khuỷu
rất ngắn so với
không đổi và gần bằng
.

Trang 12

a) Biết

, viết công thức tính tọa độ

của điểm

b) Ban đầu
. Sau 1 phút chuyển động,
động. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.
Lời giải
a) Khi

thì

ở vị trí

ở vị trí

trên trục
. Xác định

theo

.

sau 2 phút chuyển

. Ta có

b) Sau khi chuyển động 1 phút, trục khuỷu quay được một góc là
Khi đó
. Suy ra
Sau khi chuyển động 2 phút, trục khuỷu quay được một góc là
Câu 17. Tính giá trị biểu thức:
a.

b.
c.
d.
e.
Lời giải
Áp dụng công thức:

ta có:

a.Áp dụng công thức:

ta có:
c. Áp dụng công thức:

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

và

ta có:

Trang 13

d. Tương tự câu c ta có:

Do:

nên

e. Ta có:
Câu 18. Tính giá trị của các biểu thức sau:
. Cho
a

. Tính

. Cho

và

. Cho
c

. Tính

b

d. Cho

. Tính

và

. Tính
Lời giải

a.
.

b

Do

nên

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 14

nên

Do

c

.

.

d

Câu 19. Tính giá trị của biểu thức sau:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Lời giải
a) Ta có

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 15

b) Ta có

c) Ta có

d) Ta có

e)

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 16

f) Ta có

Câu 20. Chứng minh các hệ thức sau:
.
.
.

.
.

,với

Lời giải

.
Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 17

.
.

.

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 18

Dạng 3. Biến đổi tích thành tổng
Câu 21. Tính giá trị của biếu thức

và

Lời giải

.

Câu 22. Biến đổi thành tổng
a)

b)

c)

d)

e)
g)

f)
h)

i)
Bài giải:

k)

a)
b)
c)

d)
.
e)
f)
g)
h)

i)
k)

Dạng 4. Biến đổi tổng thành tích
Câu 23. Tính

.

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Lời giải
Trang 19

Câu 24. Biến đổi thành tích
a,
b,
c,
d,
e,
f,
g,
h,
Lời giải

a,
b,

.
.

c,

d,
e,
f,

g,

h,

Câu 25. Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
b)
c)
Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 20

d)
e)
f)
g)
h)
Lời giải
a) Ta có:

b) Ta có:

c)

Ta

có:

Đặt

Ta được phương trình:

. Suy ra

.

Vậy:
d)

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 21

Vậy

.

e)

Vậy

.

f)
g)

Vậy

.

h)

Câu 26. Tính các tổng sau

. Vậy

.

a.
b.
c.
d.

, với

.

e.
Lời giải
a.
Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 22

Nhân cả hai vế với

Vậy

ta có:

.

b. Xét bài toán tổng quát. Tính tổng
Nhân cả hai vế với

Áp dụng với

.

ta có:

ta được:

c. Áp dụng câu a với

ta được:

.

d. Ta có :

Với

ta được

.

e. Ta có:
Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 23

Nhân hai vế với

Vậy
Câu 27. Tính

và áp dụng công thức nhân đôi

ta được

.
, biết:

Lời giải

Điều kiện
Ta có:

Giá trị tính được thỏa mãn điều kiện
Vậy
Câu 28. Rút gọn các biểu thức sau:

a/

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 24

Lời giải

a/

Câu 29. Chứng minh các đẳng thức lượng giác:
a.
b.
c.
d.
e.
Lời giải
a.

b.

(công thức nhân ba)
Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 25

* Từ câu này ta chứng minh được công thức tổng quát:
c. Chứng minh tương tự câu b ta có

d.

e.

(luôn đúng)

Câu 30. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)

c)

.b)

.

.d)

.

e)

f)
g)

.

.
.
Lời giải

a)

Suy ra điều phải chứng minh.

.

b)

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 26

đpcm.
c)

Suy ra điều phải chứng minh.
d)

Suy ra điều phải chứng minh.
e)
Ta có
.

Suy ra điều phải chứng minh.
f)

(luôn đúng).
Suy ra điều phải chứng minh.
g)

(luôn đúng). Suy ra điều phải chứng minh.

Câu 31. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
c)

. b)

.

.d)

.

e)

.

f)

.

g)

.
Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 27

h) Cho

. Chứng minh:

i) Cho

.

. Chứng minh:

.
Lời giải

a)
Ta có:
.
b)
Ta có:

(do
).

c)
Ta

có:
.

d)
Ta có:
e)

.

Ta có:
Suy ra:
Do đó:

.
.
.

f)
Ta có:

.
Suy ra:
g)

.

Ta có:
.
Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 28

h) Cho

. Chứng minh:

.

Ta có:

.

i) Cho

. Chứng minh:

.

Ta có:

.
Khi đó:
Dạng 5. Bài toán tam giác
Qui ước: Cho tam giác
đường cao;

gọi

là ba cạnh đối diện của ba góc

là ba đường trung tuyến;

đường trong nội tiếp ;
Điều kiện

là ba góc của một tam giác là

lý

;

là ba

là ba đường phân giác;

là bán kính

là bán kính đường trong ngoại tiếp và

,
Định

.

là nữa chu vi.
nên suy ra

…
hàm

số

Suy ra

côsin

,

,

,

,

Định lý hàm số sin:

suy ra

Công thưc tính diện tích

.

Công thức phân giác
Công thức trung tuyến
Câu 32. Chứng minh rằng trong tam giác
Trong tam giác

, ta có
Lời giải

.

, ta có:

Ta có:
Câu 33. Trong Hình 3, tam giác
điểm
cạnh

vuông tại

nằm trên tía đối của tia
.

và có hai cạnh góc vuông là

thoả mãn

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

. Tính

. Vẽ
, từ đó tính độ dài
Trang 29

Lời giải

Câu 34. Cho tam giác
a)

. Chứng minh rằng:
.

b)

.

c)

.

d)

.

e)

.

f)

.

g)

.

h)

.

i)

.
Lời giải

j)

.

Ta có

.
.

k)

(đpcm).
.

Ta có

.

l)
Ta có -

.

Nên

.

Do đó
m)
Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

.
.
Trang 30

.
.

.

.
n)

.
.

.

.

.

.

.
o)

.
.
.
.

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 31

.

.

.

.

. Luôn đúng
Vậy

.

p)
.

.

Vậy

.

q)

.

Đặt

.
.

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 32

.
.
.
r)
Ta có

.

.
Câu 35. Cho tam giác

chứng minh:

a)

.

b)

.

c)

.

d)

.

e)

.

f)

.

Lời giải

a) Ta có:

b) Ta có:

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 33

c) Ta có:

d) Ta có:

e)

f) Cách 1:

Cách 2:

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 34

Câu 36. Tìm các góc của tam giác

, biết:

a)
b)
a) Ta có

Lời giải
và A  B  C   B  C   A .

(vì

Khi đó ta có

.

Vậy
b) Ta có

)

.
và A  B  C   B  C   A .

(vì
).

Khi đó ta có

.

Vậy
.
Câu 37. Chứng minh trong mọi tam giác

ta đều có

a)

;

b)

.
Lời giải

a) Ta có
Mặt khác trong tam giác
Suy ra

ta có
,

.
.

Vậy
Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 35

.

b) Ta có

.
Vì

suy ra

nên

.
không vuông ta đều có
;
.
Lời giải

Câu 38. Chứng minh trong mọi tam giác
a)
b)
a) Đẳng thức tương đương với
(*)
Do

tam

.

giác

không

vuông

nên

Vậy (*)

ra

. Đẳng

thức cuối đúng vì
b) Vì

suy

.
suy ra

.

Theo công thức cộng ta có

Suy ra
Hay
Câu 39. Chứng minh trong mọi tam giác
a)
b)

a) Ta có
Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

ta đều có
.
.
Lời giải

. Suy ra
Trang 36

.
Tức là
b) Từ kết quả câu a) ta có

.

.
Câu 40. Chứng minh trong mọi tam giác
a)

;

b)

.

ta đều có

Lời giải

a) Ta có

.

b) Ta có
Câu 41. Chứng minh trong mọi tam giác
a)
b)

.

.
nhọn ta đều có

;
Lời giải

a) Ta có
Do , là các góc trong tam giác nên

Suy ra
b) Do tam giác

.
. Theo bất đẳng thức CôSi, ta có

,

.
nhọn nên

,

nên ta có
.

Câu 42. Chứng minh trong mọi tam giác
a)

với

b)

.

a) Vì tam giác
ta có

ta đều có
là tam giác nhọn;

nhọn nên

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Lời giải
,
,

. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy,
Trang 37

.
Theo bài 2, ta có

nên

b) Ta có
Vì

nên

.

Mặt khác

. Do đó

.
Vì
Câu 43. Tam giác

suy ra
là tam giác gì nếu

a)

nên

.

.

b)

.

Lời giải

a) Ta có:

.

Suy ra
nên
.
Vậy tam giác
là tam giác vuông tại .
b) Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki, ta có

Suy ra
Vậy tam giác
Câu 44. Tam giác

.
là tam giác vuông tại
là tam giác gì nếu

a)
a) Theo định lý hàm số sin, ta có:

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

.b)

.

Lời giải
,

.
. Do đó

Trang 38

.
Vậy tam giác

là cântại

.

b) Để biểu thức có nghĩa khi và chỉ khi
Do

.

. Hơn nữa

và

cùng dấu nên suy ra

,

.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có
Dấu

.

xảy ra khi và chỉ khi

.

Mặt khác, ta có
Dấu

.

xảy ra khi và chỉ khi

.

Từ
và
, suy ra
Vậy tam giác
là vuông cântại
Câu 45. Tam giác
là tam giác gì nếu

a)

khi và chỉ khi
.

.b)

.

Lời giải

a) Ta có:

.
.

Thay

vào

Từ
và
Vậy tam giác
b)

.

ta được

.

suy ra
đều.

Ta

.
.

.
có

.

.

Hơn nữa,
Do

nên

. Suy ra

Từ
và
, suy ra
Vậy tam giác
đều.
Câu 46. Tam giác
là tam giác gì nếu

.

.

.

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 39

a)

.b)

Lời giải

a) Áp dụng định lý hàm số sin, ta có

Suy ra
Vậy tam giác
b) Ta có

.

.
vuông tại

.
Suy ra
.
Vậy tam giác
vuông tại
Câu 47. Chứng minh với mọi tam giác
a)

.
, ta có
;b)

.

Lời giải.

a) Ta có

nêu đề bài tương đương với giả thiết
hay

.

Ta có

.

b) Áp dụng kết quả câu a) ta có

.
Câu 48. Chứng minh với mọi tam giác

a)
b)

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

, ta có

;
.

Lời giải.

Trang 40

a) Từ công thức phân giác

suy ra

.

Tương tự, ta có
và
.
Cộng vế theo vế của các đẳng thức thì được điều cần chứng minh.
b) Ta có

Dạng 6. Bài toán min-max
- Sử dụng phương pháp chứng minh đại số quen biết.
- Sử dụng các tính chất về dấu của giá trị lượng giác một góc.
- Sử dụng kết quả

với mọi số thực

Câu 49. Chứng minh rằng với
a)

thì
b)

a) Bất đẳng thức tương đương với

Lời giải

(đúng) ĐPCM.
b) Bất đẳng thức tương đương với
(*)
Vì

nên

(đúng) ĐPCM.
Câu 50. Cho

. Chứng minh rằng

Lời giải

Ta có
Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 41

Vì

nên

.

Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có

Suy ra

ĐPCM.

Câu 51. Chứng

minh

rằng

với

Lời giải

thì
.

Bất đẳng thức tương đương với

Đặt

, vì

.

Bất đẳng thức trở thành
+ Nếu

(*)

:

+ Nếu

đúng vì
:

và

đúng vì

.
.

Vậy bất đẳng thức (*) đúng suy ra ĐPCM.
Câu 52. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức sau:
a)

b)
Lời giải

a) Ta có
Vì
Khi
Do đó

nên

suy ra

thì

,
và

.

thì
.

b) Ta có

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 42

Vì

nên

Vậy

khi

và

Câu 53. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức

suy ra

.

khi

.

Lời giải

Ta có
Đặt

khi đó biểu thức trở thành

Xét hàm số

với

.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra
khi
Câu 54. Cho

khi

hay

hay

.

.

. Chứng minh rằng

Lời giải

Theo bất đẳng thức Côsi ta có

.

Câu 55. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức

Lời giải

Ta có
Đặt

, vì

Biểu thức trở thành
Xét hàm số

.
với

.

Bảng biến thiên

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 43

Từ bảng biến thiên suy ra
khi

khi
hay

Câu 56. Chứng minh rằng

hay

.

.
Lời giải

Ta có:
Vậy:
Câu 57. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Lời giải

.

Ta có
Suy ra

Ta

có

Mặt khác theo bất đẳng thức

Suy ra

suy

ra

ta có

.

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 44