Trang 1

Đề thi vào 10 chuyên Toán Hưng Yên 2024 – 2025

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

HƯNG YÊN

NĂM HỌC 2024 – 2025

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài thi: TOÁN
(Dành cho thí sinh thi vào các lớp chuyên: Toán, Tin học)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề

√
√
√
2 x
6
x x + 26 x − 19
√
−√
−√
+ 1 với x ≥ 0, x ̸= 1.
Câu I (2,0 điểm). Cho biểu thức A =
x+2 x−3
x−1
x+3
1. Rút gọn A.
2. Tìm x để



√
√
x + 3 A = 10 x.

Câu II (2,0 điểm).
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) : y = −2x + 3 và Parabol (P ) : y = x2 . Tìm tọa độ các
giao điểm của (d) và (P ).
2. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình x2 − 2y(x − y) = 2 − 2x.
Câu III (2,0 điểm).
√
1. Giải phương trình x2 + x + 2 − (x + 2) x2 − x + 2 = 0.
2. Giải hệ phương trình



 x2 + y 2 = 5

 x3 + 2y 3 = 10x + 10y

Câu IV (3,0 điểm).
1. Cho tam giác ABC vuông tại B (BC > AB) nội tiếp trong đường tròn tâm O, đường kính AC = 2R. Kẻ
dây cung BD vuông góc với AC, H là giao điểm của AC và BD. Trên HC lấy điểm E sao cho E đối xứng
với A qua H. Đường tròn tâm O' đường kính EC cắt đoạn BC tại I (I khác C).
a) Chứng minh HI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính EC.
b) Khi điểm B thay đổi thì điểm H cũng thay đổi. Tìm vị trí của điểm H trên đoạn AC để diện tích tam
giác O' IH là lớn nhất.
2. Một xô bằng tôn dạng hình nón cụt (giả sử mép không đáng kể, đáy nhỏ bịt tôn) có các bán kính đáy là
17 (cm) và 10 (cm), chiều cao 24 (cm). Tính diện tích tôn để làm xô.
Câu V (1,0 điểm). Cho các số thực a, b, c thỏa mãn



 a > 0, b > 0, c ≥ 2009

 a + b + c = 2025

Tìm giá trị lớn nhất của P = abc.
—— HẾT ——

.

Trang 2

Đề thi vào 10 chuyên Toán Hưng Yên 2024 – 2025

Câu 1
Cho biểu thức A =

√
√
√
x x + 26 x − 19
2 x
6
√
−√
−√
+ 1 với x ≥ 0, x ̸= 1.
x+2 x−3
x−1
x+3

1. Rút gọn A.
2. Tìm x để

√



√
x + 3 A = 10 x.

Lời giải

1. Ta có:
√
√
√
2 x
6
x x + 26 x − 19
√
−√
−√
+1
A=
x+2 x−3
x−1
x+3




√
√
√ √
√
√
x x + 26 x − 19 − 2 x x + 3 − 6 x − 1 + x + 2 x − 3

√


A=
.
√
x+3
x−1

√
√
x x − x + 16 x − 16




A=
√
√
x+3
x−1



√
x−1
x + 16

√


A= √
x+3
x−1

x + 16
A= √
x+3
x + 16
với x ≥ 0, x ̸= 1.
Vậy A = √
x+3
2. Ta có


√
√
√
x + 3 A = 10 x ⇔ x + 16 = 10 x


√


√
√
 x = 4 (thỏa mãn điều kiện xác định)
⇔ x − 10 x + 16 = 0 ⇔
x−8
x−2 =0 ⇔
x = 64 (thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy x = 4 hoặc x = 64 thì



√
√
x + 3 A = 10 x.

Câu 2
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) : y = −2x + 3 và Parabol (P ) : y = x2 . Tìm tọa
độ các giao điểm của (d) và (P ).
2. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình x2 − 2y(x − y) = 2 − 2x.

Lời giải

1. Xét phương trình hoành độ giao điểm (d) và (P ), ta có

Trang 3

Đề thi vào 10 chuyên Toán Hưng Yên 2024 – 2025


 x = −3 ⇒ y = 9

x2 = −2x + 3 ⇔ x2 + 2x − 3 = 0 ⇔ 

x=1⇒y=1

Vậy tọa độ giao điểm của (d) và (P ) là (1; 1) và (−3; 9).
2. Ta có
x2 − 2y(x − y) = 2 − 2x
⇔ x2 − 2xy + 2y 2 + 2x = 2.
⇔ 2x2 − 4xy + 4y 2 + 4x = 4.
⇔ (x − 2y)2 + (x − 2)2 = 8.

Vì (x − 2)2 và (x − 2y) là số chính phương và 0 ≤ (x − 2)2 , (x − 2y)2 ≤ 8. Do đó



 (x − 2y)2 = 4

 (x − 2)2 = 4

bảng giá trị sau



x−2

2

−2

2

−2

x − 2y

2

−2

−2

2

x

4

0

4

0

y

1

1

3

−1



Vậy (x, y) ∈ (4; 1); (0; 1); (4; 3); (0; −1) .
Câu 3

√
1. Giải phương trình x2 + x + 2 − (x + 2) x2 − x + 2 = 0.
2. Giải hệ phương trình



 x2 + y 2 = 5

 x3 + 2y 3 = 10x + 10y

Lời giải

1. Điều kiện xác định x2 − x + 2 ≥ 0 (đúng ∀x).
√
Đặt x2 − x + 2 = t(t > 0), phương trình đã cho trở thành

 t=x

t2 + 2x − (x + 2)t = 0 ⇔ (t − x)(t − 2) = 0 ⇔ 

t=2

Trường hợp 1: t = x, tức là
√
x2 − x + 2 = x ⇔



 x≥0

 x2 − x + 2 = x2

⇔



 x≥0

 x=2

Ta có

Trang 4

Đề thi vào 10 chuyên Toán Hưng Yên 2024 – 2025

Trường hợp 2: t = 2, tức là


√
 x=2
x2 − x + 2 = 2 ⇔ x2 − x − 2 = 0 ⇔ 
x = −1
Vậy phương trình có nghiệm x = −1, x = 2.
2.



 x2 + y 2 = 5

(1)


 x3 + 2y 3 = 10x + 10y

(2)

Nhân chéo hai vế của (1) và (2) ta được
(10x + 10y)(x2 + y 2 ) = 5(x3 + 2y 3 ) ⇔ 5x(x2 + 2xy + 2y 2 ) = 0
Vì x2 + 2xy + 2y 2 = (x + y)2 + y 2 = 0 ⇔ x = y = 0 (mâu thuẫn do khi đó x2 + y 2 = 0 mà x2 + y 2 = 5), do
đó x = 0.
√
Thay x = 0 vào (1) ta được y = ± 5
√
√
Vậy hệ phương trình có nghiệm (0; 5); (0; − 5)
Câu 4
1. Cho tam giác ABC vuông tại B (BC > AB) nội tiếp trong đường tròn tâm O, đường kính AC = 2R.
Kẻ dây cung BD vuông góc với AC, H là giao điểm của AC và BD. Trên HC lấy điểm E sao cho
E đối xứng với A qua H. Đường tròn tâm O' đường kính EC cắt đoạn BC tại I (I khác C).
a) Chứng minh HI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính EC.
b) Khi điểm B thay đổi thì điểm H cũng thay đổi. Tìm vị trí của điểm H trên đoạn AC để diện
tích tam giác O' IH là lớn nhất.
2. Một xô bằng tôn dạng hình nón cụt (giả sử mép không đáng kể, đáy nhỏ bịt tôn) có các bán kính
đáy là 17 (cm) và 10 (cm), chiều cao 24 (cm). Tính diện tích tôn để làm xô.

Lời giải

Trang 5

Đề thi vào 10 chuyên Toán Hưng Yên 2024 – 2025

B

I

C

A
H

E

O

O'

D

1.
[ nội tiếp chắn nửa đường tròn (O' ) nên EIC
[ = BIE
[ = 90◦ .
a) Vì EIC
[ + BHE
\ = 180◦
⇒ BIE
⇒ Tứ giác BIEH nội tiếp.
[ = BHE
\ = BAH
\ = BCA
[ = ICE.
[
⇒ HIE
⇒ HI là tiếp tuyến của (O' ).
b) Vì HI là tiếp tuyến của (O' ) nên O' I ⊥ HI hay △ O' IH vuông tại I.
1
O' I 2 + HI 2
O' H 2
⇒ SO' IH = .O' I.HI ≤
=
.
2
4
4
Mặt khác, lại có
HO' = HE + O' E =

AC
R2
AE EC
+
=
= R ⇒ SO' IH ≤
2
2
2
4

EC
.
2
[ = HEB
\ = HAB
\ = HBI
[ nên △HBI cân tại H dẫn đến HI = HB.
Lại có HIB
EC
Do đó, HB =
.
2
Áp dụng hệ thức cạnh và đường cao vào △ABC vuông tại B, đường cao BH có
Dấu "=" xảy ra ⇔ O' I = HI =

BH 2 = AH · HC ⇔

EC 2
= AH · HC
4

HC − HA
Mà EC = HC − HE = HC − HA nên AH · HC =
4

2
2R − 2AH
⇒ AH · (2R − AH) =
= (R − AH)2
4
⇒ R2 − 4R · AH + AH 2 = 0
√
2− 2
⇔ AH =
R (vì 2R > AH > 0).
2
√
2− 2
Vậy để SO' IHmax ⇔ H nằm trên AC sao cho AH =
R.
2
2. Độ dài đường sinh của chiếc xô hình nón cụt là:


2

Trang 6

Đề thi vào 10 chuyên Toán Hưng Yên 2024 – 2025

l=

q

h2 + r2 − r1


2

=

p

242 + (17 − 10)2 = 25 (cm)

Diện tích tôn để làm xô là
S = Sxung quanh + Sđáy nhỏ = π r1 + r2 l + π · r12 = π 17 + 10 .25 + 100π = 775π ≈ 2433, 5(cm2 ).






Vậy diện tích tôn để làm xô là 2433,5 cm2 .
Câu 5
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn



 a > 0, b > 0, c ≥ 2009

.


 a + b + c = 2025

Tìm giá trị lớn nhất của P = abc.

Lời giải
Ta có 2025 = a + b + c ≥ a + b + 2009 ⇔ a + b ≤ 16.
(a + b)2
16c 2009
· c = (2025 − c)2 ·
·
Lại có P = abc ≤
4
2009 64
Áp dụng bất đẳng thức AM − GM , ta có
r
3

(1).

16c
4002c
4002 · 2009
2025 − c + 2025 − c +
4050 −
4050 −
16c
2009 =
2009 ≤
2009
(2025 − c)2 ·
≤
= 16
2009
3
3
3

16c
≤ 163 = 4096
(2).
2009
2009
Từ (1) và (2) suy ra P = abc ≤ 4096 ·
= 128576.
64
Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = 8, c = 2009.

Suy ra (2025 − c)2 ·

Vậy Pmax = 128576 khi a = b = 8, c = 2009.
—— HẾT ——
Lời giải được thực hiện bởi Vũ Đức Huy 9A1 – THCS Trọng điểm Lê Hữu Trác, Mỹ Hào, Hưng Yên.