Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Tài liệu tự học 2026-2027

CHUYÊN ĐỀ 2.CỰC TRỊ
PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ SÁCH GIÁO KHOA
a) Khái niệm cực trị của hàm số
Tổng quát, ta có định nghĩa sau:
Cho hàm số
xác định và liên tục trên khoảng
( có thể là
.
- Nếu tồn tại số

sao cho

đạt cực đại tại
- Nếu tồn tại số

có thể là

) và điểm

với mọi

và

thì ta nói hàm số

với mọi

và

thì ta nói hàm số

.
sao cho

đạt cực tiểu tại
Chú ý
- Nếu hàm số

.
đạt cực đại tại

được gọi là giá trị cực đại của hàm số
điểm cực đại của đồ thị hàm số.
- Nếu hàm số
đạt cực tiểu tại

thì

được gọi là điểm cực đại của hàm số

và kí hiệu là
thì

hay

. Điểm

được gọi là

được gọi là điểm cực tiểu của hàm số

được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số
gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

và kí hiệu là

hay

. Khi đó,

. Khi đó,

. Điểm

được

- Các điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được

gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.
Ví dụ 1. Hình là đồ thị của hàm số
. Hãy tìm các cực trị của hàm số.
Giải.Từ đồ thị hàm số, ta có:
Hàm số đạt cực tiểu tại
và
.
Hàm số đạt cực đại tại

và

Hàm số đạt cực tiểu tại
và
b) Cách tìm cực trị của hàm số
ĐỊNH LÍ.Giả sử hàm số
và

.
liên tục trên khoảng

chứa điểm

và có đạo hàm trên các khoảng

. Khi đó:

a) Nếu

với mọi
thì

b) Nếu

.

và

với mọi

là một điểm cực tiểu của hàm số
với mọi

và

.
với mọi

thì
là một điểm cực đại của hàm số
.
Định lí trên được viết gọn lại trong hai bảng biến thiên sau:
Chú ý. Từ định lí trên ta có các bước tìm cực trị của hàm số
như sau:
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Tính đạo hàm
. Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm
3. Lập bảng biến thiên của hàm số.
4. Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị của hàm số.
Ví dụ 2. Tìm cực trị của hàm số
.
Giải.Tập xác định của hàm số là .
Ta có:
hoặc
.
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Từ bảng biến thiên, ta có:
Hàm số đạt cực đại tại
và
.
Hàm số đạt cực tiểu tại

và

.
1

bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Chú ý. Nếu

nhưng

Tài liệu tự học 2026-2027

không đổi dấu khi

qua

thì

không phải là điểm cực trị của hàm số. Chẳng hạn, hàm số
, nhưng

có

không phải là điểm cực trị của hàm số.

Ví dụ 3. Tìm cực trị của hàm số
Giải.Tập xác định của hàm số là

.
.

Ta có:

hoặc

Lập bảng biến thiên của hàm số:
Từ bảng biến thiên, ta có:
Hàm số đạt cực đại tại
và
Hàm số đạt cực tiểu tại

.

.

và

.

Ví dụ 4. Tìm cực trị của hàm số

.

Giải.Tập xác định của hàm số là

.

Ta có:

, với mọi

.

Lập bảng biến thiên của hàm số:
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số không có cực trị.
A. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ. Điểm cực tiểu của đồ thị
hàm số đã cho là
A. .
B. .
C.
.
D.
.
Câu 2.Cho hàm số
A. .
B.
Câu 3.Hàm số
Hàm số

liên tục trên

và có đạo hàm

. Số điềm cực trị của hàm số đã cho là
C. .
D. .
có đạo hàm
.
có bao nhiêu điểm cực đại? A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 4.Cho hàm số bậc ba
có đồ thị như hình vẽ dưới đây
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 5.Cho hàm số bậc ba
có bảng biến thiên như sau:

Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là: A.
Câu 6.Đồ thị hàm số

.
B.
.
có toạ độ điểm cực đại là

2

C.

.

D.

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Tài liệu tự học 2026-2027

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 7.Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây?
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 8.Cho hàm số
xác định trên
và có đạo hàm trên
,
. Hàm số đã cho có mấy điểm cực trị?
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 9.Cho hàm số
có bảng biến thiên sau:
Giá trị cực đại của hàm số
là:
A. .
B. .
C. .
D. .

Câu 10.Cho hàm số

có bảng

biến thiên như hình vẽ bên dưới.
Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 11.Cho hàm số

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm
.
B. Hàm số đạt cực đại tại điểm
C. Hàm số đạt cực đại tại điểm
.
D. Hàm số đạt cực đại tại điểm
Câu 12.Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau
Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng
.
B. Hàm số có 3 điểm cực trị.
C. Hàm số có giá trị cực đại bằng
.
D. Hàm số có 2 điểm cực đại.
Câu 13.Cho hàm số

xác định trên

.
.

và có đạo hàm

. Hàm số đã
cho có mấy điểm cực trị? A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 14.Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực đại của hàm số
là:
A. .
B. .
C. .
Câu 15.Cho hàm đa thức
Đồ thị hàm số
dưới. Hỏi hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
A. .
B. .
C. .

D. .
là đường cong như hình vẽ bên

3

D. .

O

-1

Câu 16.Cho hàm số
có bảng biến thiên sau:
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng:
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 17.Cho hàm số
có đạo hàm
với mọi
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. .
B. .
C. .

.
D.

3

y

1 2 x

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Tài liệu tự học 2026-2027

Câu 18.Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực tiểu của hàm số là
A. .
B. .
C. .
D.
.
Câu 19.Hàm số nào dưới đây không có cực trị
A.
C.

.

B.
.

.

D.

.

Câu 20.Số điểm cực tiểu của hàm số
A. .
B. .
C. .
Câu 21.Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là
A. .
B. .
C. .

Câu 22.Cho hàm số
liên tục trên
dưới đây.
Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực đại?
A. 2.
B. 3.
C. 1.

Câu 23.Cho hàm số

là
D. .

D. .

và có đồ thị như hình
D. 5.

có bảng biến thiên như

hình sau:Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm
A.
.
B.
.
C.
.
Câu 24.Cho hàm số
có đạo hàm .

D.

.

.Số điểm cực trị của hàm số đã cho
là
A. .
B. .
Câu 25.Cho hàm số

C. .
xác định trên

D. .
và có bảng biến thiên

như sau.Điểm cực đại của hàm số
là
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 26.Cho hàm số bậc ba
có bảng biến thiên như hình
vẽ bên dưới
Hàm số đã cho đạt giá trị cực đại tại điểm:
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 27.Cho hàm số
đồ thị hàm số đã cho là:
A.
.
B.

có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Điểm cực đại của
.

C.

.

D.

4

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Tài liệu tự học 2026-2027

Câu 28.Cho hàm số
xác định và liên tục trên
và có
bảng biến thiên như sau: Tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của
hàm số đã cho bằng bao nhiêu?
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 29.Cho hàm số
xác định, liên tục trên
và có bảng
biến thiên như sau:
Điểm nào dưới đây là điểm cực tiểu của hàm số đã cho?
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 30.Hàm số

có tất cả bao nhiêu cực trị?

A. .
B. .
C. .
D. .
B. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu 1.Biết rằng hàm số
( và là hằng số thực) đạt cực trị bằng 4 tại
a) Giá trị của
bằng 8.
b) Hàm số đạt cực đại tại
.
c)
là một điểm cực trị của hàm số
. d) Giá trị cực tiểu của hàm số
bằng 12.
Câu 2.Cho hàm số
xác định trên
và đạo hàm
có đồ thị
như hình bên. Sử dụng đồ thị của hàm số
.
a) hàm số
nghịch biến trên các khoảng
và
.
b) hàm số
đồng biến trên khoảng
.
c) hàm số
đạt cực đại tại
.
d) hàm số
đạt cực tiểu tại
.
Câu 3.Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:
a) Hàm số đồng biến trên các khoảng
và
;
b) Hàm số nghịch biến trên các khoảng
và
;
c) Hàm số đạt cực đại tại
và
; đạt cực tiểu tại
d) Hàm số đạt cực tiểu tại
.

Câu 4.Cho hàm số
liên tục trên
a) Hàm số đồng biến trên các khoảng
b) Hàm số nghịch biến trên các khoảng
c) Hàm số đạt cực đại tại
và
.
d)Hàm số đạt cực tiểu tại
và
;

.

và có đồ thị như Hình.
,
và
.
và
.

Câu 5.Cho hàm số
có đồ thị như sau:
a) Hàm số
đồng biến trên khoảng
,
b) Hàm số
nghịch biến trên các khoảng
c) Hàm số
có
là điểm cực tiểu
d) Hàm số
có
là điểm cực đại

và

5

.

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Tài liệu tự học 2026-2027

Câu 6.Đạo hàm
của hàm số
a)Hàm số
đồng biến trên các khoảng
b) Hàm số
nghịch biến trên khoảng
c) Hàm số đạt cực đại tại
.
d) Hàm số đạt cực tiểu tại
.

có đồ thị như Hình.
.
.

Câu 7.Cho hàm số
và
có đồ thị hàm số
như Hình.
a) Điểm cực tiểu của hàm số
là
.
b) Điểm cực đại của hàm số
là
.
c) Hàm số
đồng biến trên
.
d) Hàm số
nghịch biến trên
.
Câu 8.Cho hàm số
.
a)Hàm số đồng biến trên các khoảng
và
b)Hàm số nghịch biến trên khoảng
.
c)Hàm số đạt cực đại tại
và
.
Câu 9. Cho hàm số
a) Hàm số nghịch biến trên các khoảng
c) Hàm số đạt cực đại tại
và

là các số thực

.
d)Hàm số đạt cực tiểu tại

và

.

.
và

. b) Hàm số đồng biến trên khoảng
d) Hàm số đạt cực tiểu tại
và

.

.
.

Câu 10. Cho hàm số
a) Hàm số đồng biến trên các khoảng
b) Hàm số nghịch biến trên các khoảng
c) Hàm số đạt cực đại tại
và

và

.
và

.
. d) Hàm số đạt cực tiểu tại

và

.

Câu 11. Cho hàm số
a) Hàm số nghịch biến trên các khoảng
c) Hàm số đạt cực tiểu tại

và

và

. b) Hàm số đồng biến trên khoảng
. d) Hàm số đạt cực đại tại

.

và

.

Câu 12. Cho hàm số
a) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
b) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng

và
và

c) Hàm số đạt cực đại tại
Câu 13. Cho hàm số
a) Tập xác định của hàm số là
c) Hàm số nghịch biến trên khoảng

;
.
d) Hàm số đạt cực tiểu tại

.

.

b) Hàm số đồng biến trên khoảng
. d) Hàm số đạt cực tiểu tại

.

6

và

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 14.Cho hàm số
có đạo hàm trên
và đồ thị hàm số
như Hình.
a) Hàm số
đồng biến trên mỗi khoảng
và
;
b) Hàm số
nghịch biến trên khoảng
.
c) Hàm số
đạt cực đại tại
và đạt cực tiểu tại
.
d) Xét hàm số
. Hàm số
có 3 điểm cực trị.

Tài liệu tự học 2026-2027

Câu 15.Cho hàm số
có bảng biến thiên như hình vẽ.
Các mệnh đề sau đúng hay sai
a) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm
.
b) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
.
c) Giá trị cực đại của hàm số bằng 1.
d) Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là
.
Câu 16.Xét hàm số
trên khoảng
hình vẽ. Các mệnh đề sau đúng hay sai
a) Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm
b) Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 4.
c) Hàm số nghịch biến trên khoảng
.
d) Hàm số có hai cực đại là 5 và 6.

và có đồ thị như
.

Câu 17. Cho hàm số
và có đồ thị như hình vẽ. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Hàm số
có
.
b) Hàm số
không có đạo hàm tại điểm
.
c) Hàm số
đạt cực tiểu tại điểm
.
d) Giá trị cực tiểu của hàm số
bằng 0.
Câu 18. Cho hàm số

và có đồ thị như hình vẽ.

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
a) Hàm số
không có đạo hàm tại điểm
.
b) Hàm số
đạt cực đại tại điểm
.
c) Hàm số
đạt cực tiểu tại điểm
.
d) Giá trị cực đại của hàm số
bằng 1.
Câu 19. Cho hàm số
.
Các mệnh đề sau đúng hay sai
a) Hàm số đã cho có một điểm cực trị
b) Hàm số đã cho đồng biến trên .
c) Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bẳng -9.
d) Hàm số
có hai điểm cực trị.
Câu 20. Cho hàm số
. Các mệnh đề sau đúng hay sai
a) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
.
b) Giá trị cực đại của hàm số là 43.
c) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm
.
d) Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là
.

7

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Tài liệu tự học 2026-2027

Câu 21.Cho hàm số
có đồ thị hàm số
Các mệnh đề sau đúng hay
a) Hàm số
đạt cực tiểu tại điểm
.
b) Hàm số
có hai điểm cực trị trên khoảng
c) Hàm số
đạt cực đại tại điểm
.
d)
.

như hình vẽ.

.

Câu 22.Cho hàm số
là có đồ thị hàm số
vẽ. Các mệnh đề sau đúng hay sai.
a) Hàm số
đạt cực tiểu tại điểm
và
.
b) Hàm số
đạt cực đại tại điểm
.
c) Điểm
là một điểm cực đại của đồ thì hàm số
d) Trên khoảng
hàm số có hai điểm cực trị.

như hình

Câu 23.Cho hàm số
có đạo hàm
đúng hay sai
a) Hàm số có 3 điểm cực trị
b) Hàm số
c)
.
d)
Câu 24.Cho hàm số bậc bốn
có đồ thị hàm số
vẽ.
Các mệnh đề sau đúng hay sai
a) Hàm số
có hai điểm cực trị.
b) Hàm số
có hai điểm cực trị.
c) Hàm số
có một điểm cực trị.
d) Hàm số
có ba điểm cực trị.
Câu 25.Cho hàm số

.
với mọi

thuộc

. Các mệnh đề sau

đạt cực đại tại điểm
.
như hình

.

. Các mệnh đề sau đúng hay sai

a) Hàm số
nghịch biến trên khoảng
.
b) Cực đại của hàm số
bằng .
c) Cực tiểu của hàm số
bằng 3.
d) Hàm số
đạt cực tiểu tại điểm
Câu 26. Cho hàm số
. Gọi
là đồ thị hàm số.
a)Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu.
b)Hàm số có một giá trị cực trị bằng 6.
c)Hai điểm cực trị của đồ thị
đối xứng qua điểm
.
d)Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số song song với đường thẳng
Câu 27.Cho hàm số

. Gọi

b)Hàm số có một giá trị cực trị bằng

có đồ thị

a)Tập xác định của hàm số là

.

c)Đạo hàm của hàm số là

.

Câu 29.Cho hàm số

. Gọi

a)Tập xác định của hàm số là
c)Hàm số đạt cực đại tại
Câu 30.Cho hàm số

.

bằng

cách đều đường thẳng thị

Câu 28.Cho hàm số

.

là đồ thị hàm số.

a)Hàm số có hai điểm cực trị.
c)Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của
d)Hai điểm cực trị của

.

.

.
b)
d)Điểm cực đại của đồ thị hàm số là

.

là đồ thị hàm số.
b)Đạo hàm của hàm số là

.

d)Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là
.
8

.
.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

a) Tập xác định của hàm số là
c) Hàm số đạt cực trị tại các điểm

Tài liệu tự học 2026-2027

.

b) Đạo hàm của hàm số là
.
. d)Trên đoạn
, hàm số có một điểm cực đại.

,

Câu 31. Cho hàm số

có đồ thị

a) Hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
c) Điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho là

.

. Các phát biểu sau đúng hay sai ?

b) Giá trị cực tiểu của hàm số là

d) Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho là

.

.

Câu 32.Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau
Khi đó:
a)Giá trị cực đại của hàm số bằng
b)Hàm số có hai điểm cực trị
c)Hàm số đạt cực tiểu tại
d)Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số thuộc đường thẳng
Câu 33. Cho hàm số
có đồ thị hàm số
như hình vẽ. Các phát biểu sau đúng hay sai?
a) Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị.
b) Hàm số đồng biến trên khoảng
.
c) Biết
,
, đồ thị hàm số
cắt trục
hoành tại 2 điểm phân biệt.
d) Phương trình
có 2 nghiệm phân biệt khi
hoặc

.

Câu 34.Cho hàm số
a)Hàm số

có bảng biến thiên như sau
có 2 điểm cực tiểu.

b)Hàm số đạt cực đại tại
d)Biết rằng hàm số

.
có đồ thị đi qua điểm

c)Hàm số đồng biến trên

.

và đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn

tại

Khi đó:
Câu 35.Xét hàm số
trên đoạn
có đồ thị như hình dưới.
a) Hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn
.
b)
là một giá trị cực đại của hàm số.
c) Hàm số đã cho có 3 điểm cực đại.
d) Hàm số
có 2 điểm cực đại.
Câu 36.Cho hàm số
có bảng biến thiên như dưới đây:
a) Hàm số đã cho đồng biến trên nửa khoảng
.
b) Hàm số đã cho không có điểm cực đại.
c) Số điểm cực đại của hàm số
là 1.
d) Số điểm cực tiểu của hàm số
là 2.
Câu 37.Người ta cần xây một bể chứa nước sản xuất dạng khối hộp
chữ nhật không nắp với chiều cao (mét) có thể tích bằng
.
Đáy bể là hình chữ nhật có chiều rộng bằng (mét) và chiều dài
gấp đôi chiều rộng. Chi phí để xây bể là 350 nghìn đồng/ .
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a. Chiều cao

của bể được xác định bởi

;

9

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

b. Diện tích

Tài liệu tự học 2026-2027

của bề mặt để làm bể là

;

c. Giả sử chiều rộng của hình chữ nhật đáy bằng 6 mét thì chi phí để xây bể là 60 triệu đồng;
d. Chi phí thấp nhất để xây bể là 59 triệu đồng (làm tròn đến đơn vị triệu đồng).
Câu 38.Một tấm nhôm hình vuông cạnh
. Người ta cắt
ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi
hình có cạnh bằng
với
, rồi gập tấm nhôm
như dạng hình hộp không có nắp(hình vẽ). Khi đó:
a) Chiều cao của hình hộp là
.
b) Diện tích đáy của hình hộp là

.

c) Diện tích xung quanh của hình hộp là
d) Thể tích lớn nhất của hình hộp đó là
.
Câu 39.Một chất điểm chuyển động trên trục
với phương trình
.
( tính bằng mét, tính bằng giây, với
). Xét các phát biểu sau:
a) Trong khoảng thời gian từ
đến
giây, chất điểm chuyển động ngược với chiều dương của trục
.
b) Vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian từ
đến
giây bằng m/s.
c) Vận tốc đạt cực đại tại thời điểm
giây.
d) Trong khoảng thời gian từ
đến
giây chất điểm chuyển động chậm dần.
Câu 40.Một chất điểm chuyển động trên một trục nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải. Giả sử tại thời
điểm t giây
, vị trí của chất điểm được xác định bởi công thức:
đơn vị mét.
a) Vị trí chất điểm tại thời điểm 4 giây là 164m.
b) Vận tốc đạt được của chất điểm tại thời điểm 2 giây là 45
.
c) Gia tốc của chất điểm tại thời điểm chất điểm dừng lại là 36
.
d) Vị trí chất điểm tại thời điển vận tốc đạt giá trị lớn nhất là 118 m.
Câu 41.Giả sử một vật chuyển động trên một đường thẳng vuông góc với mặt đất.
Độ cao của vật so với mặt đất (đơn vị: mét) tại thời điểm (giây) là
,

.

Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:
a) Hàm vận tốc của chuyển động nói trên là
(đơn vị: mét/giây).
b) Vận tốc triệt tiêu tại thời điểm
(giây).
c) Trong 10 giây đầu tiên, vật chuyển động lên trên.
d) Vật có vận tốc tức thời lớn nhất bằng
mét/giây trong 10 giây đầu tiên.
Câu 42. Kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam trong các năm từ
đến
có thể được tính
xấp xỉ bằng công thức
(tỉ
) với là số năm tính từ
đến
(
).
a) Tốc độ thay đổi của kim ngạch xuất khẩu
b) Tốc độ thay đổi của kim ngạch xuất khẩu thấp nhất trong các năm từ
đến
bằng
( kết quả
làm tròn đến hàng phần chục)
c) Kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam tăng liên tục trong các năm từ 2010 đến 2017.
b)Tỷ lệ tốc độ thay đổi so với giá trị kim ngạch xuất khẩu lớn nhất đầu năm 2015
Câu 43.Trong một công viên toán học, ở một mặt của bờ hồ người ta
xây dựng một đường đi có dạng là một phần của đồ thị hàm số bậc ba
,
nằm trên mặt phẳng
mà mỗi đơn vị trên mỗi
trục
có tọa độ

tương ứng với độ dài 10 mét. Biết

có một điểm cực trị

và có tâm đối xứng là gốc tọa độ

.Ở giữa hồ người ta

xây dựng một khu vui chơi có dạng là hình tròn

có bán kính bằng
10

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Tài liệu tự học 2026-2027

20 mét và có tọa độ tâm là
. Người ta thiết kế một cây cầu từ một điểm trên
đến
độ dài cây cầu là ngắn nhất. Biết chi phí làm mỗi mét theo chiều dài cây cầu là 100 triệu đồng.
a) Hàm số
.
b) Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số có phương trình
.

sao cho

c) Đường biên của khu vui chơi hình tròn
có phương trình
.
d) Chi phí làm cây cầu trên là 7055 triệu đồng. (kết quả đã được làm tròn đến hàng đơn vị của triệu đồng).
Câu 44.Xưởng
sản xuất một loại sản phẩm. Biết rằng theo tính toán
trong một tháng, nếu xưởng sản xuất không quá 150 sản phẩm thì tổng
chi phí sản xuất là

(triệu đồng) và

hàm doanh thu khi đó là
(triệu đồng), với là số
sản phẩm. Lợi nhuận của xưởng
khi đó được xác định bằng hàm số
(triệu đồng).
a) Số tiền ban đầu xưởng phải bỏ ra để vận hành, kể cả khi không sản
xuất sản phẩm nào là 1 tỉ đồng.
b) Chi phí sản xuất luôn tăng khi số sản phẩm tăng.
c) Doanh thu của xưởng đạt cực đại khi số sản phẩm là 150 (sản phẩm).
d) Lợi nhuận lớn nhất khi doanh thu là lớn nhất.
Câu 45.Một tấm bạt hình vuông cạnh 20 m như hình
vẽ bên. Người ta dự tính cắt phần tô đậm của tấm bạt
rồi gập và may lại (các đường may không đáng kê),
nhằm mục đích phủ lên tháp đèn trang trí (tháp có
dạng hình chóp tứ giác đều) để tránh hư hại tháp khi
trời mưa.Gọi độ dài cạnh đáy hình vuông của tháp là
. Kí hiệu hình chóp tứ giác đều là
.
Gọi
lần lượt là trung điểm
.
a) Độ dài bốn cạnh bên của phần bạt phủ tháp đèn bằng nhau.
b) Chiều cao

của hình chóp

nếu viết dưới dạng

thì

.

c) Thể tích lớn nhất của khối chóp đạt được khi cạnh đáy của hình chóp bằng
d) Khi thể tích của khối chóp lớn nhất, diện tích phần bạt cần sử dụng là
.
Câu 46.Xét hàm số

, với

.

là tham số. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

a) Nếu
thì hàm số đã cho có một điểm cực trị.
b) Nếu
thì hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
c) Nếu hàm số đã cho có điểm cực đại là
thì
.
d) Số các giá trị nguyên của
để hàm số đã cho có hai điểm cực trị đều dương là 3.
Câu 47.Cho hàm số
bậc 4 có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị
như hình vẽ
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Hàm số
có đúng 2 điểm cực trị.
b) Hàm số

có đúng một điểm cực trị.

c) Hàm số

có 3 điểm cực trị lập thành cấp số cộng.

d) Có 5 giá trị nguyên của
cực trị.

có để hàm số

E. TRẢ LỜI NGẮN
Câu 1.Tìm giá trị cực đại của hàm số
Câu 2.Cho hàm số

có 3 điểm

.

có hai điểm cực trị là
11

. Tính tổng

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Tài liệu tự học 2026-2027

Câu 3.Tìm giá trị cực tiểu của hàm số

.

Câu 4.Tìm cực trị của hàm số
Câu 5.Cho hàm số
Câu 6.Cho hàm số

là?
, tìm số điểm cực đại của đồ thị hàm số trên khoảng
có đạo hàm là

.

.

Tìm cực trị của hàm số
bằng
Câu 7.Cường độ âm thanh (dB) tại một địa điểm được đo liên tục trong
12 giờ là một hàm số
có bảng biến thiên như sau:Tại thời điểm
bằng bao nhiêu trong thời gian khảo sát thì cường độ âm thanh là nhỏ nhất ?
Câu 8.Một vật chuyển động theo quy luật

với

là khoảng thời gian tính từ khi vật đó bắt

đầu chuyển động và
là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng
thời gian giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bào nhiêu?
Câu 9.Một cửa hàng cà phê bán cà phê espresso, nhận thấy rằng lợi nhuận của cửa hàng (tính theo đơn vị
triệu đồng/ngày) phụ thuộc vào giá bán (chục nghìn đồng) mỗi ly espresso. Qua khảo sát, cửa hàng mô tả
lợi nhuận theo hàm số sau:
. Hỏi cửa hàng nên chọn mức giá mỗi ly là bao nhiêu nghìn
đồng để lợi nhuận tối ưu nhất?
Câu 10.Một vật chuyển động với vận tốc
được xác định bởi hàm số
với
. Khi
đó
là gia tốc của vật tại thời điểm (giây).Vận tốc của vật đạt được cao nhất trong khoảng thời gian 3
giây đầu là bao nhiêu m/s?
Câu 11.Doanh số bán hàng của một loại sản phẩm (chục triệu đồng)
trong một phiên livestream bán hàng kéo dài sáu giờ theo quy luật hàm
số

trong đó thời gian

được tính bằng giờ kể từ khi

bắt đầu livestream. Khi đó, đạo hàm
sẽ biểu thị tốc độ bán hàng.
Hỏi sau bao nhiêu giờ kể từ khi bắt đầu phiên livestream thì doanh số
bán hàng là lớn nhất?
Câu 12.Chào đón nămmới
, Thành phố trang trí đèn led biểu tượng
hình chữ
được ghép từ các thanh
,
sao cho tam
giác
vuông tại . Để tăng hiệu ứng, các kỹ sư đã thiết kế một
chuỗi led chạy từ
xuống
với vận tốc
phút và một chuỗi led
chạy từ
lên với vận tốc
phút. Sau khi đóng nguồn điện thì
cả hai chuỗi led đồng thời xuất phát. Hỏi sau bao nhiêu giây từ thời
điểm đóng nguồn thì khoảng cách giữa hai điểm sáng đầu tiên của hai
chuỗi led là nhỏ nhất ?
Câu 13.Vận tốc của một tàu con thoi từ lúc cất cánh tại thời điểm
cho đến thời điểm
được cho bởi công thức
(vận tốc được tính bằng đơn vị
). Hỏi tại thời điểm tàu con thoi đạt
gia tốc nhỏ nhất thì vận tốc tàu con thoi gầnbằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Câu 14.Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định)
tuân theo quy luật logistic được mô hình hoá bằng hàm số
tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm

12

trong đó thời gian

được

sẽ biểu thị tốc độ bán hàng.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán
hàng là lớn nhất? (làm tròn kết quả đến hàng phần
mười)
Câu 15.Anh Ba đang trên chiếc thuyền tại vị trí A
cách bờ sông
, anh dự định chèo thuyền vào bờ
và tiếp tục chạy bộ theo một đường thẳng để đến
một địa điểm B tọa lạc ven bờ sông, B cách vị trí O
trên bờ gần với thuyền nhất là
(hình vẽ). Biết
rằng anh Ba chèo thuyền với vận tốc
và chạy
bộ trên bờ với vận tốc
. Khoảng thời gian
ngắn nhất để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được
điểm B là bao nhiêu phút?
Câu 16. Nồng độ của một hoá c