UBND TỈNH HÀ NAM
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2024 - 2025

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN (ĐỀ DỰ BỊ CHUYÊN)
(Hướng dẫn chấm gồm có 04 trang)
Lưu ý:
- Thí sinh có thể làm bài theo cách khác so với đáp án nhưng đảm bảo đúng kiến thức, vẫn
cho điểm tối đa.
- Không làm tròn điểm.
Nội dung
Điểm
Câu I (1,5 điểm)
Cho biểu thức
1.(1,0 điểm) Rút gọn biểu thức

với

0,25

0,25
0,25
0,25
2.(0,5 điểm) Tìm tất cả các giá trị của

để

nhận giá trị nguyên.
0,25

Theo BĐT Côsi, ta có
Để
thì
Câu II (1,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ
trình

(với

0,25

(thỏa mãn). Vậy
cho parabol

có phương trình

là các tham số). Tìm các số hữu tỉ

tại hai điểm phân biệt sao cho hoành độ một điểm là

và đường thẳng
để đường thẳng

có phương

cắt parabol

.
0,25

=
Phương trình hoành độ giao điểm của

và

là:

(*)
0,25

Điều kiện để đường thẳng
(*) có nghiệm
Vì

nên

cắt parabol
nên

tại hai điểm phân biệt:

0,25

2

Nếu

thì

(vô lí)

Suy ra
Câu III (1,5 điểm)

0,25

(thỏa mãn)

1. (0,75 điểm) Giải phương trình
Điều kiện:

.
0,25

Đặt
:
Phương trình đã cho trở thành

Với

0,25

ta được

Với

(thỏa mãn phương trình)

ta được

(vô nghiệm).

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt

0,25

và

2. (0,75 điểm) Giải hệ phương trình
Điều kiện:
Từ
Từ

:

0,25
:

Thế (1) vào (2) ta được:
0,25

0,25
(thỏa mãn). Vậy hệ phương trình có nghiệm
.
Câu III. (1,0 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên
sao cho
và
là các số chính phương và
là số nguyên tố.
Vì
là số nguyên tố và
nên
0,25
Ta có
và
là các số chính phương nên
;
với
(3)

3
(4)

Ta có
Vì

là số nguyên tố, mà

Thay

nên từ (4) ta có

0,25

0,25

vào (3) ta được
(loại)
thì

và

(thỏa mãn). Vậy

Câu IV. (4 điểm) Cho tam giác nhọn

của tam giác

0,25

là giá trị cần tìm.

nội tiếp đường tròn

. Các đường cao

cắt nhau tại
A

E
F
M

O

H
P
D

B

1. (1,0 điểm) Chứng minh

là tia phân giác của góc
nên

Tương tự,

C

Q

là tứ giác nội tiếp

0,25

là tứ giác nội tiếp

0,25

là tứ giác nội tiếp
Suy ra

nên

0,25

là tia phân giác của góc

2. (1,0 điểm) Chứng minh

0,25

.

.
0,25

Ta có:
0,25
0,25
0,25
3. (1,0 điểm) Gọi

là giao điểm của tia

tròn ngoại tiếp tam giác
Ta có :

với đường tròn

và tam giác

(do tứ giác

nội tiếp)

Chứng minh

. Gọi

lần lượt là tâm đường
0,25

4
(góc nội tiếp cùng chắn

của đường tròn

∽

)

của đường tròn

nên

là

0,25

tiếp tuyến của
Theo trên

, mà

của đường tròn
của đường tròn

Vì

và

nên

nên ba điểm

0,25

là tiếp tuyến của

thẳng hàng. Suy ra

4.(1,0 điểm) Tìm mối liên hệ giữa các cạnh của tam giác

đạt giá trị nhỏ nhất.

0,25

.

để biểu thức

A
x

E
F

N

O
H

Vẽ

. Gọi

C

D

B

là điểm đối xứng của

Vì

qua

0,25

. Ta luôn có
vuông tại

nên:

0,25

(5)
Tương tự:

và
0,25

Suy ra

hay

Đẳng thức (5) xảy ra khi
thẳng hàng
Vì vậy biểu thức đã cho đạt giá trị nhỏ nhất khi
Câu V. (1,0 điểm) Cho
biểu thức

0,25

.
hay

là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện

là tam giác đều.
. Tìm giá trị lớn nhất của

.
0,25
0,25

, ta luôn có
, đẳng thức xảy ra khi

5

Suy ra
Ta sẽ chứng minh

0,25

Thật vậy,
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
Mặt khác
Vậy

khi

nên (6) đúng, suy ra
.

---HẾT---

.

0,25