Website:tailieumontoan.com

PHÒNG GD VÀ ĐT HUYỆN QUỲ HỢP
KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN VÒNG 1
NĂM HỌC 2020-2021. MÔN: TOÁN 9
Câu 1.

(4,0 điểm) Rút gọn biểu thức:
1.
2. Cho biểu thức
a. Tìm điều kiện của

để biểu thức

b. Tìm các giá trị nguyên của
Câu 2.

để

có nghĩa và rút gọn
nhận giá trị nguyên.

Giải các phương trình sau :
a.
b.

Câu 3. ( 6,0 điểm)
a. Xác định đa thức bậc bốn

biết:

và

với
b. Tìm

nguyên dương

c. Cho các số dương

.
thỏa mãn

thỏa mãn

. Chứng minh rằng:

Câu 4.
1. Cho tam giác
vuông tại ,
vuông góc với
,
là
đường phân giác. Gọi
,
là đường phân giác của tam giác
.
a. Chứng minh
b. Gọi

.

là đường phân giác của tam giác

rằng:
Liên
hệ
tài
039.373.2038

và

,

. Chứng minh

.
liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

,

Website:tailieumontoan.com

2. Cho tam giác đều
, đường cao
. Lấy điểm
nằm giữa
và , vẽ
vuông góc với
tại ,
vuông góc với
tại .
Tìm vị trí của điểm
trên
để diện tích
lớn nhất.
Câu 5. ( 1,0 điểm)
Bảy người câu được 100 con cá. Biết rằng không có hai
người nào câu được số cá như nhau. Chứng minh rằng có ba
người câu được tổng cộng không ít hơn 50 con cá.
HẾT
ĐÁP ÁN
KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN QUỲ HỢP VÒNG 1
NĂM HỌC 2020-2021. MÔN: TOÁN 9
Câu 1.

Rút gọn biểu thức
1.
2. Cho biểu thức
a. Tìm điều kiện của

để biểu thức

b. Tìm các giá trị nguyên của

để

có nghĩa và rút gọn
nhận giá trị nguyên.

Lời giải
1. Ta có:

(vì

)

2. Cho biểu thức

a. Để biểu thức
Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

có nghĩa
môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

Vậy

thì

có nghĩa

Rút gọn:

b. Tìm các giá trị nguyên của
Ta có:
Đề

để

nhận giá trị nguyên.

với
nguyên

nguyên

, vì

nên

vì
thoả mãn
Vậy
Câu 2.

thì

nguyên.

Giải các phương trình sau :
a.
b.
Lời giải
a. ĐKXĐ:
Phương trình

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

Vì

Dấu

xảy ra khi

Vậy
a.
Lời giải:
Ta có:

và

Đặt

ĐK:

Phương trình

có dạng

vì
Với

mà

Ta có phương trình:
Xét vế trái:
Và vế phải:
Dấu

xảy ra khi

Vậy phương trình
Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

(thoả mãn)
có nghiệm

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

Câu 3.

( 6,0 điểm)

a. Xác định đa thức bậc bốn

biết:

và

với
.
b. Tìm

nguyên dương

c. Cho các số dương

thỏa mãn
thỏa mãn

Chứng minh rằng:
Lời giải
a) Gọi đa thức bậc bốn

có dạng:

Ta có:

Mà

.
b)

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

Do

Nếu

Tương tự nếu

thì

Vậy có các cặp nghiệm thỏa mãn

.

c) Đặt
Ta có:

,

,

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho cặp số
Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

Suy ra điều phải chứng minh.
Câu 4.
1. Cho tam giác
vuông tại ,
vuông góc với
,
là
đường phân giác. Gọi
,
là đường phân giác của tam giác
.
a. Chứng minh
b. Gọi

và

.

là đường phân giác của tam giác

rằng:

,

. Chứng minh

.

2. Cho tam giác đều
, đường cao
. Lấy điểm
nằm giữa
và , vẽ
vuông góc với
tại ,
vuông góc với
tại .
Tìm vị trí của điểm
trên
để diện tích
lớn nhất.
Lời giải
B
H

D

M

A

C

N

a) Chứng minh
Áp dụng tính chất tia phân giác
ta có

tương ứng của tam giác

(1)
Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

,

Website:tailieumontoan.com

Xét

có

Suy ra

(2)

Từ (1) và (2) suy ra

. Theo định lí Ta-lét đảo ta có

.

*Chứng minh
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có
Tứ giác
Lại có
khi đó

có

nên

là hình bình hành.

là phân giác
nên
là hình vuông. Vậy

là hình thoi. Hơn nữa,
(ĐPCM).

b) Chứng minh
B
P
M

H

D
Q

A

Ta có
Mà
tự

C

N

và

(góc ngoài)

do đó

cân ở

. Tương

.

Khi đó
Suy ra

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

Vậy

.

2)
A

E
D
B

M

C

H
K

Đặt

. Nhận xét

là các đại lượng không đổi.

Ta có
(1)
Hơn nữa
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
Hạ

, ta có

Mà

và

Do đó
Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

Áp dụng bất đẳng thức
Khi đó

(không đổi)

Dấu ''='' xảy ra

là trung điểm của

Vậy giá trị lớn nhất của
.

là

(đvdt) khi

.
là trung điểm của

Câu 5. Bảy người câu được
con cá. Biết rằng không có hai
người nào câu được số cá như nhau. Chứng minh rằng có ba
người câu được tổng cộng không ít hơn
con cá.
Lời giải
Cách 1:
Gọi

là số con cá mỗi người câu được.

Giả sử

.

 Trường hợp 1:

.

Khi đó,

. Suy ra

 Trường hợp 2:

.

.

Khi đó,

.

Vậy,
Cách 2:

.

Ta sắp xếp các người câu cá theo thứ tự để số cá câu được
của họ giảm dần. Như thế người thứ nhất câu được nhiều cá
nhất và người thứ bảy câu được ít cá nhất.
Nếu người thứ tư câu được không ít hơn 15 con cá, thì ba
người đầu câu được không ít hơn 
 con cá.
Nếu người thứ tư câu được 14 con cá hoặc ít hơn thì cả bốn
người sau câu được không quá
 con. Như vậy
ba người đầu câu được không ít hơn 50 con.
Vậy ba người đầu luôn câu được tổng cộng không dưới 50
con cá.

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học