Bài 1: Cho
vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA.
a) Tính số đo của
khi
. b) Chứng minh:
và AB // EC.
c) Từ C kẻ đường thẳng (d) song song với AE. Kẻ EK vuông góc đường thẳng (d) tại K. Chứng minh:

Bài 2: Cho đoạn thẳng AB = 15cm, M là điểm nằm giữa hai điểm A và B sao cho
AM : 2 = MB : 3. Tính độ dài các đoạn thẳng AM và MB.
Bài 3: Cho tam giác ABC có
, trên cạnh CB lấy điểm D sao cho CD = CA. Tia
phân giác của
cắt AB tại E. Chứng minh:
a)
. So sánh các độ dài EA và ED.
b)
và tia phân giác của
vuông góc với EC.
Bài 4: Cho
nhọn, có M là trung điểm của cạnh AC. Trên tia đối của tia MB lấy
đoạn MD = MB. Chứng minh:
a)
; b) AB // DC.
Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng BC, đường thẳng MN cắt AD tại điểm E. Chứng minh E là trung điểm của đoạn thẳng AD
Bài 5: Vẽ
, trên tia Ax lấy điểm B, trên tia Ay lấy điểm C sao cho AB = AC, I là trung điểm của đoạn thẳng BC.
a) Chứng minh:
; b) Chứng minh:

c) Trên AB lấy điểm E, trên AC lấy điểm F sao cho AE = AF. C/m: IE = IF.
Bài 6: Cho hình vẽ sau biết
.
a) Chứng minh: m // n; b) Tính số đo
.
Bài 7: Cho tam giác ABC có
. So sánh ba cạnh của tam giác. Vẽ
tại H, so sánh HB và HA. Vẽ trung tuyến CM, trên tia đối của tia MC lấy điểm E sao cho MC = ME. Chứng minh: a) AC = BE; b) CA + CB > 2CM.
Bài 8: Cho
vuông tại A có
. Vẽ
tại H.
a) Tính số đo
; b) Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = AH. Gọi I là
trung điểm của cạnh HD. Chứng minh
.
c) Tia AI cắt cạnh HC tại điểm K. C/m:
từ đó suy ra AB // KD.
d) Trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho HE = AH. Chứng minh H là trung điểm của BK và ba điểm D, K, E thẳng hàng.
Bài 9: Cho
nhọn (AB < AC), M là trung điểm của BC. Trên tia AM lấy điểm D
sao cho MD = MA.
a) Chứng minh:
; b) Chứng minh: AB // CD.
c) Trên AB lấy điểm E, trên CD lấy điểm F sao cho AE = DF. Chứng minh: E, M, F thẳng hàng.
Bài 10: Cho
nhọn, trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA = OB.
Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB, từ A vẽ đường thẳng vuông góc với đường
thẳng OA, đường thẳng này cắt tia OH tại C. Chứng minh:
a)
; b)
; c)
.
d) Gọi I là trung điểm đoạn thẳng OH, từ I vẽ đường thẳng vuông góc với cạnh
OH, đường thẳng này cắt tia OA tại M. Từ H vẽ đường thẳng vuông góc với
cạnh BC tại K. Chứng minh: ba điểm M, H, K thẳng hàng.
Bài 11: Cho
(AB < AC), gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy
điểm D sao cho MA = MD.
a) Chứng minh:
; b) Chứng minh: AC // BD.
c) Trên nửa mặt phẳng bờ AD không chứa điểm B vẽ tia Ax // BC. Trên tia Ax lấy
điểm H sao cho AH = BC. Chứng minh: H, C, D thẳng hàng.
Bài 12: Cho
có AB = AC, M là trung điểm của BC.
a) Chứng minh:
.
b) Trên tia đối của MA lấy D sao cho MD = MA. C/m: AC = BD; AB // CD.
c) Trên nửa mặt phẳng bờ là AC không chứa B, vẽ tia Ax // BC, lấy I
Ax sao cho
AI = BC. Chứng minh: D, C, I thẳng hàng
Bài 13: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia NM, lấy điểm D sao cho NM = ND. Chứng minh:
a)
, từ đó suy