Toán 12

1

CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

§1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I. TÍNH ĐƠN DIỆU CỦA HÀM SỐ:
1. Đinh nghĩa:
Hàm số f đồng biến trên K ⇔ (∀x 1 , x 2 ∈ K, x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) < f(x 2 )
Hàm số f nghịch biến trên K ⇔ (∀x 1 , x 2 ∈ K, x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) >
f(x 2 )
2. Điều kiện cần:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ I
b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ I
3. Điều kiện đủ:
Định lí 1: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f' (x) ≥ 0, ∀x ∈ I (f'(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f
đồng biến trên I.
b) Nếu f' (x) ≤ 0, ∀x ∈ I (f'(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f
nghịch biến trên I.
c) Nếu f'(x) = 0, ∀x ∈ I thì f không đổi trên I.
Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f
phải liên tục trên đó.
Định lí 2: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo
hàm trên khoảng (a;b). Nếu f'(x) > 0 (hoặc f'(x) < 0) ∀x∈(a;b) thì
hàm số f đồng biến (hay nghịch biến) trên đoạn [a;b].
II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

y
y = f(x)

f(xo)

a
xo b
Điểm Điểm
cực tiểu cực đại

Điểm
cực
tiểu

Điểm cực
đại

x

1. Khái niệm cực trị của hàm số

2

Toán 12

Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D⊂R) và x 0 ∈D.
a) x0 là điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a;b)⊂D và x0∈(a;b)
sao cho f(x) đại, kí hiệu là: yCĐ hay fCĐ.
b) x0 là điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b)⊂D và x0∈(a;b)
sao cho f(x)>f(x0), với ∀x∈(a;b)\{x0}. Khi đó f(x0) gọi là giá trị cực
tiểu, kí hiệu là: yCT hay fCT.
c) Nếu f đạt cực đại hay cực tiểu tại x0 gọi chung là đạt cực trị tại đểm
x0. Khi đó điểm M(x0;f(x0)) gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.
2. Điều kiện cần để hàm số có cực trị
Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f' (x0) = 0.
Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm thuộc TXĐ của
hàm số mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc đạo hàm không xác định.
3. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị
Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 và
có đạo hàm trên (a;b)\{x0}
a) Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt CT tại x0.
b) Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt CĐ tại x0.

Bảng biến thiên
x a
y'
y

b
−

+

x a
y'
y

ể

b
+

cực đại

−

Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a;b) chứa điểm
x0, f'(x0) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0 thì x0 là điểm
cực trị của hàm số. Hơn nữa:
a) Nếu f''(x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0.
b) Nếu f''(x0) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0.

Toán 12

3

Bài toán 1: Xét chiều biến thiên, cực trị của hàm số y = f(x)

– Tìm tập xác định của hàm số.
– Tính y'. Tìm các điểm mà tại đó y' = 0 hoặc y' không xác định
(gọi là các điểm tới hạn)
– Lập bảng biến thiên. Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch
biến, cực đại, cực tiểu của hàm số.

Bài toán 2: Tìm điều kiện để hàm số y = f(x) đơn điệu trên K
Bước 1: Tính y' = f'(x)
Bước 2: Hàm số đồng biến trên K ⇔ y' ≥ 0 ∀x∈K
Hàm số nghịch biến trên K ⇔ y' ≤ 0 ∀x∈K
Chú ý:
1/ Cho f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
a > 0
a > 0
và f ( x) ≥ 0 ∀x ⇔ 
∆ ≤ 0
∆ < 0
a < 0
a < 0
• f ( x) < 0 ∀x ⇔ 
và f ( x) ≤ 0 ∀x ⇔ 
∆ ≤ 0
∆ < 0

• f ( x) > 0 ∀x ⇔ 

 f (α ) ≥ 0
 f (β ) ≥ 0
 f (α ) ≤ 0
• Nếu a > 0 thì f ( x) ≤ 0 ∀x ∈ (α , β ) ⇔ 
 f (β ) ≤ 0

• Nếu a < 0 thì f ( x) ≥ 0 ∀x ∈ (α , β ) ⇔ 

2/ Xét hàm số f(x) = ax + b trên (α;β). Ta có:
 f (α ) ≥ 0
• f ( x) ≥ 0 ∀x ∈ (α , β ) ⇔ 
 f (β ) ≥ 0
 f (α ) ≤ 0
 f (β ) ≤ 0

• f ( x) ≤ 0 ∀x ∈ (α , β ) ⇔ 

3/ Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Khi đó:
• f ( x) ≥ m ∀x ∈ (a; b) ⇔ f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] ⇔ min f ( x) ≥ m
[ a ;b ]

• f ( x) ≤ m ∀x ∈ (a; b) ⇔ f ( x) ≤ m ∀x ∈ [a; b] ⇔ max f ( x) ≤ m
[ a ;b ]

4

Toán 12

Bài toán 3: Tìm cực trị của hàm số

1/ Tìm điều kiện để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0.
Bước 1: Tính y' = f'(x), y'' = f''(x)
 f '( x0 ) = 0
 f ''( x0 ) ≠ 0

Bước 2: • f(x) đạt cực trị tại điểm x0 khi: 

 f '( x0 ) = 0
 f ''( x0 ) < 0

• f(x) đạt cực đại tại x0 khi: 

 f '( x0 ) = 0
 f ''( x0 ) > 0

• f(x) đạt cực tiểu tại x0 khi: 

2/ Tìm điều kiện để hàm số y = f(x) có cực trị thỏa điều kiện cho trước
• Hàm số có cực trị ⇔ y' = f'(x) đổi dấu
• Hàm số có k cực trị ⇔ y' = f'(x) có k nghiệm phân biệt
 Chú ý: a/ y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) có cực trị (hoặc có CĐ và
CT) ⇔ y' có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ y ' > 0
b/ y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) có 3 cực trị (hoặc có CĐ và CT) ⇔ y' có 3
nghiệm phân biệt ⇔ ab < 0
=
a 0 a ≠ 0
∨
∨ ab > 0
0
b ≠ 0 b =

c/ y = ax4 + bx2 + c có 1 cực trị ⇔ 

Câu 1: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
(4 − x)( x − 1) 2 ; c) y = x 3 − 3 x 2 + 4 x − 1
a) y = x 3 − 2 x 2 + x − 2 ;
b) y =
x −1
1 4
2x −1
d) y =
e) y =
;
f) y =
g)
x − 2 x2 −1 ;
x+5
2− x
4
2 x 2 + x + 26
1
1
h) y =
i) y =− x + 3 −
;
y = 1−
x+2
1− x
1− x
Câu 2: Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định (hoặc từng
khoảng xác định) của nó:
x 2 − 2mx − 1
mx + 4
a) y = x 3 − 3mx 2 + (m + 2) x − m ; b) y =
c) y =
x−m
x+m
Câu 3: Tìm m để hàm số:
a) y = x3 + 3 x 2 + mx + m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.
1
1
b) y = x 3 − mx 2 + 2mx − 3m + 1 giảm trên một khoảng có độ dài bằng 3.
3
2

Toán 12

5

1
c) y =
− x 3 + (m − 1) x 2 + (m + 3) x − 4 tăng trên 1 khoảng có độ dài bằng 4.
3
Câu 4: Tìm m để hàm số:
x3
a) y = + (m + 1) x 2 − (m + 1) x + 1 đồng biến trên khoảng (1; +∞).
3
b) y =x 3 − 3(2m + 1) x 2 + (12m + 5) x + 2 đồng biến trên khoảng (2; +∞).
mx + 4
c) y
=
(m ≠ ±2) đồng biến trên khoảng (1; +∞).
x+m
x+m
d) y =
đồng biến trong khoảng (–1; +∞).
x−m
x 2 − 2mx + 3m 2
e) y =
đồng biến trên khoảng (1; +∞).
x − 2m
−2 x 2 − 3 x + m
 1

f) y =
nghịch biến trên khoảng  − ; +∞  .
 2

2x +1
5
3
Câu 5: Giải các pt sau: a) x + x − 5 =5 ; b) x + x − 1 − 3 x + 4 =
0

c)

x + x − 5 + x + 7 + x + 16 =
14

d)

x 2 + 15 = 3 x − 2 + x 2 + 8

Câu 6: Tìm cực trị của các hàm số sau:
1
b) y =
a) y = x 3 − 2 x 2 + 2 x − 1
− x 3 + 4 x 2 − 15 x
3
4
x
3
− x 2 + 3x + 6
3x 2 + 4 x + 5
2
c) y =
d) y =
; d) y =
;
− +x +
2
2
x+2
x +1
4x2 + 2x −1
3x 2 + 4 x + 4
e) y =
f)
y
=
2x2 + x − 3
x2 + x + 1
Câu 7: Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại, cực tiểu:
a) y =x 3 − 3mx 2 + 3(m 2 − 1) x − m3 ; b) y = 2 x3 − 3(2m + 1) x 2 + 6m(m + 1) x + 1
x 2 + m(m 2 − 1) x − m 4 + 1
c) y =
x−m
Câu 8: Tìm m để hàm số:

x 2 + mx − m + 2
d) y =
x − m +1

a) y = (m + 2) x3 + 3 x 2 + mx − 5 có cực đại, cực tiểu.
b) y = x3 − 3(m − 1) x 2 + (2m 2 − 3m + 2) x − m(m − 1) có cực đại, cực tiểu.
Câu 9: Tìm m để các hàm số sau không có cực trị:
a) y =x − 3 x + 3mx + 3m + 4
3

2

− x 2 + mx + 5
b) y =
x −3

6

Câu 10: Tìm m để hàm số :

Toán 12

a) y = x 3 + 2(m − 1) x 2 + (m 2 − 4m + 1) x − 2(m 2 + 1) đạt cực trị tại hai điểm x1,
1 1 1
x2 sao cho: + =
( x1 + x2 ) .
x1 x2 2
1
b) y = x3 − mx 2 + mx − 1 đạt cực trị tại x1, x2 sao cho: x1 − x2 ≥ 8 .
3
Chú ý: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
1) Hàm số bậc ba y = f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d .
• Chia f(x) cho f' (x) ta được: f(x) = Q(x).f' (x) + Ax + B.
• Khi đó, giả sử (x1; y1), (x2; y2) là các điểm cực trị thì:
y1 f ( x=
Ax1 + B
=
1)

y2 f ( x=
Ax2 + B
2)
=
⇒ Các điểm (x1; y1), (x2; y2) nằm trên đường thẳng y = Ax + B.
P( x) ax 2 + bx + c
=
y f=
( x) =
2) Hàm số phân thức
.
Q( x)
dx + e
P '( x0 )
• Giả sử (x0; y0) là điểm cực trị thì y0 =
.
Q '( x0 )
• Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi
P '( x) 2ax + b
qua hai điểm cực trị ấy là:
.
=
y =
Q '( x)
d
Câu 11: Viết pt đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số :
a) y = x 3 − 2 x 2 − x + 1

b)=
y 3x 2 − 2 x3

c) y = x 3 − 3 x 2 − 6 x + 8

Câu 12: Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi
qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số:
a) y = x − 3mx + 3(m − 1) x − m
3

2

2

3

x 2 + mx − 6
b) y =
x−m

Câu 13: Tìm m để hàm số:
a) y = 2 x3 + 3(m − 1) x 2 + 6(m − 2) x − 1 có đường thẳng đi qua hai điểm
cực trị song song với đường thẳng y = –4x + 1.
b) y = 2 x3 + 3(m − 1) x 2 + 6m(1 − 2m) x có các điểm cực đại, cực tiểu của
đồ thị nằm trên đường thẳng y = –4x.
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1
Câu 1. Khẳng định nào sau đây là sai?

Toán 12

7

A. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x0 thì f(x0) được gọi là giá trị cực đại
của hàm số f(x).
B. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại của
hàm số f(x).
C. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số được gọi chung là giá trị cực
trị (hay cực trị) của hàm số.
D. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x0 thì điểm M(x0, f(x0)) được gọi là
điểm cực tiểu của hàm số.
y
Câu 2. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ.
2
Khẳng định nào sau đây là đúng?
2
A. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 2.
x
O1
B. Hàm số có điểm cực đại là 2.
2
C. Hàm số có ba điểm cực trị.
D. Hàm số có điểm cực tiểu là M(2; -2).
Câu 3. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Xét các khẳng định sau:
y
(i) Điểm cực đại của đồ thị hàm số là 2.
2 E
(ii) Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là I(−2;
2
2
−14) và J(2; 14).
x
O 1
(iii) GTLN của hàm số là 2.
(iv) Điểm cực tiểu của hàm số là −2.
Số khẳng định đúng trong các khẳng định trên là
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Câu 4. Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên
14
I
J
 và có bảng biến thiên như sau.

Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số có đúng hai cực trị.

B. Hàm số có điểm cực tiểu là

−23
.
3

8

Toán 12

C. Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là 3. D. Đồ thị hàm số có điểm CĐ là 3

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2

Hoàn thành sơ đồ tư duy sau:

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 3

Hoàn thành sơ đồ tư duy sau:

Toán 12

9

§2. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
1. Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên miền D (D⊂ R).
 f ( x) ≤ M , ∀x ∈ D
=
a) M max f ( x) ⇔ 
D
M
∃x0 ∈ D : f ( x0 ) =
 f ( x) ≥ m, ∀x ∈ D
=
b) m min f ( x) ⇔ 
D
m
∃x0 ∈ D : f ( x0 ) =
2. Qui tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số:

1/ Nếu hàm số y = f(x) có TXĐ D = (a;b) ta thực hiện các bước:
Bước 1: Tính y' và giải pt y' = 0 trên (a;b)
Bước 2: Lập bảng biến thiên ⇒ Kết luận
2/ Nếu hàm số y = f(x) có TXĐ D = [a;b] ta thực hiện các bước:
• Tính f'(x) và giải pt f'(x) = 0 trên (a;b). Giả sử tìm được các
nghiệm x1, x2, …, xn∈(a;b)
• Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn). So sánh rồi kết luận
 Chú ý:
(b), min f ( x) f (a ) .
a) Nếu f đồng biến trên [a;b]=
thì max f ( x) f=
[ a ;b ]

[ a ;b ]

(a ), min f ( x) f (b) .
b) Nếu f nghịch biến trên [a;b]=
thì max f ( x) f=
[ a ;b ]

[ a ;b ]

Câu 1: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
y 4 x3 − 3x 4
a) y = x 2 + 4 x + 3
b)=

c) y =x 4 + 2 x 2 − 2

2x2 + 4x + 5
x −1
d) y=
e) y = 2
f) y =
x + x−2
x2 + 1
x − 2x + 2
Câu 2: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
y 3 x − x3 trên [–2; 3]
a) y = 2 x3 + 3 x 2 − 12 x + 1 trên [–1; 5]; b) =
2

c) y =x 4 − 2 x 2 + 3 trên [–3; 2] ;
3x − 1
e) y =
trên [0; 2]
x −3
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1
Câu 1. Cho hàm số y = f ( x ) xác định và
liên tục trên [ −2; 6] có đồ thị như sau.
GTLN của hàm số trên đoạn [ −2; 6] là
A. 6.

B. 5.

C. 3.

D. -1.

d) y =x 4 − 2 x 2 + 5 trên [–2; 2]
x −1
f) y =
trên [0; 4]
x +1

10

y f ( x=
Câu 2. Cho hàm số =
)

Toán 12

4 − x . Khẳng định nào sau đây là sai?
2

A. Hàm số có GTLN là 2.
B. Hàm số có GTNN là 0.
C. Hàm số đạt GTLN tại x = 2.
D. Hàm số đạt GTNN tại x = ±2.
Câu 3. Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên  và có bảng biến thiên
như sau:

Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số không có cực trị.
B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng −1.
C. Hàm số có GTLN bằng 5 và GTNN bằng 1.
D. Hàm số đạt cực đại tại x = –1 và đạt cực tiểu tại x = 1.
1
Câu 4. Cho hàm số y = f ( x ) = x − 5 + xét trên khoảng ( 0; + ∞ ) . Xét các
x
khẳng định sau:
(i) Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là M (1; − 3) .
(ii) GTLN của hàm số là 3.
(iv) Hàm số có hai cực trị.
(iii) GTNN của hàm số là −3.
Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định trên?
A. 2.
B. 1.
C. 4.
D. 3.
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2
Hoàn thành sơ đồ tư duy sau:

Toán 12

11

§3. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ

1. Nhánh vô cực của đường cong (C): y =f(x)
Gọi M (x;y)∈(C). Ta nói (C) có nhánh vô cực nếu OM
=
2. Tiệm cận của đường cong:
Cho đường cong (C): y = f(x) có nhánh
vô cực và đường thẳng d, M(x;y)∈(C),
gọi H là hình chiếu vuông góc của M
trên d.
d được gọi là đường tiệm cận của (C)
nếu MH→0 khi M→ ∞
d tiệm cận với (C ) ⇔ lim MH =
0

x2 + y 2 → ∞

M →∞

3. Định nghĩa:
• Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị
(C): y = f ( x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:
lim f ( x) = +∞ ; lim f ( x) = −∞ ; lim f ( x) = +∞ ; lim f ( x) = −∞
x → x0+

x → x0−

x → x0+

x → x0−

• Đường thẳng y = y0 được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ
thị (C): y = f ( x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả
mãn: lim f ( x) = y0 ;
lim f ( x) = y0
x →−∞

x →+∞

• Đường thẳng y =ax + b, a ≠ 0 đgl đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm
số y = f ( x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

lim [ f ( x) − (ax + b) ] =
0;

x →+∞

lim [ f ( x) − (ax + b) ] =
0

x →−∞

4. Chú ý: Cách tìm TCĐ, TCN của đồ thị (C): y =

p( x)
q( x)

• Tìm TCĐ: Tìm TXĐ D. Giả sử D =  \{x1 ; x2 }
⇒ Tính=
lim y ?;=
lim y ? ⇒ TCĐ
x → x1±

x → x2±

• Tìm TCN: Tính lim y = ? ⇒ TCN
x →±∞

P( x)
có bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + 1 thì đồ thị có TCX.
Q( x)
Để xác định các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp
dụng các công thức sau:
• Nếu
=
y f=
( x)

12

Toán 12

f ( x)
=
a lim=
; b lim [ f ( x) − ax ]
x →+∞
x →+∞
x
f ( x)
hoặc=
a lim=
; b lim [ f ( x) − ax ]
x →−∞
x →−∞
x
Câu 1: Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
2x − 5
10 x + 3
a) y =
b) y =
x −1
1− 2x
2
( x − 2) 2
x − 4x + 3
d) y =
e) y =
1− x
x +1
Câu 2: Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
2+ x
x
a) y = 2
b) y =
9 − x2
x − 4x + 5
2 x 2 + 3x + 3
x3 + x + 1
d) y = 2
e) y =
x + x +1
x2 + 1
Câu 3: Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
4x + 2
b) y =
a)=
y
x2 − 4x
x2 − 9

d) y = x

x −1
x +1

=
y
e)

3

2x + 3
2− x
7 x2 + 4x + 5
f) y =
2 − 3x

c) y =

x2 + 4x + 5
x2 −1
x4 − x + 4
f) y =
x3 − 1
c) y =

c) y =
f) y =

3x 2 − x3

1
x − 4x + 3
2

x 2 − 3x + 2
x−2

PHIẾU HỌC TẬP
Câu 1. Cho hàm số y = f ( x ) có lim f ( x ) = 1 và lim f ( x ) = −1 . Khẳng định
x →+∞

x →−∞

nào sau đây là đúng?
A. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1 và
đường thẳng y = −1.
B. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.
D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là đường thẳng x = 1 và
đường thẳng x = −1.
Câu 2. Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên  \ {2} thoả mãn

lim f ( x ) = 0 khi đó khẳng định nào sau đây đúng?

x →+∞

A. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = 2.
B. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = 2.
C. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = 0.
D. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = 2.

Toán 12

13

Câu 3. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên khoảng ( −5; −1) và có
lim + f ( x ) = 5 lim − f ( x ) = +∞ . Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng

x →( −5 )

x →( −1)

định đúng?
A. Đồ thị hàm số f ( x ) không có tiệm cận đứng.
B. Đồ thị hàm số f ( x ) có đúng một tiệm cận đứng là đường thẳng x = −1.
C. Đồ thị hàm số f ( x ) có hai đường tiệm cận ngang.
D. Đồ thị hàm số f ( x ) có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x = −5 và
x = −1.
Câu 4. Cho hàm số y = f ( x ) có lim f ( x ) = ±∞ và lim f ( x ) = ±∞ . Chọn
x →−2

x →2

mệnh đề đúng?
A. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận đứng.
B. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng.
y = và
C. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng  2
y = −2.
D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x = 2 và
x = −2.
y ax + b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f ( x )
Câu 5. Đường thẳng =

Thầy cô cần toàn bộ
chuyên đề toán 12 dùng
chung cho 3 bộ sách
file word hãy liên hệ
qua zalo 0939319183
nếu điều kiện nào sau đây được thoả mãn?
0 và lim  f ( x ) − ( ax + b )  =
0.
A. lim  f ( x ) − ( ax + b )  =
x →+∞

x →−∞

14

0.
0 hoặc lim  f ( x ) − ( ax + b )  =
B. lim  f ( x ) − ( ax + b )  =
x →−∞
x →+∞
C. lim

x →+∞

f ( x ) − ( ax + b )
= 0.
x

D. lim

x →−∞

Toán 12

f ( x ) − ( ax + b )
= 0.
x

§4. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA
HÀM SỐ

SƠ ĐỒ TỔNG QUÁT KHẢO SÁT HÀM SỐ y = f(x)
• Tìm tập xác định D của hàm số.
• Tính y' và giải pt y' = 0 (tìm các điểm tới hạn)
• Tính giới hạn đặc biệt (tìm tiệm cận, nhánh vô cực)
• Lập bảng biến thiên và kết luận
• Vẽ đồ thị của hàm số.
Chú ý: Điểm I ( x0 ; f ( x0 )) gọi là điểm uốn của đồ thị (C): y = f(x) nếu
f''(x0) = 0 và f''(x) đổi dấu khi x đi qua x0.
I/ HÀM BẬC BA: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)
• TXĐ D =R, y' = 3ax2 + 2bx + c ( ∆ 'y ' = b 2 − 3ac )
• lim y= ? (±∞ ∨  ∞) (x →±∞ ⇒ y → ax3)
x →±∞

• BBT và kết luận

• Vẽ đồ thị.

1/ Dạng đồ thị:
a>0
y

y

2 cực trị
x

2

a<0

Toán 12

15

2 cực trị

y

y

2

x

0 cực trị

x

0 cực trị

2

2

2/ Một số tính chất:
a > 0
∆ ≤ 0

TC1: Hàm số đồng biến trên R ⇔ y' ≥ 0 ∀x∈R ⇔ 

a < 0
∆ ≤ 0

TC2: Hàm số nghịch biến trên R ⇔ y' ≤ 0 ∀x∈R ⇔ 

TC3: Hàm số có CĐ và CT (hoặc có cực trị) ⇔ y' có 2 nghiệm p.biệt
a ≠ 0
∆ ≤ 0
 f ( x) = 0
TC5: ĐT h.số tiếp xúc với trục hoành ⇔hệ pt 
có nghiệm
 f '( x) = 0

TC4: H.số không có cực trị ⇔ y' không đổi dấu ⇔ 

TC6: Tiếp tuyến của đồ thị hàm bậc ba có hệ số góc nhỏ nhất nếu a>0
và có hệ số góc lớn nhất nếu a < 0.(f''(x0) = 0 ⇒ x0 tiếp điểm)
TC7: Bài toán biện luận số nghiệm của pt f(x) = h(m) (*)
Trong đó (C): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) có 2 cực trị.
y

y
x
2

a>0, 2 cực trị
xCĐ < xCT

d: y =h(m)

2

d: y =h(m)

 (*) có đúng 1 nghiệm ⇔ h(m) < fCT ∨ h(m) > fCĐ
 (*) có 2 nghiệm ⇔ h(m) = fCT ∨ h(m) = fCĐ
 (*) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ fCT < h(m) < fCĐ

x

a<0, 2 cực trị
xCT < xCĐ

16

Toán 12

Kỹ năng MTCT về cực trị hàm số y = ax + bx + cx + d ( a ≠ 0 )
3

2

Bấm máy tính tìm ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị :
 x b  CALC x =i
→ Ai + B ⇒ =
ax 3 + bx 2 + cx + d − (3ax 2 + 2bx + c)  +  
y Ax + B
 3 9a 
y'. y''
Hoặc sử dụng công thức y −
CALC 1000.
18a

II/ HÀM NHẤT BIẾN: y =

ax + b
(c ≠ 0, ad − bc ≠ 0)
cx + d

1/ Khảo sát hàm số:

d
 TXĐ: D = R \ −  ,

 y' =

 c

d
c

 Tiệm cận đứng: x = − ;
 Bảmg biến thiên:

 Tiệm cận ngang: y =

ad − bc > 0
x −
y'

a
c

ad − bc < 0
+

+

x −
y'

+
+

y

ad − bc
(cx + d ) 2

+
−

−
+

y

−

−
 Dạng đồ thị:

y

y
6

4

4

I

2

2

5

5

x

5

I
5

x

2

2

4

4

 Note: Đthị hs nhận giao điểm của 2 đường tiệm cận làm tâm đ.xứng
2/ Một số tính chất của hàm nhất biến:
TC1: Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên từng khoảng xác định
⇔ y' >0 (y' <0) ∀x∈D

Toán 12

17

TC2: Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên từng khoảng (α;+∞)

ad − bc > 0 (ad − bc < 0)

⇔ y' > 0 (y' < 0) ∀x∈(α;+∞) ⇔  d
d
− c ≠ x ∈ (α ; +∞) ⇒ − c ≤ α
ax + b
TC3: M(x;y)∈(C) cách đều 2 trục tọa độ ⇔
= x
cx + d

TC4: M(x;y)∈(C) sao cho d(M,TCĐ) + d(M,TCĐ) = d nhỏ nhất.
cx + d=
ad − bc
ad − bc
⇔
⇒x⇒y⇒M
cx + d =
cx + d
−
ad
−
bc

AxM + ByM + C

⇔ cx + d =

CHÚ Ý: d(M,∆:Ax + By + C = 0) =

A2 + B 2
Đặc biệt: + ∆: x = c ⇒ d(M,∆) = xM − c

+ ∆: y = b ⇒ d(M,∆) = yM − c
TC5: M là 1 điểm tùy ý thuộc đồ thị (C): y =

ax + b
. Tiếp tuyến của (C)
cx + d

tại M cắt TCĐ và TCN lần lượt tại A và B. Khi đó:
a/ M là trung điểm của AB

1
IA.IB = const.(với I = TCĐ ∩ TCX).
2
ad − bc
c/ d(M, ∆1).d(M, ∆2) =
= const
c
CHÚ Ý: A(2 xM − xB ; y A ), B( xB ; 2 yM − y A )

b/ S∆IAB =

III. HÀM HỮU TỈ: y =
nghiệm chung)
1/ Khảo sát hàm số:

ax 2 + bx + c
(ad ≠ 0, tử và mẫu không có
dx + e

ax 2 + bx + c a
ae
E
=
x+b− +
dx + e
d
d dx + e
e
• TXĐ: D = R \ − 
 d
2
adx + 2aex + be − dc
g(x)
=
• y' =
(1)
2
(dx + e)
(dx + e) 2

Ta có y=

18

Toán 12

Ed
a(dx + e) − Ed
= 2
(2)
2
(dx + e)
(dx + e)
e
• Tiệm cận đứng: x = −
d
a
ae
• Tiệm cận xiên: y= x + b −
d
d
2

a
d

Hoặc y'= −

2

• Bảmg biến thiên:
• Đồ thị:
 CHÚ Ý: Đồ thị hàm nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm
đối xứng.
2/ Một số tính chất của hàm hữu tỉ bậc 2/1:

Tính chất 1: Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định
⇔ y' ≥ 0 ∀x ∈ D ⇔ g(x) ≥ 0 ∀x ∈R
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định
⇔ y' ≤ 0 ∀x ∈ D ⇔ g(x) ≥ 0 ∀x ∈R
Tính chất 2: Hàm số có CĐ và CT (hoặc có cực trị) y' có 2 nghiệm
phân biệt khác −

e
d

2ax 0 + b
d
2ax + b
b/ Pt đ.thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hsố là y =
.
d

CHÚ Ý: a/ Nếu hàm số đạt cực trị tại x0 thì y0 =

Tính chất 3: Hàm số có hai cực trị và hai giá trị cực trị trái dấu
⇔ y'=0 có 2 nghiệm p.biệt khác −

e
và pt ax2+bx+c=0 vô nghiệm.
d

Tính chất 4: Hàm số có hai cực trị và hai giá trị cực trị cùng dấu
y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác −
phân biệt.

e
và pt ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm
d

ax 2 + bx + c
Tính chất 5: Đồ thị (C) y =
nhận giao điểm của hai đường
dx + e

tiệm cận làm tâm đối xứng.

Tính chất 6: M là 1 điểm tùy ý thuộc đồ thị (C): y=

ax 2 + bx + c
. Tiếp
dx + e

tuyến của (C) tại M cắt 2 đường tiệm cận tại A và B. Khi đó:
a/ M là trung điểm của AB
b/ ∆IAB có diện tích không đổi (với I = TCĐ ∩ TCX).

Toán 12

19

c/ Tích các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận là một số không
đổi.
Đồ thị của hàm số bậc 2/1

Câu 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a) y = x 3 − 3 x 2 − 9 x + 1 b) y = x 3 + 3 x 2 + 3 x + 5
c) y =
− x3 + 3x 2 − 2
x3
1
( x − 1) (4 − x)
− x3 − 3x 2 − 4 x + 2
e) y =
f) y =
d) y =
− x2 +
3
3
Câu 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
x +1
3− x
2x +1
a) y =
b) y =
c) y =
x−4
x+2
x −1
1− 2x
3x − 1
x−2
d) y =
e) y =
f) y =
x −3
1+ 2x
2x +1
Câu 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
x2 + x + 1
x2 + x + 2
x2 + x − 2
a) y =
b) y =
c) y =
x +1
x −1
x +1
2

d) y =− x + 1 +

1
x −1

e) y =

x2
1− x

f) y =

x2 − 2x
x +1

MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN
KHẢO SÁT HÀM SỐ
Bài toán 1: Tìm đ.kiện để 2 đồ thị (C1): y = f(x) và (C2): y=g(x)
cắt nhau tại k điểm phân biệt.
Bước 1: Pt hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) là f(x) = g(x) (1).
Bước 2: (C1) và (C2) cắt nhau tại k điểm phân biệt ⇔ (1) có k nghiệm
phân biệt. Từ đó suy ra kết luận của bài toán.

20

Toán 12

CHÚ Ý: Cho pt f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1)
• (1) có 2 nghiệm trái dấu ⇔P<0.
∆ ≥ 0
P > 0

• (1) có 2 nghiệm cùng dấu ⇔ 

∆ > 0
∆ ≥ 0


• (1) có 2 nghiệm dương ⇔  S > 0 • (1) có 2 nghiệm âm pb ⇔  S < 0
P > 0
P > 0



Bài toán 2: Biện luận số nghiệm của pt F(x, m) = 0 bằng đồ thị

Bước 1: Biến đổi pt về dạng f(x) = h(m) (1);
trong đó đồ thị (C): y = f(x) đã vẽ ở câu trước đó.
Bước 2: Số nghiệm của pt (1) bằng số giao điểm của đồ thị (C) và
đường thẳng d: y = h(m).
Bước 3: Từ đồ thị (C) suy ra kết quả biện luận.
CHÚ Ý: Các dạng biến đổi đồ thị sau đây:
Bài toán tổng quát: Từ đồ thị (C):y=f(x), hãy suy ra đồ thị các hàm số
sau: (C1): y = f ( x) ;
(C2): y = f( x );
(C3): y = f(x)
y

f(x)=x^3-3*x+2

y

8

f(x)=x^3-3*x+2
f(x)=abs(x^3-3*x+2)

8

6

y = x3-3x+2

(C1)

4

2

6

4

x
-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2

-2

x

-4

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-6

(C): y = x3-3x+2

-8

-2

-4

-6

y

f(x)=x^3-3*x+2
f(x)=abs(x^3)-abs(3*x)+2

(C3)

-8

8

6

y

f(x)=x^3-3*x+2
f(x)=x^3-3*x+2

4

f(x)=-(x^3-3*x+2)

8
2

(C3)
6

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2
4

x
3

4

5

6

7

8

9

-2

(C): y = x3-3x+2

2
-4

x
-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

-6

(C): y = x3-3x+2

-2
-8

-4

-6

-8

f'(x0) =

2

3

4

5

6

7

8

9

Bài toán 3: Tiếp tuyến

Dạng 1: Viết pttt của đồ thị (C): y
= f(x) tại điểm M(x0;y0)∈(C)
⇒ Pt tiếp tuyến của (C) tại điểm M
là: y = f'(x0)(x − x0) + y0.

d
( f ( x)) x = x0 ; y0 = f(x0) (Nhập f(x) rồi CALC x0)
dx

Toán 12

21

Dạng 2: Viết pttt của đồ thị (C): y = f(x) biết hệ số góc k.
B1: Dạng tiếp tuyến y = kx + b
B2: Giải pt f'(x) = k ⇒ xtt
B3: Tính b = f(x) − kx CALC xtt = ⇒ b ⇒ tt: y = kx + b
 CHÚ Ý: +Nếu tiếp tuyến d//∆: y = kx+m
⇒ d: y = kx + b, b ≠ m hoặc kd = k∆
+ Nếu tiếp tuyến d⊥∆: y = kx + m
1
k

⇒ d: y = − x + b hoặc kd.k∆ = −1
Dạng 3: Tìm M∈(C):y=f(x) biết t.tuyến của (C) tại M có hsgóc k.
Giải pt f'(x) = k ⇒ x ⇒ y ⇒ M(x;y)
 CHÚ Ý: a/ Nếu tiếp tuyến tại M song song với đường thẳng d có hệ
số góc k thì cần phải kiểm tra điều kiện song song.
b/ Nếu tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ một tam giác vuông cân thì hệ số
góc của tiếp tuyến là k = 1 hoặc k = −1.

Câu 14: Tìm toạ độ giao điểm của các đồ thị của các hàm số sau:

x2
3
2x − 4

− + 3x −
 y =
=
y 4 x3 − 3x
y =
2
2
a) 
b) 
c) 
x −1
 y =− x + 2
 y= x + 1
y =
− x2 + 2x + 4


2 2

x2
4
2
3
2
 y =x − 5 x + 10 x − 5
 y = x − x + 1
y =
e) 
f) 
d) 
x −1
2
y 4 x2 − 5
 y = x − x + 1
=
y =
−3 x + 1

Câu 15: Biện luận theo m số giao điểm của các đồ thị của các hàm số sau:

x3 x 2
y
=
+ − 2x

x3

 y = x3 − 3x − 2
y
=
−
+ 3x

3 2
a) 
b) 
c) 
3
=
 y m( x − 2)
 y = m  x + 1  + 13
 y m( x − 3)
=


2  12

x +1
2x +1

x2 − 6x + 3


y
=
y
=
y
=



d) 
e) 
f) 
x −1
x+2
x+2
 y =
=
 y= x − m
−2 x + m
y 2x + m

1

x 2 − 3x + 3

y
=
−
x
+
3
+
y
=


g) 
h) 
1− x
x−2
=
 y = mx − 4m − 1
y mx + 3

Câu 16: Tìm m để đồ thị các hàm số:

 y= 2 x 3 − x + 1
i) 
2
=
 y m( x − 1)

22

Toán 12

( x + 2) − 1
y mx + 1 cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
;=
x+2
2 x 2 − 3x + m
b) =
y
y 2 x + m cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
;=
x −1
mx 2 + x + m
c) =
y
y mx + 2 cắt nhau tại 2 điểm có hoành độ trái dấu.
;=
x −1
x2 + 4x + 5
d) =
y
;=
y mx + 2 cắt nhau tại hai điểm có hoành độ trái dấu.
x+2
mx 2 + x + m
e) y =
cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương.
x −1
Câu 17: Tìm m để đồ thị các hàm số:
a) y =x3 + 3 x 2 + mx + 2m; y =− x + 2 cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
b) y= mx3 + 3mx 2 − (1 − 2m) x − 1 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
c) y =( x − 1)( x 2 − mx + m 2 − 3) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
d) y =x 3 + 2 x 2 − m 2 x + 3m; y =2 x 2 + 1 cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
Câu 18: Tìm m để đồ thị của các hàm số:
3x + 1
a) y=
; y= x + 2m cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm
x−4
m để đoạn AB ngắn nhất.
4x −1
b) y =
; y =− x + m cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó
2− x
tìm m để đoạn AB ngắn nhất.
x2 − 2 x + 4
c) y =
; y = mx + 2 − 2m cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B.
x−2
Khi đó tính AB theo m.
Câu 19: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C)
biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
3
a) y = x − 3 x + 1; x3 − 3 x + 1 − m = 0 b) y =− x3 + 3 x − 1; x3 − 3 x + m + 1 =0
x+2
.
Câu 20: Cho hàm số
=
y f=
( x)
x −1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết pttt của (C) vuông góc với đường thẳng x − 3 y =
0.
x +1
Câu 21: Cho hàm số
.
=
y f=
( x)
x −1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết pttt của (C) vuông góc với đường thẳng x − 2 y =
0.
a) =
y

2

Toán 12

23

Câu 22: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:
x 2 − 3x + 3
a) (C): y =
tại điểm A có xA = 4
x−2
3( x − 2)
b) (C): y =
tại điểm B có yB = 4
x −1
PHIẾU HỌC TẬP
Câu 1. Đồ thị hàm số nào dưới đây không phải là đồ thị của một hàm số bậc
ba?
y
O

A.

B.

x

C.

Câu 2. Cho hàm số y = ax3 + 3 x + d ( a; d ∈  ) có đồ thị
như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
B. a < 0, d > 0 .
A. a > 0, d > 0 .
C. a > 0, d < 0 .
D. a < 0, d < 0 .
Câu 3. Tìm đồ thị của hàm số y =

1− x
trong các đồ thị
x +1

hàm số dưới đây:

A.

B.

C.

D.

D.

24

Câu 4. Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số
ax + b
y=
với a, b, c, d là các số thực. Mệnh đề nào
cx + d
dưới đây đúng?
A. y' < 0, ∀x ∈ .
B. y' > 0, ∀x ≠ 1.
C. y' < 0, ∀x ≠ 1.
D. y' > 0, ∀x ∈ .

Toán 12

§5. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI QUYẾT
MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN THỰC TIỄN
Câu 1. Khi máu di chuyển từ tim qua các động mạch chính rồi đến các mao
mạch và quay trở lại qua các tĩnh mạch, huyết áp tâm thu (tức là áp lực của
máu lên động mạch khi tim co bóp) liên tục giảm xuống. Giả sử một người có
huyết áp tâm thu P (tính bằng mmHg) được cho bởi hàm
25t 2 + 125
số P ( t )
, ( 0 ≤ t ≤ 10 ) , trong đó thời gian t được tính bằng giây.
t2 +1
Tốc độ thay đổi của huyết áp sau 5 giây kể từ khi máu rời tim là:
375
125
375
250
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
13
13
169
169
Giải
Chọn C. Tốc độ thay đổi của huyết áp sau t giây là:
250
200t
−
P ' ( t ) =−
, ( 0 ≤ t ≤ 10 ) ⇒ P ' ( 5 ) =
2
2
169
( t + 1)
250
169
Câu 2. Người quản lí của một khu chung cư có 100 căn hộ cho thuê nhận thấy
rằng tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là 8 triệu đồng
một tháng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần
tăng giá thuê căn hộ thêm 100 nghìn đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ
trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu để doanh thu là
lớn nhất?
A. 800 000 000 (đồng).
B. 8 100 000 (đồng).
C. 8 000 000 (đồng).
D. 9 000 000 (đồng).
Giải
Chọn D. Gọi x là số lần tăng giá (0 < x < 100).
Mỗi lần tăng giá thì số căn hộ cho thuê là 100 – x (căn).
Số tiền thuê căn hộ sau mỗi lần tăng là: 8 000 000 + 100 000x.

Tốc độ thay đổi của huyết áp sau 5 giây kể từ khi máu rời tim là giảm

Toán 12

25

Khi đó tổng số tiền cho thuê căn hộ 1 tháng là:
y = (8 000 000 + 100 000x)(100 – x)
= 800 000 000 – 8 000 000x + 10 000 000x – 100 000x2
= 800 000 000 + 2 000 000x – 100 000x2
Bài toán trở thành tìm x để y lớn nhất
Ta có y' = −200 000x + 2 000 000; y' = 0 ⇔ x = 10.
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy doanh thu lớn nhất khi người quản lí đặt giá
thuê căn hộ là 8 000 000 + 100 000.10 = 9 000 000 (đồng).
Câu 3. Một đội bóng đá thi đấu trong một sân vận động có sức chứa 55 000
khán giả. Với giá mỗi vé là 100 nghìn đồng, số khán giả trung bình là 27 000
người. Qua thăm dò dư luận, người ta thấy rằng mỗi khi giá vé giảm thêm 10
nghìn đồng, sẽ có thêm khoảng 3000 khán giả. Hỏi ban tổ chức nên đặt giá vé
là bao nhiêu để doanh thu từ tiền bán vé là lớn nhất?
A. 100 000 (đồng).
C. 90 000 (đồng).

B. 80 000 (đồng).
D. 95 000 (đồng).
Giải
Chọn D. Gọi x ( x > 0 ) ) là số lần giảm giá vé.
Khi đó giá vé sau khi giảm là 100 − 10x (nghìn đồng).
Sau mỗi lần giảm giá thì có thêm 3000x khán giả.
Do đó tổng số khán giả đến xem là 27000 + 3000x.
Vì sân vận động có sức chứa 55 000 khán giá nên
28
27000 + 3000 x ≤ 55000 ⇔ x ≤
3
Doanh thu từ tiền bán vé là:
y=
−30000 x 2 + 30000 x + 2700000
( 27000 + 3000 x )(100 − 10 x ) =
Yêu cầu bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số
1
y=
− 30000 x 2 + 30000 x + 2700000 ( x >0 ) , y '=
− 60000 x +30000 =0 ⇔ x =
2
Bảng biến thiên

26

Toán 12

Dựa vào bảng biến t...