TT
(1)

1

2

Chương/Chủ
đề
(2)

1. KHUNG MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ II MÔN TOÁN LỚP 11
Mức độ đánh giá
(4-11)
Nội dung/đơn vị kiến thức
Nhận biết
Thông hiểu
Vận dụng
Vận dụng cao
(3)
TNKQ
TL
TNKQ
TL
TNKQ
TL
TNKQ
TL

Phép tính lũy thừa, Phép tính
Hàm số mũ, logarit
hàm
số Hàm số mũ, Hàm số logarit
logarit
Phương trình, BPT mũ, logarit

Đạo hàm

3

0

1

0

0

0

0

0

0

0

2

2

0

3

0

0

0

0

0

4

4

0

5-7

0

0

TL1

0

0

18

8

0

9

0

0

TL2

0

0

14

10-12

0

13-15

0

0

0

0

0

12

16-17

0

18-20

0

0

0

0

0

10

21

0

0

0

0

0

0

0

2

22

0

23

0

0

0

0

0

4

24-25

0

26

0

0

0

0

0

6

27

0

28-30

0

0

0

0

0

8

Khoảng cách

31

0

32-34

0

0

0

0

0

8

Hình lăng trụ đứng, Hình chóp đều,
thể tích của một số hình khối

0

0

35

0

0

0

0

TL3

12

15

0

20

2

5

2

0

1

Định nghĩa và Ý nghĩa hình học
của đạo hàm
Quy tắc tính đạo hàm
Đạo hàm cấp hai

Quan hệ
vuông góc
trong không
gian.

Tổng % điểm
(12)

Hai đường thẳng vuông góc
Đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng
Góc giữa đường thẳng và mặt
phẳng, Góc nhị diện
Hai mặt phẳng vuông góc

Tổng

Tỉ lệ %
30%
40%
Tỉ lệ chung
70%
Ghi chú: 35 câu TNKQ (0,2 điểm /câu); 03 câu Tự luận (mỗi câu tự luận 2 ý mỗi ý 0,5 đ)

25%

5%
30%

100%
100%

2. BẢNG ĐẶC TẢ KĨ THUẬT ĐỀ KIỂM TRA CUỐI KÌ II
MÔN: TOÁN LỚP 11 – THỜI GIAN LÀM BÀI: 90 PHÚT
TT
1

Nội dung kiến
thức
Giới hạn

Đơn vị kiến thức
1.1. Giới hạn của dãy
số; Giới hạn của hàm
số; Hàm số liên tục.

Mức độ kiến thức, kĩ năng
cần kiểm tra, đánh giá
Nhận biết:
- Biết khái niệm giới hạn của dãy số, một
số giới hạn đặc biệt.
- Nhớ được một số định lí về giới hạn của
dãy số.
- Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
- Nhớ được định nghĩa dãy số dần tới vô
cực.
- Biết (không chứng minh)
+ Nếu
thì
+ Nếu

với mọi

thì

và
+ Định lí về:

- Nhớ được định nghĩa; một số định lí về
giới hạn của hàm số; quy tắc về giới hạn
vô cực; mở rộng khái niệm giới hạn của
hàm số (giới hạn một bên, các giới hạn vô
định) trong sách giáo khoa cơ bản hiện
hành.
- Biết định nghĩa hàm số liên tục tại một
điểm; định nghĩa hàm số liên tục trên một
khoảng; Một số định lí về hàm số liên tục
trong sách giáo khoa cơ bản hiện hành.

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức
Vận dụng
Nhận biết Thông hiểu Vận dụng
cao
5
2
1*
1

Tổng

TT

Nội dung kiến
thức

Mức độ kiến thức, kĩ năng
cần kiểm tra, đánh giá

Đơn vị kiến thức

Thông hiểu:
- Tìm được một số giới hạn đơn giản.
- Tìm được tổng của một cấp số nhân lùi
vô hạn.
Trong một số trường hợp đơn giản, tính
được: Giới hạn của hàm số tại một điểm;
Giới hạn một bên; Giới hạn của hàm số tại
Một số giới hạn dạng
- Xét tính liên tục tại một điểm của hàm số
đơn giản.
- Chứng minh một phương trình có
nghiệm dựa vào định lí giá trị trung gian
trong các các tình huống đơn giản.
Vận dụng:
- Vận dụng các khái niệm các khái niệm
giới hạn, các định lí, các giới hạn
với
- Chứng minh một phương trình có
nghiệm dựa vào định lí giá trị trung gian.
Vận dụng cao:
- Vận dụng các định nghĩa, các định lí, các
quy tắc về giới hạn vô cực, các giới hạn
dạng

để tính giới hạn.

- Chứng minh được một phương trình có
nghiệm dựa vào định lí về hàm số liên tục.

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức
Vận dụng
Nhận biết Thông hiểu Vận dụng
cao

Tổng

TT
2

Nội dung kiến
thức

Đơn vị kiến thức

Đạo hàm

2.1. Định nghĩa và ý
nghĩa của đạo hàm

2.2. Quy tắc tính đạo
hàm

2.3. Đạo hàm của
hàm số lượng giác

Mức độ kiến thức, kĩ năng
cần kiểm tra, đánh giá
Nhận biết:
- Biết định nghĩa đạo hàm (tại một điểm,
trên một khoảng).
- Biết ý nghĩa vật lí và hình học của đạo
hàm.
Thông hiểu:
- Tính được đạo hàm của hàm lũy thừa,
hàm đa thức bậc hai, bậc ba theo định
nghĩa.
- Hiểu được ý nghĩa vật lí và hình học của
đạo hàm.
Vận dụng:
- Lập được phương trình tiếp tuyến của đồ
thị hàm số đa thức tại một điểm thuộc đồ
thị đó.
- Biết tìm vận tốc tức thời của một chuyển
động có phương trình
Vận dụng cao:
- Lập được phương trình tiếp tuyến của đồ
thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị đó.
Nhận biết:
- Nhớ được đạo hàm của các hàm số
- Biết quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu,
tích thương các hàm số; hàm hợp và đạo
hàm của hàm hợp.
Thông hiểu:
- Tính được đạo hàm của số đơn giản.
Vận dụng:
- Vận dụng được quy tắc tính đạo hàm của
tổng, hiệu, tích thương các hàm số; hàm
hợp và đạo hàm của hàm hợp để tính đạo
hàm của hàm số.
Nhận biết:

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức
Vận dụng
Nhận biết Thông hiểu Vận dụng
cao

1

1

1*

6

2

1*

3

3

1*

1

Tổng

TT

Nội dung kiến
thức

Đơn vị kiến thức

Mức độ kiến thức, kĩ năng
cần kiểm tra, đánh giá

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức
Vận dụng
Nhận biết Thông hiểu Vận dụng
cao

- Biết được
- Biết được đạo hàm của hàm số lượng
giác.
Thông hiểu:
- Biết vận dụng
giới hạn dạng

2.4. Đạo hàm cấp hai

3

Vectơ trong
không gian.
Quan hệ
vuông góc
trong không
gian.

3.1. Vectơ trong
không gian

trong một số
đơn giản.

- Tính được đạo hàm của một số hàm số
lượng giác đơn giản.
Vận dụng:
- Tính được đạo hàm của một số hàm số
lượng giác.
Thông hiểu:
- Hiểu được định nghĩa, cách tính, ý nghĩa
hình học và cơ học của đạo hàm cấp hai.
- Tính được đạo hàm cấp hai của một hàm
số.
- Tính được gia tốc tức thời của một
chuyển động có phương trình
Nhận biết:
- Nhớ được định nghĩa, các phép toán của
vectơ trong không gian.
- Biết được quy tắc hình hộp để cộng vectơ
trong không gian. Định nghĩa và điều kiện
đồng phẳng của ba vectơ trong không
gian.
Vận dụng:

2

1

1**

Tổng

TT

Nội dung kiến
thức

Đơn vị kiến thức

3.2. Hai đường thẳng
vuông góc

Mức độ kiến thức, kĩ năng
cần kiểm tra, đánh giá
- Vận dụng được: phép cộng, trừ; nhân
vectơ với một số, tích vô hướng của hai
vectơ; sự bằng nhau của hai vectơ trong
không gian.
- Xét sự đồng phẳng hoặc không đồng
phẳng của ba vectơ trong không gian.
Nhận biết:
Biết được:
-Nhớ được định nghĩa góc giữa hai vectơ
trong không gian.
- Khái niệm vectơ chỉ phương của đường
thẳng.
- Khái niệm góc giữa hai đường thẳng.
- Khái niệm và điều kiện hai đường thẳng
vuông góc với nhau.
- Nhớ được điều kiện vuông góc giữa hai
đường thẳng.
Thông hiểu:
- Hiểu được tích vô hướng của hai vectơ.
- Xác định được vectơ chỉ phương của
đường thẳng; góc giữa hai đường thẳng
trong các bài toán đơn giản.
- Xác định được góc giữa hai vectơ trong
không gian trong các bài toán đơn giản.
- Chứng minh được hai đường thẳng
vuông góc với nhau trong các bài toán đơn
giản.
Vận dụng:
- Vận dụng được tích vô hướng của hai
vectơ.
- Xác định được vectơ chỉ phương của
đường thẳng; góc giữa hai đường thẳng.

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức
Vận dụng
Nhận biết Thông hiểu Vận dụng
cao

1

1

1**

Tổng

TT

Nội dung kiến
thức

Đơn vị kiến thức

3.3. Đường thẳng
vuông góc với mặt
phẳng

Mức độ kiến thức, kĩ năng
cần kiểm tra, đánh giá
- Xác định được góc giữa hai vectơ trong
không gian.
- Chứng minh được hai đường thẳng
vuông góc với nhau.
Nhận biết:
- Biết được định nghĩa và điều kiện để
đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
- Biết được khái niệm phép chiếu vuông
góc.
- Biết được khái niệm mặt phẳng trung
trực của một đoạn thẳng.
Thông hiểu:
- Biết cách chứng minh một đường thẳng
vuông góc với một mặt phẳng, một đường
thẳng vuông góc với một đường thẳng
trong một số bài toán đơn giản.
Vận dụng:
- Xác định được hình chiếu vuông góc của
một điểm, một đường thẳng, một tam giác.
- Bước đầu vận dụng được định lý ba
đường vuông góc.
- Xác định được góc giữa đường thẳng và
mặt phẳng.
- Biết xét mối liên hệ giữa tính song song
và tính vuông góc của đường thẳng và mặt
phẳng.

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức
Vận dụng
Nhận biết Thông hiểu Vận dụng
cao

1

2

1**

Tổng

TT

Nội dung kiến
thức

Đơn vị kiến thức

3.4. Hai mặt phẳng
vuông góc

3.5. Khoảng cách

Mức độ kiến thức, kĩ năng
cần kiểm tra, đánh giá
Nhận biết:
- Biết được định nghĩa góc giữa hai đường
mặt phẳng.
- Biết được định nghĩa và điều kiện để hai
mặt phẳng vuông góc.
- Biết được định nghĩa và tính chất của
hình lăng trụ đứng, lăng trụ đều, hình hộp
đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương.
- Biết được định nghĩa và tính chất của
hình chóp đều và hình chóp cụt đều.
Thông hiểu:
- Xác định được góc giữa hai mặt phẳng
trong một số bài toán đơn giản.
- Biết chứng minh hai mặt phẳng vuông
góc trong một số bài toán đơn giản.
Vận dụng:
- Xác định được góc giữa hai mặt phẳng.
- Biết chứng minh hai mặt phẳng vuông
góc.
- Vận dụng được tính chất của lăng trụ
đứng, hình hộp, hình chóp đều, chóp cụt
đều để giải một số bài tập.
Nhận biết:
- Biết định nghĩa khoảng cách từ một điểm
đến một đường thẳng.
- Biết định nghĩa khoảng cách từ một điểm
đến một mặt phẳng.
- Biết định nghĩa khoảng cách giữa hai
đường thẳng song song.
- Biết định nghĩa khoảng cách giữa đường
thẳng và mặt phẳng song song.
- Biết định nghĩa khoảng cách giữa hai mặt
phẳng song song.

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức
Vận dụng
Nhận biết Thông hiểu Vận dụng
cao

1

1

1

1**

1

1**

Tổng

TT

Nội dung kiến
thức

Đơn vị kiến thức

Tổng

Mức độ kiến thức, kĩ năng
cần kiểm tra, đánh giá
Thông hiểu: Trong các bài toán đơn giản:
- Xác định được khoảng cách từ một điểm
đến một đường thẳng.
- Xác định được khoảng cách từ một điểm
đến một mặt phẳng.
- Xác định được khoảng cách giữa đường
thẳng và mặt phẳng song song.
- Xác định được khoảng cách giữa hai mặt
phẳng song song.
- Xác định được đường vuông góc của hai
đường thẳng chéo nhau.
Xác định được khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau.
Vận dụng:
- Xác định được khoảng cách từ một điểm
đến một đường thẳng.
- Xác định được khoảng cách từ một điểm
đến một mặt phẳng.
- Xác định được khoảng cách giữa đường
thẳng và mặt phẳng song song.
- Xác định được khoảng cách giữa hai mặt
phẳng song song.
- Xác định được đường vuông góc của hai
đường thẳng chéo nhau.
Xác định được khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau.

Số câu hỏi theo mức độ nhận thức
Vận dụng
Nhận biết Thông hiểu Vận dụng
cao

15

20

2

1

Tổng

38

Lưu ý:
- Với câu hỏi ở mức độ nhận biết và thông hiểu thì mỗi câu hỏi cần được ra ở một chỉ báo của mức độ kiến thức, kỹ năng cần kiểm tra, đánh giá tương ứng (1
gạch đầu dòng thuộc mức độ đó).
- (1* ): Giáo viên có thể ra 1 câu hỏi cho đề kiểm tra ở cấp độ vận dụng ở đơn vị kiến thức: 1.1 hoặc 2.1 hoặc 2.2 hoặc 2.3.
- (1**): Giáo viên có thể ra 1 câu hỏi cho đề kiểm tra ở cấp độ vận dụng ở đơn vị kiến thức: 3.1 hoặc 3.2 hoặc 3.3 hoặc 3.4 hoặc 3.5.

3. ĐỀ KIỂM TRA CKII
SỞ GD& ĐT NINH BÌNH
TRƯỜNG THPT
-------------------(Đề kiểm tra gồm có 04 trang)

ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ II NĂM HỌC
2023- 2024
MÔN: TOÁN 11
Thời gian làm bài: 90 (không kể thời gian phát đề)

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN – 7,0 điểm (Mỗi câu đúng được cộng 0,2 điểm).
Câu 1: (NB) Cho a  0, m, n   . Khẳng định nào sau đây đúng?
m n

n m

A. a  a a .
B. a .a a .
C. ( a ) ( a ) .
2
Câu 2: (TH) Tìm tập xác định D của hàm số y log 2  x  2 x  3
m

n

m n

A. D  ;  1   3;  

C. D  ;  1  3;  

m

n

m n

B. D   1;3

D. D  1;3 

Câu 3: (NB) Tập xác định của hàm số y 5x là
B. 0;   .

A.  .

am
a n  m .
n
D. a

C.  \  0 .

Câu 4: (NB) Tập nghiệm của bất phương trình log x 1 là
A. 10;   .
B. 0;   .
C. 10;   .

D.  0;    .
D.  ;10  .

Câu 5: (TH) Bất phương trình log 2 (3x  2)  log 2 (6  5 x) có tập nghiệm là (a ; b) . Tổng a  b bằng
8
28
26
11
A. .
B.
.
C.
.
D.
.
5
5
3
15
2
Câu 6: (TH) Tập nghiệm của bất phương trình 34  x 27 là
A.   1;1 .
B.  ;1 .
C.   7; 7  .
D. 1;   .
Câu 7: (TH) Tập nghiệm của bất phương trình 9 x  2.3x  3  0 là
A.  0;   .
B. 0;   .
C. 1;   .
D. 1;   .

1 3
t  6t 2 , trong đó t  0 , t được
3
tính bằng giây s  và S tính bằng mét m  . Vận tốc của chất điểm tại thời điểm t 3 (giây) bằng
A. 33 m / s .
B. 27 m / s .
C. 9 m / s .
D. 3 m / s .
Câu 8: (TH) Một chất điểm chuyển động theo phương trình S 

Câu 9: (NB) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x  1 tại điểm có hoành độ x0  1 có hệ số góc
2x  3
bằng
1
1
A. 5 .
B.  .
C.  5 .
D. .
5
5
Câu 10: (NB) Cho u u  x , v v  x  là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.
Mệnh đề nào sau đây sai ?
A. uv ' u ' v  uv '.
B. u  v ' u ' v '.
'

 u  u ' v  uv '
C.   
.
v
v

D. u  v ' u ' v '.

Câu 11: (NB) Đạo hàm của hàm số y sin x  cos x là

A. y  cos x  sin x.
C. y cos x  sin x.

B. y cos x  sin x.
D. y 2sin x.

Câu 12: (NB) Mệnh đề nào sau đây sai ?
A.  x  1 .
/

B.

  nx n  , n  1

C. x n

/

 x   1x
/

x  0 .

D. c  0 ( c là hằng số).
/

n 1

2x  7
tại x 2 ta được:
x4
11
3
B. f 2   .
C. f 2   .
6
2

Câu 13: (TH) Tính đạo hàm của hàm số f  x  
A. f 2  

1
.
36

5
D. f 2   .
12

Câu 14: (TH) Đạo hàm của hàm số y  x 3  2 x 2  bằng:
2

A. 6 x 5  20 x 4  16 x3 .

B. 6 x 5  20 x 4  4 x 3 .

C. 6 x 5  16 x 3 .

D. 6 x 5  20 x 4  16 x 3 .

1 3
2
Câu 15: (TH) Cho hàm số y  x  2 x  5 x . Tập nghiệm của bất phương trình y 0 là
3
A.   1;5 .
B.  .
C.  ;  1  5;   .
D.  ;  1   5;   .
Câu 16: (NB) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y sin 2 x .
A. y 4 cos 2 x .
B. y 4sin 2 x .
C. y  4sin 2 x .
D. y  4cos 2 x .
Câu 17: (TH) Cho hàm số y sin x . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. y  y 0.
B. y  y 0.
C. y  y 0.
D. y  y  y 0.

5
4
Câu 18: (NB) Cho hàm số y x  3 x  x  1 với x  ¡ . Đạo hàm y của hàm số là

A. y 5 x  12 x  1 .
3

2

B. y 5 x  12 x .
4

C. y 20 x  36 x .
2

D. y 20 x  36 x .

3

Câu 19: (TH) Cho hàm số f  x  

3

3

2

1
. Tính f ¢¢ 1 .
2x  1

8
8
4
2
B. .
C.
D. 
.
9
27
27
27
Câu 20: (TH) Cho hàm số y  x 3  3x 2  x  1 . Phương trình y 0 có nghiệm.
A. x 2 .
B. x 4 .
C. x 1 .
D. x 3 .

A. 

Câu 21: (NB) Cho hình lập phương ABCD. ABC D . Góc giữa hai đường thẳng AC  và BD bằng.
A. 60 .
B. 30 .
C. 45 .
D. 90 .
Câu 22: (NB) Khẳng định nào sau đây sai?
A. Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng   thì d vuông góc với hai đường thẳng trong mặt
phẳng   .

B. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng   thì d vuông góc với
mặt phẳng   .

C. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng   thì d
vuông góc với bất kỳ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng   .
D. Nếu d    và đường thẳng a //   thì d  a .

Câu 23: (TH) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA   ABCD  . Gọi M là hình
chiếu của A trên SB . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. AM  SD .
B. AM  SCD  .
C. AM  CD .
D. AM  SBC  .
Câu 24: (NB) Cho hình chóp S . ABC có SA   ABC  ; tam giác ABC vuông cân tại B, AB = a và

SA a 3 (tham khảo hình vẽ bên). Tính số đo theo đơn vị độ của góc nhị diện [A,BC,S].

A. 60o .

B. 45o .

C. 135o .

D. 90o .

Câu 25: (TH) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Đường thẳng SA vuông
góc với mặt phẳng đáy và SA 2a Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD là α . Khi đó
tan α bằng
2
A. 2 .
B.
.
C. 2 .
D. 2 2 .
3
Câu 26: (NB) Cho lăng trụ đều ABC. ABC  có tất cả các cạnh bằng a . Góc giữa đường thẳng AB
và mặt phẳng  ABC  bằng
A. 60 .
B. 45 .
C. 30 .
D. 90 .
Câu 27: (NB) Cho hai mặt phẳng  P  và Q  song song với nhau và một điểm M không thuộc  P 
và Q  . Qua M có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với  P  và Q  .
A. 3 .
B. Vô số.
C. 1 .
D. 2 .
Câu 28: (TH) Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' .Mặt phẳng  ABCD  vuông góc với mp nào
sau đây?
A.  ACC ' A '
B.  ABC ' D ' 
C.  AB ' D '
D.  BDC '

Câu 29: (TH) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi và SB vuông góc với mặt phẳng
 ABCD  . Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng SBD  ?
A. SBC  .

B. SAD  .

C. SCD  .

D. SAC  .

Câu 30: (TH) Cho hình chóp S . ABCD với đáy ABCD là hình vuông có cạnh 2a , SA a 6 và
vuông góc với đáy. Góc giữa SBD  và  ABCD  bằng?
A. 900 .

B. 300 .

C. 450 .

D. 600 .

Câu 31: (NB) Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có AD 2a , CD a , AA ' a 2 . Đường
chéo AC ' có độ dài bằng
A. a 5 .
B. a 7 .
C. a 6 .
D. a 3 .
Câu 32: (TH) Cho hình chóp S . ABC có SA ^ ( ABC ) , SA = AB = 2a , tam giác ABC vuông tại B
(tham khảo hình vẽ). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC ) bằng

A. a 3 .

B. a .

C. 2a .

D. a 2 .

Câu 33: (TH) Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Khoảng cách từ
tâm O của đáy tới mp SCD  bằng
a
a
a
a
A.
.
B. .
C.
.
D.
.
2
2
6
3
Câu 34: (TH) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có tất cả các cạnh bằng a . Khoảng cách
từ A đến mặt phẳng  A ' BC  bằng
A.

a 12
.
7

B.

a 21
.
7

C.

a 6
.
4

D.

a 3
.
4

Câu 35: (TH) Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy và

a 2
khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC  bằng
. Tính thể tích của khối chóp đã cho.
2
a3
a3
3a 3
A.
B. a 3
C.
D.
3
2
9
PHẦN II: TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN – 3,0 điểm.
Câu 1: Giải bpt: 2.2 x  3.3x  6x  1 .
Câu 2: Cho y 
của C 

2 x 1
C  . Tìm trên đường thẳng x 3 các điểm mà qua đó có kẻ được tiếp tuyến
x 2

Câu 3: Xét các hình chóp S.ABC thỏa mãn SA a;SB 2a;SC 3a với a là hằng số cho trước. Tìm
giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABC?
........................... HẾT ........................

4. ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ II MÔN TOÁN – LỚP 11
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7.0 điểm).
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

C

C

A

C

D

A

B

B

B

C

C

B

A

D

D

C

A

D

A

C

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

D

B

D

A

A

B

B

A

D

D

B

D

C

B

A

PHẦN II. TỰ LUẬN (3.0 điểm)
Bài

Đáp án

Thang
điểm

1
(1,0
điểm)

1. Giải bpt: 2.2 x  3.3x  6 x  1 .

Lời giải:
2 3
1
Chia hai vế cho 6x > 0 ta được x  x  x  1 .
3 2
6
Hàm số f (x) 

2 3 1
 
nghịch biến.
3x 2 x 6 x

0.25
0.25

+ Với x 2 , f (x) f (2) 1 , BPT vô nghiệm.

0.25

+ Với x < 2, f(x) > f(2) = 1, BPT nghiệm đúng.

0.25

Vậy nghiệm của BPT là x < 2.
2
(1.0
điểm)

2 x 1
C  . Tìm trên đường thẳng x 3 các điểm mà qua đó có kẻ
x 2
được tiếp tuyến của C 

2. Cho y 

Lời giải:
Giải. Phương trình tiếp tuyến của C  tại điểm có hoành độ x0 ( x0 2 ) là:
2 x 1
5
x  x0   0
 : y  y '  x0  x  x0   y  x0    : y 
2 
x0  2 .
 x0  2 

0.25

Điểm A nằm trên đường thẳng x 3  tọa độ A có dạng A 3; a  .

Qua A có tiếp tuyến tới C  khi và chỉ khi phương trình sau đây có nghiệm đối với
x0 :
2 x 1
5
:a 
3  x0   0
2 
x0  2 .
 x0  2 

1

Ta thấy

0.25

1

a  x0  2 2  5 3  x0   2 x0  1 x0  2   x0  2 0 
 
 x0  2 0
2
 a  x0  2   5 3  x0   2 x0  1 x0  2 


2 

a  2  x02  2 2a 1 x0  4a  17 0 .

Trường hợp 1. a  2 0  a 2 . Khi đó 2  trở thành
21
 10 x0  21 0  x0  .
10
Trong trường hợp này 2  có nghiệm  1 có nghiệm.
Trường hợp 2. a  2 0 

a 2 . Khi đó

2 

0.25

là phương trình bậc hai có

  5a  35 . Do đó, trong trường hợp này 1 có nghiệm khi và chỉ khi 2  có
nghiệm, tức là
 0   5a  35 0  a 7 .
Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là A 3; a  a 7 .



3
(1,0

0.25



3. Xét các hình chóp S.ABC thỏa mãn SA a;SB 2a;SC 3a với a là hằng
số cho trước. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABC?

điểm)
Bài giải:

0.5
SSBC

1
  1 SB.SC  1 2a.3a 3a 2
 SB.SC.sin BSC
2
2
2

Gọi H là hình chiếu của A lên (SBC)

0.25

1
2
3
Nhận thấy AS AH  V  a.3a a .
3

Dấu bằng đạt được khi hình chóp có ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với
nhau.
--Hết--

0.25