detoan.com.vn


Điện thoại (Zalo) 0978207193

BÀI TẬP TOÁN 9
THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI
(Liệu hệ tài liệu word môn toán SĐT (zalo) : 0978207193)

Nhận thêm tài liệu tại nhóm zalo:

https://detoan.com.vn/zalo

Tài liệu sưu tầm, ngày 06 tháng 5 năm 2023

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn – Tự luận có lời giải

Kết Nối Trí Thức VCS

CHƯƠNG 1
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

BÀI 2
KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1. Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là hệ thức dạng: ax + by = c , trong đó a, b, c là các số cho trước,

a  0 hoặc b  0 .
Cho phương trình bậc nhất hai ẩn x, y : ax + by = c . Nếu ax0 + by0 = c là khẳng định đúng thì cặp số
( x0 ; y0 ) được gọi là một nghiệm của phương trình ax + by = c .

Chú ý:
• Mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn đều có vô số nghiệm.
• Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm có tọa độ ( x; y ) thỏa mãn phương trình bậc nhất hai ẩn

ax + by = c là một đường thẳng . Đường thẳng đó gọi là đường thẳng ax + by = c .
2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

a x + b1y = c1
• Cho hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:  1
a2 x + b2 y = c2

(I ) ,

ở đó mỗi phương trình

a1 x + b1y = c1 và a2 x + b2 y = c2 đều là phương trình bậc nhất hai ẩn.

• Nếu cặp số ( x0 ; y0 ) là nghiệm của từng phương trình trong hệ ( I ) thì cặp ( x0 ; y0 ) được gọi là
nghiệm của hệ ( I ) .
• Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của hệ phương trình đó.

detoan.com.vn (zalo: 0978207193)

Trang 1

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn – Tự luận có lời giải

Bài 1. Trong các cặp số sau, cặp số nào là nghiệm của phương trình: x − 3y = 5
a) ( 2; −1)

Kết Nối Trí Thức VCS


5
c)  0; − 
3


b) ( −5; 0 )
Lời giải

a) Thay x = 2; y = −1 ta có: 2 − 3. ( −1) = 5
Vậy ( 2; −1) là một nghiệm của phương trình đã cho.
b) Thay x = −5; y = 0 ta có: −5 − 3.0  5
Vậy ( −5; 0 ) không là nghiệm của phương trình đã cho.
c) Thay x = 0; y = −

 5
5
ta có: 0 − 3.  −  = 5
3
 3


5
Vậy  0; −  là một nghiệm của phương trình đã cho.
3

Bài 2. Hãy kiểm tra xem mỗi cặp số

x; y

1;1 có phải là một nghiệm của hệ phương trình

2 x + y = 3
2 x − y = 1 hay không?

Lời giải
Thay x; y

2.1 + 1 = 3
1;1 vào hệ phương trình: 
đúng.
2.1 − 1 = 1

Vậy 1;1 là nghiệm của hệ phương trình.

 x − 2y = 3
Bài 3. Trong các cặp số sau, cặp số nào là nghiệm của hệ phương trình: 
x − y = 2
a) (1; −1)

b) ( 2; 0 )
Lời giải

a) Thay x = 1; y = −1 vào mỗi phương trình trong hệ, ta có:
1 − 2. ( −1) = 3
1 − ( −1) = 2

Suy ra cặp số (1; −1) là nghiệm của từng phương trình trong hệ
Vậy (1; −1) là một nghiệm của hệ phương trình đã cho.
b) Thay x = 2; y = 0 vào mỗi phương trình trong hệ, ta có:

2 − 2.0  3
2−0 = 2
Suy ra cặp số ( 2; 0 ) không là nghiệm của phương trình thứ nhất trong hệ đã cho

detoan.com.vn (zalo: 0978207193)

Trang 2

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn – Tự luận có lời giải

Kết Nối Trí Thức VCS

Vậy ( 2; 0 ) không là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Bài 4. Với mỗi phương trình sau, tìm nghiệm tổng quát của phương trình
b) x + 3 y = −2

a) 4 x − y = 1

Lời giải
a) Giải phương trình: 4 x − y = 1 (1)
Ta có: (1)  y = 4 x − 1
Nếu cho x một giá trị bất kỳ thì cặp số ( x; y ) trong đó y = 4 x −1, là một nghiệm của phương trình (1)
Như vậy ta có tập nghiệm của phương trình (1) là: S = ( x; 4 x − 1) / x  R
2 x
b) Ta có: x + 3 y = −2 ( 2 )  y = − −
3 3

Nếu cho x một giá trị bất kì thì cặp số ( x; y ) trong đó y =

−2 x
− , là một nghiệm của phương trình ( 2 )
3 3



2 x
Như vậy ta có tập nghiệm của phương trình ( 2 ) là: S =  x; − −  / x  R 
3 3



Bài 5. Tìm nghiệm tổng quát và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình sau:

x

2y 3

0.
Lời giải

Tìm nghiệm tổng quát

x

2y

Hoặc x

3

0

x

2y 3

2y

0

y
x

3

1
x
2

y

Vậy nhiệm của phương trình x

3
2

2y 3

2y

3

x
y

1
x
2

y
0 là
x

3
2

x

2y

 Vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình
x

2y

3

0

1
x
2

y

3
2

Bảng giá trị

x
y

1
x
2

3
2

0

3

3
2

0

detoan.com.vn (zalo: 0978207193)

Trang 3

3

hoặc

y

1
x
2

3
2

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn – Tự luận có lời giải

1
x
2

Đồ thị hàm số y

Kết Nối Trí Thức VCS

3
3
đi qua A 3; 0 , B 0;
2
2

Vẽ đồ thị
y

3/2
1

O

Nghiệm của phương trình x

2y 3

x

3

1
x
2

0 là tập hợp các điểm x; y thuộc đường thẳng y

Bài 6. Hãy tìm giá trị của để điểm A 1; 2 thuộc đường thẳng m 2 x

y

m

3

3
2

0.

Lời giải
Do điểm A 1; 2 thuộc đường thẳng m 2 x
m 2 .1

2

2m 3
m

Vậy m

m

3

y

m

3

0 nên :

0

0

3
2
3
là giá trị cần tìm.
2

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 7. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất hai ẩn? Nếu là phương
trình bậc nhất hai ẩn thì hãy xác định các hệ số a, b, c .

1
2
x + y =1
2
3

a) 2024 x − 2025y = 2026

b)

d) x − 0y = 0

e) 0 x + 0y = −1

c) 0 x − 2y = −3

Bài 8. Trong các cặp số sau (12;1) ; (1;1) ; ( 2; −3) ; (1; −2 ) cặp số nào là nghiệm của phương trình bậc nhất
hai ẩn 2 x − 5 y = 19 .
Lời giải
Ta có các cặp số: (12;1) ; ( 2; −3) là nghiệm của phương trình 2 x − 5 y = 19
Còn các cặp số (1;1) ; (1; −2 ) không là nghiệm của phương trình 2 x − 5 y = 19
Bài 9. Tìm tập nghiệm của những phương trình sau

detoan.com.vn (zalo: 0978207193)

Trang 4

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn – Tự luận có lời giải

a)

x y
=
2 5

b) x − y = 1

c)

Kết Nối Trí Thức VCS

1
+ 2y = 3
x

Lời giải
x  R
x y
5

a) Ta có: =  y = x  
5
2 5
2
y= x

2


5x 

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =  x  R / y = 
2


b) Ta có: x − y = 1
 x  R, x  0
- Nếu x  0  (1)  x − y = 1  
 y = x −1
 x  R, x  0
- Nếu x  0  (1)  − x − y = 1  
 y = −x −1

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =  x  0 / y = x − 1   x  0 / y = − x − 1
c) Ta có:
Đặt

1
+ 2 y = 3 (1) với điều kiện x  0
x

1
1
= t  t  0, t  0, x =
x
t

y R
Từ (1)  t + 2 y = 3  
t = 3 − 3 y

Với t  0  3 − 2 y  0  y 

3
2

3

 y  R, y  2
Vậy khi đó phương trình (1) có nghiệm ( x; y ) là: 
x = 1
3− 2y


Bài 10. Kiểm tra xem cặp số (-4; 5) là nghiệm của hệ phương trình nào trong các hệ phương trình sau

2 x + y = −3
a) 
−3x + 2 y = 21

1
 2 x − 2 y = −12
b) 
 x + 1 = −7
 3 3
Lời giải

a) Thay x = −5; y = 5 vào −3x + 2 y = 21 ta được: −1. ( −4 ) + 2.5 = 21 (vô lý)

2 x + y = −3
Vậy cặp số ( −4;5 ) không phải là nghiệm của hệ phương trình 
−3x + 2 y = 21

detoan.com.vn (zalo: 0978207193)

Trang 5

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn – Tự luận có lời giải

Kết Nối Trí Thức VCS

1
 2 x − 2 y = −12
b) Tương tự ta có cặp số ( −4;5 ) là nghiệm của hệ phương trình 
 x + 1 = −7
 3 3
Bài 11. Hãy kiểm tra xem mỗi cặp số sau có là nghiệm của hệ phương trình tương ứng hay không

2 x − 3 y = −19
b) ( −2;5 ) và 
−3x + 2 y = 7

3x − 5 y = −7
a) (1; 2 ) và 
2 x + y = 4

Lời giải
a) Thay x = 1; y = 2 vào hệ phương trình ta được:

3.1 − 5.2 = −7
−7 = −7
(luôn đúng)


2.1 + 2 = 4
4 = 4
Vậy cặp số (1; 2 ) là nghiệm của hệ phương trình
b) Thay x = −2; y = 5 vào hệ phương trình ta được:

2. ( −2 ) − 3.5 = −19 −4 − 15 = −19
(vô lý)


6 + 10 = 7
−3. ( −2 ) + 2.5 = 7
2 x − 3 y = −19
Vậy cặp số ( −2;5 ) không là nghiệm của hệ phương trình 
−3x + 2 y = 7
Bài 12. Tìm các giá trị của tham số m để cặp số ( 2; −1) là nghiệm của phương trình mx − 5 y = 3m −1
Lời giải
Để cặp số ( 2; −1) là nghiệm của phương trình mx − 5 y = 3m −1 ta phải có:
2m − 5 ( −1) = 3m − 1  m = 6

Vậy m = 6 là giá trị cần tìm.
Bài 13. Trong mỗi trường hợp sau, hãy tìm giá trị của m để:
a) điểm M ( −1;3) thuộc đường thẳng mx + 2 y = 4 .
b) điểm N (1; −1) thuộc đường thẳng (m − 2) x + (3m −1) y = 6m − 2 .
c) điểm Q ( 2;1) thuộc đường thẳng ( 2m − 1) x + 3 ( m − 1) y = 4m − 2. .
Lời giải
a) Điểm M ( −1;3) thuộc đồ thị hàm số mx + 2 y = 4 khi m. ( −1) + 2.3 = 4  m = 2
b) Điểm N (1; −1) thuộc đồ thị hàm số (m − 2) x + (3m −1) y = 6m − 2 khi
1
(m − 2) − (3m − 1) = 6m − 2  m = .
8

c) Điểm Q ( 2;1) thuộc đồ thị hàm số ( 2m − 1) x + 3 ( m − 1) y = 4m − 2. khi

( 2m − 1) .1 + 3 ( m − 1)( −1) = 4m − 2  m = 1
detoan.com.vn (zalo: 0978207193)

Trang 6

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn – Tự luận có lời giải

Kết Nối Trí Thức VCS

Bài 14. Cho phương trình sau: 3 x + 2 y = 9 − m (1) . Tìm m  N để phương trình (1) có nghiệm nguyên

dương
Lời giải
Ta có: m  N  9 − m  9
3x + 2 y  9  x 

9 − 2y
3

Lại có: y  N *  y  1  x 

9−2
 3  x  1; 2
3

- Nếu x = 1  2 y = 6 − m  y = 3 −

m
, mà y  N *  m  0; 2; 4
2

- Nếu x = 2  2 y = 3 − m  y = 1 +

1− m
, mà y  N *  m = 1
2

Vậy điều kiện cần tìm của m là: m  0;1; 2; 4

detoan.com.vn (zalo: 0978207193)

Trang 7

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn – Tự luận có lời giải

Kết Nối Trí Thức VCS

BÀI 3
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Ta có thể giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế theo các bước sau:
• Bước 1: Thế để đưa về phương trình một ẩn
Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia, rồi thế vào phương trình thứ
hai để được một phương trình mới chỉ còn một ẩn.
• Bước 2: Giải phương trình một ẩn
Giải phương trình một ẩn ở bước 1 để tìm giá trị ẩn đó.
• Bước 3: Tìm ẩn còn lại và kết luận
Thế giá trị vừa tìm được của ẩn đó ở bước 2 vào biểu thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia ở bước 1
để tìm giá trị của ẩn còn lại. Từ đó, ta tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Chú ý: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có thể có nghiệm duy nhất hoặc vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.
2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Ta có thể giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số theo các bước sau:
• Bước 1: Làm cho hai hệ số của một ẩn nào đó bằng nhau hoặc đối nhau
Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn
nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.
• Bước 2: Đưa về phương trình một ẩn
Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình nhận được ở bước 1 để được một
phương trình một ẩn. Rồi giải phương trình một ẩn đó.
• Bước 3: Tìm ẩn còn lại và kết luận
Thế giá trị vừa tìm được của ẩn đó ở bước 2 vào một trong hai phương trình của hệ đã cho để tìm
giá trị của ẩn còn lại. Từ đó, ta tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Trang 1

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn – Tự luận có lời giải

Kết Nối Trí Thức VCS

DẠNG 1
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN CƠ BẢN

Bài 1.

Giải hệ các phương trình sau bẳng phương pháp thế:

x + y = 5
a) 
4 x − 3 y = −1

x − 2 y = 2
b) 
2 x − 4 y = 4

8 x − 2 y = 10
c) 
−4 x + y = 3

Bài giải

x + y = 5
a) 
4 x − 3 y = −1
Cách 1: Thế y theo x ở phương trình thứ nhất

x + y = 5
y = 5− x
x = 2
y = 5− x
Ta có 



4 x − 3 y = −1 
y = 3
4 x − 3 ( 5 − x ) = −1 7 x = 14

Cách 2: Thế x theo y ở phương trình thứ nhất

x + y = 5
x = 5 − y
x = 2
x = 5 − y
Ta có 



4 x − 3 y = −1 
4 ( 5 − y ) − 3 y = −1 −7 y = −21  y = 3

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất ( x; y ) = ( 2;3)

x − 2 y = 2
b) 
2 x − 4 y = 4

x − 2 y = 2
x = 2 + 2 y
x = 2 + 2 y
Cách 1: Ta có 



2 x − 4 y = 4
0 y = 0
2 ( 2 + 2 y ) − 4 y = 4

Ta thấy rằng 0 y = 0 có nghiệm đúng với mọi y  R
Do đó hệ phương trình vô số nghiệm.
Cụ thể, tập nghiệm của nó cũng là tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn x = 2 + 2 y

x = 2 + 2 y
Do đó, hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) tính bởi công thức  
y R
1

y = x −1
1


x − 2 y = 2
2

 y = x −1
Cách 2: Ta có 


2
2 x − 4 y = 4
2 x − 4  1 x − 1 = 4
0 x = 0

2


Ta thấy rằng 0 x = 0 có nghiệm đúng với mọi x  R
Do đó hệ phương trình vô số nghiệm.
Cụ thể, tập nghiệm của nó cũng là tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn y =

Trang 2

1
x −1
2

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn – Tự luận có lời giải

Kết Nối Trí Thức VCS

1

 y = x −1
Do đó, hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) tính bởi công thức  
2

x

R


8 x − 2 y = 10
c) 
−4 x + y = 3

8 x − 2 y = 10
0 x = 16
8 x − 2 ( 3 + 4 x ) = 10
Cách 1: Ta có 



−4 x + y = 3
 y = 3 + 4x
 y = 3 + 4x

Ta thấy phương trình Ox = 16 vô nghiệm với mọi x  R
Do đó hệ phương trình vô nghiệm.

 1
3
0 y = 16
8 x − 2 y = 10 8  y −  − 2 y = 10 
Cách 2: Ta có 
 4

4
1
3
−4 x + y = 3
 y − 3 = 4x
 x = 4 y − 4

Ta thấy phương trình Oy = 16 vô nghiệm với mọi y  R
Do đó hệ phương trình vô nghiệm.
Bài 2.

Giải hệ các phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

−2 x + 3 y = 5
a) 
4 x − 3 y = −1

x − 2 y = 2
b) 
2 x − 4 y = 4

x + 2 y = 6
c) 
2 x + 3 y = 7

Bài giải

−2 x + 3 y = 5 −2 x + 3 y = 5 −2 x + 3 y = 5
x = 2
a) Ta có 



4 x − 3 y = −1 2 x = 4
x = 2
y = 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x; y ) = ( 2;3)
b) Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 2 ta được phương trình tương đương

0 x = 0
x − 2 y = 2
2 x − 4 y = 4
0 x = 0





1
y = x −1
2 x − 4 y = 4
2 x − 4 y = 4
x − 2 = 2 y

2

Do đó hệ phương trình có vô số nghiệm
Cụ thể, tập nghiệm của nó cũng là tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn y =

x  R

Do đó, hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) tính bởi công thức 
1
y = x −1

2


x + 2 y = 6
2 x + 4 y = 12
x + 2 y = 6
 x = −4



c) 
2 x + 3 y = 7
2 x + 3 y = 7
y = 5
y = 5
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x; y ) = ( −4;5 )

Bài 3.

Giải hệ các phương trình sau:
Trang 3

1
x −1
2

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn – Tự luận có lời giải

3x − 2y = 11
a) 
 x + 2y = 9

Kết Nối Trí Thức VCS

4 x + 3 y = 11
c) 
4 x − y = 7

2 x + y = 5
b) 
5 x − 2 y = 8
Bài giải

3x − 2 y = 11 4 x = 20
x = 5
x = 5
x = 5




x + 2 y = 9
2 y = 4
x + 2 y = 9
y = 2
5 + 2 y = 9

a) 

Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( x; y ) = ( 5; 2 )

2 x + y = 5
b) Ta có: 

5 x − 2 y = 8

4 x + 2 y = 10
9 x = 18



5 x − 2 y = 8
2 x + y = 5

x = 2


2.2 + y = 5

x = 2

y =1

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( x ; y ) = ( 2 ;1) .

4 x + 3 y = 11 4 y = 4
y =1
y =1
c) 



x = 2
4 x − y = 7
4 x − 1 = 7
4 x − y = 7
Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( x; y) = (2;1) .
Bài 4.

Giải hệ các phương trình sau:

x + y − 5 = 0
a) 
x − y −1 = 0

3x + 2 y − 10 = 0
b) 
2 x − 3 y + 2 = 0

 3x + y − 1 = 0
c) 
x − 2 y − 5 = 0

Bài giải


x + y − 5 = 0
x = 3
 x + y = 5 2 x = 6
a) Ta có: 
.



x
−
y
=
1
y
=
x
−
1
y
=
2
x − y −1 = 0




Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (3; 2) .
b) Ta có:




 x=2
3x + 2 y − 10 = 0
x = 2
3x + 2 y = 10
9 x + 6 y = 30
 13x = 26





2x + 2  

2 x − 3 y + 2 = 0
y = 2
2 x − 3 y = −2 4 x − 6 y = −4
3 y = 2 x + 2
 y = 3



 y = 1 − 3x
 3x + y − 1 = 0
 3x + y = 1


c) Ta có 
x − 2 y − 5 = 0
x − 2 y = 5
 x − 2 (1 − 3x ) = 5
 y = 1 − 3x
 y = 1 − 3x
 y = 1 − 3.1  x = 1




.
7x = 7
x − 2 + 6x = 5
x = 1
 y = −2
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (1; −2 ) .

Trang 4

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn – Tự luận có lời giải

Kết Nối Trí Thức VCS

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 5.

Giải hệ các phương trình sau:

2 x − y = 4
a) 
 x + 3 y = −5

2 x + y = 5
b) 
3x − y = 5

2 x + 3 y = 8
c) 
− x + y = 1
Bài giải

2 x − y = 4
6 x − 3 y = 12
7 x = 7
x = 1
x = 1
a) 
.




 x + 3 y = −5  x + 3 y = −5
 y = 2x − 4
 y = 2.1 − 4
 y = −2
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S = (1; −2 ) .

2 x + y = 5 5 x = 10
x = 2
x = 2



b) 
3x − y = 5
3x − y = 5 3.2 − y = 5  y = 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 ; y = 1.

2 x + 3 y = 8 2 x + 3 y = 8
5 y = 10
y = 2



c) 
− x + y = 1
−2 x + 2 y = 2
− x + y = 1  x = 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (1; 2 ) .
Bài 6.

Giải hệ các phương trình sau:

x − y = 3
a) 
3 x + y = 1

2 x − 3 y = 1
b) 
 x + 2y = 4

2 x − y = 4
c) 
 x + 2y = 7

Bài giải

 x − y = 3
x = 1
4 x = 4
 x = 1



a) 
3x + y = 1  y = x − 3  y = 1 − 3  y = −2
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất S = {(1; −2)} .

2 x − 3 y = 1
2 x − 3 y = 1
2 x − 3 y = 1
x = 2



b) 
 x + 2y = 4
2 x + 4 y = 8
7 y = 7
y = 1
Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất ( x; y ) = ( 2;1) .

2 x − y = 4
x = 3
4 x − 2 y = 8
5x = 15



 y = 2 x − 4
y = 2
 x + 2 y = 7
 x + 2 y = 7

c) 

Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( x; y ) = (3; 2) .
Bài 7.

Giải hệ các phương trình sau:

x − 2 y = 5
a) 
2 x − y = 7

x + y = 5
b) 
4 x + 5 y = 9

x + 2 y = 4
c) 
 x − 2 y = −4

Bài giải

x − 2 y = 5
2 x − 4 y = 10
3 y = −3
 y = −1
 y = −1




a) 
2 x − y = 7
2 x − y = 7
2 x − y = 7
2 x = 7 + (−1)
x = 3
Trang 5

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn – Tự luận có lời giải

Vậy S= ( 3; −1)

Kết Nối Trí Thức VCS

x + y = 5
4 x + 4 y = 20  y = −11
 x = 16



b) 
4 x + 5 y = 9 4 x + 5 y = 9
x = 5 − y
 y = −11
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) = (16; −11)
x + 2 y = 4
2 x = 0
x = 0
x = 0
c) 



 x − 2 y = −4
 x − 2 y = −4
0 − 2 y = −4
y = 2

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (0;2)
Bài 8.

Giải hệ các phương trình sau:

3 x − 4 y + 2 = 0
a) 
5 x + 2 y = 14

3x + 2 y − 8 = 0
b) 
3x − 4 y − 2 = 0

3x − y + 4 = 0
c) 
2 x + 3 y − 1 = 0

Bài giải

4y − 2

x=
4y − 2


3x − 4 y + 2 = 0
3x − 4 y = −2
x = 2
3

x =



a) 
3 
5 x + 2 y = 14
5 x + 2 y = 14
y = 2
5.  4 y − 2  + 2 y = 14
26 y = 52

  3 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x; y ) = ( 2; 2 )

6 y = 6
y =1
3x + 2 y − 8 = 0
3x + 2 y = 8
y =1


b) 


8− 2y  
8 − 2.1  
3x − 4 y − 2 = 0 3x − 4 y = 2
x = 2
 x = 3
 x = 3
.
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S = ( 2;1) .

3x − y + 4 = 0
3x − y = −4 6 x − 2 y = −8 11y = 11
 x = −1




c) 
2 x + 3 y − 1 = 0 2 x + 3 y = 1
6 x + 9 y = 3
2 x + 3 y = 1  y = 1
Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( x; y) = ( −1;1) .

Trang 6

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn – Tự luận có lời giải

Kết Nối Trí Thức VCS

DẠNG 2
HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Bài 9.

Giải hệ các phương trình sau:

x+ y x− y
=

4
a)  2
 x = y +1
 3 5

x y
 − =1
b)  2 3

5 x − 8 y = 3
Bài giải

x+ y x− y
=

4 x + 4 y = 2 x − 2 y
2 x + 6 y = 0
5 5
 2
4
a) 


 ( x; y ) =  ; − 
2 6
5 x = 3 y + 15
5 x − 3 y = 15
 x = y +1

3 5

5 5
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x; y ) =  ; − 
2 6

x y
x = 3
3x − 2 y = 6 12 x − 8 y = 24 7 x = 21
 − =1

b)  2 3




3
5
x
−
8
y
=
3
5
x
−
8
y
=
3
3
x
−
2
y
=
6
y=





5
x
−
8
y
=
3
2


 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x; y ) =  3; 
 2
Bài 10. Giải hệ các phương trình sau:


2 ( x + y ) − 5 y = 3
a) 

4 ( x − 1) − 2 ( y + 1) = 4

( x + 1)( y − 1) = xy − 1
b) 
( x − 3)( y − 3) = xy − 3
Bài giải



4 x − 6 y = 6
x = 3
2 ( x + y ) − 5 y = 3
2 x − 3 y = 3


a) Ta có 


4 x − 2 y = 10
y =1

4 ( x − 1) − 2 ( y + 1) = 4
4 ( x − 1) − 2 ( y + 1) = 4
Vậy hệ phuương trình có nghiệm duy nhất ( x; y ) = ( 3;1) .

 xy − x + y − 1 = xy − 1
− x + y = 0
( x + 1)( y − 1) = xy − 1
b) 


x= y=2
x
−
3
y
−
3
=
xy
−
3
xy
−
3
x
−
3
y
+
9
=
xy
−
3
−
3
x
−
3
y
=
−
12
(
)(
)





Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x; y ) = ( 2; 2 )

Trang 7

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn – Tự luận có lời giải

Kết Nối Trí Thức VCS

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 11. Giải hệ các phương trình sau:

( x + y )( x − 1) = ( x − y )( x + 1) + 2( xy + 1)
b) 
( y − x)( y + 1) = ( y + x)( y − 2) − 2 xy

2( x + y ) + 3( x − y ) = 4
a) 
( x + y ) + 2( x − y ) = 5

Bài giải

2( x + y ) + 3( x − y ) = 4
a) 
( x + y ) + 2( x − y ) = 5
−1

x=

2( x + y ) + 3( x − y ) = 4

2 .


( x + y ) + 2( x − y ) = 5
 y = 27

2

 −1 27 
Vậy hệ phuương trình có nghiệm duy nhất ( x; y ) =  ; 
 2 2 

( x + y )( x − 1) = ( x − y )( x + 1) + 2( xy + 1)
b) 
( y − x)( y + 1) = ( y + x)( y − 2) − 2 xy
 x = −1
( x + y )( x − 1) = ( x − y )( x + 1) + 2( xy + 1)


1

y=
( y − x)( y + 1) = ( y + x)( y − 2) − 2 xy

3

1

Vậy hệ phuương trình có nghiệm duy nhất ( x; y ) =  −1; 
3


Bài 12. Giải hệ các phương trình sau:

( x − 3)( 2 y + 5 ) = ( 2 x + 7 )( y − 1)
b) 
( 4 x + 1)( 3 y − 6 ) = ( 6 x − 1)( 2 y + 3)


5 ( x + 2 y ) − 3 ( x − y ) = 99
a) 

 x − 3 y = 7 x − 4 y − 17

Bài giải

5 x + 10 y − 3x + 3 y = 99
2 x + 13 y = 99
x = 4
5 ( x + 2 y ) − 3 ( x − y ) = 99
a) 




 x − 3 y − 7 x + 4 y = −17
−6 x + y = −17
y = 7
 x − 3 y = 7 x − 4 y − 17

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x; y ) = ( 4;7 )
−79

x=


x
−
3
2
y
+
5
=
2
x
+
7
y
−
1
(
)(
)
(
)(
)


511
b) 


 y = −51
( 4 x + 1)( 3 y − 6 ) = ( 6 x − 1)( 2 y + 3)

73


 −79 −51 
Vậy hệ phuương trình có nghiệm duy nhất ( x; y ) = 
;
.
 511 73 

Bài 13. Giải hệ các phương trình sau:

5 ( x + 2 y ) − 3 ( x − y ) = 99
a) 
 x − 3 y = 7 x − 4 y − 17

( x − 2)(6 y + 1) = (2 x − 3)(3 y + 1)
b) 
(2 x + 1)(12 y − 9) = (4 x − 1)(6 y − 5)
Trang 8

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn – Tự luận có lời giải

Kết Nối Trí Thức VCS

Bài giải

5 ( x + 2 y ) − 3 ( x − y ) = 99 2 x + 13 y = 99  x = 4


a) 
 x − 3 y = 7 x − 4 y − 17
6 x − y = 17
y = 7
Vậy hệ phuương trình có nghiệm duy nhất ( x; y ) = ( 4;7 )

( x − 2)(6 y + 1) = (2 x − 3)(3 y + 1)
b) 
(2 x + 1)(12 y − 9) = (4 x − 1)(6 y − 5)
6 xy + x − 12 y = 6 xy + 2 x − 9 y − 3
 x = −2


24 xy − 18 x + 12 y − 9 = 24 xy − 20 x − 6 y + 5  y = 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x; y ) = ( −2;1)
Bài 14. Giải hệ các phương trình sau:

3( y − 5) + 2( x − 3) = 0
a) 
7( x − 4) + 3( x + y − 1) − 14 = 0

( x + 1)( y − 1) = ( x − 2)( y + 1) − 1
b) 
2( x − 2) y − x = 2 xy − 3
Bài giải

3( y − 5) + 2( x − 3) = 0
a) 
7( x − 4) + 3( x + y − 1) − 14 = 0
2 x + 3 y = 21
x = 3


10 x + 3 y = 45  y = 5
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x; y ) = ( 3;5 )

( x + 1)( y − 1) = ( x − 2)( y + 1) − 1
b) 
2( x − 2) y − x = 2 xy − 3
17

x
=

2 x − 3 y = 2
11


x + 4 y = 3
y = 4

11
 17 4 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x; y ) =  ; 
 11 11 

Bài 15. Giải hệ các phương trình sau:

2( x + y ) + 3( x − y ) = 4
a) 
( x + y ) + 2( x − y ) = 5

( x + 1)( y − 1) = xy − 1
b) 
( x − 3)( y + 3) = xy − 3
Bài giải

−1

x=

2(
x
+
y
)
+
3(
x
−
y
)
=
4


2
a) 

( x + y ) + 2( x − y ) = 5
 y = −13

2


( x + 1)( y − 1) = xy − 1
x = 

b) 
( x − 3)( y + 3) = xy − 3  y = 
Trang 9

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn – Tự luận có lời giải

Bài 16. Giải hệ các phương trình sau:

x 2
 =
a)  y 3
x + y −1 = 0


 3x
+ 2y = 0

2
b) 
 x + y − 2y = 5

3 2
 2

Bài giải

x 2
 =
a)  y 3
x + y −1 = 0

Điều kiện x  0; y  0
2