PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi bao gồm 02 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THCS 2024-2025
BÀI THI MÔN: TOÁN HỌC
Thời gian làm bài thi: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Họ và tên:................................................................................................
Số báo danh:............................................................................................

Câu 1: (5.0 Điểm).
1. Cho biểu thức:
a. Rút gọn biểu thức .
b. Tìm các giá trị nguyên của

.
để

nhận giá trị nguyên.

2. Tính giá trị của biểu thức

với giá trị

của
.
Câu 2: (5.0 Điểm).
1. Giải phương trình sau:

.

2. Giải hệ phương trình sau:
3. Trong mặt phẳng toạ độ

.
: Có điểm

. Xác định hàm số của đường thẳng

, biết

rằng
đi qua điểm
và cắt các tia
lần lượt tại
sao cho diện tích tam giác
bằng 2
(đơn vị diện tích).
4. Một xe máy xuất phát từ điểm
đến điểm , sau đó 45 phút một xe ô tô cũng xuất phát từ
địa điểm đến điểm
với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe máy là 30 (km/h). Cả hai xe đến địa điểm
cùng một lúc. Biết hai địa điểm
và
cách nhau 100 (km) và vận tốc của mỗi xe là không đổi.
Tính vận tốc của mỗi xe.
Câu 3: (5.0 Điểm).
Từ một điểm
ở bên ngoài đường tròn
ta vẽ hai tiếp tuyến
nhỏ
lấy một điểm . Vẽ
lần lượt vuông góc với
của
và
,
là giao điểm của
và
. Chứng minh rằng:
a. Các tứ giác
nội tiếp được.

với đường tròn. Trên cung
. Gọi là giao điểm

b.
.
c.
.
Câu 4: (2.0 Điểm).
1. Một khối gỗ hình trụ có bán kính đáy là 3cm, chiều cao 4cm được đặt theo phương thẳng
đứng vuông góc với mặt bàn. Một phần của khối gỗ bị cắt rời theo các bán kính
dài thẳng đứng từ trên xuống dưới với

và theo chiều

như hình vẽ. Tính thể tích phần gỗ còn lại.

2. Gieo một viên xúc sắc cân đối và tung một đồng xu cân đối. Hãy xác định không gian mẫu,
bao nhiêu kết quả có thể xảy ra của phép thử và tính xác xuất của các biến cố sau:
A: “Gieo được số chấm không lớn hơn 3 và đồng xu xuất hiện mặt xấp”.
B: “Gieo được số chấm là số nguyên tố không chia hết cho 3 và đồng xu xuất hiện mặt ngửa”.
Câu 5. (3.0 Điểm).
1. Tìm tất cả các cặp số

thỏa mãn phương trình:

2. Cho các số thực dương bất kỳ
. Chứng minh rằng:
------------------------------ HẾT -----------------------------Giám thị không giải thích gì thêm!
Thí sinh không được trao đổi, sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay!
Chữ ký giám thị số 1:....................................................................................................................
Chữ ký giám thị số 2:....................................................................................................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THCS 20242025
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
BÀI THI MÔN: TOÁN HỌC
(Đề thi bao gồm 02 trang)
Thời gian làm bài thi: 150 phút, không kể thời gian
giao đề
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI MÔN TOÁN

Số
câu

Đáp án

Chia
Đ

1.1a

2.0
1. Cho biểu thức:
a. Rút gọn biểu thức .
Điều kiện để A có nghĩa là:

.
0.25
0.5

0.25
0.25
0.5
0.25
1.1b

b. Tìm các giá trị nguyên của
Ta có :

1.2

để

 0
+ Để A là số nguyên ( khi đó A =1) thì
Kết luận: …
2. Tính giá trị của biểu thức
giá trị của

1.0

nhận giá trị nguyên.

1
hay
2.0
với

.
0.5
0.25

0.25
0.5

0.25

2.1

0.25

KẾT LUẬN: B=

1. Giải phương trình sau:

.

1.5
0.25

Điều kiện xác định:

0.5

0.25

Với
0.125

0.125

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

0.25

2.2

1.5
2. Giải hệ phương trình sau:

.
0.5

Thế phương trình (2) vào phương trình (1) ta có:
0.75
và
.
Thử lại được 4 nghiệm:
Kết luận: Vậy hệ phương trình có nghiệm
2.3

Trong mặt phẳng toạ độ
, biết rằng
tích tam giác

0.25

: Có điểm

. Xác định hàm số của đường thẳng 1.0
đi qua điểm
và cắt các tia
lần lượt tại
sao cho diện
bằng 30 (đơn vị diện tích).
0.25

0.25
0.25
0.25
2.4

Một xe máy xuất phát từ điểm
đến điểm , sau đó 45 phút một xe ô tô cũng xuất
phát từ địa điểm
đến điểm
với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe máy là 30 (km/h).
1.0
Cả hai xe đến địa điểm cùng một lúc. Biết hai địa điểm và cách nhau 100 (km)
và vận tốc của mỗi xe là không đổi. Tính vận tốc của mỗi xe.

0.25

0.25
0.25
0.25
3

Từ một điểm
ở bên ngoài đường tròn
ta vẽ hai tiếp tuyến
với đường
1.5
tròn. Trên cung nhỏ
lấy một điểm . Vẽ
lần lượt vuông góc với
. Gọi là giao điểm của
và
,
là giao điểm của
và
.
Chứng minh rằng:
a. Các tứ giác
nội tiếp được.

E
l

I

O

D

C
K

+ Ta có

nên tứ giác

Và

b.

nên tứ giác

nội tiếp.
nội tiếp.

.

0.75
0.75
2.5
0.75

Ta có

.

0.75

Ngoài ra

.

Từ (1) và (2) suy ra

, ngoài ra dễ thấy

Từ đây suy ra hai tam giác

và

.

đồng dạng nên

.

c.

thì

.
Từ đó tứ giác

nội tiếp một đường tròn.


Suy ra

4.1

Vì

mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên
nên

.

0.75

1.0
0.25

.

Trong tứ giác

0.25

.

0.25
0.25
0.25

0.25
1. Một khối gỗ hình trụ có bán kính đáy là 3cm, chiều cao 1.0
4cm được đặt theo phương thẳng đứng vuông góc với mặt
bàn. Một phần của khối gỗ bị cắt rời theo các bán kính
và theo chiều dài thẳng đứng từ trên xuống dưới
với

như hình vẽ. Tính thể tích phần gỗ còn lại.

Thể tích khối gỗ hình trụ (còn nguyên) là:
Diện tích mặt đáy hình quạt của phần gỗ bị cắt rời là:

0.25

0.25
Thể tích phần gỗ bị cắt rời là:

4.2

0.25
0.25


Thể tích phần gỗ còn lại là:
Vậy thể tích phần gỗ còn lại là: 33π (cm3)
2. Gieo một viên xúc sắc cân đối và tung một đồng xu cân đối. Hãy xác định không 1.0
gian mẫu, bao nhiêu kết quả có thể xảy ra của phép thử và tính xác xuất của các biến cố
sau:
A: “Gieo được số chấm không lớn hơn 3 và đồng xu xuất hiện mặt xấp”
B: “Gieo được số chấm là số nguyên tố không chia hết cho 3 và đồng xu xuất hiện mặt
ngửa”.
*Gọi (a;b) là kết quả của phép thử.
0.325
Trong đó a: kết quả của gieo xúc sắc, b: kết quả tung xúc sắc.
Không gian mẫu của phép thử là: =(a;b)={(1;xấp),(1; ngửa), (2;xấp), (2; ngửa),
(3;xấp),(3; ngửa), (4;xấp),(4; ngửa), (5;xấp),(5; ngửa), (6;xấp),(6; ngửa)}.
0.125

Có n( )=12 kết quả có thể xảy ra.

Các kết quả thuận lợi cho biến cố A là: (1; xấp), (2; xấp), (3; xấp)

n(A)=3

Xác suất của biến cố là
Các kết quả thuận lợi cho biến cố B là: (1; ngửa), (2; ngửa), (5; ngửa)

n(B)=3

5.1


Xác suất của biến cố là
Vậy P(A)=P(B)=1/4
1. Tìm tất cả các cặp số

thỏa mãn phương trình:

0.125
0.125
0.125
0.125

1.5
0.25

0.5
0.5

5.2

Kết luận vậy phương trình có nghiệm nguyên là (-2;4), (-4;6)

2. Cho các số thực dương bất kỳ

*Đặt

. Chứng minh rằng:

0.25
1.5

.

Ta được
Hay

0.25

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM
Ta được

0.25

+

0.25
0.25

+
+
Từ (1),(2),(3),(4) cộng vế theo vế ta được như điều cần phải chứng minh ................

0.75