BÀI TẬP TỰ LUYỆN GTLN GTNN ĐẶNG VIỆT HÙNG FREE FULL:
http://fumacrom.com/1wLAQ
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN GTLN GTNN ĐẶNG VIỆT HÙNG FREE FULL:
http://fumacrom.com/1wLGZ
CHỦ ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT
1. Định nghĩa
Cho hàm số xác định trên D
• Số M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số trên D nếu
ta kí hiệu
Chú ý: Nếu thì ta chưa thể suy ra
• Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên D nếu
ta kí hiệu
Chú ý: Nếu thì ta chưa thể suy ra
2. Các phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số
Phương pháp chung:
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên D, ta tính y', tìm các điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu hoặc không tồn tại và lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên ta suy ta GTLN, GTNN của hàm số.
• Chú ý:
• Nếu hàm số luôn tăng hoặc giảm trên [a;b].
Thì ta có và
• Nếu hàm số liên tục trên [a;b] thì luôn có GTLN, GTNN trên đoạn đó và để tìm GTLN, GTNN ta làm như sau:
• Tính y' và tìm các điểm mà tại đó y' triệt tiêu hoặc không tồn tại.
• Tính các giá trị Khi đó
+)
+)
• Nếu hàm số tuần hoàn trên chu kỳ T để tìm GTLN, GTNN của nó trên D ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN trên một đoạn thuộc D có độ dài bằng T.
• Cho hàm số xác định trên D. Khi đặt ẩn phụ ta tìm được với , ta có thì Max, Min của hàm f trên D chính là Max, Min của hàm g trên E.
• Khi bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mà không nói trên tập nào thì ta hiểu là tìm GTLN, GTNN trên tập xác định của hàm số.
• Ngoài phương pháp khảo sát để tìm Max, Min ta có thể dùng phương pháp miền giá trị hoặc bất đẳng thức để tìm Max, Min
• Ta cần phân biệt hai khái niệm cơ bản
• Giá trị lớn nhất của hàm số trên D với cực đại của hàm số.
• Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên D với cực tiểu của hàm số.
3. Tìm tập giá trị của hàm số
Phương pháp chung:
Việc tìm tập giá trị của hàm số chính là việc đi tìm giá trị nhỏ nhất, kí hiệu là m và giá trị lớn nhất, kí hiệu là M. Khi đó, tập giá trị của hàm số là
4. Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số hai biến (bài toán cực trị)
• Các bài toán hai biến (yêu cầu: tìm GTLN, GTNN hoặc tìm tập giá trị).
• Sử dụng phương pháp thế từ giả thiết vào biểu thức P cần tìm cực trị, khi đó với đưa về tìm GTLN, GTNN của bài toán một biến.
• Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản (có thể dùng để giải quyết các bài toán một biến)
• Bất đẳng thức AM – GM cho hai số thực không âm

• Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho các số thực a, b, c, d
Dấu “=” xảy ra khi
• Một số bổ đề cơ bản dùng trong các bài toán hai biến
• và
•
• Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân số
DẠNG 1: TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ
Ví dụ 1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0;2] là
A. 0. B. 3. C. 5. D. 7.
Lời giải
Đáp án: Chọn B
Xét hàm số trên [0;2], có
Phương trình
Tính Vậy .
Ví dụ 2: Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;2] là
A. 64. B. 1. C. 0. D. 9.
Lời giải
Đáp án: Chọn D
Xét hàm số trên [0;2], có
Phương trình
Tính Vậy
Ví dụ 3: Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [2;4] là
A. 7. B. 6. C. D.
Lời giải
Đáp án: Chọn B
Cần nhớ công thức đạo hàm:

Cách 1: Xét hàm số trên [2;4], có
Phương trình
Tính Vậy .
Cách 2: Sử dụng công cụ TABLE (MODE 7)
Bước 1: Bấm tổ hợp phím MODE 7
Bước 2: Nhập
Sau đó ấn phím = (nếu có thì ấn tiếp phím =) sau đó nhập
(Chú ý: Thường ta chọn )
Bước 3: Tra bảng nhận được và tìm GTNN:

Dựa vào bảng giá trị ở trên, ta thấy
Ví dụ 4: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0;2]. Giá trị của 3M + m bằng
A. 0. B. – 4. C. – 2. D. 1.
Lời giải
Đáp án: Chọn C
Xét hàm số trên [0;2] có
Suy ra là hàm số nghịch biến trên (0;2)
Vậy
Ví dụ 5: Giá trị lớn nhất của hàm số là
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải
Đáp án: Chọn B
Cần nhớ công thức đạo hàm:

Điều kiện xác định:
Xét hàm số trên [-3;1], có
Phương trình
Tính Vậy
Ví dụ 6: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Giá trị của
M – 2m bằng
A. 0. B. C. 1. D.
Lời giải
Đáp án: Chọn D
Điều kiện xác định:
Xét hàm số trên [-1;1], có
Phương trình
Tính
Vậy
Ví dụ 7: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số . Giá trị của bằng
A. – 2. B. 2. C. 0. D. – 1.
Lời giải
Đáp án: Chọn A
Điều kiện xác định:
Xét hàm số trên [-1;1], có
Phương trình . Tính
Vậy
Ví dụ 8: Giá trị lớn nhất của hàm số là
A. 0. B. C. D.
Lời giải
Đáp án: Chọn C
Điều kiện xác định:
Đặt ta có
Tính
Khi đó
Do đó
Xét trên Vậy
Ví dụ 9: Giá trị nhỏ nhất của hàm số là
A. – 9. B. 1. C. D.
Lời giải
Đáp án: Chọn B
Đặt khi đó
Xét hàm số trên [-1;1], có
Suy ra là hàm số đồng biến trên
Ví dụ 10: Giá trị lớn nhất của hàm số là
A. 0. B. 5. C. 4. D.
Lời giải
Đáp án: Chọn D
Cần nhớ công thức lượng giác:

Ta có
Đặt khi đó
Xét hàm số trên [-1;1], có
Phương trình
Tính Vậy
Ví dụ 11: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số trên đoạn [-6;6]
A. 110. B. 9. C. 55. D. 7.
Lời giải
Đáp án: Chọn C
Xét hàm số liên tục trên đoạn [-6;6]
Đạo hàm
Lại có
Tính
Nhận xét: bài này rất dễ sai lầm vì không để ý hàm trị tuyệt đối không âm.
Ví dụ 12: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số trên đoạn [-4;4]
A. 2. B. 17. C. 34. D. 68.
Lời giải
Đáp án: Chọn C
Hàm số xác định và liên tục trên đoạn [-4;4]
• Nếu thì nên suy ra
Đạo hàm Ta có
• Nếu thì nên suy ra
Đạo hàm Ta có
So sánh hai trường hợp, ta được
Ví dụ 13: Cho hàm số có đồ thị trên đoạn [-2;4] như hình vẽ. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số trên đoạn [-2;4]?

A. 2. B. 3. C. 1. D.
Lời giải
Đáp án: Chọn B
Từ đồ thị hàm số trên đoạn [-2;4]
Ta suy ra đồ thị hàm số trên [-2;4] như hình vẽ.
Do đó tại


Ví dụ 14: Cho và . Gọi M là điểm bất kì thuộc (P). Khoảng cách MA bé nhất là
A. B. C. D.
Lời giải
Đáp án: Chọn D
Vì M thuộc parabol (P)
Suy ra
Xét hàm số có
Do đó
Ví dụ 15: Cho hai hàm số liên tục và có đạo hàm trên đoạn [-1;1] thỏa mãn và Gọi m là giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1;1] của hàm số Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. B. C. D.
Lời giải
Đáp án: Chọn A
Ta có
Suy ra vì
Do đó là hàm số đồng biến trên [-1;1]
DẠNG 2: BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ
Ví dụ 1: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số có giá trị lớn nhất trên đoạn [-1;3] bằng 10.
A. B. C. D.
Lời giải
Đáp án: Chọn B
Xét hàm số trên [-1;3], có
Phương trình
Tính
Suy ra
Ví dụ 2: Tìm giá trị thực của tham số a để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1;1] bằng 0.
A. B. C. D.
Lời giải
Đáp án: Chọn D
Xét hàm số trên [-1;1], có
Phương trình
Tính
Suy ra
Ví dụ 3: Cho hàm số . Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1;1] bằng – 6. Tính tổng các phần tử của S.
A. 0. B. 4. C. – 4. D.
Lời giải
Đáp án: Chọn A
Ta có Mà
Suy ra Do đó hàm số nghịch biến trên
Lại có Vậy
Ví dụ 4: Biết hàm số với m, n là tham số đồng biến trên khoảng . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng
A. 4. B. C. – 16. D.
Lời giải
Đáp án: Chọn D
Ta có
Hàm số đã cho đồng biến trên
Lại có

Ví dụ 5: Cho hàm số với m là tham số thực. Tìm giá trị lớn nhất của m để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;3] bằng – 2.
A. B. C. D.
Lời giải
Đáp án: Chọn C
Xét hàm số trên [0;3], có
Suy ra là hàm số đồng biến trên
Theo bài ta, ta có
Ví dụ 6: Cho hàm số (với m là tham số thực) thỏa mãn . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. B. C. D.
Lời giải
Đáp án: Chọn D
Xét hàm số trên [1;2], có
Do đó
Ví dụ 7: Cho hàm số (với m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên m thuộc đoạn
[-10;10] thỏa mãn ?
A. 5. B. 11. C. 16. D. 6.
Lời giải
Đáp án: Chọn B
Xét hàm số trên [0;1]. Có
• TH1. Với suy ra là hàm số đồng biến trên
Do đó
Theo bài ra, ta có
Kết hợp với và có 11 giá trị nguyên m
• TH2. Với suy ra là hàm số nghịch biến trên
Do đó
Theo bài ra, ta có (vô lý)
Vậy có tất cả 11 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu.
Ví dụ 8: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;4] bằng – 1.
A. 3. B. 2. C. 1. D. 0.
Lời giải
Đáp án: Chọn C
Ta có
Với ta được là hàm số đồng biến trên
Suy ra Theo bài ra, ta có
Kết hợp điều kiện: là giá trị cần tìm.
Ví dụ 9: Cho hàm số có . Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [1;3] bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Đáp án: Chọn B
Ta có
Lại có mà
Do đó
Xét hàm số trên [1;3], có
Phương trình
Tính Vậy
Ví dụ 10: Cho hàm số có . Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Đáp án: Chọn D
Ta có
Lại có mà
Do đó
Xét hàm số trên có
Phương trình
Tính Vậy
Ví dụ 11: Hỏi tập hợp nào dưới đây chứa tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;2] bằng 5?
A. B. C. D.
Lời giải
Đáp án: Chọn B
Xét hàm số trên [0;2], có
Tính suy ra
• TH1. Nếu
• TH2. Nếu
Vậy có 2 giá trị m cần tìm và thuộc khoảng
Ví dụ 12: Cho hàm số . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m để ?
A. 4. B. 8. C. 13. D. 39.
Lời giải
Đáp án: Chọn C
Xét hàm số trên [-1;3], có
Tính . Khi đó
• TH1. Nếu
Kết hợp . Thử lại có 6 giá trị nguyên âm m cần tìm.
• TH2. Nếu
Kết hợp suy ra có 7 giá trị nguyên m cần tìm.
Vậy có tất cả 13 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 13: Cho hàm số (với m là tham số thực). Hỏi có giá trị nhỏ nhất là?
A. 2. B. 4. C. 1. D. 3.
Lời giải
Đáp án: Chọn A
Xét hàm số trên [1;2], có
Tính suy ra
• TH1. Nếu
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
• TH2. Nếu
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi . Vậy có giá trị nhỏ nhất là 2.
Ví dụ 14: Có bao nhiêu số thực m để hàm số có giá trị lớn nhất trên [-3;2] bằng 150?
A. 2. B. 0. C. 6. D. 4.
Lời giải
Đáp án: Chọn A
Xét hàm số trên [-3;2] có
Phương trình
Tính Khi đó
• TH1. Nếu
• TH2. Nếu
Vậy có tất cả 2 giá trị m thỏa mãn bài toán.
Ví dụ 15: Cho hàm số . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0;2]. Có bao nhiêu số nguyên sao cho
A. 6. B. 5. C. 7. D. 3.
Lời giải
Đáp án: Chọn B
Xét hàm số trên [0;2], có
Phương trình Khi đó
Suy ra và
• TH1. Với , ta thấy (không TMĐK)
• TH2. Với ta có mà
Kết hợp với điều kiện và
• TH3. Với , ta có mà
Kết hợp và
Vậy có 5 giá trị nguyên của a.
Ví dụ 16*: Cho hàm số . Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-1;3]. Khi M đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị của biểu thức
A. – 6. B. 0. C. – 12. D. – 18.
Lời giải
Đáp án: Chọn A
Đặt
Khi đó

Suy ra

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
DẠNG 3: BÀI TOÁN THỰC TẾ ỨNG DỤNG MIN – MAX
Ví dụ 1: Người ta tiêm một loại thuốc vào mạch máu ở cánh tay phải của một bệnh nhân. Sau thời gian là t giờ, nồng độ thuốc hấp thu trong máu của bệnh nhân đó được xác định theo công thức . Hỏi sau bao nhiêu giờ thì nồng độ thuốc hấp thu trong máu của bệnh nhân đó là cao nhất?
A. 24 giờ. B. 4 giờ. C. 2 giờ. D. 1 giờ.
Lời giải
Đáp án: Chọn C
Yêu cầu bài toán: Tìm giá trị của để đạt giá trị lớn nhất
Xét hàm số trên , có
Phương trình Tính
Suy ra Vậy sau 2 giờ thì nồng độ hấp thu là cao nhất.
Ví dụ 2: Người ta giới thiệu một loại thuốc kích thích sự sinh sản của một loại vi khuẩn. Sau ít phút, số vi khuẩn được xác định theo công thức . Hỏi sau bao nhiêu phút thì số vi khuẩn lớn nhất?
A. 10 phút. B. 20 phút. C. 30 phút. D. 15 phút.
Lời giải
Đáp án: Chọn B
Yêu cầu bài toán: Tìm giá trị của để đạt giá trị lớn nhất
Xét hàm số trên [0;3], có
Phương trình . Tính
Suy ra Vậy sau 20 phút thì số vi khuẩn là lớn nhất.
Ví dụ 3: Ông A muốn mua một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích bằng 100m2 để làm khu vườn. Hỏi người đó phải mua mảnh đất có kích thước như thế nào để chi phí xây dựng bờ rào là ít tốn kém nhất?
A. 10m x 10m. B. 4m x 25m. C. 5m x 20m. D. 25m x 8m.
Lời giải
Đáp án: Chọn A
Yêu cầu bài toán: Cho diện tích và tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi hình chữ nhật
Gọi x, y lần lượt là chiều rộng, chiều dài của hình chữ nhật
Diện tích hình chữ nhật là
Chu vi hình chữ nhật (bờ rào mảnh đất) là
Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 4: Một công ty muốn thiết kế một loại hộp có dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông sao cho thể tích khối hộp được tạo thành là 8dm3 và diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất. Độ dài cạnh đáy của mỗi hộp muốn thiết kế là
A. B. C. D.
Lời giải
Đáp án: Chọn B
Gọi h, x lần lượt là chiều cao và độ dài cạnh đáy của hình hợp chữ nhật
Thể tích khối hộp chữ nhật là
Diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật là
Ta có
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 5: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh x cm, rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.

A. B. C. D.
Lời giải
Đáp án: Chọn C
Khi cắt và gấp tấm nhôm, ta được hình hộp chữ nhật có chiều cao x; đáy là hình vuông cạnh
Thể tích khối hộp chữ nhật là
Cách 1. Khảo sát hàm số trên
Cách 2. Ta có
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 6: Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ hộp là ít nhất (diện tích toàn phần của lon là nhỏ nhất). Bán kính đáy vỏ lon là bao nhiêu khi ta muốn có thể tích lon là 314 cm3 ?
A. B. C. D.
Lời giải
Đáp án: Chọn D
Gọi R, h lần lượt là bán kính đáy, chiều cao của lon sữa
Thể tích của lon sữa hình trụ là
Diện tích nguyên liệu làm vỏ hộp ( hình trụ) là
Ta có
Dấu bằng xảy ra khi
Ví dụ 7: Một đường dây điện được nối từ nhà máy điện trên đất liền ở vị trí A đến vị trí C một hòn đảo. Khoảng cách ngắn nhất từ C đến đất liền là , khoảng cách từ A đến B là 4 km. Người ta chọn một vị trí điểm S nằm giữa A và B để mắc đường dây điện đi từ A đến S, rồi từ S đến C như hình vẽ dưới đây. Chi phí mỗi km dây điện trên đất liền là 3000 USD, mỗi km trên điện đặt ngầm dưới biển mất 5000 USD, Hỏi điểm S phải cách A bao nhiên km để chi phí mắc đường dây điện ít nhất?

A. B. 2 km. C. D.
Lời giải
Đáp án: Chọn C
Đặt ta có
Tam giác SBC vuông tại B, có
Do đó, số tiền để mắc dây điện trên đất liền là 3000 x SA = 3000x
Số tiền để mắc dây điện ngầm dưới biển là x
Suy ra tổng số tiền mắc dây điện là
Xét hàm số trên [0;4], có
Phương trình
Dựa vào bảng biến thiên, ta được
Vậy số tiền ít nhất là Dấu bằng xảy ra khi
Ví dụ 8: Một sợi dây kim loại dài 60 cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất uốn thành hình vuông cạnh a, đoạn dây thứ hai uốn thành đường tròn bán kính r. Để tổng diện tích của hình vuông và hình tròn nhỏ nhất thì tỉ số bằng

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải
Đáp án: Chọn B
Gọi x là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn
Suy ra chiều dài đoạn còn lại là
Chu vi đường tròn: Diện tích hình tròn:
Diện tích hình vuông:
Tổng diện tích hai hình:
Đạo hàm:
Suy ra hàm S chỉ có một cực trị và là cực tiểu tại
Do đó S đạt giá trị nhỏ nhất tại
Với và
Ví dụ 9: Doanh nghiệp Alibaba cần sản xuất một mặt hàng trong đúng 10 ngày và phải sử dụng hai máy A và B. Máy A làm việc trong x ngày và cho số tiền lãi là (triệu đồng), máy B làm việc trong y ngày và cho số tiền lãi là (triệu đồng). Hỏi doanh nghiệp Alibaba cần sử dụng máy A làm việc trong bao nhiêu ngày sao cho số tiền lãi là nhiều nhất? (Biết rằng A và B không đồng thời làm việc, máy B làm việc không quá 6 ngày).
A. 5. B. 6. C. 7. D. 4.
Lời giải
Đáp án: Chọn B
Tổng số tiền hai máy làm được là
Theo bài ra, ta có nên và
Suy ra
Xét hàm số trên [4;10], có
Phương trình
Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 10: Có hai cây cột dựng đứng trên mặt đất lần lượt là và đỉnh của hai cột là hai điểm A và C cách nhau 5m. Người ta chọn một vị trí trên mặt đất (nằm giữa B, D) để giăng dây nối đến hai đỉnh cột để trang trí như mô hình bên. Tính độ dài ngắn nhất của đoạn dây?

A. B. C. D.
Lời giải
Đáp án: Chọn A
• Cách 1: Đặt với . Ta có nên
Lại có . Đặt
Ta có
Giải phương trình ta thu được và tìm được
• Cách 2: Gọi H là điểm đối xứng với A qua B và K là điểm đối xứng với C qua D
Và I là hình chiếu của A lên CD. Khi đó AHKC là hình thang cân và
Ta thấy nên
Để khi và chỉ khi và điều đó có nghĩa là A, E, K thẳng hàng.
Vì thế . Hay độ dài ngắn nhất của đoạn dây chính bằng
Ví dụ 11: Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 961 m2, người ta muốn mở rộng thêm 4 phần đất sao cho tạo thành hình tròn ngoại tiếp mảnh vườn. Biết tâm hình tròn trùng với tâm của hình chữ nhật (xem hình minh họa). Tính diện tích nhỏ nhất của 4 phần đất được mở rộng

A. B. C. D.
Lời giải
Đáp án: Chọn D
Gọi x (m), y (m) (x>0, y>0) lần lượt là hai kích thước mảnh vườn hình chữ nhật;
R (m) là bán kính hình tròn ngoại tiếp mảnh vườn
Theo đề bài, ta có . Diện tích 4 phần đất mở rộng:

Ví dụ 12: Cho một tờ giấy hình chữ nhật với chiều dài 12cm và chiều rộng 8cm. Gấp góc bên phải của tờ giấy sao cho sau khi gấp, đỉnh của góc đó chạm đáy dưới như hình vẽ. Để độ dài nếp gấp là nhỏ nhất thì giá trị nhỏ nhất đó bằng bao nhiêu?

A. 6. B. C. D.
Lời giải
Đáp án: Chọn D
Đặt và
Độ dài đường gấp khúc cần tìm chính là độ dài đoạn thẳng
Dễ thấy MHNC là hình thoi nên
Gọi K là hình chiếu của M xuống
Mà


Khi đó
Do đó Đặt với
Có
Suy ra
Ví dụ 13: Một cửa sổ có hình dạng như hình bên, bao gồm: một hình chữ nhật ghép với nửa hình tròn có tâm nằm trên cạnh của hình chữ nhật. Biết rằng tổng độ dài đường viền cho phép của cửa sổ là 4m. Hỏi diện tích lớn nhất của cửa sổ là bao nhiêu?

A. B. C. D.
Lời giải
Đáp án: Chọn B
Gọi
Suy ra
Và
Tổng diện tích của cửa sổ là


Do đó diện tích lớn nhất của cửa sổ là
Ví dụ 14: Cho hình vuông ABCD độ dài cạnh bằng 2m như hình vẽ. Lấy hai điểm P, Q (thay đổi) lần lượt nằm trên hai cạnh DC, CB sao cho PQ luôn tiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính AB. Tìm giá trị nhỏ nhất độ dài đoạn thẳng PQ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

A. 1,08 m. B. 1,32 m. C. 1,66 m. D. 1,54 m.
Lời giải
Đáp án: Chọn C
Đặt , ta có suy ra
Khi đó
Đặt ta được
Xét trên (0;1), có
Suy ra hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi Vậy