SỞ GIÁO KHOA HỌC & CÔNG
NGHỆ BẠC LIÊU

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2020-2021
MÔN: TOÁN 11
(Thời gian làm bài 180 phút)

Câu 1 (4 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên
Câu 2:

thỏa mãn phương trình sau

(4 điểm)

a) Giải hệ phương trình sau trên tập hợp số thực:
b) Cho

,

,

.

là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
.

Câu 3:

(4 điểm)

a) Từ tập hợp
, lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số đôi một
khác nhau và không có hai chữ số liên tiếp nào cùng lẻ.
b) Tìm số hạng chứa
và
Câu 4:

trong khai triển nhị thức Newton của biểu thức

là số nguyên dương thỏa
(4 điểm)

.

a) Giải phương trình sau :
b) Cho tam giác

Câu 5:

.

có

và kí hiệu

biết

,

,

và

. Chứng minh :

. Gọi

là trung điểm của

.

(4 điểm)

a) Cho tam giác

có trọng tâm

. Chứng minh rằng:
khi và chỉ khi tam giác

b) Cho hình chóp
. Gọi
hai đường thẳng

có đáy là hình thoi cạnh

,

lần lượt là trọng tâm các tam giác
và

đều.

.
HẾT

HƯỚNG DẪN GIẢI

,
và

vuông góc với đáy và
. Tính khoảng cách giữa

Câu 1 (4 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên

thỏa mãn phương trình sau

Lời giải :Ta có phương trình tương đương

Do

và

nên ta có các trường hợp sau thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Trường hợp 1:
Trường hợp 2:
Trường hợp 3:
Trường hợp 4:
Vậy phương trình có 4 cặp số nguyên thỏa mãn là

,

và

Câu 4:
a) Giải hệ phương trình sau trên tập hợp số thực:

.

b) Cho

,

,

là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
.
Lời giải

a) Giải hệ phương trình sau trên tập hợp số thực:
Điều kiện

.

Xét phương trình

Do

nên
thế vào hệ không thỏa.

Nên ta chỉ có

.

Thay vào phương trình thứ hai ta được
; Điều kiện:

.

Xét phương trình
, phương trình này vô nghiệm do
VT luôn âm.
Vậy tóm lại hệ đã cho có duy nhất nghiệm

.

b)
.
Áp dụng BDT Cauchy Schwarz cộng mẫu ta có:

.
Vậy
Câu 5:

. Hay

đạt được khi

.

(4 điểm)

a) Từ tập hợp
, lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số đôi một
khác nhau và không có hai chữ số liên tiếp nào cùng lẻ.
b) Tìm số hạng chứa
và

trong khai triển nhị thức Newton của biểu thức

là số nguyên dương thỏa

biết

.
Lời giải

a) Gọi số cần tìm là
.
TH1: Số có chữ số khác nhau gồm chữ số lẻ và chữ số chẵn, có
số.
TH2: Số có chữ số khác nhau có chữ số chẵn và chữ số lẻ.
Với lẻ thì có cách chọn lẻ, có cách chọn chẵn. Do đó có
số.
Với chẵn thì có cách chọn số chẵn, trong vị trí
có vị trí hai số lẻ cách nhau. Do
đó có
số.
TH3: Số có chữ số khác nhau có chữ số lẻ, chữ số chẵn. Suy ra , , lẻ và ,
chẵn. Do đó có
số.
Như vậy, có tất cả là
số.
b) Xét phương trình

Khi đó

.

Hệ số chứa
thỏa
.
Vậy số hạng chứa
trong khai triển là

.

Câu 6: (5 điểm)
c) Giải phương trình sau :
d) Cho tam giác
và kí hiệu

có

.
,

,

. Chứng minh :

. Gọi
.

Lời giải
a.

và

là trung điểm của

.

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

,

.

b.
A

B

C

M

Ta có

Từ
Vậy

Câu 7:

và

.
.

(4 điểm)

a) Cho tam giác

có trọng tâm

. Chứng minh rằng:
khi và chỉ khi tam giác

b) Cho hình chóp
. Gọi
hai đường thẳng
a)

có đáy là hình thoi cạnh

,

lần lượt là trọng tâm các tam giác
và

.
Lời giải

đều.
,
và

vuông góc với đáy và
. Tính khoảng cách giữa

Ta có

Vì hai véctơ

không cùng phương
đều.

b)

Lấy
lần lượt là trung điểm của
Áp dụng định lý Talet cho
ta có:
, mà

Xét

có

đều
lại có

Từ

kẻ

Ta có
Từ

kẻ

Áp dụng hệ thức lượng cho

.
vuông tại

có đường cao

Vậy khoảng cách

và

là

.