PHÒNG GD&ĐT
ĐỀ THI CHÍNH

KÌ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 8

Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1.(5 điểm)
Cho x, y là hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0 và x + y = 1.
a) Rút gọn biểu thức

.

b) Chứng minh rằng: A < - 4.
Bài 2. (2 điểm)
Cho ba số x, y, z thỏa mãn điều kiện:
4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 4xz + 2yz – 6y – 10z + 34 = 0,
Tính gia trị của biểu thức T = (x – 4)2014 + (y – 4)2014 + (z – 4)2014.
Bài 3.(2 điểm)
Cho số nguyên tố p > 3. Biết rằng có số tự nhiên n sao cho trong cách viết thập
phân của số pn có đúng 20 chữ số. Chứng minh rằng trong 20 chữ số này có ít nhất 3
chữ số giống nhau.
Bài 4.( 8 điểm)
Cho hình vuông ABCD cạnh a và điểm N trên cạnh AB. Cho biết tia CN cắt
tia DA tại E, tia Cx vuông góc với tia CE cắt tia AB tại F. Gọi M là trung điểm của
đoạn thẳng EF.
a) Chứng minh CE = CF;
b) Chứng minh B, D, M thẳng hàng;
c) Chứng minh EAC đồng dạng với MBC;
d) Xác định vị trí điểm N trên cạnh AB sao cho tứ giác ACFE có diện tích gấp 3 lần
diện tích hình vuông ABCD.
Bài 5. (3 điểm)
a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 3x – y3 = 1
b) Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện 0 ≤ a, b, c ≤ 2 và a + b + c = 3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a2 + b2 + c2.
--------------------- Hết --------------------(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)

Họ và tên thí sinh: .........................................................
Số báo danh:.........................
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM
Bài
Nội dung
a) Với x + y = 1, biến đổi và thu gọn A.

Biểu
điểm

3(điểm)
Bài
1

b)

(vì x > 0; y < 0 và x + y = 1)

Suy ra A < - 4.
4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 4xz + 2yz – 6y – 10z + 34 = 0
 [4x2 – 4x(y + z) + (y + z)2]+ (y2 + z2 – 6y – 10z + 34) = 0
Bài  (2x – y – z)2 + (y – 3)2 + (z – 5)2 = 0
2 …
 y = 3; z = 5; x = 4
Khi đó T = (4 – 4)2014 + (3 – 4)2014 + (5 – 4)2014 = 2.
Bài Do p là số nguyên tố và p >E 3 nên p không chia hết cho 3. (*)
3
pn có 20 chữ số. Các chữ số chỉ có thể là M0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
gồm 10 chữ số đôi một khác
nhau.
B
F
A
Nếu không có quá nhiều hơn
2
chữ
số
giống
nhau
thì
mỗi
chữ
số
N
n
phải có mặt đúng 2 lần trong cách viết số p . Như vậy tổng các chữ số
của số pn là: 2(0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 90 3 nên pn
3
Điều này mâu thuẫn (*).
D ít nhất 3 chữ số
C giống nhau.
Vậy trong số pn phải có
Bài a) Chứng minh được
4 CDE = CBF (g.c.g)
 CE = CF.

2(điểm)

2(điểm)

2(điểm)

2(điểm)

b) Chỉ ra

 M thuộc đường trung trực BD của đoạn

AC. Vậy B, D, M thẳng hàng.
c) Chỉ ra ACE = BCM  EAC ~ MBC (g.g).
Chỉ ra CAE = CBM
d) Đặt BN = x  AN = a – x.

2(điểm)
2(điểm)

*)Tính SAEFC = SACE + SECF =
- Tính AE: Lý luận để có

- Tính CE2: Lý luận để có CE2 = CD2 + DE2 = a2 + (a + AE)2


2(điểm)

Do đó SAEFC =
*) Tính SABCD = a2.
Lý luận với SAEFC = 3SABCD để có
6x2 – ax – a2 = 0  (2x – a)(3x + a) = 0 

(vì a, x > 0).

KL: N là trung điểm của AB thì SAEFC = 3SABCD.
Bài a)
3x – y3 = 1  3x = y3 + 1
(1)
5
- Dễ thấy x = y = 0 là một nghiệm của (1).
- Nếu x < 0 thì 3x =

( n nguyên dương, n = - x)

suy ra 0 < 3x < 1. Mà y3 + 1 là số nguyên, suy ra (1) không có nghiệm
nguyên.
- Nếu x > 0 thì 3x 3
(1)  3x = (y + 1)3 – 3y(y + 1)  (y + 1)3 3 nên y + 1 3
Đặt y + 1 = 3k ( k nguyên), suy ra y = 3k – 1. Thay vào (1) ta
được: 3x = (3k – 1)3 + 1 = 9k(3k2 – 3k + 1) nên 3k2 – 3k + 1 là ước của
3x mà 3k2 – 3k + 1

3 và 3k2 – 3k + 1=

nên 3k2 – 3k + 1 = 1  3k(3k – 1) = 0  k = 0 hoặc k = 1.
Với k = 0 thì y = - 1 suy ra 3x = 0 phương trình vô nghiệm.
Với k = 1 thì y = 2 suy ra 3x = 9 nên x = 2.
Vậy các cặp số nguyên (x, y)  {(0; 0), (2; 2)}.

1.5(điểm)

b) Từ giả thiết 0 ≤ a, b, c ≤ 2 suy ra (2 – a)(2 – b)(2 – c) + abc ≥ 0
 8 – 4(a + b + c) + 2(ab + bc + ca) ≥ 0
 8 – 12 + 2ab + 2bc + 2ac ≥ 0 (vì a + b + c = 3)
 2ab + 2bc + 2ac ≥ 4
 a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac ≥ 4 + a2 + b2 + c2
1.5(điểm)
 ( a + b + c)2 ≥ 4 + a2 + b2 + c2
 a2 + b2 + c2 ≤ 5 (vì a + b + c = 3)
Dấu đẳng thức xảy ra  (a; b; c) = (0; 1; 2) và các hoán vị của bộ
số này.
Vậy P có GTLN nhất là 5  (a; b; c) = (0; 1; 2) và các hoán vị của
bộ số này.
Chú ý: - Điểm được lấy đến 0.25.
- Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.