Website:tailieumontoan.com
ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9
CỤM CHUYÊN MÔN SỐ 4
NĂM HỌC 2020-2021. MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 120 phút

Câu 1. (4 điểm)
a) Chứng minh
b) Giả sử
nguyên tố.

là số nguyên.

và

đều là các số nguyên tố. Chứng minh

cũng là một số

Câu 2. (6 điểm). Giải các phương trình sau:
a)
b)
c)

.

Câu 3. (4 điểm)
a.

Cho

. Chứng minh rằng:

b. Cho ba số dương

,

,

thỏa mãn điều kiện

. Tìm giá trị lớn

nhất của

Câu 4. (6 điểm) Cho tam giác

nhọn, có các đường cao

.Gọi
lần lượt là hình chiếu của điểm
minh rằng
a)

trên các đường thẳng

cắt nhau tại
. Chứng

.

b)

.

c) Trong các tam giác
hoặc bằng

có ít nhất một tam giác có diện tích nhỏ hơn

diện tích tam giác

.

Câu 5. (1 điểm)

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

Chứng minh rằng: Nếu tất cả các cạnh của một tam giác nhỏ hơn
tam giác nhỏ hơn

thì diện tích

.
HẾT

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CHỌN HSG TOÁN 9 CỤM CHUYÊN MÔN SỐ 4
Năm học: 2020-2021

Câu 6. (4 điểm)
a) Chứng minh
b) Giả sử
nguyên tố.

và

là số nguyên.
đều là các số nguyên tố. Chứng minh

cũng là một số

Lời giải

a) Chứng minh

là số nguyên.

(vì

)

.
Vậy

nguyên.

b) Giả sử
nguyên tố.

và

đều là các số nguyên tố. Chứng minh

Với

:

(ktm)

Với

:

,

Với
Vậy p = 3.

:

cũng là một số

(TM)
(KTM)

Câu 7. (6 điểm). Giải các phương trình sau:
Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
a)
b)
c)

.
Lời giải

a)

.
.
.
.
.
.

b)
Ta có:

.
.
.

Vậy

c)
.
Đặt

, phương trình trở thành:
.

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

Vậy pt có tập nghiệm

.

Câu 8. (4 điểm)
a.

Cho

. Chứng minh rằng:

b. Cho ba số dương

,

,

thỏa mãn điều kiện

. Tìm giá trị lớn

nhất của
Lời giải

a) Cho

. Chứng minh rằng:

Ta có:

Với
Liên
hệ
tài
039.373.2038

:
liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

(luôn đúng)

Tương tự:
Với

(luôn đúng)

Với

(luôn đúng)

b)

Tương tự:

Từ

,

và

Dấu “=” xảy ra khi
Vậy

khi

Câu 9. (6 điểm) Cho tam giác

nhọn, có các đường cao

.Gọi
lần lượt là hình chiếu của điểm
minh rằng

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

trên các đường thẳng

cắt nhau tại
. Chứng

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com
a)

.

b)

.

c) Trong các tam giác
hoặc bằng

có ít nhất một tam giác có diện tích nhỏ hơn

diện tích tam giác

.
Lời giải

A
E

F
H

K
I
B

C

D

a) Tam giác vuông
nhau.

và tam giác vuông

có góc

chung nên đồng dạng với

(1)
Tam giác vuông
nhau.

và tam giác vuông

có góc

chung nên đồng dạng với

(1)
Từ (1) và (2) suy ra:

(3)

Mặt khác dễ thấy tam giác vuông
chung)

và tam giác vuông

đồng dạng (góc

(4)
Chứng minh tương tự ta có tam giác

đồng dạng với tam giác

(5)
Từ (4) và (5) suy ra:

(6)

Từ (3) và (6) suy ra
Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

(đpcm).
môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

b) Ta có

(hai góc so le trong) (1)

Tứ giác

có

nên tứ giác

mà hai góc này ở vị trí đối nhau
là tứ giác nội tiếp

(2 góc nội tiếp cùng chắn cung

) (2)
Chứng minh tương tự ta có tứ giác

là tứ giác nội tiếp

(2 góc nội tiếp cùng chắn cung
Từ (1), (2) và (3) suy ra
Suy ra

) (3)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong

(đpcm).

c) Đặt

,

,

,

,

,

,

;

;
Khi đó:

,

,

Giả sử không có tam giác nào có diện tích nhỏ hơn hoặc bằng
Nghĩa là

diện tích tam giác

. Suy ra

Ta có

Do đó
Theo bđt Cauchy ta có:
và
Do đó
Suy ra đpcm.

hay

(mâu thuẫn gt)

Câu 10. (1 điểm)
Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học

Website:tailieumontoan.com

Chứng minh rằng: Nếu tất cả các cạnh của một tam giác nhỏ hơn
tam giác nhỏ hơn

thì diện tích

.
Lời giải

Kẻ

Ta có

,

,

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông
.
Ta có:
Mà

Vậy tất cả các cạnh của một tam giác nhỏ hơn 1 thì diện tích tam giác nhỏ hơn
HẾT

Liên
hệ
tài
039.373.2038

liệu

word

môn

toán:

Tài liệu toán học