Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
1. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
a) Diện tích hình thang cong

BÀI 2.TÍCH PHÂN

Hình thang cong.Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

, trục hoành và hai đường thẳng

, trong đó
là hàm liên tục không âm trên đoạn
, gọi là một hình thang cong.
Ví dụ 1. Những hình phẳng được tô màu dưới đây có phải là hình thang cong không?

Định lí 1.Nếu hàm số
tích

liên tục và không âm trên đoạn

của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị

đường thẳng

là

, thì diện

, trục hoành và hai

, trong đó

là một nguyên

hàm của hàm số
trên đoạn
.
Ví dụ 2. Tính diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành và hai đường thẳng
b) Định nghĩa tích phân
Cho

là hàm số liên tục trên đoạn
thì hiệu số

.
. Nếu

là một nguyên hàm của hàm số

được gọi là tích phân từ

đến

của hàm số

trên đoạn

, kí hiệu là

Chú ý 1:Tích phân không phụ thuộc vào cách kí hiệu biến:
Chú ý 2:a) Hiệu

thường được kí hiệu là

b) Ta gọi
là dấu tích phân, a là cận dưới,
là hàm số dưới dấu tích phân.
c) Trong trường hợp

hoặc

.Như vậy:

là cận trên,

là biểu thức dưới dấu tích phân và

, ta quy ước:

Ví dụ 3. Tính:a)
;
b)
;
Từ Định lí 1 và định nghĩa tích phân, ta có

c)

1

;

d)

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Ý nghĩa hình học của tích phân:Nếu hàm số
âm trên đoạn

, thì tích phân

thang cong giới hạn bởi đồ thị

liên tục và không

là diện tích

của hình

, trục hoành và hai đường

thẳng
,
. Vậy
Ví dụ 4. Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:
a)
2. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
Tính chất của tích phân:
Cho

b)

là các hàm số liên tục trên đoạn

1)

;

. Khi đó, ta có
2)

3)

;

Ví dụ 5. Tính:a)

.

;

;

4)

.

b)

;

c)

Ví dụ 6. Tính
.
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
4.8. Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:a)
4.9. Cho

và

a)

;

b)

. Tính:
b)

; c)

;

d)

.

4.10. Tính:a)
;
b)
; c)
;
d)
4.11. Một vật chuyển động dọc theo một đường thẳng sao cho vận tốc của nó tại thời điểm

là

.
a) Tìm độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian

, tức là tính

.

b) Tìm tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian này, tức là tính
4.12. Giả sử lợi nhuận biên của một sản phẩm được mô hình hoá bằng công thức
Ở đây
là lợi nhuận khi bán được đơn vị sản phẩm.
a) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 101 đơn vị sản phẩm.
b) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 110 đơn vị sản phẩm.
2

.
.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

4.13. Giả sử vận tốc

của dòng máu ở khoảng cách

từ tâm của động mạch bán kính

không đổi, có thể

được mô hình hoá bởi công thức
trong đó là một hằng số. Tìm vận tốc trung bình của
động mạch trong khoảng
. So sánh vận tốc trung bình với vận tốc lớn nhất.
C. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Sử dụng các tính chất của tích phân
1. Phương pháp
Cho

là các hàm số liên tục trên đoạn

1)

;

2)

3)
2. Ví dụ
Ví dụ 1.

. Khi đó, ta có
;

; 4)

Cho

và

Ví dụ 2. Cho

Biết

Ví dụ 5.

Biết

Ví dụ 6.

Cho

là một nguyên hàm của hàm số
và

trên

. Tính giá trị của

. Tính
. Tính

,

Ví dụ 7. Cho hàm số
Tính
Ví dụ 8. Cho

. Tính

. Tính

Ví dụ 3. Biết
Ví dụ 4.

.

. Tính

liên tục trên

.

thoả mãn

,

,

.

.
,

là hai hàm liên tục trên đoạn

,
Dạng 2: Tích phân lũy thừa

thoả:
. Tính

.

1. Phương pháp
2. Ví dụ
Ví dụ 1: Tích phân
Ví dụ 2: Tích phân
Ví dụ 3: Cho

và

3

. Tìm điều kiện của

để

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
Ví dụ 5: Tính tích phân

để có

\

.

Ví dụ 6: Tích phân

bằng

Ví dụ 7: Biết tích phân

với

Ví dụ 8:
Dạng 3: Tích Phân Hữu Tỉ

,

là các số thực. Tính tổng

.

là phân số tối giản. Tính giá trị

1. Phương pháp. 1)
2)
Chú ý: + Đôi khi ta dùng phương pháp thêm - bớt – tách để đưa về công thức đầu tiên
+ Sử dụng phương pháp đồng nhất thức để tách thành tổng và hiệu các phân thức đơn giản
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Tích phân

Ví dụ 2: Biết

với

là các số thực. Tính

Ví dụ 3: Cho

với

Ví dụ 4: Biết

với

là các số nguyên. Tính

là các số nguyên. Tính

Ví dụ 5: Cho

Tính giá trị của

Ví dụ 6: Tìm tất cả các số thực

dương thỏa mãn

Ví dụ 7: Biết
với
là các số nguyên dương và
trị của
Dạng 4: Tích Phân Lượng Giác
1. Phương pháp
1.1 Nguyên hàm cơ bản cần nhớ với mọi số thực
;
;
Lớp bài toán 2: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng

4

là phân số tối giản. Tính giá

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Cách giải: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng:

;

;
Lớp bài toán 3:
Cách giải:
Nếu n chẵn thì dùng công thức hạ bậc để hạ đến hết bậc:
Nếu n lẻ thì tách ra lấy một thừa số và sử dụng các công thức:
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng

Ví dụ 1: Tính tích phân

Ví dụ 2: Tính tích phân

.

Ví dụ 3: Tính tích phân

Ví dụ 4: Cho tích phân
Dạng 5. Tích phân hàm số mũ

Tính giá trị

1. Phương pháp.
2. Ví dụ.Ví dụ 1:Tính
Ví dụ 2: Tính

.
.

Ví dụ 3. Biết
với , , là các số nguyên. Tính
Dạng 6: Toán thực tế
Ví dụ 1.a) Tính quãng đường xe di chuyển từ khi hãm phanh đến khi dừng trong tình huống: Một ô tô đang
di chuyển với tốc độ

thì hãm phanh nên tốc độ

của xe thay đổi theo thời gian

được tính

theo công thức
Kể từ khi hãm phanh đến khi dừng, ô tô đi được quãng đường bao
nhiêu?
b) Tính tốc độ trung bình của xe trong khoảng thời gian đó.
Ví dụ 2. Tại một nhà máy, gọi

là tổng chi phí để sản xuất

tấn sản phẩm A trong một tháng. Khi

đó, đạo hàm
, gọi là chi phí cận biên, cho biết tốc độ tăng tổng chi phí theo lượng sản phẩm được sản
xuất. Giả sử chi phí cận biên của nhà máy được ước lượng bởi công thức

5

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Biết rằng
triệu đồng, gọi
là chi phí cố định. Tính tổng chi phí khi nhà máy sản xuất 100 tấn sản phẩm A
trong tháng.
Ví dụ 3. Mặt cắt ngang cúa một ống dẫn khí nóng là hình vành khuyên như Hình
9 . Khí bên trong ống được duy trì ở

. Biết rằng nhiệt độ

trên thành ống là hàm số của khoáng cách

từ

tại điểm

đến tâm của mặt cắt và

Tìm nhiệt độ mặt ngoài của ống.
Ví dụ 4. Giả sử tốc độ

của một thang máy di chuyển từ tầng 1 lên tầng cao nhất theo thời gian

được cho bởi công thức:
bình của thang máy.
D. TRẮC NGHIỆM 4 PHƯƠNG ÁN
Câu 1:Biết
Câu 2:Biết
23
A. 4 .
Câu 3:
A. .

. Tính quãng đường chuyển động và tốc độ trung

. Giá trị của
F  x  x3

bằngA.

là một nguyên hàm của hàm số

f x 

B. 7 .

Biết

B.

C.

. Khi đó

.

bằngA. .

B.

Câu 5: Khẳng định nào trong các khẳng định sau đúng với mọi hàm
số bất kỳ thuộc ?

Câu 6: Cho
A. 1.

.

B.

.
dx

;

dx

D.

.

2  f ( x) dx
1

15
D. 4 .

bằng

liên tục, có đạo hàm trên
B.

C.

Câu 8:Cho hàm số
A. .

liên tục trên
và
B. .

,
C.

,

D.

.

. C. . D.

.

liên tục trên

và

,

là các

.

C. 6.

Câu 7:Cho hàm số
bằngA.

6

.

.

D.

dx
. Tính
B. 4.

2

bằng

.

A.

C.

trên  . Giá trị của

. Khi đó
B.

C.

.

C. 9 .

và

Câu 4: Biết

.

D. 5.
. Tích phân
D.

.

. Tích phân
D. .

bằng

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 9:Nếu

và

A.
Câu 10:

thì giá trị của
B.

Cho hàm số

Câu 11: Cho

C.

liên tục trên
.A.

.

B.

Câu 16:

Tính tích phân

Câu 17: Với
.

.
bằng A.

bằng

.

A.

.

Câu 20:

A.

B.

. D.

.

C.

D.

. Tính
C.
.

D.

.

C.

.

B.

.

.

.

D.

.

C. -1.

D.

.

.

C.

.

D.

.

bằng
C.

.

. Khi đó giá trị của
C.

D.

.

là
D.

. Giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây?
B.
bằngA.

Cho

. C.

B. 1.

B.
Cho

B.

B.

A. 0.

Giả sử

Câu 19:

.
đồng thời

là các tham số thực. Giá trị tích phân

A.

Câu 21:

.

và
B.

Giá trị của

D.

.

Cho hai tích phân

Câu 15:

.

. Tính

thỏa mãn điều kiện
.A.

Câu 14: Tích phân

Câu 18:

C.

B.

A.

,

. Tính

A.
Câu 13:
A. .

.

là hai hàm số liên tục trên

Cho

D.

thỏa mãn

. Tính

Câu 12:

bằng

B.

.

C.
C.
với
7

.

D.

.

D.
là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

A.

B.

Câu 22:

Tính tích phân

Câu 23:

bằngA.

A.
.

.

A.

Cho hàm số

A.

.

Câu 31:

, khi đó

. A.

C.

là
.

,

(

B.

Câu 33:
A. .

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của
B. .

Câu 34:

Cho hàm số

bằng?
D.

.

. Khẳng định nào dưới
D.
.

.
,

C.

Cho

.

.
,

.

Câu 32:
A. 1.

A.

C.

thỏa mãn

Có hai giá trị của số thực

bằng

D.

thỏa mãn
.

B.

.

, khi đó

.

B.

.

D.

và

Câu 30: Biết rằng hàm số
A.

.D.

D.

C.

B.

Câu 29: Biết rằng hàm số
đây là đúng? A.
.

C.

C.

.Biết

.

.

và

B.

Câu 28:

.

Tính tổng
C.
.
B.

. Biết

D.

D.

B.

.

bằngA.

Cho hàm số

.

.

với
B.

Câu 26:

C.

C.

.A.

Câu 25: Biết
A.
.

D.

B.

B.

Câu 24: Tính tích phân

Câu 27:

C.

và

.

D.

.

) thỏa mãn
.

C.

.

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
B. 5.
C. 2.
để

D.
để

?
D. 3.

.

thỏa mãn

. Giá trị biểu thức
B. .

.

?
C.

xác định trên

. Hãy tính

D.

.

D.

.

,
bằng

C.
8

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 35:

Cho hàm số

xác định trên

thỏa mãn

. Giá trị của biểu thức
A.

.

Câu 36:
A.

.

có

.
Biết

Câu 38:
A.

Biết

C.

C.

.

B.

B.

B.

Câu 43: Cho
A.

,
.

là các số nguyên. Tính
C.
.

với
.

B.

Câu 42: Cho
A. .

là các số nguyên. Tính
C.
.

.
với

. Tính
C.

.

B.

C.
,

B.

.

bằng

bằng
D.

a)

.
D.

.

.
D.

.

D.

.

là các số hữu tỉ. Giá trị của
D.

. Giá trị của
C.
.

.

bằng
D.

Câu 2:

. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
. b)

Cho

.

bằng
D.

E. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu 1:Cho

.

, với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của
C. .
D. .
, với

Câu 44: Biết
A.
.

.

D.

. Khi đó giá trị của
C.
, với

Câu 41:Cho
A.
.

.

. Khi đó giá trị
C. .

B.

Câu 40: Biết
A.
.

D.

. Tích phân

.

B.

Câu 39: Biết
A.
.

.

và
B.

Câu 37:
A.
.

và

bằng

B.

Cho hàm số

,

. c)

. d) Nếu

. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
9

thì

.

bằng

bằng

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

a) Có
Câu 3:

. b)

. d)

Cho

a)

.

Câu 4:

. c)

b)

.

c)

.

Cho hàm số

a)
. b)
. c)
Câu 5:Giả sử chi phí mua và bảo trì một thiết bị trong

a)
b)
c)
d)

. d)
năm có thể được mô hình hóa theo công thức

.

.
Chi phí mua 1 sản phẩm là 100.000 đồng.
Chi phí bảo trì năm đầu tiên của 1 sản phẩm là
đồng.
Sau 6,5 năm thì số tiền mua một sản phẩm bằng số tiền bảo trì sản phẩm đó.
Nếu một nhà đầu tư có 10 triệu, thì họ có thể mua và bảo trì tối đa 30 sản phẩm trong 10 năm.

Câu 6:

Cho

và

a)

.

Câu 7:
a)

.

c)

.

và
Cho hàm số
.

d)
Câu 8:

. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

b)

d) Nếu

thì
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

b)

.

c)

với

. Biết vận tốc đầu bằng

.

. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm
xác định bởi
Tại thời điểm
, vận tốc của chất điểm là .
Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian
là
m.
Trong giây đầu tiên, thời điểm chất điểm xa nhất về phía bên phải là

Câu 9:

.

đạt giá trị nhỏ nhất khi
.
Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang với gia tốc phụ thuộc vào thời gian

là
a)
b)
c)
d)

d)

Một ô tô đang chạy với vận tốc

.

.

thì người lái hãm phanh. Sau khi hãm phanh ô tô

chuyển động chậm dần đều với vận tốc
, trong đó là khoảng thời gian được tính bằng
giây kể từ lúc ô tô bắt đầu hãm phanh. Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau đây:
a) Thời gian kể từ lúc hãm phanh đến lúc xe dừng hẳn là
b) Quãng đường xe đi được sau

giây kể từ lúc hãm phanh là

c) Quãng đường kể từ lúc hãm phanh đến lúc xe dừng hẳn là
d) Gia tốc tức thời của chuyển động này là
Câu 11: Cho hàm số

giây.

liên tục trên

mét.
mét.

.
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
10

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

a) Nếu

thì

c) Nếu

,

.
thì

Câu 12: Cho hàm số
a) Nếu
c) Nếu

liên tục trên

thì

Câu 13: Cho hàm số

thì

thì

.
.

. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

thì
thì

d) Nếu

. c) Nếu

thì

Câu 14: Cho hàm số
.

thì

d) Biết
liên tục trên

a)

thì

.

.

. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

. c)

Câu 16: Một ô tô đang di chuyển với tốc độ
được tính theo công thức

.

.

Câu 15: Cho hàm số

. b) Biết

thì

. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

b) Biết
.

,
. Khi đó

liên tục trên

c)

.
.

và

d) Nếu

liên tục trên

b) Nếu

a)

thì

b) Nếu
.

và

thì

. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

.

,

và

. d) Nếu

thì

a) Nếu

b) Nếu

. d) Biết
thì hãm phanh nên tốc độ

.
theo thời gian t

. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Sau khi hãm phanh, tốc độ của xe tăng.b) Tốc độ tại thời điểm 2s sau hãm phanh là
c) Sau khi hãm phanh 4s thì xe dừng hẳn. d) Kể từ khi hãm phanh đến dừng, xe đi được quãng đường 42m
Câu 17: Cho
a)

và

. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

. b)

. c)

d) Nếu
Câu 18: Cho

.thì
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

11

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

a)

.

c)

b) Nếu
.

thì

.

d) Nếu

thì

Câu 19:Một vật chuyển động trong 3 giờ với tốc độ

phụ thuộc vào thời

gian
có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh
và trục đối xứng
song song với trục tung như hình bên. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Tốc độ ban đầu của vật là
.
b) Trong khoảng thời gian hai giờ đầu, tốc độ của vật tăng. Trong một giờ còn lại,
tốc độ của vật giảm.
c) Phương trình tốc độ của vật là
d) Quãng đường vật đi được trong 3 giờ đó là
Câu 20:Giả sử tốc độ

.
.

của một thang máy di chuyển từ tầng 1 lên tầng cao nhất theo thời gian t

được cho bởi công thức:
a) Tốc độ tại thời điểm

. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
là 2.

b) Gia tốc chuyển động của thang máy tại thời điểm
c) Quãng đường chuyển động của thang máy là
.
d) Tốc độ trung bình của thang máy là
Câu 22: Cho

c) Cho

và

. Khi đó:

.

b) Cho

c) Nếu

thì

thì

d) Cho

và

Câu 23: Cho

Câu 24: Cho

. Khi đó

. Khi đó: a)

là một nguyên hàm của

d)

.

.

và

a)

là

.
trên đoạn

b) Nếu
thoả mãn

thì
thì

.
.

.
. Khi đó:

a)
.
b)
.
c)
.
d)
Câu 25: Một ô tô chuyển động nhanh dần đều với vận tốc được tính theo thời gian

12

bằng

.

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

a) Quãng đường ô tô đi được trong khoảng thời gian 5 giây đầu tiên là

.

b) Gia tốc chuyển động của ô tô là
.
c) Quãng đường ô tô đi được trong khoảng thời gian từ 5 giây đến 10 giây là
.
d) Giả sử ô tô đó đi được 10 giây thì gặp chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm
dần đều với gia tốc
dừng hẳn là
.
F. TRẢ LỜI NGẮN

. Khi đó, quãng đường ô tô đi được từ lúc bắt đầu chuyển động đến lúc

5

Câu 1: Biết

f  x dx 4
1

Câu 2:Biết

5

. Giá trị của

3 f  x dx
1

bằng

là một nguyên hàm của hàm số

Câu 3: Biết

và

trên

. Giá trị của

. Khi đó

Câu 4:Biết

. Khi đó

bằng

bằng?
bằng

Câu 5: Cho hàm số

liên tục trên

và có

Câu 6:Cho hàm số

liên tục trên đoạn

Tính
và

;

. Tính

.
Câu 7: Cho

,

là hai hàm liên tục trên

. Tính

thỏa:

và

.

Câu 8:

Cho

,

Câu 9:

Tính tích phân

Câu 10:

bằng

Câu 11:

bằng

Câu 12:

Cho

Câu 13:

Cho hàm số

Câu 14:

Cho

thì

bằng bao nhiêu?

.

là một nguyên hàm của

. Biết

. Biết

và

. Tính

,

. Giá trị của tham số

13

là

, khi đó

kết quả là.

bằng

Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 0394838727

Câu 15:

Cho hàm số

Câu 16:Biết

có

và
với

,

Khi đó
là các số nguyên. Tính

Câu 17:Giả sử rằng

. Khi đó, giá trị của

Câu 18:Cho
Câu 19:Biết

với
, với

,

,

,

.
là

là các số hữu tỷ. Biểu thức

là các số nguyên. Tính

Câu 20:Cho
Câu 21:Cho

bằng.

với
, với

bằng

.

là các số hữu tỉ. Giá trị của
là các số hữu tỷ. Giá trị

bằng
bằng:

Câu 22: Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc
. Hỏi rằng trong 3s trước khi
dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét ?
Câu 23: Một xe mô tô phân khối lớn đang chạy với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc
. Hỏi quãng đường của xe đi được trong quãng thời gian 10s đầu tiên sau khi tăng tốc ?
Câu 24: Một xe ô tô chuyển động với vận tốc tại giây thứ t là

. Hỏi xe đã đi được

quãng đường là bao nhiêu kể từ lúc bắt đầu
cho đến lúc
.
Câu 25: Công ty vừa đưa vào một dây chuyền sản xuất để chế tạo máy tính mới. Sau vài tuần, sản lượng đạt
được
máy/tuần. Tìm số máy sản xuất được từ tuần thứ ba đến hết tuần thứ tư.
Câu 26: Việc thở là những vòng tuần hoàn, mỗi vòng tính từ lúc bắt đầu hít vào đến lúc kết thúc thở ra,
thường kéo dài trong 5s. Vận tốc cực đại của khí là V
,vì thế nó được mô hình hoá bởi
.
Tính thể tích khí hít vào phổi sau thời gian 2s.
Câu 27: Một lực có độ lớn 40 N cần thiết để kéo căng một chiếc lò xo có độ dài tự nhiên 10 cm lên 15 cm.
Biết rằng theo định luật
trong Vật lý, khi một chiếc lò xo bị kéo căng thêm
so với độ dài tự nhiên
của lò xo thì lò xo trì lại với một lực cho bởi công thức
, trong đó
xo. Hãy tìm công sinh ra khi kéo lò xo có độ dài từ 15 cm đến 20 cm?

14

là hệ số đàn hồi của lò