thuvientailieuhay.com

CHƯƠNG 1. SỐ HỮU TỈ
BÀI 1. TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số

a
với a, b ∈ Z , b ≠ 0 .
b

Tập hợp số hữu tỉ được kí hiệu là Q.
2. Bất kì số hữu tỉ nào cũng có thể biểu diễn trên trục số. Trên trục số, điểm biểu
diễn số hữu tỉ a được gọi là điểm a.
Trên trục số, hai điểm biểu diễn của hai số hữu tỉ đối nhau a và – a nằm về hai phía
khác nhau so với gốc O và có cùng khoảng cách đến O.
3. Ta có thể so sánh hai số hữu tỉ bất kì bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi
so sánh hai phân số đó.
Với hai số hữu tỉ a, b bất kì, ta luôn có hoặc a = b hoặc a < b hoặc a > b
* Cho 3 số hữu tỉ a, b, c . Nếu a < b và b < c thì a < c (tính chất bắc cầu)
* Trên trục số, nếu a < b thì điểm a nằm trước điểm b .
* Trên trục số, các điểm nằm trước gốc O biểu diễn số hữu tỉ âm (nhỏ hơn 0); các
điểm nằm sau gốc O biểu diễn số hữu tỉ dương (lớn hơn 0). Số 0 không là số hữu tỉ dương
cũng không là số hữu tỉ âm.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Nhận biết quan hệ giữa các tập hợp số
Phương pháp giải: Sử dụng các kí hiệu ∈,∉để biểu diễn mối quan hệ giữa các số với tập
hợp.
1A. Điền kí hiệu (∈,∉) thích hợp vào ô trống:
7



−3



8
9



3
4



−

4
3

6
−5



−5






9

1B. Điền kí hiệu (∈,∉) thích hợp vào ô trống:
2
3



−3
8

thuvientailieuhay.com



−19



2
−5



1

thuvientailieuhay.com
−



23

13
5

−26





−39



2A. Các số hữu tỉ sau là số hữu tỉ âm hay số hữu tỉ dương
a, −

5
6

b,

−2
−5

c,

0
−7

2B. Các số hữu tỉ sau là số hữu tỉ âm hay số hữu tỉ dương
a,

−7
−13

b,

2
−17

c, −

−6
5

Dạng 2. Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số
Phương pháp giải: Khi biểu diễn số hữu tỉ trên trục số, ta viết số đó về dạng phân số
có mẫu dương tối giản. Khi đó mẫu của phân số đó cho ta biết đoạn thẳng đơn vị được
chia ra thành bao nhiêu phần bằng nhau.
3A. Biểu diễn các số hữu tỉ sau trên trục số:

−3 1
;
2 4

3B. Biểu diễn các số hữu tỉ sau trên trục số:

5 1
;
2 −3

Dạng 3. Tìm những phân số biểu diễn cùng một số hữu tỉ
Phương pháp giải: Để tìm những phân số biểu diễn cùng một số hữu tỉ, ta làm như
sau:
Bước 1: Đưa số hữu tỉ về dạng phân số

a
( a, b ∈ , b ≠ 0 ) , rút gọn về phân số tối giản
b

(nếu có thể).
Bước 2: Rút gọn các phân số còn lại về phân số tối giản.
Bước 3: Tìm những phân số biểu diễn cùng một giá trị.
Bước 4: Kết luận.
4A. Cho các phân số

7 −4
5 −23
; ;− ;
−35 20 35 115

Những phân số nào cùng biểu diễn số hữu tỉ

−1
5

3 −15 18 −57
;
;
2 12 −12 38

4B. Cho các phân số − ;

Những phân số nào cùng biểu diễn số hữu tỉ −

thuvientailieuhay.com

3
2

2

thuvientailieuhay.com

Dạng 4. So sánh hai số hữu tỉ
Phương pháp giải: Để so sánh hai số hữu tỉ ta thường làm như sau:
Bước 1: Viết số hữu tỉ dưới dạng phân số có mẫu dương
Bước 2: Quy đồng mẫu các phân số
Bước 3: So sánh tử của các phân số đã quy đồng ở bước 2.
Bước 4: Kết luận
Lưu ý: Ngoài phương pháp so sánh hai phân số theo cách trên, ta có thể sử dụng linh
hoạt các phương pháp: So sánh trung gian, so sánh phần bù, so sánh hai phân số có cùng tử
số (dương)…
5A. So sánh các số hữu tỉ sau:
a)

−2
−3
và
3
4

b)

24
−33
và
−60
44

c)

−75
34
và
85
−68

c) −

26
17
và
52
−51

5B. So sánh các số hữu tỉ sau:
2
a )1 và 1, 25
3

4
19
b)2 và
6
5

6A. Sắp xếp các số hữu tỉ sau theo thứ tự tăng dần:
8 2
−6 7 −7
; ; ;0; ;
7 5 4
13 3

6B. Sắp xếp các số hữu tỉ sau theo thứ tự tăng dần:
−13 −4 −17 1 9
; ;
; ;0;
12 5 15 5 4

7A. Tìm số nguyên x, y biết:

−8 x
y
1
< < <
15 15 15 −3

7B. Tìm số nguyên x, y biết:

1 x y 1
> > >
2 4 8 24

Dạng 5. Tìm điều kiện để số hữu tỉ âm hoặc dương
Phương pháp giải: Vận dụng các kiến thức về số hữu tỉ để giải
• Số hữu tỉ âm là số hữu tỉ nhỏ hơn 0 và số hữu tỉ dương là số hữu tỉ lớn hơn 0.
• Số hữu tỉ

a
là số hữu tỉ dương khi a, b cùng dấu.
b

• Số hữu tỉ

a
là số hữu tỉ âm khi a, b khác dấu.
b

thuvientailieuhay.com

3

thuvientailieuhay.com

8A. Số nguyên n có điều kiện gì thì số hữu tỉ

n
là số hữu tỉ dương.
−5

8B. Số nguyên n có điều kiện gì thì số hữu tỉ

n−9
là số hữu tỉ âm.
13

9A. Cho số hữu tỉ x =

n+5
. Với điều kiện nào của số n thì:
3

a) x là số hữu tỉ dương
b) x là số hữu tỉ âm.
c) x không là số hữu tỉ âm cũng không là số hữu tỉ dương.
9B. Cho số hữu tỉ x =

13 − n
. Với điều kiện nào của số n thì:
−5

a) x là số hữu tỉ dương
b) x là số hữu tỉ âm.
c) x không là số hữu tỉ âm cũng không là số hữu tỉ dương.
10A. Tìm các số nguyên m để hai số hữu tỉ

m+2
m−5
và
đều là số hữu tỉ dương
5
−6

10B. Tìm các số nguyên m để hai số hữu tỉ

1− m
5−m
và
đều là số hữu tỉ âm.
3
−13

11A. Tìm điều kiện của m để x =

m+3
là số hữu tỉ?
m−2

11B. Tìm điều kiện của m để x =

m+5
là số hữu tỉ?
3m − 1

Dạng 6. Toán có nội dung thực tế
Phương pháp giải: Vận dụng các kiến thức về số hữu tỉ để giải.
1
2

12A. Mai có thói quen đạp xe vào cuối tuần. Hôm thứ Bảy, Mai đạp được 20 km trong 2
tiếng. Hôm chủ nhật, Mai đạp được 30, 45km trong 3 tiếng. Hỏi ngày nào Mai đạp xe nhanh
hơn?
12B. Trong cuộc điều tra số học sinh yêu thích các môn học của lớp 7A, bạn Hưng lớp
trưởng đã ghi được kết quả như sau:

2
3
số học sinh trong lớp yêu thích môn Toán,
số
3
7

học sinh trong lớp yêu thích môn Ngữ Văn và 56% số học sinh yêu thích môn Tiếng Anh.
Biết rằng một học sinh có thể yêu thích nhiều môn học. Hỏi môn nào đước các bạn lớp 7A
yêu thích nhất?
thuvientailieuhay.com

4

thuvientailieuhay.com

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
13. Điền kí hiệu (∈,∉) thích hợp vào ô vuông:
−16



−



197

−2
3

−13





14. Trong các câu sau đây, câu nào đúng, câu nào sai:
a) Số 0 là số hữu tỉ dương.
b) Số nguyên và số tự nhiên đều là số hữu tỉ
c) Số hữu tỉ dương lớn hơn số hữu tỉ âm.
d) Số 0 nhỏ hơn số hữu tỉ âm.
15. So sánh các số hữu tỉ sau:
a) 0, 75 và

3
5

16. Tìm x ∈  để A =

b)

−15
151515
và
23
−232323

c) −

17
và −8, 7
2

x −5
9− x

a) Là số hữu tỉ
b) Là số hữu tỉ dương
c) Không là số hữu tỉ dương, không là số hữu tỉ âm.
d) Có giá trị là số nguyên.
17. Tìm điều kiện của a để x =

thuvientailieuhay.com

3a + 5
là số hữu tỉ?
1− a

5

thuvientailieuhay.com

BÀI 2. CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ HỮU TỈ
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Ta có thể cộng, trừ, nhân, chia hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng
phân số rồi áp dụng quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân số.
2. Phép cộng các số hữu tỉ có các tính chất giao hoán, kết hợp, cộng với số đối,
cộng với số 0 .
3. Phép nhân các số hữu tỉ có các tính chất giao hoán, kết hợp, nhân với số 1 , tính
chất phân phối.
4. Đối với một tổng trong  , ta có thể đổi chỗ các số hạng, đặt dấu ngoặc để
nhóm các số hạng một cách tùy ý như các tổng trong  .
5. Nếu hai số hữu tỉ đều được cho dưới dạng số thập phân thì ta có thể áp dụng
quy tắc nhân, chia đối với số thập phân.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Cộng, trừ các số hữu tỉ
Phương pháp giải: Để cộng, trừ các số hữu tỉ ta làm như sau:
Bước 1: Viết các số hữu tỉ dưới dạng phân số cùng mẫu dương.
Bước 2: Cộng, trừ các tử và giữ nguyên mẫu.
Bước 3: Rút gọn kết quả (nếu có thể)
Chú ý: Có thể sử dụng các tính chất của phép cộng số hữu tỉ để tính nhanh, tính hợp lý
(nếu có thể)
1A. Tính
3
−2
+
−21 7
13 −5
b)
+
−15 18

a)

−2 −6
−
3
5
5
d) ( −3) −  − 
 6

c)

1B. Tính

−1 −1
+
12 18
−3 9
b)
−
7 2

a)

18
+ 0,3
15
2
d) 3,5 −  − 
 7

c) −

2A. Tính nhanh:
 27   23  1  7 
a)  −  +  −  + + 

 13   15  13  −15 
1  5   1 8  
b ) −  −  −  − +  
3  4   4 3  

thuvientailieuhay.com

1

thuvientailieuhay.com

2B. Tính nhanh:
1  3   8 8  
b ) −  −  −  −  
7  11   11 7  

 2   12  15  13 
a)   +  −  + + 

 17   25  7  −25 

Dạng 2. Nhân, chia các số hữu tỉ
Phương pháp giải: Để nhân chia các số hữu tỉ ta làm như sau:
Bước 1: Viết các số hữu tỉ dưới dạng phân số.
Bước 2: Áp dụng quy tắc nhân, chia phân số.
Bước 3: Rút gọn kết quả (nếu có thể)
Chú ý: Có thể sử dụng các tính chất của phép nhân số hữu tỉ để tính nhanh, hợp lí
(nếu có thể)
3A. Tính
3 −4
4 9

a) −2,5.  −

3 

 25 

c)

b) 2 .

−6 9
:
13 −26

5
3
d)  −1  :  −2 


7 

14 

3B. Tính
1 −6
3 5

a) −6,5.  −

7 

 26 

c)

b) 1 .

−3 5
:
17 −34

2
9

d) 1 : 3

5
18

4A. Tính
1 −9  15 
. − 
6 5  7
1
2+
c) 4 − 2
1
2−
2

a) .

b) . + : − 1 :1 
4 9 7 3  5 3
3 5

6 4

2

1

2 1
4 4
d) 1 − −  :  2 − − 


3

4 

3

5

4B. Tính
a) 21 − 3 :  − 
4 8 6

b) − + : .

3
c) 12 + 4
3
1−
4

13 2
1
−1
d)  3 − +  :  − 2 + 1 

3

3
4

3 1

1+



1 5 10
2 6 3

12

3   12

2

5A. Tính một cách hợp lý (nếu có thể)
1 3
1 −13
+ .
7 −16 7 16
3 3 1 −4
c) . − .
7 26 14 13

a) .

5B. Tính một cách hợp lý (nếu có thể)
a)

3 2
6 −12
. + .
16 −7 32 7

thuvientailieuhay.com

−3 5 4
1 2 4
b)  +  : +  +  :
6  7  6 −5  7
1 −5 2
d) ( −0, 25 ) .1 . .2
5 16 7
 5

b)

−2 
7  −5 1  7 
: +  + :3+ 
8  6 9 8 
5 

2

thuvientailieuhay.com
8 45  25   34 
. −  . − 
5 17  16   9 

c) .

Dạng 3. Viết một số hữu dưới dạng tổng hoặc hiệu, tích hoặc thương của nhiều số
hữu tỉ.
Phương pháp giải:
3.1 Viết số hữu tỉ dưới dạng tổng hoặc hiệu:
Bước 1. Viết số hữu tỉ dưới dạng phân số có mẫu dương.
Bước 2. Viết tử của phân số thành tổng hoặc hiệu của các số nguyên
Bước 3. “Tách” ra các phân số có tử là các số nguyên tìm được ở bước 2.
Bước 4. Rút gọn (nếu có thể)
3.2 Viết số hữu tỉ dưới dạng tích hoặc thương
Bước 1. Viết số hữu tỉ dưới dạng phân số.
Bước 2. Viết tử và mẫu của phân số thành tích của hai số nguyên
Bước 3. “Tách” ra các phân số có tử là các số nguyên tìm được ở bước 2.
Bước 4. Lập tích hoặc thương của các phân số đó.
−9
thành tổng của hai số hữu tỉ âm.
5
−9
thành hiệu của hai số hữu tỉ dương.
b) Tìm 2 cách viết số hữu tỉ
5

6A. a) Tìm 2 cách viết số hữu tỉ

a) Tìm 2 cách viết số hữu tỉ

6B.

b) Tìm 2 cách viết số hữu tỉ
7A. Viết số hữu tỉ

3
thành tổng của hai số hữu tỉ âm.
−16

3
thành hiệu của hai số hữu tỉ dương.
−16

5
thành:
−21

−3
7
7
b) Thương của hai số hữu tỉ, trong đó số bị chia là −
10
−16
7B. Viết số hữu tỉ
thành:
27
−8
a) Tích của hai số hữu tỉ trong đó có một thừa số là
9
2
b) Thương của hai số hữu tỉ, trong đó số bị chia là −
9

a) Tích của hai số hữu tỉ trong đó có một thừa số là

Dạng 4. Tính tổng của dãy số có quy luật
Phương pháp giải: Để tính tổng của dãy số có quy luật, ta cần tìm ra tính chất đặc
trưng của từng phân số trong tổng, từ đó biến đổi và thực hiện phép tính.
8A. Tính một cách hợp lý:
1
1
1
+
+ .... +
1.2 2.3
9.10
2
2
2
2
b)
+
+
+
1.3 3.5 5.7 7.9
1
1
1
 1

c)  − 1 .  − 1 ...... 
− 1 . 
− 1
2  3 
 2018   2019 

a)

thuvientailieuhay.com

3

thuvientailieuhay.com
1
1
1
1
1 
d) 1 −  . 1 −  . 1 −  ..... 1 −  . 1 −

4
9
16
81
100








8B. Tính một cách hợp lý:







1
1
1
+
+ .... +
3.4 4.5
26.27
3
3
3
3
b)
+
+
+
1.4 4.7 7.10 10.13
1
1
1 
1 
c)  −1  .  −1  ......  −1
 .  −1

 2  3
 2019   2020 
1
1
1
1
1
d) 1 −  . 1 −  . 1 −  ..... 1 −  . 1 − 
 2   3   4   19   20 

a)

9A. Tính một cách hợp lý:

1
1
1
1
1
1
;
−
−
−
−…−
−
99 97.99 95.97 93.95
3.5 1.3
3 5 6 7 8 9 10 9 8 7 6 5 3
b) − + − + − + + − + − + − .
4 6 7 8 9 10 11 10 9 8 7 6 4

a)

9B. Tính một cách hợp lý:

1
1
1
1
−
−
−…−
19.20 18.19 17.18
1.2
2 3 4 17 8 29 40 29 8 17 4 3 2
b) − + − + − + + − + − + − + .
3 4 5 8 29 40 51 40 29 8 5 4 3
Dạng 5. Tìm x

a)

Phương pháp giải: Vận dụng quy tắc cộng, trừ, nhân, chia số hữu tì để tìm x .
10A. Tìm số nguyên x , biết: −4 ⋅  −  ≤ x < −  − −  .
3 2 6
33 2 4
1

1

1

2 1

1

3

−120  1 1 2 
2 −1
⋅ − −  .
5 12
43  5 4 3 

10B. Tìm số nguyên x , biết: 2 ⋅

Dạng 6. Toán có nội dung thực tế
Phương pháp giải: vận dụng các kiến thức về cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ để giải.
11A. Mảnh vườn nhà bác Tài hình chữ nhật có chiều dài bằng 15, 6 m và chiều rộng bằng
1
3 m.
2

a) Tính chu vi của mảnh vườn đó.
b) Tính diện tích khu vườn đó.
c) Bác Tài định trồng rau và trồng hoa trong vườn, biết rằng bác định trồng rau

1
diện
2

tích và trông hoa 2% diện tích mảnh vườn. Tính diện tích trồng rau và diện tích trồng
hoa trong vườn của bác Tài.
11B. Nhà Lan có một mảnh vườn hình vuông cạnh 12,5 m .
a) Tính diện tích mảnh vườn nhà Lan;
b) Bố Lan làm hàng dây thép gai để rào xung quanh vườn. Biết cửa ra vào vườn là
0, 75 m . Tính độ dài dây thép gai mà bố Lan cân mua để rào xung quanh vườn.
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
12. Tính:

thuvientailieuhay.com

4

thuvientailieuhay.com
1
−6
a)  −2  ⋅  −  ;

 3  4 
3
−26 
b)  −2  : 
;
 5   25 
−5 26 −21 15
c) ⋅ ⋅
⋅ ;
13 7 25 16
−7 13 24
d)  −  ⋅ .
 8 16  9

13. Tính một cách hợp lý:
−40


a) A = 
⋅ 0,32 ⋅  : ;
20  75
 51
17

64

−10 8 7 10
⋅ + ⋅ ;
11 9 18 11
13 1 13 1 29 1
c) C = : − : − : + 8 .
42 28 21 28 42 28
14. Tim x , biết:
−3
1
a) : x = ;
14
35
1
1
−56
b) 2 x − x =
5
3
45
4
8
c)  x +   x −  =
0;
7 
9

2
d) ( 3x − 2 )  2 x −  =
0.
3


b) B=

15. Tính giá trị biểu thức:
2
3

7
9

−1
10

a) A = 7 x − 2 x − y + y với
x =
; y 4,8 ;
=
5
11 với x = −1 .
b) B= x +
9 15
3
−0,3 + −
16 22
( x + 4 ) x − 2 (với
2x + 5
(với x ≠ −1 ) và B =
16. Cho biểu thức A =
x ≠ −4) .
x+4
x +1
a) Tính giá trị của B khi x = −3 ;
1
b) Tính giá trị của A khi x = −2 ;
3
c) Tìm số nguyên x để A có giá trị là số nguyên;
d) Tìm số nguyên x để B có giá trị là số nguyên;
e) Tìm số nguyên x để A và B cùng có giá trị là số nguyên.
0, 2 − 0,375 +

thuvientailieuhay.com

5

thuvientailieuhay.com

BÀI 3. LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN CỦA MỘT SỐ HŨ̃U TỈ
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Luỹ thừa bậc n của một số hữu tỉ x , kí hiệu là x n , là tích của n thừa số x
( n là số tự nhiên lớn hơn 1 ) :
=
xn 
x.
x.
x......
x ( x ∈ , n ∈ , n > 1).
n

1( x ≠ 0 ) ; x1 =
x.
2. Quy ước: x 0 =

3. Tích và thương các lũy thừa:
x m ⋅=
x n x m + n ; x m :=
x n x m − n ( x ≠ 0, m ≥ n ) .

4. Luỹ thừa của luỹ thừa: ( x m ) = x m⋅n .
n

5. Luỹ thừa của một tích và thương:
n

x
xn
( x ⋅ y ) =x ⋅ y ,   = n ( y ≠ 0 )
y
 y
n

n

n

6. Luỹ thừa với số mũ nguyên âm: x − n =

1
với n là số nguyên dương và x ≠ 0 .
xn

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Sử dụng định nghĩa của luỹ thừa để tính
Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa về luỹ thừa và các quy ước để tính.
2

3

0

3
2
2019  −4
1A. a) Tính:  −  ;  2  ;(−0, 4)4 ; 
 ;3 .
4
5
2022


 







b) Viết các tích sau đây dưới dạng luỹ thừa:
b1) 2.8 .32 .64 ; b2) 5.125 .625 ;
3
1B. a) Tính:  4 
 4

2

b3)

3

3 9 27
⋅ ⋅ .
4 16 64

 7
 1000 
;  −  ;(−0,3) 2 ;  −

 4
 2001 

0

−3

1
;  .
3

b) Viết các tích sau đây dưới dạng luỹ thừa:
b1) 3.27 .81 ;

b2) 6.36 .216 ;

b3)

2 16 32
.
⋅ ⋅
3 81 243

2A. Tính:
2

−20 
1 1
c) 
 − 12 +   : .
 27 
2 8

3

2 2
a)  +  ;
9 3

0

1 5
b)  −  ;
3 2

2

2B. Tính:
6
1
a)  + 1 
2
7

2

1 2
b)  2 − 1 
 5 3

3

0

7
1
c) 3 + 4 ⋅   + (−5)2 :  : 25 .
5
9 
2

3A. Tính:
2

2 1
1
a)  2 + −  ⋅ 1 − 


3

2 

4

thuvientailieuhay.com

2

b) 12 :  −  .
3 6
1



1



1

thuvientailieuhay.com

3B. Tính:
5 1
a) 1 − + 
 2 5

2

3

7

⋅ 2 − 
6


1 1
b) 2 :  −  .
2 4
5

Dạng 2. Tính tích và thương của các luỹ thừa cùng cơ số
Phương pháp giải: Vận dụng công thức về luỹ thừa của luỹ thừa, luỹ thừa của một
tích, của một thương và nhân, chia các luỹ thừa cùng cơ số để giải.
4A. Thực hiện phép tính:
1
a)  
9

6

1
⋅ 
3

3

2
b)  − 
 3

2

2

2

9
⋅ 
4

2

7
c)  
3

3

4B. Thực hiện phép tính và viết kết quả dưới dạng luỹ thừa:
6

2

3

 35 
:−  .
 9 

3

3

3
9
2
8
5
8 
b)   ⋅  − 
c)  −  :  −
a)   ⋅  
 .
 3   27 
 5   25 
 2   125 
5A. Viết các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa của một số hữu tỉ:

a) 125 ⋅ 52 ⋅

3

5
c) 63 ⋅ 52 ⋅   .

b) 8.32 :  24 ⋅ 
32

1
⋅ 53
625

1





6

5B. Viết các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa của một số hữu ti:
2

4

1
1
7
1
c) 34 ⋅ 7 2 ⋅  −  .
a) 2401⋅   ⋅ ⋅ 492 ; b) 9.81:  35 ⋅ 
27 
7 7
 3

Dạng 3. Tìm x từ những bài toán có liên quan đến luy thừa

Phương pháp giải: Vận dụng các tính chất sau đây để giải:
• Nếu x m = x n thì m = n với x ≠ 0; x ≠ ±1 .
• Nếu x n = y n thì x = y nếu n lẻ, x = ± y nếu n chẵn.
6A. Tìm các số nguyên x biết:
a) ( x − 2,5)2 =
b) (1 − x)3 =
c) 24− x = 16 .
9;
−8 ;
6B. Tìm các số nguyên x biết:
a) (5 + x)3 =
−27 ;

1
9

c) 53+ x = 125 .

b) (1 − x)2 =
;

7A. Tìm số nguyên x , biết:
a) 81x : 3x = 27 ;

b)

125
=5;
5x

c)

64
= −256 .
(−4) x

c)

625
= 25 .
(−5) x

7B. Tìm số nguyên x , biết:
a) 64 x :16 x = 256 ;

b)

−2401
= −7 ;
7x

8A. Tìm số tự nhiên x , biết:
x

a) 36 < 6 ≤ 7776 ;
x

2 8
2
b) ⋅   ≥   ≥ 1
3  27   3 

8B. Tìm số tự nhiên x , biết:

x

32   8   2 
0
b)  −
 ⋅  −  ≤   < (2022)
 243   27   3 
Dạng 4. Tính nhanh tổng luỹ thừa có quy luật
Phương pháp giải: Khi giải dạng toán này cần nhớ công thức nhân và chia hai luỹ thừa
cùng cơ số.
9A. Rút gọn:

a) 125 ≤ 5x < 625 :

1
;
52

thuvientailieuhay.com

2

thuvientailieuhay.com

a) =
A 2100 − 299 + 298 − 297 +…+ 22 − 2 ;
b) =
B 3100 − 399 + 398 − 397 +…+ 32 − 3 + 1
9B. Cho A= 30 + 31 + 32 +…+ 32009 và B = 32010 .
a) Tính 3A ;
b) Chứng tỏ 2A và B là hai số nguyên liên tiếp.
Dạng 5. Toán có nội dung thực tế
Phương pháp: vận dụng các kiến thức về luỹ thừa để giải.
10A. Theo các nhà khoa học, khoảng cách từ Trái Đất đến Sao Kim là
38, 2.108 km , khoảng cách từ Trái Đất đến Sao Mộc là 58,8.107 km .
Hỏi khoảng cách từ Trái Đất đến Sao Kim gấp khoảng bao nhiêu lần khoảng cách từ
Trái đất đến Sao Mộc?
(làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
10B. Theo kết quả thống kê ngày 26 tháng 2 năm 2022, số ca nhiểm
Covid-19 tại một số nước trên thế giới là:
Quốc gia
Số ca nhiễm (người)
Hoa Kỳ
7,88.107
Ấn Độ
4, 29.107
Brazil
2,87.107
Pháp
2, 2.107
Vương quốc Anh
1,89.107
Em hãy sắp xếp tên các quốc gia có số ca nhiễm Covid-19 theo thứ tự giảm dần.
III. BÀI TẬP TỤ LUYỆN
9

1
604
13. Tính:  −  ⋅ 89 ; 4 ;(−0,125)4 ⋅ 4096;54 ⋅125 ⋅ (2,5)−5 ⋅ 0, 04
8
15




14. Tính:
2

3

0

1
2
95
a)  −  +  −  ⋅125 −  −  ;
 3  5
 12 
15. Tìm số tự nhiên x biết:

−32
1
;;
b)
= 4;
(−2) n
8
16. Biết rằng 12 + 22 + 32 +…+ 102 = 385 .
Tính tổng:=
S 1002 + 2002 + 3002 +…+ 10002 .
17. Chứng minh rằng: A = ( 55 − 54 + 53 ) : 7 .
1
a)  
2

b)

153 + 5.152 − 53
.
183 + 6.18 − 6

2 n−1

=

c) 2 x + 2 − 2 x =
96 .

18. Thu gọn tổng sau:
a) C = 1 + 2 + 22 +…+ 2100
b) D = −1 + 3 − 32 +…− 32 n + 32 n +1

thuvientailieuhay.com

3

thuvientailieuhay.com

BÀI 4. THỨ TỰ THỰC HIỆN CÁC PHÉP TÍNH.
QUY TẮC CHUYỂN VẾ
I. TÓM TǺT LÝ THUYẾT
1.Với các biểu thức chỉ có phép cộng và phép trừ hoặc chỉ có phép nhân và
phép chia, thì thực hiện các phép tính từ trái sang phải.
• Với các biểu thức không có dấu ngoặc, ta thực hiện theo thứ tự:
Luỹ thừa → Nhân và chia → Cộng và trù.
• Với biểu thức có dấu ngoặc, ta thực hiện trong ngoặc trước, ngoài ngoặc sau.
2.Khi chuyển một số hạng tử từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải
đổi dấu số hạng đó:
Dấu " +" đổi thành dấu " - "và dấu " - " đổi thành dấu " + ".
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Thực hiện các phép tính
Phương pháp giải: Vận dụng thứ tự thực hiện các phép tính để giải.
1A. Thực hiện các phép tính (tính hợp lý nếu có thê).
4
−2 26
a) −  +  ;
9  7 18 

1 −4 1 −6
b) ⋅ + ⋅ ;
3 5 3 5

310 ⋅11 + 310 ⋅ 5
c)
.
39 ⋅ 24

1B. Thực hiện các phép tính:
a)

5  −1  3
+ + ;
6  2  4

11 33 3
c)  :  ⋅
 12 16  5

b)

7  1 5
−− − ;
3  4  12

1 5
d)  0, 75 −  : .


3 7

2A. Thực hiện các phép tính:
3

2

3

2
3
1
1
b) 4.  −  + ;
a)   −   ⋅ (−1)5 ;
 2 2
3 4
2B. Thực hiện các phép tính:

a)

7 3 5
− ⋅ ;
12 4 6

2

3
11
c)  2 −  : .


4

16

1 3 12
b)  2 + 1  ⋅ .
 3

4  13

Dạng 2. Tính hợp lý
Phương pháp giải: Vận dụng thứ tự thực hiện phép tính, các tính chất của phép
cộng và phép nhân (giao hoán, kết hợp, phân phối,...) và quy tắc dấu ngoặc để
giải.
3A. Tính hợp lý:
a)

21 9 26 4
+
+
+ ;
47 45 47 5
thuvientailieuhay.com

b) 1

4
5
4
16
+ − + 0,5 + ;
23 21 23
21

1

thuvientailieuhay.com

5
5
c) 12,5 ⋅  −  + 1,5 ⋅  − 
 7

 7

3B. Tính hợp lý:
a)

15 5 3 18
+ − − ;
12 13 12 13
3
8

1 3
3 8

c) ⋅19 − ⋅ 33

b)

13 6 38 35 1
+ − + − ;
25 41 25 41 2

1
3

Dạng 3. Tìm x .
Phương pháp giải: Vận dụng thứ tự thực hiện phép tính, quy tắc chuyên vế đổi
dấu và cách tìm các số hạng chưa biết, cách tìm thừa số chưa biết, cách tìm số
bị trừ, số trừ hay cách tìm số bị chia, số chia để giải và tìm x .
4A. Tìm x biết:
a)

7
3
4
x+ =
− ;
4
2
5

b)

1
3
x−2 =;
3
5

3 2
29
− x =;
4 5
60
4B. Tìm x biết:
1
a) x − 1, 25 =
3 ;
2

d) 2 − x : =
.

x 3 5
c) 3 − = − 1 ;
2 2 6

2
1
d) − 3 : x =
2.   .
5
5

c)

3
4

1
2

b) x − 1,5 − 2  =;
5
10
3



9



2

5A. Tìm x biết:
2

1
1
a)  x −  =;


4

36

3

3
b)  x − 2,5  =
−8 .
4



5B. Tìm x biết:
−1

2

a) x3 :   = ;
2
 2 
6A. Tìm x biết:
1

2

3
a)  2 : x −  =
16 ;
5

6B. Tìm x biết:
1
1
3
1 1
a) x − x + x =
2 :3 ;
3
2
4
6 4

b)

14
5
− ( 2 x + 5 ) = 32 ⋅ .
9
27
3

3
b) 1,5 − x  =
27 −1 .
5



b) 12 x + 12 x+1 =
22464

Dạng 4. Toán có nội dung thực tế
Phương pháp: vận dụng các kiến thức vê thứ tự thực hiện các phép tính để giải.
7A. Sự sinh trưởng của vi sinh vật là sự tăng lên về số lượng và chủng loại thay
đổi theo thời gian. Thời gian thế hệ là thời gian cần thiết cho một tế bào phân
thuvientailieuhay.com

2

thuvientailieuhay.com

chia (hay quần thể nhân đôi) vê mặt số lượng cá thể. Biết rằng E.coli có thời
gian thế hệ là 20 phút (cứ 20 phút nhân đôi một lần). Hãy tính số lượng E.coli
sau thời gian là:
a) 40 phút;
b) 3 giờ.
7B. Mứt dừa là một món ăn truyền thống của người Việt trong dịp Tết đến xuân
về. Hà cùng Thanh đi mua nguyên liệu để làm món mứt dừa. Biết rằng, lượng
đường chiếm 50% lượng cùi dừa và lượng sữa tươi không đường vị vani chiếm
1
lượng cùi dừa. Hỏi nếu bai bạn Hà và Thanh muốn làm mứt dừa từ 2 kg cùi
20

dừa thì phải mua bao nhiêu đường và sữa tươi không đường vị vani?
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
8. Thực hiện các phép tính:
a) 1, 4 +  − ( 23 ⋅10 − 23 ⋅ 5 )  ;
3
5



b) 1, 2 :  : 3 − (12,5 + 2,5.7 )   +
4
 3
9

2

9. Tìm x , biết :
−3
a) 6 − 0,5. x =

3
b) 2,8 − 5.( x − 10 ) =
−

c) 210: x − 1 =
20,5

d)

13

4

2

2

2
3
 5 8
x− x=
 − .
3
4
 12  15

10. Tìm x , biết :
a) 7.3x + 20.3x =
325

b) ( 2 x + 1) : 5 =+
22 32
13

21
c) ( 5 x − 39 ) .7 + 3,5 =
2

5750
d) ( x + 1) + ( x + 2 ) + ( x + 3) + ... + ( x + 100 ) =

11. Tính hợp lý:
a) 27 .7,5 + 27 .2,5 − 150
2

2

b) 33.18 − 33.2 2 − 33. 6
5

5

5

c) 14,6 + 1, 21 + 5, 4 + 3,79 + 14,5
12. Tính hợp lý:

thuvientailieuhay.com

3

thuvientailieuhay.com

b) 3,9. 13 + 0,87 .0,39

a) 2.31.12 + 4.6.41 + 8.28.3

10

0,01

13. Bỏ dấu ngoặc rồi tính các tổng sau:
a)

16  9 5  −1
− − +
3 5 3 5

b) 3 +  +  −  + 
7 5 3  5 3
5

8

8

13

1

14. Cho A = 12 + 14 + 16 + ... + 1100 . Chứng minh rằng A < 1 .
2

2

2

thuvientailieuhay.com

2

3

4

thuvientailieuhay.com

ÔN TẬP CHƯƠNG I
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Xem lại Tóm tắt lý thuyết các bài từ Bài 1 đến Bài 4 của chương này.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
1A. Tính
a) − 3 .31 11 − 3 .8 12
4

23

4

23

b) 4 :  −  + 5 :  − 
9  9
9  9
5

5

4

5

1B. Tính
9 125 −27 
:
:

 16 64 8 
12 6 18
6 −2
c)  − +  : −
 35 7 14  −7 5

a) 4 + 375.

2A. Thực hiện phép tính:
a) A = 1 + 1 + ... + 1

b)
c)
d)

2
1 3
− 4. + 
3
2 4
 −54  1 8  −1  −81
d) 
− : : :
 64  9 27  3  128

b)

1.2 1.3
99.100
1 
 1  1  
B =−
1
1 −  ...1 −

 2  3   n + 1 
1 1 1 
C =−66. − +  + 124.( −37 ) + 63.( −124 )
 2 3 11 
7  33 3333 333333 33333333 
D=  +
+
+

4  12 2020 303030 42424242 

2B. Tính giá trị các biểu thức sau

1 1 1 3 3
3
3
− −
− −
−
5
a) A 3 7 13 . 4 16 64 256 +
2 2 2
1 1
1
8
− −
1− − −
3 7 13
4 16 64
1 1 1 1
+ − 0, 2
0,125 − +
5
7
2
3
=
+
b) B
3 3 3
3
+ 0,5 −
0,375 − +
5 7 4
10
1
 1  1   1

3A. Cho A =
 − 1 − 1 ... − 1 . So sánh A với −
9
 2  3   10 
11
 1  1   1

3B. Cho B =
− 1 . So sánh B với −
 − 1 − 1 ...
21
 4  9   100 
 2
3  193 33   7
11  1931 9 
4A. Tính 
−
+  : 
+
+ 
.
.
2
 193 386  17 34   1931 3862  25
1,11 + 0,19 − 13.2  1 1 
1
 7
 23
4B.
Cho A
=
−  +  : 2 và B =  5 − 2 − 0,5  : 2
4
2,06 + 0,54
 8
 26
2 4
a) Rút gọn A ; B

b) Tìm x ∈ Z để A < x < B
5A. Tìm x , biết :

thuvientailieuhay.com

1

thuvientailieuhay.com

a) ( 2 x − 3)  x + 1 =
0

3
4

1
c) ( 5 x − 1)  2 x −  =
0
3


5B. Tìm x , biết :

2
b) 3 x + 2 3 =
1
7

5

5

3
d) 3 + 1 : x =

7 7
14
 20
  4141   636363 
x − 128=  4 − 5  : 
− 1 : 
− 1
 21
  4242   646464 

6A. Diện tích của 5 đại dương được ghi lại trong bảng sau:
Tên đại dương
Diện tích (Kilomet vuông)
168 723 000
Thái Bình Dương
85 133 000
Đại Tây Dương
70 560 000
Ấn Độ Dương
21 960 000
Nam Đại Dương
15 558 000
Bắc Băng Dương
(theo nguồn https://cacnuoc.vn/5-dai-dương/)
Em hãy sắp xếp các đại dương theo thứ tự diện tích tăng dần.
6B. Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 90m, tỉ số giữa hai cạnh là 2 .
3

a) Tính diện tích của mảnh đất này.
b) Người ta chia mảnh đất đó để trồng rau, trồng hoa và trồng cây ăn quả. Biết diện tích trồng
rau chiếm 20% diện tích của mảnh vườn, diện tích trồng hoa chiếm 2 diện tích của vườn, còn
9

lại là trồng cây ăn quả. Tính diện tích mỗi phần đất trồng rau, trồng hoa và trồng cây ăn quả.
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
7. Tìm x , biết :
−2
3 2
x− =
3
5 5
−38
3 2 
d)  −  : x =
5
 2 −5 

−3
3
− 2x + =
−2
2
4
x  3 13 
7 7 
− − 
c) −  −  =
2 5 5 
 5 10 

a)

b)

8. Tính:
 3 3  5 3 
a) ( −3) + 125.   :   
 4   4  
3

0

2 1
1

b) 23 + 3.  − 1 + ( −2 ) :  − 9
8
2

30 7
13 27
2 .5 + 2 .5
c) 27 7
2 .5 + 2 .5

9. Thực hiện phép tính (có thể để dạng lũy thừa của một số hữu tỉ):
a)

4510.510
7510

10. Tính hợp lý (nếu có thể):
a)

7 2 7 2
.3 − .9
12 5 12 5

thuvientailieuhay.com

b)

217.94
63.83

b) 2

c)

810 + 410
84 + 4

6 5 25
1
− + − 1 + 0, 25
31 24 31 24

2

thuvientailieuhay.com

8  3  11  3 
:−  −5 :− 
15  5  15  5 

c) 1

11. Viết các biểu thức sau đây dưới dạng lũy thừa:
1
a) 9.3 . .27
81
2

b)


c) 4.16 :  23.

22.4.32

( −2 )

2

.2



5

100100 + 1
;N
12. a) So sánh M và =
N biết: M =
10099 + 1
20082008 + 1
=
;B
b) So sánh A và
B biết: A =
20082009 + 1

1

16 

100101 + 1
100100 + 1
20082007 + 1
20082008 + 1

13. So sánh:
1315 + 1
1316 + 1
a) C = 16
và D = 17
13 + 1
13 + 1
1999
1999 + 1
19992000 + 1
=
F
b) C =
và
19991998 + 1
19991999 + 1
100100 + 1
10069 + 1
và H = 68
c) G =
10099 + 1
100 + 1

14. Cho biểu thức sau:

1 
1 
1 
 1  1  1  
P =−
1
1 − 1 −  ...1 − 1 − 1 − 
 2  3  4   97  98  99 

a) Không tính giá trị biểu thức P, hãy chứng minh 0 < P < 1;
b) Kiểm định lại kết quả của câu a) bằng cách tính giá trị của P.

thuvientailieuhay.com

3

thuvientailieuhay.com
CHƯƠN II. SỐ THỰC
BÀI 1. LÀM QUEN VỚI SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN
I.
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Biểu diễn thập phân của số hữu tỉ, số thập phân hữu hạn và số thập phân
vô hạn tuần hoàn
- Khi viết một số hữu tỉ

a
dưới dạng số thập phân, ta lấy tử số chia cho mẫu
b

số. Có thể xảy ra một trong hai trường hợp sau:

+ Trường hợp 1: Sau một số bước thực hiện phép chia được số dư bằng 0, kết
quả thu được của phép chia đó là một số thập phân có hữu hạn chữ số sau dấu
phẩy. Ta cũng nói kết quả là một số thập phân hữu hạn.
+ Trường hợp 2: Phép chia không báo giờ dừng lại và trong thương có chữ số
hoặc cụm chữ số sau dấu phẩy lặp đi lặp lại.
- Chữ số hoặc cụm chữ số (sau dấu phẩy) lặp đi lặp lại gọi là chu kỳ của số
thập phân vô hạn tuần hoàn, và có thể viết gọn trong dấu ngoặc ( ).
+ Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu không có ước nguyên
tố khác 2 và 5, thì phân số đó được viết dưới dạng số thập phân hữu hạn.
+ Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu không có ước nguyên
tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần
hoàn
+ Mỗi số thập phân vô hạn tuần hoàn biểu diễn một số hữu tỉ.
2. Làm tròn số thập phân căn cứ vào độ chính xác cho trước
+ Làm tròn số thập phân vô hạn tuần hoàn tương tự như làm tròn số thập phân hữu
hạn.
- Đối với chữ số hàng làm tròn:
 Giữ nguyên nếu chữ số ngay bên phải nhỏ hơn 5;
 Tăng 1 đơn vị nếu chữ số ngay bên phải lớn hơn hay bằng 5.
- Đối với chữ số hàng làm tròn:
 Bỏ đi nếu ở phần thập phân;
 Thay bởi các chữ số 0 nếu ở phần số nguyên.
 Khi làm tròn đến một hàng nào đó, kết quả làm tròn có độ chính xác
bằng một nửa đơn vị hàng làm tròn.
II.
BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Nhận biết số thập phân hữu hạn và số thập phân vô hạn tuần hoàn
1A. Trong các số sau, số nào là số thập phân hữu hạn? Số nào là số thập phân vô
hạn tuần hoàn?
0,01; 0,125; − 1,3 ( 7 ) ; − 4,125; 2, ( 54 )

1B. Trong các số sau, số nào là số thập phân hữu hạn? Số nào là số thập phân vô
hạn tuần hoàn?
1,24; 3,82; − 1,2 ( 3) ; − 2,725; 2, (19 )

thuvientailieuhay.com

1

thuvientailieuhay.com
2A. Xác định chu kỳ của số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới đây và viết gọn số
thập phân đó bằng cách sử dụng chu kỳ.
a) 0,171717...
b) 2,010101...
c) −3,14626262...
2B. Xác định chu kỳ của số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới đây và viết gọn số
thập phân đó bằng cách sử dụng chu kỳ.
a) 3,777...
b) 0,232323...
c) −1,2545454...
Dạng 2. Viết một phân số dưới dạng số thập phân
Phương pháp giải: Để viết phân số

a
dưới dạng số thập phân ta thực hiện phép chia
b

a :b.

3A. Viết các phân số sau dưới dạng số thập phân:
3 4 11 18 6
; ; ;− ;
25 9 20 11 24

3B. Viết các phân số sau dưới dạng số thập phân:
6 5 15 17 14
; ; ;− ;
12 7 33 20 9

4A. Dùng dấu ngoặc để chỉ rõ chu kỳ trong thương của các phép chia sau:
a) 8,5 : 3
b) 3 : 7
4A. Dùng dấu ngoặc để chỉ rõ chu kỳ trong thương của các phép chia sau:
b) 9,2 :11
a) 4 : 9
Dạng 3. Nhận biết một phân số viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hay
vô hạn tuần hoàn
Phương pháp giải
Bước 1. Rút gọn phân số về dạng phân số tối giản (nếu có).
Bước 2. Viết phân số dưới dạng có mẫu số dương, nếu thấy mẫu số không có ước
nguyên tố khác 2 và 5 thì kết luận ngay phân số viết được thành số thập phân hữu
hạn. Nếu thấy mẫu số có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì rút gọn phân số cho đến khi
được phân số tối giản và chuyển s...