Giáo viên: Võ Văn Nghiệp

0783878782

TÓM TẮT KIẾN THỨC ÔN TẬP THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN
Kiến thức 1: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Công thức cơ bản
Các công thức cơ bản
2
2
• sin  + cos  = 1
1
• 1 + tan 2  =
cos2 
• 1 + cot 2  =
•
•
•

2. Các cung liên quan đặc biệt

•

1
sin 2 

sin 
cos 
cos 
cot  =
sin 
tan  .cot  = 1
tan  =

Tính chất
• sin( + k 2 ) = sin 
• cos( + k 2 ) = cos 
• tan( + k ) = tan 
• cot( + k ) = cot 

•

•

•

•
•
•
•
•
•

•
•
•

3. Công thức cộng
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b

•
•

cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b
cos ( a − b ) = cos a cos b + sin a sin b
tan a + tan b
tan(a + b) =
1 − tan a tan b
tan a − tan b
tan(a − b) =
1 + tan a tan b
5. Công thức hạ bậc
1 − cos 2a
sin 2 a =
2
1
+
cos
2a
cos2 a =
2
1 − cos 2a
tan 2 a =
1 + cos 2a

•

sin ( − ) = − sin 

cos ( − ) = cos 
Cos đối: 
 tan ( − ) = − tan 
cot − = − cot 
 ( )

sin ( −  ) = sin 

cos ( −  ) = − cos 
Sin bù: 
 tan ( −  ) = − tan 
cot  −  = − cot 
)
 (
 

sin  2 −   = cos 

 
 

cos  −   = sin 
 2

Phụ chéo: 
 tan   −   = cot 

  2


cot   −   = tan 

  2


sin ( +  ) = − sin 

cos ( +  ) = − cos 
Khác pi tan cô: 
 tan ( +  ) = tan 
cot  +  = cot 
)
 (

4. Công thức nhân đôi
sin 2 = 2sin  .cos 
cos 2 = cos2  − sin 2 
= 1 − 2sin 2 
= 2 cos 2  − 1
2 tan 
tan 2 =
1 − tan 2 

6. Công thức nhân ba
•
•
•

sin 3a = 3sin a − 4sin 3 a
cos3a = 4cos3 a − 3cos a
3tan a − tan 3 a
tan 3a =
1 − 3tan 2 a

Giáo viên: Võ Văn Nghiệp

0783878782

7. Công thức biến đổi tổng thành tích
a+b
a −b
cos
2
2
a+b
a −b
cos a − cos b = −2sin
sin
2
2
a+b
a −b
sin a + sin b = 2sin
cos
2
2
a+b
a −b
sin a − sin b = 2cos
.sin
2
2

•

cos a + cos b = 2cos

•
•
•

8. Công thức biến đổi tích thành tổng
1
• cos a cos b = cos ( a + b ) + cos ( a − b )
2
1
• sin a sin b = cos ( a − b ) − cos ( a + b )
2
1
• sin a cos b = sin ( a + b ) + sin ( a − b )
2

Kiến thức 2: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. Hàm số y = sinx
Tập xác định: D =
Tập giá trị: T=[ − 1;1]
Tuần hoàn với chu kì: T = 2 .
 Hàm số y = sin(ax + b) tuần hoàn với chu kì
2
T=

a

2. Hàm số y = cosx
Tập xác định: D =
Tập giá trị: T=[ − 1;1]
Tuần hoàn với chu kì: T = 2 .
 Hàm số y = cos(ax + b) tuần hoàn với chu
2
kì T =
a

Là hàm số lẻ: Vì sin ( − x ) = − s inx

Là hàm số chẵn: Vì cos ( − x ) = cos x

Đồ thị: Là 1 đường hình sin (đối xứng qua gốc Đồ thị: Là 1 đường hình sin (đối xứng qua
tọa độ)
trục Oy)

3. Hàm số y = tanx
Tập xác định: D =



\  + k k  
2


sinx
nên đk cosx  0
cosx
Tập giá trị: T =
Tuần hoàn với chu kì: T = 
 Hàm số y = tan(ax + b) tuần hoàn với chu kì

Vì tanx =

T=

a

Là hàm số lẻ : Vì tan ( − x ) = − tan x
Đồ thị: Đối xứng qua gốc tọa độ

4. Hàm số y = cotx
Tập xác định: D =

\ k  k 



cosx
nên đk sinx  0
sinx
Tập giá trị: T =
Tuần hoàn với chu kì: T = 
 Hàm số y = cot(ax + b) tuần hoàn với chu

kì T =
a

Vì cotx =

Là hàm số lẻ : Vì cot ( − x ) = − cot x
Đồ thị: Đối xứng qua gốc tọa độ

Giáo viên: Võ Văn Nghiệp

0783878782

Kiến thức 3: CÔNG THỨC NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1. Các phương trình cơ bản (loại 1)
u =  + k 2
• sin u = sin   
u =  −  + k 2
u =  + k 2
• cos u = cos   
u = − + k 2
• tan u = tan   u =  + k
• cot u = cot   u =  + k
* Các phương trình sin đặc biệt

+ k 2
2

sin x = −1  x = − + k 2
2
sin x = 0  x = k
sin x = 1  x =

2. Các phương trình cơ bản (loại 2)
•

•

•
•

u = arcsin m + k 2
sin u = m  
.
u =  − arcsin m + k 2
Điều kiện: m  1
u = arcsin m + k 2
cos u = m  
.
u = − arcsin m + k 2
Điều kiện: m  1
tan u = m  u = arctan m + k
cot u = m  u = arctan m + k

Chú ý: Chỉ dùng các công thức loại 2 khi
không thể biến đổi về loại 1

* Các phương trình cos đặc biệt
cos x = 1  x = k 2
cos x = −1  x =  + k 2
cos x = 0  x =


+ k
2

Kiến thức 4: MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG GẶP
1. Bất đẳng thức Côsi
Với các số thực dương:
• a + b  2 ab
Dấu bằng xảy ra khi a1 = b
• a + b + c  3 3 abc
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c
• a1 + a2 + ... + an  n n a1a2 ...an
Dấu bằng xảy ra khi: a1 = a2 = ... = an
3. Bất đẳng thức trị tuyệt đối

2. Bất đẳng thức Bunnhiacopxki
Cho a, b, c, d  , ta có:
ac + bd  a 2 + b2 . c 2 + d 2

•
2
hoặc ( ac + bd )  ( a 2 + b2 )( c 2 + d 2 ) .
Dấu bằng xảy ra khi ad = bc.

4. Một số BĐT khác

Giáo viên: Võ Văn Nghiệp

0783878782

• Bất đẳng thức tam giác
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác.
Ta có: b − c  a  b + c

Với hai số thực, ta có:
• a − b  a+b  a + b
•

a −b  a −c + c −b

•

a a

•

a  b  −b  a  b

•

 a  −b
a b 
a  b

• Bất đẳng thức vectơ
a1 + a2 + ... + an  a1 + a2 + ... + an .

Dấu bằng xảy ra  a1; a2 ;...; an đôi một cùng
hướng.

Kiến thức 5: CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1. Định lí Viet thuận
Phương trình bậc hai ( ax + bx + c = 0 )
−b
• Tổng 2 nghiệm: S = x1 + x2 =
a
c
• Tích 2 nghiệm: P = x1.x2 =
a
2

3. Điều kiện nghiệm của phương trình
bậc hai
• Có 2 nghiệm trái dấu  a.c  0
  0
P  0

• Có 2 nghiệm cùng dấu  

  0

• Có 2 nghiệm cùng dương   S  0
P  0


  0

• Có 2 nghiệm cùng âm   S  0
P  0


2. Định lí Viet đảo
 +  = S
Nếu  ,  là hai số có: 
 . = P
thì chúng là 2 nghiệm phương trình:
x 2 − Sx + P = 0

4. Phương trình bậc hai chứa tham số thỏa
điều kiện cho trước
• x1 < a < x2
x − a  0
  0
 1

( x1 − a )( x2 − a )  0
 x2 − a  0

•

x1 < x2 < a

  0
 x1 − a  0


 ( x1 − a) + ( x2 − a)  0
 x2 − a  0 ( x − a)( x − a)  0
 1
2

•

a < x1 < x2

  0
 x1 − a  0


 ( x1 − a) + ( x2 − a)  0
 x2 − a  0 ( x − a)( x − a)  0
 1
2

Kiến thức 6: MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN TRỊ TUYỆT ĐỐI
1. Định nghĩa và tính chất trị tuyệt đối
Định nghĩa
•

 A khi A  0
A =
-A khi A<0

Tính chất
• A 0
•

A2 = A

2. PT và BPT chứa dấu trị tuyệt đối
•
•
•
•

A = B
A = B  A2 = B 2  
 A = −B
B  0
B  0
A =B 2

2
 A = B
A = B
2
2
A  B A B

B  0
A B 2
2
A  B

0783878782

•

Giáo viên: Võ Văn Nghiệp
B  0

A  B   B  0
  A2  B 2


Kiến thức 7: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
1. Phương trình chứa căn
•
•

A  0
A= B
A = B
B  0
A = B 
2
A = B

2. Bất phương trình chứa căn
•
•

•

A  0
A B
A  B
A  0

A  B  B  0
 A  B2


 A  0

B  0
A  B  
B  0

  A  B2

Kiến thức 8: ĐẠI SỐ TỔ HỢP
1. Quy tắc cộng
Công việc có nhiểu phương án thực hiện:
Phương án 1: m1 cách
Phương án 2: m2 cách
…
Phương án n: mn cách
Để hoàn thành công việc có: m1+ m2+…+ mn
cách

2. Quy tắc nhân
Công việc có nhiểu giai đoạn thực hiện:
Giai đoạn 1: m1 cách
Giai đoạn 2: m2 cách
…
Giai đoạn n: mn cách
Để hoàn thành công việc có: m1. m2… mn cách

3. Hoán vị
• Định nghĩa: Mỗi cách sắp xếp tất cả n
phần tử của 1 tập hợp A cho trước theo
một trật tự nhất định được gọi là 1 hoán vị
của n phần tử.
• Số hoán vị: Pn = n ! = 1.2.3.4...n
• Tính chất: 0! = 1! = 1

5. Tổ hợp
• Định nghĩa: Mỗi tập con gồm k phần tử
của 1 tập hợp A gồm n phần tử cho trước
tổ hợp chập k của n phần tử.

4. Chỉnh hợp
• Định nghĩa: Mỗi cách sắp xếp k phần tử
của 1 tập hợp A gồm n phần tử cho trước
theo một trật tự nhất định được gọi là 1
chỉnh hợp chập k của n phần tử.
• Số chỉnh hợp: Ank =

n!
( n − k )!

• Chú ý: Ann = Pn
6. Xác suất
• Định nghĩa: Xác suất của biến cố A :
P ( A) =

n( A)
.
n()

+ n( A) là số kết quả của biến cố A.

Giáo viên: Võ Văn Nghiệp

0783878782

•

+ n() là số kết quả của không gian mẫu.

n!
Số tổ hợp: Cnk =
k !( n − k )!

( )

• Tính chất: P ( A) = 1 − P A

• Tính chất 1: C = C
• Tính chất 2: Cnk−−11 + Cnk−1 = Cnk
k
n

n−k
n

Với A là biến cố đối của A.

7. Nhị thức Niutơn
• Công thức:
n
( a + b ) = Cn0 a n + Cn1a n−1b + ... + Cnnbn
n

= C a
k =0

k
n

8. Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ
• ( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2
2

• ( a − b ) = a 2 − 2ab + b 2
2

n −k

b

k

• ( a + b ) = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3
3

• Số hạng thứ k+1: Tk +1 = Cnk a n−k bk

• ( a − b ) = a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3
3

• a 2 − b2 = (a − b)(a + b)
• a3 − b3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )
• a3 + b3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 )

Kiến thức 9: GIỚI HẠN
1. Các giới hạn cơ bản
Giới hạn cơ bản tại một điểm
• lim x = x0
x → x0

•

lim c = c

x → x0

• lim  f ( x).g ( x) = L.M
x → x0

x →

•

c
=0
x → x
lim x k = +

•

lim x k = −

•

lim

x →+
x →−

lim x = +
k

x →−

f ( x) = L
 xlim
 → x0
1. Nếu 
thì:
g ( x) = M
 xlim
→ x0
• lim  f ( x)  g ( x) = L  M
x → x0

Giới hạn cơ bản tại vô cực
• lim c = c
•

2. Quy tắc tính giới hạn hữu hạn

(c là hằng số)

• lim
x → x0

(k )
(k lẻ)

f ( x) L
=
g ( x) M

( M  0)


 f ( x)  0

2. Nếu  lim f ( x) = L thì lim f ( x) = L
x→ x

 x→ x0

( k chẵn)

0

3. lim f ( x) = L  lim f ( x) = lim f ( x) = L
x → x0+

x → x0

3. Quy tắc tính giới hạn vô cực

4. Hàm số liên tục
• Hàm số liên tục tại một điểm
Cho y = f(x) xác định trên khoảng K và x0
K.
+ Nếu lim f (x) = f (x 0 ) thì f(x) liên tục tại
x →x 0

x0.

x → x0−

• Quy tắc 1. (Giới hạn của tích)
f ( x) = 
 xlim
 → x0
Cho 
g ( x) = L  0
 xlim
→ x0

lim f ( x)

x → x0

Dấu của L

lim  f ( x).g ( x)

x → x0

Giáo viên: Võ Văn Nghiệp



0783878782

+ Nếu  lim f (x) hoặc lim f (x)  f (x 0 ) thì
x →x 0

+

x →x 0

f(x) không liên tục (gián đoạn) tại x0.





−

Chú ý: Đồ thị hàm số liên tục trên một
• Quy tắc 2. ( Giới hạn của thương)
khoảng là một đường liền nét trên khoảng
đó.
 lim f ( x) = L  0
• Định lý: Nếu hs y = f(x) liên tục trên Cho  x→ x

g ( x) = 0
đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình
 xlim
→x
f (x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng
f ( x)
Dấu của L
Dấu của g(x)
(a;b) .
lim
0

0

x → x0

g ( x)

+





_





Kiến thức 10: ĐẠO HÀM
1. Hàm sơ cấp
2. Hàm hợp
1. Hàm thường gặp 1. Hàm thường gặp

(u ) = u −1.u

( C ) = 0
( x ) = 1

( x ) = n.x
n



( x) = 2


n −1

1
x

 1  −1
  = 2
x x

( u ) = 2uu
 1  −u '
  = 2
u
u

2. Hàm lượng giác

(sin u ) = u. cos u

( cos x ) = − sin x

( cos u ) = −u.sin u

1

cos2 x
1
( cot x ) = − 2
sin x

3. Hàm mũ-logarit

( a ) ' = a .ln a
x

(e )' = e
x

( log a x )

'

1
x.ln a

u

( tan u ) =

cos2 u
u
( cot u ) = − 2
sin u

3. Hàm mũ-logarit

( a ) ' = u.a .ln a
u

u

( e ) ' = u '.e
u

x

=

( u  v ) ' = u ' v '
( u.v ) ' = u '.v + v '.u

 u  u '.v − v '.u
 =
v
v2

* CT Tính nhanh:

(sin x ) = cos x

x

* Quy tắc:

1.

2. Hàm lượng giác

( tan x ) =

3. Quy tắc tính

( log a u )

'

=

u

u'
u.ln a

 ax + b  ad − bc

 =
 cx + d  ( cx + d )2

 ax 2 + bx + c  adx 2 + 2aex + be − dc
2. 
=
 dx + e 
( dx + e )2


 ax 2 + bx + c  (ab1 − a1b)x 2 + 2(ac1 − a1c)x + (bc1 − b1c)
3. 2
 =
a
x
+
b
x
+
c
(a1x 2 + b1x + c1 ) 2
 1
1
1

4. Ứng dụng
1. Phương trình tiếp tuyến

y = f ' ( x0 ) . ( x − x0 ) + y0

+ ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm
+ f ' ( x0 ) là hệ số góc
2. Ứng dụng trong vật lí
Một chuyển động với quãng đường s ( t ) có:
+ Vận tốc: v(t ) = s ' ( t )

0783878782
1
( ln x ) ' =
x

Giáo viên: Võ Văn Nghiệp
+ Gia tốc: a(t ) = v '(t ) = s '' ( t )

u'
( ln u ) ' =
u

Kiến thức 11: NGUYÊN HÀM
2. Phương pháp tìm nguyên hàm

1. Bảng công thức



1. dx = x + C

1. Phân tích
Thực hiện các phép biến đổi để chia tách
nguyên hàm đã cho thành tổng hiệu các nguyên
hàm đơn giản có trong bảng công thức.
2. Đổi biến
Gồm các bước:
+ Đặt t = f ( x) hoặc x =  (t )
+ Suy ra dt=…(hoặc dx)
+ Thay biến mới…
3. Nguyên hàm từng phần
Công thức:

x +1
+C
2.  x dx =
 +1
dx
= ln x + C ( x  0 )
3. 
x
4.  e x dx = e x + C


ax
5.  a dx =
+ C ( 0  a  1)
ln a
6.  cos xdx = sin x + C
x

 udv = uv −  vdu


dx
= tan x + C
8. 
cos x

7. sin xdx = − cos x + C

Sử dụng sơ đồ đường chéo để tính nhanh:

u = ...

Đạo hàm liên tục
Nguyên hàm liên
đến 0
tục theo u
Chú ý: Nếu u là hàm
logarit thì phải rút
gọn.

2

9.

dx

 sin

2

x

dv = ...

= − cot x + C
3. Tính chất

 f '( x)dx = f ( x ) + C
2.  kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx ( k là hằng số)
3.  ( f  g ) dx =  f ( x ) dx   g ( x ) dx
1.

Thứ tự ưu tiên đặt u: Nhất lô, nhì đa, tam lượng,
tứ mũ

Kiến thức 12: TÍCH PHÂN
1. Định nghĩa – Tính chất

2. Phương pháp tính

• Định nghĩa
b

1. Phân tích
Sử dụng tính chất để chia tách tích phân
đã cho thành tổng hiệu các tích phân đơn
giản.

 f ( x)dx = F ( x) a = F (b) − F (a)
b

a

• Tính chất
a

1.

a f ( x)dx = 0
b

2.

c

u (b )

b

a f ( x)dx = −b f ( x)dx
b

3.

2. Đổi biến
a

* Loại 1:



f ( x) dx =

a

c

a f ( x)dx +b f ( x)dx = a f ( x)dx

(abc )

+ Đặt u = f ( x)
+ Suy ra du=…



u (a)

g (u ) du.

Giáo viên: Võ Văn Nghiệp

0783878782
b

b

a
b

a

4.  k. f ( x)dx = k. f ( x)dx (k  )
b

b

a

a

5.  [ f ( x)  g ( x)]dx =  f ( x)dx   g ( x)dx
a

3. Ứng dụng
1. Tính diện tích hình phẳng
• Giới hạn bởi một hàm số

+ Đổi cận…
+ Đưa về tích phân với biến mới
b

* Loại 2:





f ( x)dx =  f ( (t )) '(t )dt.


a

+ Đặt x =  ( x)
+ Suy ra dx=…
+ Đổi cận…
+ Đưa về tích phân với biến mới
Nhận biết đổi biến loại 2: Với một số dạng:
  
a 2 − x 2 : đặt x =| a | sin t; t   − ; 

b

Công thức: S =  f ( x) dx
a

• Giới hạn bởi hai hàm số

 2 2
|a|
  
x 2 − a 2 : đặt x =
; t   − ;  \{0}
sin t
 2 2
  
x 2 + a 2 : đặt x =| a | tan t ; t   − ; 
 2 2

a+x
hoặc
a−x

a−x
: đặt x = a.cos 2t
a+x

Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi
các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn.
3. Tích phân từng phần
b



b



Công thức: udv = uv | − vdu
b

Công thức: S =  f1 ( x) − f 2 ( x) dx
a

2. Tính thể tích vật thể
• Quay quanh Ox (giới hạn bởi 1 hàm )

b
a

a

a

Sử dụng sơ đồ đường chéo để tính nhanh:

u = ...

dv = ...

Đạo hàm liên tục đến 0

Nguyên hàm liên tục
theo u

* Chú ý: Nếu u là hàm
logarit thì phải rút gọn.
Thứ tự ưu tiên đặt u: Nhất lô, nhì đa, tam
lượng, tứ mũ
b

Công thức: S =  [f (x)]2 dx
a

• Quay quanh Ox (giới hạn bởi 2 hàm )
 y = f ( x)
 y = g ( x)


x = a
 x = b

Giáo viên: Võ Văn Nghiệp

0783878782
b

Công thức: V =    f 2 ( x ) − g 2 ( x ) dx
a

• Quay quanh Oy

d

Công thức: Vy =   g ( y ) dy
2

c

Kiến thức 12: CÁC VẤN ĐỀ VỀ HÀM SỐ
1. Khảo sát sự biến thiên
• Các bước khảo sát
Bước 1: Tìm tập xác định
Bước 2: Tính y'
Bước 3: Tìm nghiệm của y' và những điểm y'
không xác định
Bước 4: Lập bảng biến thiên
Bước 5: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch
biến
• Áp dụng giải phương trình
+ Nếu f tăng (giảm) và f ( x0 ) = a thì phương
trình f ( x) = a có nghiệm duy nhất là x = x0
+ Nếu f tăng và g giảm và f ( x0 ) = g( x0 ) thì
phương trình f ( x) = g( x) có nghiệm duy nhất
là x = x0
+ Nếu f tăng (giảm) trên tập xác định
D thì: f (u) = f (v)  u = v (ví i u,v  D)

2. Tìm cực trị
• Cách 1: Dùng BBT
(Tương tự các bước như mục 1)
• Cách 2: Dùng y''
Bước 1: Tìm tập xác định
Bước 2: Tính y'
Bước 3: Tìm các nghiệm xi của y'
Bước 4: Tính y ''
Bước 5: Tính y ''( xi )
Bước 6: Kết luận
y ''( xi )  0  xi là điểm cực đại
y ''( xi )  0  xi là điểm cực tiểu

3. Tìm max, min
• Max, min trên đoạn [a;b]
Bước 1: Tìm tập xác định
Bước 2: Tính y'
Bước 3: Tìm các điểm xi là nghiệm của y'
hoặc là điểm mà y' không xác định trên
khoảng (a,b)
Bước 4: Tính các giá trị f(xi), f(a), f(b)
Bước 5: So sánh và kết luận Max, min.
• Max, min trên khoảng hoặc nửa
khoảng
Bước 1: Tìm tập xác định
Bước 2: Tính y'

4. Tìm tiệm cận
• Tiệm cận ngang
Bước 1: Tính lim y = y1
x →+

 y = y1 là tiệm cận ngang
Bước 2: Tính lim y = y2
x →−

 y = y2 là tiệm cận ngang

Chú ý: Nếu hai giới hạn bằng nhau thì đths có
một TCN
• Tiệm cận đứng
Bước 1: Tìm những điểm x0 là những điểm
không xác định của hàm số( với hàm phân thức
thường là nghiệm của mẫu)

Giáo viên: Võ Văn Nghiệp

0783878782

Bước 3: Tìm nghiệm của y' và những điểm y' Bước 2: Kiểm tra điều kiện: lim+ x =  hoặc
x → x0
không xác định trên khoảng (a,b)
lim x = 
Bước 4: Lập bảng biến thiên
x → x0−
Bước 5: Kết luận Max, min
 x = x0 là tiệm cận đứng.

Kiến thức 13: CÁC DẠNG ĐỒ THỊ
1. Hàm số bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a  0 )

Số nghiệm y '
y

O

2 nghiệm
(2 cực trị)

y

x

x

O

a0

a0

y

O

1 nghiệm
(0 cực trị)

y

x

x

O

a0

y

a0

y

O

Vô nghiệm
(0 cực trị)

O

x

a0

Số nghiệm y '

x

a0

2. Hàm số bậc bốn trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c ( a  0 )

Giáo viên: Võ Văn Nghiệp

0783878782

3 nghiệm
(3 cực trị)

a0

a0

a0

a0

1 nghiệm
(1 cực trị)

3. Hàm phân thức bậc nhất y =

ax + b
, ( ab − bc  0 )
cx + d

+ Đồ thị
không có cực
trị
+ Có tâm đối
xứng là giao
điểm 2 tiệm
cận

ad − bc  0

ad − bc  0

4. Các dạng toán liên quan đến đồ thị
• Tương giao hai đồ thị (tìm giao điểm)
y = f ( x); y = g ( x)

Bước 1: Tìm nghiệm x0 của phương trình
hoành độ giao điểm f ( x) = g ( x)

• Phương trình tiếp tuyến
Công thức: y = y0 + f '( x0 )( x − x0 )
( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm
f '( x0 ) Là hệ số góc

Giáo viên: Võ Văn Nghiệp

0783878782

Bước 2: Thay vào công thức f ( x) hoặc g ( x) .
Được tung độ y0 = f ( x0 ) = g ( x0 )
 Giao điểm M ( x0 ; y0 )

* Các trường hợp đặc biệt:
+ Tiếp tuyến song song với đường thẳng:

* Các trường hợp đặc biệt:
+ Giao với trục hoành (trục Ox): y = 0
+ Giao với trục tung (trục Oy): x = 0

+ Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng:

d : y = ax + b
 f '( x0 ) = a

d : y = ax + b
 f '( x0 ).a = −1

Kiến thức 14: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ
1. Tịnh tiến đồ thị hàm số
Hàm số y = f ( x ) có đồ thị là đường cong (C )
• Đồ thị hs y = f ( x ) + a : Tịnh tiến (C ) lên
trên a đơn vị.
• Đồ thị hs y = f ( x ) - a : Tịnh tiến (C )
xuống dưới a đơn vị.
• Đồ thị hs y = f ( x + a ) : Tịnh tiến (C )
sang trái a đơn vị.
• Đồ thị hs y = f ( x - a ) : Tịnh tiến (C )
sang phải a đơn vị.

2. Suy biến đồ thị
Hàm số y = f ( x ) có đồ thị là đường cong (C )
• Đồ thị hs y = -f ( x ) : Lấy đối xứng (C) qua
Ox
• Đồ thị hs y = f ( -x ) : Lấy đối xứng (C) qua
Oy
• Đồ thị hs y = f ( x ) :
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C ) bên phải Oy, bỏ
phần bên trái
+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C ) được giữ lại
qua Oy.
• Đồ thị hs y = f ( x ) :
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C ) nằm trên Ox , bỏ
phần đồ thị (C ) phía dưới Ox .
+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C ) bị bỏ qua Ox

 f ( x)  0

 y =  f ( x)

• Đồ thị hs y = f ( x)  

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C ) nằm trên Ox , bỏ
phần đồ thị nằm phía dưới Ox
+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C ) được giữ lại
qua Ox .

Giáo viên: Võ Văn Nghiệp

0783878782

Kiến thức 15: LŨY THỪA – MŨ - LOGARIT
1. Lũy thừa
• Định nghĩa
Lũy thừa mũ nguyên dương: a n
Lũy thừa mũ nguyên âm: a − n =

• Tính chất
1
an

( a )

a  a  = a + 

(a  0)

a
= a − 
a

(a  0)

Lũy thừa mũ 0: a0 = 1
m
n

Lũy thừa mũ hữu tỉ: a = n a m
Lũy thừa mũ vô tỉ: a

( a  )  = a . 

( a  0)
(a  0)

(ab) = a  b


a
a
  = 
b
b

• Định nghĩa
Số a là căn bậc n của b nếu a n = b
• Chú ý:
+ Số dương b có 2 căn bậc chẵn:  n b
+ Số thực b bất kì có 1 căn bậc lẻ: n b
+ n 0 = 0 (n  *, n  2)

2. Căn bậc n
• Tính chất
Với a, b là các số dương:
n

a. n b = n ab

n

a na
=
b
b

n

(n a)
m n

n

m

(b  0)

= n a m (a  0)

a = mn a

a
an = 
a

nÕu n lÎ
nÕu n ch½n

3. Logarit
• Định nghĩa
• Quy tắc tính

Với 2 số dương a, b và a  0 :  = loga b  a = b Lôgarit của tích: log (b .b ) = log b + log b
a 1 2
a 1
a 2
Logarit thập phân: log10 b = log b = lg b
b
Lôgarit của thương: log a 1 = log a b1 − log a b2
Logarit tự nhiên: log e b = ln b
• Tính chất
log a a = 1
log a 1 = 0
a loga b = b
log a a = 

b2

Lôgarit của lũy thừa: loga b =  loga b
Đổi cơ số:
log a b =

log c b
 log c a.log a b = log c b
log c a

Đặc biệt: log a b =

1
1
; log a b = log a b
logb a


4. So sánh hai lũy thừa và logarit
• So sánh hai lũy thừa cùng cơ số
• So sánh hai logarit cùng cơ số

Giáo viên: Võ Văn Nghiệp

0783878782
+ Nếu a  1 : a  a     
+ Nếu 0  a  1 : a  a     

+ Nếu a  1 : log a b1  log a b2  b1  b2
+ Nếu 0  a  1 : log a b1  log a b2  b1  b2

• So sánh hai lũy thừa cùng số mũ (cơ số
dương)
+ Nếu m  0 : a m  bm  a  b
+ Nếu m  0 : a m  bm  a  b

Kiến thức 16: HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT
1. Hàm số lũy thừa
• Dạng tổng quát
y = x với  
TXĐ:
+  nguyên dương: D =
+  nguyên âm hoặc bằng 0:
D=

\ 0

+  không nguyên: D = ( 0; + )
• Đạo hàm
( x ) =  .x −1.
Đối với hàm hợp:
(u ) =  .u −1.u '

2. Hàm số mũ

3. Hàm số logarit

• Dạng tổng quát
y = a x , (a  0, a  1).
TXĐ: D =

• Dạng tổng quát
y = log a x, (a  0, a  1)
TXĐ: D = ( 0; + )

• Đạo hàm
(a x ) = a x .ln a
Đặc biệt: (e x ) = e x

• Đạo hàm

Đối với hàm hợp:
(au ) = u.au .ln a
Đặc biệt: (eu ) = eu .u

( loga x ) =

1
x.ln a

Đặc biệt: (ln x) =

1
x

Đối với hàm hợp:

( loga u ) =

u
u.ln a

Đặc biệt: (ln u) =

u
u

Kiến thức 17: PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1. Phương trình mũ

2. Phương trình logarit

• Phương trình mũ cơ bản
• Phương trình logarit cơ bản
x
Dạng TQ: log a x = b với 0  a  1 .
Dạng TQ: a = b với 0  a  1 .
Nghiệm:
Điều kiện: x  0
+ Nếu b  0 thì phương trình vô nghiệm.
Nghiệm: loga x = b  x = ab
+ Nếu b  0 thì ax = b  x = loga b .
• Một số phương pháp giải
• Một số phương pháp giải
(Chú ý đặt điều kiện phương trình)
- Đưa về cùng cơ số (chú ý trường hợp cơ số
là ẩn cần xét thêm trường hợp cơ số bằng 1) - Đưa về cùng cơ số.
- Đặt ẩn phụ.
- Đặt ẩn phụ (chú ý điều kiện ẩn phụ)
- Mũ hóa.
- Logarit hóa.

Kiến thức 18: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1. Bất phương trình mũ
• Bất phương trình mũ cơ bản

2. Bất phương trình logarit
• Bất phương trình logarit cơ bản

Giáo viên: Võ Văn Nghiệp

0783878782

Dạng TQ: a  b
(với 0  a  1 )
x
x
x
(hoặc a  b ; a  b ; a  b )
Nghiệm:
+ Nếu b<0:
BPT a x < b vô nghiệm
BPT a x > b vô số nghiệm
+ Nếu b>0:
x

a >1

ax > b
x  log a b

ax < b
x  log a b

0
x  log a b

x  log a b

 Cơ số lớn hơn 1 giữ chiều, bé hơn 1 đảo

chiều
• Một số phương pháp giải
- Đưa về cùng cơ số.
- Đặt ẩn phụ (chú ý điều kiện ẩn phụ)
- Logarit hóa.

Dạng TQ: log a x  b
(với 0  a  1 )
(hoặc log a x  b; log a x  b; log a x  b )
Điều kiện: x  0
Nghiệm:

a >1
0
loga x > b

loga x < b

x  ab

x  ab

x  ab

x  ab

 Cơ số lớn hơn 1 giữ chiều, bé hơn 1 đảo
chiều

• Một số phương pháp giải
(Chú ý đặt điều kiện bất phương trình)
- Đưa về cùng cơ số.
- Đặt ẩn phụ.
- Mũ hóa.

Kiến thức 19: THỐNG KÊ
1. Công thức Xác suất

2. Công thức thống kê

P( A) : Xác suất của biến cố A
P ( A) Xác suất của biến cố A không xảy ra,
tính bởi 1 − P( A)
P ( A B ) : Xác suất xảy ra ít nhất một trong
hai biến cố A hoặc B
P ( A B ) Xác suất xảy ra cả hai biến cố A và
B
Công thức xác suất có điều kiện
P ( A B)
P ( A \ B) =
P ( A)

(

)

P A \ B = 1− P ( A \ B)

(

)

P ( A \ B ) = P A \ B = P ( A)

Công thức toàn phần
P ( A) = P ( A B ) + P A B

(

)

( ) (

= P ( B ) .P ( A \ B ) + P B .P A \ B

)

Công thức Bayes
P ( B ) .P ( A \ B )
P ( B \ A) =
P ( A)

=

Khoảng biến thiên R = am+1 − a1
Khoảng tứ phân vị Q = Q3 − Q1
Giá trị bất thường
2
Số nhỏ hơn Q 1 −  Q
3
2
Số lớn hơn Q 1 +  Q
3
3. Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

n

 3n

 4 − cf p −1 
 4 − cf p −1 
Q1 = s + 
 .h Q3 = s + 
 .h
np
 np 






Tứ phân vị thứ i
in
−C
4
Qi = um +
( um+1 − um )
nm
n = n1 + n2 + + nk là cỡ mẫu

um : um+1 ) là nhóm chứa tứ phân vị thứ i

P ( B ) .P ( A \ B )

( ) (

P ( B ) .P ( A \ B ) + P B .P A \ B

)

nm là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ i
C = n1 + n2 + + nm−1
Nhóm chứa mốt (có tần số lớn nhất)

Giáo viên: Võ Văn Nghiệp

0783878782

fi − fi −1
.h
fi − fi −1 + fi − fi +1
Phương sai
M 0 = ai +

s2 =

(

n1 x1 − x

)

2

(

+

+ nm xm − x

)

2

n

Kiến thức 20: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
2. Tam giác thường

1. Tam giác vuông

a 2 = b2 + c 2
b2 = ab '
c 2 = ac '
h2 = b ' c '
1
1 1
= 2+ 2
2
h
b c
ah = bc

(Pitagpo)

b
sin B = cos C =
a
c
cos B = sin C =
a
b
tan B = cotC =
c
c
cot B = tan C =
b

Định lí cosin:
a 2 = b2 + c 2 − 2bc.cosA  cosA =

b2 + c 2 − a 2
2bc

a
b
c
=
=
= 2R
sinA sinB sinC
2(b 2 + c 2 ) − a 2
Độ dài trung tuyến: ma 2 =
4

Định lí sin:

Diện tích tam giác:
1
1
1
aha = bhb = chc
2
2
2
1
1
1
S = bcSinA = acSinB = abSinC
2
2
2
(r là bán kính đường tròn nội tiếp)
S = pr
abc
(R là bán kính đường tròn ngoại
S=
4R
S=

tiếp tam giác)
S=

p( p − a)( p − b)( p − c)

(với p =

a+b+c
)
2

Chú ý: Với tam giác đều cạnh a
a2 3
4
a 3
Trung tuyến: AM =
2

Diện tích: S ABC =

Hình vuông cạnh a

3. Diện tích các hình
A
D Hình bình hành

A

D

Giáo viên: Võ Văn Nghiệp

0783878782

Diện tích: S ABCD = a

S ABCD = BC. AH

2

Đường chéo: AC = BD = a 2
Hình chữ nhật cạnh a, b

= AB. AD.sin A
A

S ABCD = a.b

D

B

C

A

Hình thoi
S ABCD

1
= AC.BD
2
= AB. AD.sin A
= AB. AD.sin B

Hình thang

B

D

C

S ABCD =

A

( AD + BC ). AH
2

B

H

Kiến thức 21: KHỐI ĐA DIỆN
2. Khối lăng trụ

1. Khối chóp
Thể tích: V

S

1
B.h
3

Thể tích: V

B.h

D
O

C

Lăng trụ đều:
+ Là lăng trụ đứng
+ Đáy là đa giác đều
+ Các cạnh bên bằng
nhau

Khối chóp tam giác đều S.ABC
+ Đáy là tam giác đều
+ Hình chiếu của đỉnh là trọng tâm của đáy
+ Các cạnh bên bằng nhau.
Khối chóp tứ giác đều S.ABCD
+ Đáy là hình vuông.
+ Hình chiếu của đỉnh là giao điểm AC và BD.
+ Các cạnh bên bằng nhau.

Khối hộp chữ nhật: V

a.b.c

S

Tỉ số thể tích
VS .A B C
SA SB SC
.
.
VS .ABC
SA SB SC

B'

A'
C'
A

B

Khối lập phương: V
C

a3

D

C

Giáo viên: Võ Văn Nghiệp

0783878782

Kiến thức 22: MẶT TRÒN XOAY
1. Mặt nón

2. Mặt trụ
A

r
D

h

B

r

Đường sinh: l = OM
Đường cao: h = OI
Bán kính đáy: r = IM
Diện tích xung quanh: Sxq =  rl
Diện tích đáy: Sđ =  r 2
Diện tích toàn phần: Stp = Sđ + S xq =  r 2 +  rl
1
3

Thể tích: V =  r 2 h

C

Đường sinh: l = DC
Đường cao: h = AB = l
Bán kính đáy: r = AD = BC
Diện tích xung quanh: S xq = 2 rl
Diện tích toàn phần:
Stp = S2 đ + S xq = 2 r 2 + 2 rl = 2 r (r + l )

Thể tích: V =  r 2 h
3. Mặt cầu

Diện tích mặt cầu: S = 4 R2
4
3

Thể tích khối cầu: V =  R3

R

O

Giao của mặt cầu và mặt phẳng

O

O

O

P

P

H

H

P
H
OH>R
(P) và mặt cầu S(O; R) không có điểm chung

OH=R
(P) tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) tại H

OH(P) cắt mặt cầu S(O; R)

Chú ý:
1. OH = d (O, (P))
2. Trường hợp mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn bán kính r , ta có:
OH 2 = R 2 − r 2

Giáo viên: Võ Văn Nghiệp

0783878782

Kiến thức 23: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. Tọa độ vectơ

2. Tọa độ điểm

Cho a = (a1; a2 ; a3 ), b = (b1; b2 ; b3 ), k 

Tọa độ vectơ :

Tổng hiệu vectơ:

AB = ( xB − xA; yB − yA; zB − zA )

a  b = (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 )

Tích một vectơ với một số:
ka = (ka1; ka2 ; ka3 )

Độ dài đoạn thẳng:
AB = ( xB − xA )2 + ( yB − yA )2 + (zB − zA )2

Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:

Hai vectơ bằng nhau:

x +x y +y z +z 
M = A B; A B; A B 

2
2
2 

a1 = b1

a = b  a2 = b2
a = b
 3 3

Tọa độ trọng tâm tam giác ABC:
 x +x +x y +y +y z +z +z 
G= A B C; A B C; A B C 
3
3
3



Các vectơ đặc biệt:
0 = (0; 0; 0), i = (1; 0; 0), j = (0;1; 0), k = (0; 0;1)

Hai vectơ cùng phương:
a cùng phương b (b  0)  a = kb (k  R)

a1 = kb1
a
a a

 a2 = kb2  1 = 2 = 3 , (b1, b2 , b3  0)
b1 b2 b3
a = kb
3
 3

Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:

xA + xB + xC + xD
 xG =
4

y
+
y
+

A
B yC + yD
 yG =
4

z
+
z
+
 z = A B zC + zD
G
4


3. Một số công thức mở rộng

Tích vô hướng của hai vectơ:
a.b = a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3

 Hệ quả: a ⊥ b  a1b1 + a2 b2 + a3b3 = 0

Độ dài vectơ: a = a12 + a22 + a32
Góc giữa hai vectơ:
cos(a, b) =

a.b
=
a.b

a1b1 + a2 b2 + a3b3

Khoảng cách:
 AM , AB


d( M ,AB) =
AB

 AB, CD  . AC


d ( AB, CD) =
 AB, CD 



a12 + a22 + a32 . b12 + b22 + b32
d ( M , ( P)) =

(với a, b  0 )
Tích có hướng của hai vectơ:
a
 a, b  =  2
b
 2

a3 a3 a1 a1 a2 
;
;

b3 b3 b1 b1 b2 

Ax0 + By0 + Cz0 + D
A2 + B 2 + C 2

Góc:
cos( AB, CD) =

AB.CD
AB . CD

Giáo viên: Võ Văn Nghiệp

0783878782

cos ( AB,( P) ) = cos ( AB, nP )

cos ( ( P),(Q) ) = cos ( nP , nQ )
Thể tích:
Khối hộp ABCD. A 'B'C'D' : V =  AB, AD  . AA '
Khối tứ diện ABCD : V =

1
 AB, AC  .AD

6

Kiến thức 24: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG, MẶT TRONG KHÔNG GIAN
1. Phương trình mặt cầu
• Phương trình mặt cầu (tâm I (a; b; c) , bán kính R )
Dạng 1: ( x − a ) + ( y – b ) + ( z – c ) = R 2
Dạng 2: (dạng khai triển) x 2 + y 2 + z 2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0
Điều kiện: a 2 + b2 + c 2 – d  0
Tâm I (a; b; c) , bán kính R = a 2 + b 2 + c 2 – d
2

2

2

2. Phương trình mặt phẳng
Mặt phẳng đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) , có vectơ pháp tuyến n = ( A; B;C)
Công thức: A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
Dạng khai triển: Ax + By + Cz + D = 0
Đặc biệt:
Mp(Oxy): z = 0
Mp(Oxz): y = 0
Mp(Oyz): x = 0
Chú ý: Nếu a, b là hai vectơ không cùng phương,
có giá song song hoặc nằm trên ( ) thì ta có
VTPT của mặt phẳng ( ) là:
n = [a, b ]

PT mặt phẳng theo đoạn chắn (đi qua 3 điểm A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) ):

( ) :

x y z
+ + =1
a b c

Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng α : Ax + By + Cz + D = 0 :

Giáo viên: Võ Văn Nghiệp

0783878782
d ( M; ( ) ) =

Ax0 + By0 + Cz0 + D

A2 + B 2 + C 2
Vị trí tương đối giữa hai mp (α) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 và mp (β) : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 :

( A ; B ; C ) = k ( A2 ; B2 ; C2 )
( ) (  )   1 1 1
 D1  kD2
( A ; B ; C ) = k ( A2 ; B2 ; C2 )
( )  (  )   1 1 1
 D1 = kD2
( )  (  )  ( A1; B1; C1 )  k ( A2 ; B2 ; C2 )
( ) ⊥ (  )  n1.n2 = 0  A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = 0

3. Phương trình đường thẳng
Phương trình tham số của đường thẳng
(đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) , có vectơ chỉ phương u = (a1; a2 ; a3 ) )
 x = x0 + a1t

 :  y = y0 + a2t (t  )
z = z + a t
0
3

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
Dạng chính tắc  :
a1
a2
a3
Khoảng cách từ M đến đường thẳng  :

d ( M , ) =

 MM 0 , u 



u

(khi a1a2 a3  0 )

(với M 0   )

.

 x = x0 + a1t
 x = x0 + a1 t 


Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: Δ :  y = y0 + a2 t và Δ' :  y = y0 + a2 t 
z = z + a t
 z = z + a t 
0
3
0
3



d ( 1,  2 ) =

u , u .M1M 2
u , u

.

(với M1 1; M 2  2 )

 x = x0 + a1t
 x = x0 + a1 t 


Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: Δ :  y = y0 + a2 t và Δ' :  y = y0 + a2 t 
z = z + a t
 z = z + a t 
0
3
0
3


u = ku 
u = ku
+     
+    
 M    M  
 M    M  
 x0 + a1t = x0 + a1t 

+  cắt   khi hệ phương trình  y0 + a2t = y0 + a2...