ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN ÂN THI _ HƯNG YÊN
Năm học 2013-2014
MÔN TOÁN 8
(Thời gian: 150 phút)

Bài 1 (2,0đ). Giải các phương trình sau:
a)

b)

Bài 2 (2,0đ).
a) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác .
Chứng minh rằng: A =

b) Cho
và
.
Chứng minh rằng :
.
Bài 3 (1,0đ). Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.
Bài 4 (3,0đ).
Cho
vuông tại A (AC>AB), đường cao AH
. Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo m = AB
2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo góc AHM.
3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh:

Bài 5 (1,0đ).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
Bài 6 (1,0đ)
Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi .






ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN ÂN THI _ HƯNG YÊN
Năm học 2013-2014
ĐÁP ÁN MÔN TOÁN 8
Bài 1 (2,0đ). Giải các phương trình sau:


b)

Ta có: x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ;
x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ;
x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ;
ĐKXĐ :

Phương trình trở thành :






18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)
(x+13)(x-2)=0
Từ đó tìm được x=-13; x=2;
Bài 2 (2,0đ).
a) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác .
Chứng minh rằng: A =

Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0
Từ đó suy ra a=
;
Thay vào ta được A=

Từ đó suy ra A
hay A

b) Cho
và
. Chứng minh rằng :
.
Từ :


ayz + bxz + cxy = 0
Ta có :







Bài 3 (1,0đ). Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x+11. Phân số cần tìm là
(x là số nguyên khác -11)


Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số
(x khác -15)

Theo bài ra ta có phương trình
=



Giải phương trình và tìm được x= -5 (thoả mãn)


Từ đó tìm được phân số



Bài 4 (3,0đ).
1. Hai tam giác ADC và BEC có:
Góc C chung.

(Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)
Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c).
Suy ra:
(vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết).
Nên
do đó tam giác ABE vuông cân tại A. Suy ra:

2. Ta có:
(do
)
mà
(tam giác AHD vuông vân tại H)
nên
(do
)
Do đó
(c.g.c), suy ra:

3. Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.
Suy ra:
, mà

Do đó:

Bài 5 (1,0đ). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.


=

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là – 335 khi x = – 3.
Bài 6 (1,0đ)
Gọi các cạnh của tam giác vuông là x , y ,