BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
---------------------------
PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA
MÃ ĐỀ: 01
KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2021
MÔN THI: TOÁN
Thời gian: 90 phút

Câu 1. Tổ lớp 12A1 có học sinh. Số cách chọn học sinh của tổ làm trực nhật của ngày thứ hai là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 2. Cho cấp số cộng có , . Tìm công sai của cấp số cộng đó.
A. . B. . C. . D. .
Câu 3. Cho hàm số có bảng biến thiên sau

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Câu 4. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho bằng
A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.
Câu 5. Cho hàm số liên tục trênvà có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

A. . B. . C. . D. .
Câu 6. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số?

A. . B. . C. . D. .
Câu 7. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên dưới?

A. . B. . C. . D. .
Câu 8. Đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?
A. . B. . C. . D. .
Câu 9. Cho là số thực dương khác Giá trị của bằng:
A. . B. . C. . D. .
Câu 10. Tính đạo hàm của hàm số .
A. . B. .
C. . D. .
Câu 11. Với là số thực khác . Khi đó bằng:
A. . B. . C. . D. .
Câu 12. Số nghiệm của phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Câu 13. Nghiệm của phương trình là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 14. Cho hàm số . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 15. Cho hàm số . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 16. Cho và . Tính .
A. . B. .
C. . D. .
Câu 17. Tích phân bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 18. Số phức liên hợp của số phức là số phức
A. . B. . C. . D. .
Câu 19. Cho hai số phức . Phần thực của số phức là
A. . B. . C. . D. .
Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức nào sau đây?
A. . B. . C. . D. .
Câu 21. Cho hình chóp​​ ​​ có đáy​​  là hình vuông cạnh​​ , cạnh bên​​ ​​ vuông góc với đáy và . Tính thể tích khối chóp .
A. . B. . C. . D. .
Câu 22. Một hình lập phương có cạnh bằng 3. Thể tích của lập phương là bao nhiêu?
A. . B. . C. . D. .
Câu 23. Gọi lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ. Công thức đúng là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 24. Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng​​ . Thể tích khối trụ bằng:
A. . B. . C. . D. .
Câu 25. Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai điểm và . Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng là
A. B. C. D. .
Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu . Tìm tọa độ tâm và tính bán kính R của .
A. , . B. , .
C. , . D. , .
Câu 27. Trong không gian , cho mặt phẳng Điểm nào dưới đây thuộc ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 28. Trong không gian cho điểm và . Vectơ chỉ phương của đường thẳng là
A. B. C. D.
Câu 29. Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất lần. Tính xác suất để tích số chấm xuất hiện trên con súc sắc trong 2 lần gieo là một số lẻ.
A. B. C. D.
Câu 30. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 31. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn .
A. . B. . C. . D. .
Câu 32. Tìm nghiệm của bất phương trình: .
A. . B. . C. . D. .
Câu 33. Cho , . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Câu 34. Cho số phức thỏa mãn . Tính module của z.
A. . B. . C. . D. .
Câu 35. Cho hình lập phương cạnh . Gọi là góc giữa và . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. . B. . C. . D. .
Câu 36. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , và . Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 37. Tìm độ dài đường kính của mặt cầu có phương trình .
A. . B. . C. . D. .
Câu 38. Trong không gian , cho và phương trình đường thẳng đi qua hai điểm và là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 39. Cho hàm số . Biết hàm số có đồ thị như hình bên.

Trên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm nào?
A. . B. . C. . D. .
Câu 40. Có tất cả bao nhiêu cặp giá trị thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện và ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 41. Cho hàm số có đạo hàm tại .
Tích phân . Giá trị của bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 42. Cho số phức thay đổi thỏa mãn . Gọi là đường cong tạo bởi tất cả các điểm biểu diễn số phức khi thay đổi. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong .
A. . B. . C. . D. .
Câu 43. Cho hình chóp có đáy là hình vuông, và , góc giữa và mặt phẳng bằng (tham khảo hình vẽ). Thể tích của khối chóp bằng:

A. . B. . C. . D. .
Câu 44. Từ một tấm bạt hình chữ nhật có kích thước như hình vẽ. Một nhóm học sinh trong quá trình đi dã ngoại đã gập đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm 2 cạnh là chiều rộng của tấm bạt sao cho 2 mép chiều dài của tấm bạt sát đất và cách nhau (như hình vẽ). Tìm x để khoảng không gian trong lều là lớn nhất.

A. . B. . C. . D. .
Câu 45. Trong không gian cho hai mặt phẳng , và đường thẳng . Đường thẳng cách đều hai mặt phẳng và , đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng có phương trình là:
A. B. C. D.
Câu 46. Cho hàm số và cùng với là hai điểm cực trị trong nhiều điểm cực trị của hàm số . Khi đó số điểm cực trị của hàm là
A. . B. . C. . D. .
Câu 47. Biết rằng có cặp số dương ( với ) để tạo thành một cấp số nhân. Giá trị gần nhất của biểu thức nằm trong khoảng nào sau đây?
A. . B. . C. . D. .
Câu 48. Cho hàm số có đồ thị , biết rằng tồn tại hai điểm thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến tại và đường thẳng vuông góc với hai tiếp tuyến tại tạo thành một hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Gọi là diện tích giới hạn bởi đồ thị và hai tiếp tuyến, là diện tích hình chữ nhật . Tính tỉ số ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 49. Xét các số phức và số phức thay đổi. Biết rằng tồn tại số phức mà là các số thực, còn thuần ảo. Tìm giá trị nhỏ nhất của
A. B. C. D.
Câu 50. Trong không gian , cho hai điểm và thoả mãn . Gọi là mặt cầu có đường kính , đường thẳng di động và luôn tiếp xúc với mặt cầu . Gọi và là đoạn vuông góc chung của và . Biết rằng đường thẳng là tiếp tuyến của mặt cầu và thỏa mãn và . Khoảng cách giữa và lớn nhất bằng
A. . B. . C. . D. .

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT
BẢNG ĐÁP ÁN
1.C
2.B
3.D
4.B
5.B
6.C
7.C
8.B
9.B
10.B
11.B
12.B
13.C
14.A
15.B
16.C
17.A
18.A
19.A
20.B
21.D
22.A
23.D
24.D
25.B
26.C
27.D
28.A
29.A
30.B
31.C
32.A
33.D
34.A
35.C
36.C
37.D
38.B
39.D
40.B
41.B
42.C
43.B
44.B
45.D
46.D
47.D
48.A
49.C
50.A

LỜI GIẢI CHI TIẾT
ĐỀ SỐ 01 PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA THI TN 12- 2020-2021
Câu 1. Tổ lớp 12A1 có học sinh. Số cách chọn học sinh của tổ làm trực nhật của ngày thứ hai là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
GVSB: Bich Hai Le; GVPB: Tu Duy
Chọn C
Mỗi cách chọn học sinh làm trực nhật của ngày thứ hai là một tổ hợp chập của nên số cách chọn là .
Câu 2. Cho cấp số cộng có , . Tìm công sai của cấp số cộng đó.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
GVSB: Châu Vũ; GVPB: Bich Hai Le
Chọn B
Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng ta có:
.
Câu 3. Cho hàm số có bảng biến thiên sau

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
GVSB: Dương Hoàng; GVPB: Châu Vũ
Chọn D
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng và .
Câu 4. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho bằng
A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.
Lời giải
GVSB: Dương Ju-i; GVPB: Dương Hoàng
Chọn B
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đã cho có 1điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại .
Vậy số điểm cực trị của hàm số đã cho là 3.
Câu 5. Cho hàm số liên tục trênvà có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

A. . B. . C. . D. .
Lời giải
GVSB: Đào Hữu Nguyên; GVPB: Dương Ju-i
Chọn B
Do hàm sốliên tục trên nên hàm số xác định tại các điểm .
Mặt khác từ bảng xét dấu , ta có đổi dấu khi đi qua các điểm.
Vậy hàm số đã cho có điểm cực trị.
Câu 6. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số?

A. . B. . C. . D. .
Lời giải
GVSB: Đồng Khoa Văn; GVPB: Đào Hữu Nguyên
Chọn C
Dựa vào hình vẽ đồ thị hàm số ta có là tiệm cân đứng và là tiệm cận ngang của đồ thị.
Câu 7. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên dưới?

A. . B. . C. . D. .
Lời giải
GVSB: Hoàng Ngọc Hùng; GVPB: Đồng Khoa Văn
Chọn C
Đây là dạng của đồ thị hàm số bậc ba có hệ số nên loại phương án .
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên loại phương án .
Vậy đồ thị trên là của hàm số .
Câu 8. Đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
GVSB: Nguyễn Thị Hường; GVPB: Hoàng Ngọc Hùng
Chọn B
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành:
.
Phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm phân biệt nên đồ thị của hàm số
cắt trục hoành tại điểm.
Câu 9. Cho là số thực dương khác Giá trị của bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
GVSB: Khoa Đăng Lê; GVPB: Nguyễn Thị Hường
Chọn B
Ta có: .
Câu 10. Tính đạo hàm của hàm số .
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
GVSB: Kim Anh; GVPB: Khoa Đăng Lê
Chọn B
Ta có:, với .
Do đó .
Câu 11. Với là số thực khác . Khi đó bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
GVSB: Lại Đình Tuấn; GVPB: Kim Anh
Chọn B
Ta có: (Do ).
Câu 12. Số nghiệm của phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
GVSB: Lê Thị Phương; GVPB: Lại Đình Tuấn
Chọn B
Ta có: .
Câu 13. Nghiệm của phương trình là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có: .
Câu 14. Cho hàm số . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
GVSB: Nguyễn Thị Thùy Nương; GVPB: Son Nguyen Huu
Chọn A
Ta có: .
Câu 15. Cho hàm số . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
GVSB: Nguyễn Loan; GVPB: Nguyễn Thị Thùy Nương
Chọn B
Ta có .
Câu 16. Cho và . Tính .
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
GVSB: Phan Thị Thúy Hà; GVPB: Nguyễn Loan
Chọn C
Ta có .
Suy ra .
Vậy .
Câu 17. Tích phân bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
GVSB: Nguyễn Thị Thùy Nương; GVPB:
Chọn A
Ta có:
Câu 18. Số phức liên hợp của số phức là số phức
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
GVSB: Trần Văn Huy; GVPB: Phan Thị Thúy Hà
Chọn A
Ta có: .
Vậy số phức liên hợp của số phức là:
Câu 19. Cho hai số phức . Phần thực của số phức là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
GVSB: Trần Đại Nghĩa; GVPB: Trần Văn Huy
Chọn A
Ta có:
Vậy phần thực của số phức là
Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức nào sau đây?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
GVSB: Nguyễn Trọng Thiện; GVPB: Trần Đại Nghĩa
Chọn B
Trong mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức .
Câu 21. Cho hình chóp​​ ​​ có đáy​​  là hình vuông cạnh​​ , cạnh bên​​ ​​ vuông góc với đáy và . Tính thể tích khối chóp .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Diện tích hình vuông​​  là​​ .
Chiều cao khối chóp là​​ .​​
Vậy thể tích khối chóp​​ .
Câu 22. Một hình lập phương có cạnh bằng 3. Thể tích của lập phương là bao nhiêu?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Khối lập phương có cạnh là 3 thì có thể tích là:
Câu 23. Gọi lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ. Công thức đúng là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Theo định nghĩa của hình trụ thì chiều cao chính là đường sinh của nó.
Câu 24. Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng​​ . Thể tích khối trụ bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có .
Bán kính đáy​​ .​​ Do đó thể tích khối trụ ​​.
Câu 25. Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai điểm và . Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng là
A. B. C. D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có tọa độ điểm được tính bởi công thức .
Vậy .
Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu . Tìm tọa độ tâm và tính bán kính R của .
A. , . B. , .
C. , . D. , .
Lời giải
Chọn C
Mặt cầu có tâm , bán kính .
Câu 27. Trong không gian , cho mặt phẳng Điểm nào dưới đây thuộc ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có: suy ra .
Câu 28. Trong không gian cho điểm và . Vectơ chỉ phương của đường thẳng là
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A
Ta có .
Vậy đường thẳng có một vectơ chỉ phương là .
Câu 29. Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất lần. Tính xác suất để tích số chấm xuất hiện trên con súc sắc trong 2 lần gieo là một số lẻ.
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A
Số kết quả có thể xảy ra .
Gọi là biến cố “Tích số chấm xuất hiện trên con súc sắc trong 2 lần gieo là một số lẻ “.
.
Câu 30. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Do hàm số đồng biến trên nên loại ý C; D vì hai hàm số này không có tập xác định là .
Loại đáp án A vì đây là hàm trùng phương.
Vậy chọn đáp án B.
Câu 31. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Hàm số liên tục trên đoạn .
Ta có : , .
.
Vậy .
Câu 32. Tìm nghiệm của bất phương trình: .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Bất phương trình .
Câu 33. Cho , . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có
.
Câu 34. Cho số phức thỏa mãn . Tính module của z.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
.
Câu 35. Cho hình lập phương cạnh . Gọi là góc giữa và . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C

Ta có .
Suy ra là hình chiếu vuông góc của lên .
Câu 36. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , và . Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C

Gọi là giao điểm của và , suy ra .
Từ , kẻ đườngtại . Khi đó .
Xét tam giác vuông tại, có là đường cao, , .
Suy ra .
Câu 37. Tìm độ dài đường kính của mặt cầu có phương trình .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Bán kính của mặt cầu : đường kính của mặt cầu là ...
Câu 38. Trong không gian , cho và phương trình đường thẳng đi qua hai điểm và là
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có .
Đường thẳng có đường thẳng chính tắc là .
Câu 39. Cho hàm số . Biết hàm số có đồ thị như hình bên.

Trên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm nào?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có: .
.
Vẽ đường thẳng , cắt đồ thị hàm số tại ba điểm , , .
Ta có bảng biến thiên của hàm số trên

Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên tại .
Câu 40. Có tất cả bao nhiêu cặp giá trị thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện và ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B

Dấu “” xảy ra khi và chỉ khi .
Khi đó .
Kết hợp với điều kiện suy ra .
Với , ta có .
Vậy có đúng cặp số thực thỏa mãn yêu cầu bài toán là và .
Câu 41. Cho hàm số có đạo hàm tại . Tích phân . Giá trị của bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
GVSB: Nguyễn Văn Lợi; GVPB: Thien Pro
Chọn B
Hàm số có đạo hàm tại khi và chỉ khi:

Khi đó nên .
Đặt
Đổi biến:
+ Với
+ Với

Câu 42. Cho số phức thay đổi thỏa mãn . Gọi là đường cong tạo bởi tất cả các điểm biểu diễn số phức khi thay đổi. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
GVSB: Nguyễn Văn Lợi; GVPB: Mai Hoàng Anh
Chọn C
Đặt
Ta có: (1)
Gọi là điểm biểu diễn số phức khi thay đổi.
.
Từ (1) ta có: .
Do đó quỹ tích điểm là elip nhận là hai tiêu điểm.

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là .
Câu 43. Cho hình chóp có đáy là hình vuông, và , góc giữa và mặt phẳng bằng (tham khảo hình vẽ). Thể tích của khối chóp bằng:

A. . B. . C. . D. .
Lời giải
GVSB: Nguyễn Ngọc Minh Châu; GVPB: Nguyễn Văn Lợi
Chọn B

Ta có:
Hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng là đường thẳng
.
Đặt .
vuông tại .
vuông tại .
.
Câu 44. Từ một tấm bạt hình chữ nhật có kích thước như hình vẽ. Một nhóm học sinh trong quá trình đi dã ngoại đã gập đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm 2 cạnh là chiều rộng của tấm bạt sao cho 2 mép chiều dài của tấm bạt sát đất và cách nhau (như hình vẽ). Tìm x để khoảng không gian trong lều là lớn nhất.

A. . B. . C. . D. .
Lời giải
GVSB: Phùng Thị Mai Hoa; GVPB: Nguyễn Ngọc Minh Châu
Chọn B
Phần không gian trong lều được tính bởi công thức thể tích hình lăng trụ đứng.
Ta có: . Như vậy để thể tích lớn nhất khi diện tích tam giác đáy là lớn nhất.
Trong tam giác đáy , vẽ đường cao . Ta có
Do đó diện tích:
Xét hàm với
.

Bảng biến thiên:









0











Vậy với thì thể tích lều là lớn nhất.
Câu 45. Trong không gian cho hai mặt phẳng , và đường thẳng . Đường thẳng cách đều hai mặt phẳng và , đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng có phương trình là:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D
GVSB: Tu Duy; GVPB: Phùng Thị Mai Hoa
 Viết lại mặt phẳng
Gọi là mặt phẳng song song và cách đều hai mặt phẳng và .
Phương trình của mặt phẳng là: ⇔
 Ycbt: và ⇒ . Khi đó, tọa độ của là nghiệm của hệ: ⇔
Ta lại có: . Do đó có một vectơ chỉ phương là:
Vậy phương trình của đường thẳng là:
Cho ⇒ ⇒ .
Câu 46. Cho hàm số và cùng với là hai điểm cực trị trong nhiều điểm cực trị của hàm số . Khi đó số điểm cực trị của hàm là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
GVSB: Trần Minh Quang; GVPB: Bùi Văn Cảnh
Chọn D
 Ta có: và
Suy ra
(*)
Mặt khác, nên các điểm là các điểm cực trị của .
Để hai điểm là hai điểm cực trị của hàm số thì hai giá trị đó phải là nghiệm của hệ phương trình: .
- Với thì suy ra , tới đây ta nhận thấy hệ phương trình trên không có nghiệm nên ta loại
- Với thì suy ra , tới đây ta nhận thấy hệ phương trình kia không có nghiệm nên ta loại
- Với thì suy ra . Do hệ phương trình này có hai nghiệm nên hệ phương trình tương đương với (dựa vào đồ thị hình bên)

Suy ra . Do là nghiệm bội chẵn nên là 6 nghiệm bội lẻ.
Như vậy hệ phương trình (*) có tổng cộng 11 nghiệm tương đương với hàm số có 11 điểm cực trị thỏa đề bài.
Câu 47. Biết rằng có cặp số dương ( với ) để tạo thành một cấp số nhân. Giá trị gần nhất của biểu thức nằm trong khoảng nào sau đây?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
GVSB: Trần Minh Quang; GVPB: Bùi Văn Cảnh
Chọn D
Tính chất: lập thành một cấp số nhân thì sẽ tạo thành một cấp số cộng.
Áp dụng vào suy ra: lập thành một cấp số cộng
tạo thành 1 cấp số cộng
Suy ra:

(1)
Mặt khác:
(2)


TH1: thì
TH2: thì

và

Câu 48. Cho hàm số có đồ thị , biết rằng tồn tại hai điểm thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến tại và đường thẳng vuông góc với hai tiếp tuyến tại tạo thành một hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Gọi là diện tích giới hạn bởi đồ thị và hai tiếp tuyến, là diện tích hình chữ nhật . Tính tỉ số ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
GVSB: Trần Minh Quang; GVPB: Bùi Văn Cảnh
Chọn A
Đặt và . Không mất tính tổng quát, ta xét và

Gọi: là đường tiếp tuyến với tại , là đường tiếp tuyến với tại .
.
Do nên
.
tại chiều dài và chiều rộng .
Mà và suy ra và .
Suy ra .
Như vậy tỉ số .
Câu 49. Xét các số phức và số phức thay đổi. Biết rằng tồn tại số phức mà là các số thực, còn thuần ảo. Tìm giá trị nhỏ nhất của
A. B. C. D.
Lời giải
GVSB: Trần Minh Quang; GVPB: Bùi Văn Cảnh
Chọn C
Ta có nhận xét: Nếu có hai số phức mà thuần ảo thì điểm biểu diễn của chúng sẽ thỏa mãn Còn nếu là số thực thì thẳng hàng.
Gọi là các điểm biểu diễn của và là điểm biểu diễn của
Từ đó, ta thấy nếu gọi là điểm biểu diễn của thì chính là hình chiếu của lên các cạnh Ta cần tìm Ta có
nên

trong đó . Đẳng thức xảy ra khi
và nằm trong tam giác.
Từ đó dễ thấy tồn tại nên cũng tồn tại và
Câu 50. Trong không gian , cho hai điểm và thoả mãn . Gọi là mặt cầu có đường kính , đường thẳng di động và luôn tiếp xúc với mặt cầu . Gọi và là đoạn vuông góc chung của và . Biết rằng đường thẳng là tiếp tuyến của mặt cầu và thỏa mãn và . Khoảng cách giữa và lớn nhất bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
GVSB: Trần Minh Quang; GVPB: Bùi Văn Cảnh
Chọn A

 và suy ra
 Ta có: hình lập phương có cạnh bằng độ dài cạnh và mặt cầu có bán kính bằng tiếp xúc với các mặt của hình lập phương trên, gọi là trung điểm thì suy ra luôn tiếp xúc với mặt cầu
Từ hình vẽ trên ta cũng suy ra được với thuộc đường tròn thiết diện qua tâm mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng chứa và khoảng cách giữa và bằng với vuông góc mặt phẳng chứa
Suy ra khoảng cách giữa và lớn nhất bằng như hình vẽ trên
Từ đây ta có:
Xét vuông tại có nên ta có: (hệ thức lượng)
Suy ra ;
Như vậy ta suy ra ra khoảng cách giữa và lớn nhất bằng
.