ĐỀ THI KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI
Môn toán 8

Bài 1 (5 đ)

1) Phân tích biểu thức sau ra thừa số
M = 3 xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 )
2) Định a và b để đa thức A = x4 – 6 x3 + ax2 + bx + 1 là bình phương của một đa thức khác .
3) Tìm x biết: a)
b)
.
Bài 2 (5 đ)
1) Cho biểu thức A =

Với

a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tìm giá trị của x để A > O
2) Cho x, y, z đôi một khác nhau và
.
Tính giá trị của biểu thức:

3) Cho A = n5 – 5n3 + 4n. Chứng tỏ rằng A chia hết cho 120 với mọi n là số nguyên ơng

Bài 3 (3 đ)
Tìm x, y
Z thỏa mãn : x2 + x + 6 = y2
2) Tìm các giá trị của x để biểu thức
P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Bài 4 (6 đ)
Cho tam giác đều ABC, đường cao AH. M là điểm bất kì trên đáy BC. Kẻ MP vuông góc AB (P thuộc AB), MQ vuông góc AC (Q thuộc AC). Gọi O là trung điểm của AM
Chứng minh 5 điểm A, P, M, H, Q cách đều điểm O
Tứ giác OPHQ là hình gì ? chứng minh
Xác định vị trí của điểm M trên BC để PQ có độ dài nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất của PQ theo a ( a là độ dài cạnh tam giác ABC)

Bài 5 (1 đ)
Tìm các số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng: số đó là số chẵn, chia hết cho 11 và tổng các chữ số của số đó cũng chia hết cho 11.





DẪN CHẤM THI

Bài 1
1) Phân tích biểu thức sau ra thừa số
M = 3 xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 )
= xy (x + y + z) + xz (x + y + z) + yz (x + y + z) 0,75 đ
= ( x + y + z)(xy + xz + yz) 0,75 đ
A = x4 – 6 x3 + ax2 + bx + 1
= ( x2 – 3x + c)2 0,5 đ
Khi đó x4 – 6 x3 + ax2 + bx + 1 = x4 – 6 x3 + x2(9 + 2c) – 6xc + c2
Vậy c = 1 ; a = 11 ; b= 6 0,5 đ
Hoặc c = -1 ; a = 7 ; b = 6 0,5 đ
Bài 2
1)
a, Cho A =

=

=




b, Để A > 0 thì


2) Cho x, y, z đôi một khác nhau và
.
Tính giá trị của biểu thức:

Ta có xy + yz + xz = 0 nên yz = -xy – xz
Mặt khác x2 + yz + yz = (x – y )(x – z )
Tương tự y2 + 2xz = (y – x )(y – z )
Z2 + 2xy = (z – y )(z –x ) 0,75 đ
Vậy B = yz(y – z ) – xz (x – z ) + xy(x – y )
= y2z – yz2 - x2z + xz2 + x2y – xy2
= (x – y )((x – z )(y – z )
Từ đó A = 1 0,75 đ
3) Cho A = n5 - 5n3 + 4n ( n là số nguyên ơng )
Chứng tỏ rằng A chia hết cho 120 với mọi n là số nguyên ơng

A = n(n- 1 )(n – 2 )(n + 1)(n + 2) 0,75 d
Vì A phân tích được thành tích 5 số nguyên liên tiếp vậy A chia hết cho 120 0,75 đ
Bài 3
Tìm x, y