Bài cuối HSG toán Thái bình 2021.2022
Đề bài: Giải phương trình nghiệm nguyên


Hướng dẫn:
Đặt z = x + 1, ta có:


Măt khác


Giả sử d là ƯCLN của z + 1 và z2- z + 1, suy rad khác 3 (vì z + 1 không chia hết cho 3) và
z + 1 = md; z2- z + 1 = nd => 2z – 1 = mzd – nd => 3 = 2md – mzd + nd => 3 chia hết cho d => d = 1. Như vậy z + 1 và z2- z + 1 nguyên tố cùng nhau. Lại do tích của chúng là số chính phương nên z + 1 = 1 hoặc z2- z + 1 = 1. Từ đây ta có z = 0 hoặc z = 1
Với z = 0 thì x = -1; y = -216
Với z = 1 thì x = 0; y không là số nguyên.
Tóm lại x = -1; y = -216