TRƯỜNG TH&THCS ĐÔNG KHÊ
ĐỀ THI THỦ VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2022 – 2023
Môn: Toán
(Thời gian làm bài 120 phút )
Đề A

Câu 1 (2,0 điểm)
Giải phương trình: 2x2 – 3x – 5 = 0.
Giải hệ phương trình:

Cho phương trình
(m là tham số).
Tìm m để phương trình có hai nghiệm
thỏa mãn
.
Câu 2 (2,0 điểm)
Cho biểu thức A =
(với a > 0; a
1)
Rút gọn A.
Tính giá trị của A khi x =
.
Câu 3 (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x – a + 1 và parabol (P): y =
.
Tìm a để đường thẳng a đi qua điểm A (-1;3)
Tìm a để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (
) và (
) thỏa mãn điều kiện

Câu 4: (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Hai đường cao AD, BE
lần lượt cắt đường tròn (O) tại các điểm thứ hai là M và N.
Chứng minh rằng: bốn điểm A, E, D, B nằm trên một đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn đó.
Chứng minh rằng: MN // DE.
Cho (O) và dây AB cố định. Chứng minh rằng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE luôn không đổi khi điểm C di chuyển trên cung lớn AB.
Tìm vị trí điểm C trên cung lớn AB cố định để diện tích tam giác CDE lớn nhất
Câu 5: (1,0 điểm). Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn:
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
.
------ Hết -----

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN ĐỀ A
Câu
Nội dung
Điểm

1
(2,0đ)
a) Ta có: a – b + c = 0. Vậy phương trình có hai nghiệm

1,0


b) Hệ đã cho tương đương với hệ :
(

Vậy hệ phương trình có nghiệm
.
0,25

0,25


c)
Điều kiện PT có 2 nghiệm không âm
là




Theo hệ thức Vi-ét:
.
Ta có



(thoả mãn)


0,5

2
(2,0đ)
a) Ta có: A =

=
=
.
0,5


0,5


b) Ta có:
nên

Vậy A =
=
=
.
0,5

0,5

3
(2,0đ)
a) Vì (d) đi qua điểm A(-1;3) nên thay
vào hàm số:
ta có:

.
1,0


b) Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:

(1).
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì (1) phải có hai nghiệm phân biệt
.
Vì (x1; y1) và (x2; y2) là tọa độ giao điểm của (d) và (P) nên x1; x2 là nghiệm của phương trình (1) và
,
.
Theo hệ thức Vi-et ta có:
.Thay y1,y2 vào
ta có:




(thỏa mãn
) hoặc
(không thỏa mãn
)
Vậy
thỏa mãn đề bài.

0,25


0,25



0,25



0,25

4
(3đ)
a

Do AD, BE là đường cao của ∆ABC (giả thiết) nên :

và

Xét tứ giác AEDB có
nên bốn điểm A, E, D, B cùng thuộc đường tròn đường kính AB.
Tâm I của đường tròn này là trung điểm của AB.




1,0


b
Xét đường tròn (I) ta có:
(cùng chắn cung
)
Xét đường tròn (O) ta có:
(cùng chắn cung
)
Suy ra:
(do có hai góc đồng vị bằng nhau).
1,0


c
Cách 1: Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.
*) Xét tứ giác CDHE ta có :
(do
)

(do
)
suy ra
, do đó CDHE nội tiếp đường tròn đường kính CH.
Như vậy đường tròn ngoại tiếp ∆CDE chính là đường tròn đường kính CH, có bán kính bằng
.
*) Kẻ đường kính CK, ta có:

(