HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
I. HPT GỒM MỘT PT BẬC NHẤT VÀ MỘT PT BẬC HAI
PP: s/d pp thế: từ pt bậc nhất rút ra x theo y (hoặc y theo x) rồi thay vào pt còn lại để giải
Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau:
1. 2.
3. 4.
II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I:
1. Định lý Viét cho phương trình bậc 2:
Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì:
Ngược lại, nếu 2 số x1, x2 có thì x1, x2 là nghiệm của phương trình X2  SX + P = 0.
2. Định nghĩa: , trong đó
3.Cách giải:
Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có). biến đổi các vế của các pt xuất hiện x + y và xy.
Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P là .
Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng Viét đảo tìm x, y.
Chú ý:
+ Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP, x2y + xy2 = xy(x + y) = SP...
+ Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và sau đó đặt S = u + v, P = uv.
+ Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ.
4. Ví dụ:
Loại 1: Giải hệ phương trình
Ví duï 1: Giaûi heä phöông trình (A1 – 2005)
(I)
Ta coù
Vaäy
vaäy x, y laø nghieäm cuûa phöông trình
Vaäy heä coù 2 nghieäm hay
vaäy x,y laø nghieäm cuûa phöông trình
 . Vaäy heä coù 2 nghieäm V
Toùm laïi heä Pt (I) coù 4 nghieäm V V V

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình . ĐS (1, - 1)
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình . ĐS: (1,1)
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình . ĐS: (3,2)

Loại 2: T×m ®iều kiện tham số để hệ đối xứng loại 1 có nghiệm
Phương pháp giải chung:
+ Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
+ Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và (*).
+ Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hpt. Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m.
Chú ý: - Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều kiện của u, v(**) khi đó ở bước 3 phải kết hợp 2 đk (*) và (**) để tìm m.
- Nếu bài toán tìm đk tham số để hệ có nghiệm duy nhất : vì đây là hệ đối xứng nên nếu (xo, y0) là nghiệm thì (y0, x0) cũng là nghiệm do đó để hệ có nghiệm duy nhất thì x0 = y0, từ đó ta có PP : S/D điều kiện cần và đủ.
Bước 1 : ĐK cần : giả sử (xo, y0) là nghiệm thì (y0, x0) cũng là nghiệm do đó để hệ có nghiệm duy nhất thì x0 = y0 thay x0 = y0 vào hệ ta tìm được m.
Bước 2 : ĐK đủ : thay m tìm được ở Bước 1 vào hệ ta kiểm tra lại từ đó ta có ĐS.
Ví dụ 1 (D – 2004). Tìm điều kiện m để hpt sau có nghiệm thực: .
HD : Điều kiện , đặt ĐK S2 4P. ĐS : 1/4 m 0
Ví dụ 2. Tìm điều kiện m để hệ phương trình có nghiệm thực.
HD : Đặt S = x + y, P = xy, ĐK S2 4P Hệ phương trình trở thành: .
Suy ra S và P là nghiệm của phương trình
ĐS: .
Ví dụ 3. Tìm điều kiện m để hệ phương trình có nghiệm.
HD : Đặt Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của
(*). Hệ có nghiệm khi (*) có 2 nghiệm không âm. ĐS :
Ví dụ 4. Tìm điều kiện m để hệ phương trình có nghiệm thực.
HD: Đặt u = x(x + 4), v = y(y + 4). Với . Ta có : khi đó u, v là nghiệm pt :
X2 – 10X + m = 0. để hệ có nghiệm thì pt trên phải có nghiệm . ĐS :
Ví dụ 5 : Tìm a để hệ sau có đúng 2 nghiệm : (I)
HD : đặt S = x + y. P = xy. Ta có . NX
Nên : + a > 0 : mổi (*), (**) có 2 cặp nghiệm (x, y) suy ra hệ (I) có 4 nghiệm (loại).
+ a = 0 : thay vào hệ đã cho có đúng 2 nghiệm ( thoã mãn).
+ a < 0 : cả (*), (**) đều vô nghiệm.
Nhận xét : - ở đây ta nhận xét được : nên bài giải sẽ gọn. Nếu không nhận xét được hoặc hệ nào đó không có kết quả như NX đó thì ta phải chia ra các trường hợp như : TH1 : (*) có 2 nghiệm, (**) vô nghiệm và ngược lại.
TH2 : (*) có 2 nghiệm. (**) có 1 nghiệm và trùng với 1 trong 2 nghiệm của (*), và ngược lại…
Ví dụ 6 : Cho hệ :
a. giải hệ khi m = - 3. m = 1.
b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
HD : b. ĐK cần : x0 = y0 suy ra m = 1. m = - 3, m = - 3/4. ĐK đủ : m = 1, m = - 3/4.
BÀI TẬP
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
1) 2)
3) 4)
Bài 2. Gải hệ phương trình có tham số:
1. Giải và biện luận:
a) b) c)
2. Tìm giá trị của m:
a) có nghiệm.
b) có nghiệm duy nhất.
c) có đúng hai nghiệm.
d. có nghiệm.
4.
a . Chứng tỏ với mọi m hệ luôn có nghiệm.
b. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
5.
a. Giải hệ phương trình khi m=2.
b. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x;y) với x >0, y >0.
III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II:
1. Định nghĩa:

2. Cách giải: Lấy (1)  (2) hoặc (2)  (1) ta được: (x  y)g(x,y)=0. Khi đó xy=0 hoặc g(x,y)=0.
+ Trường hợp 1: x  y = 0 kết hợp với phương trình (1) hoặc (2) suy ra được nghiệm.
+ Trường hợp 2: g(x,y) = 0 kết hợp với phương trình (1) + (2) suy ra nghiệm (trong trường hợp này hệ phương trình mới trở về hệ đối xứng loại I) và thông thường vô nghiệm.
3. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình (I)
HD: Lấy (1)  (2) ta được:
Trường hợp 1: (I) .
Trường hợp 2: (I) (hệ này vô nghiệm)
Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm:
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: (B – 2003)
HD: ĐK: . hpt lấy (1) – (2) ta được: (x - y)(x + y + 3xy) = 0
Ví dụ 3: Cho hệ phương trình (I)
a. Giải khi m = 0. b. Tìm m để hpt có nghiệm. c. Tìm m để hpt có nghiệm duy nhất.
HD:
Giải (I)
b) Hệ phương trình có nghiệm 
c) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất    m = 1. Vậy m = 1.
Nhận xét: với câu c) ta có thể s/d pp điều kiện cần và đủ: vì đây là hệ đối xứng nên nếu (xo, y0) là nghiệm thì
(y0, x0) cũng là nghiệm do đó để hệ có nghiệm duy nhất thì x0 = y0. Áp dụng cho ví dụ sau :
Ví dụ 3 : Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất : (SP Vinh 99A)
HD : ĐK cần : vì đây là hệ đối xứng nên nếu (xo, y0) là nghiệm thì (y0, x0) cũng là nghiệm do đó để hệ có nghiệm duy nhất thì x0 = y0 thay vào hệ ta có x3 – 8x2 + mx = 0 để hệ có nghiệm duy nhất thì ( 1) phải vô nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng 0, giải ra ta có :.
ĐK đủ : với m > 16. hpt : (I) hoặc (II).
Giải (I) : .
với m > 16 thì (2) vô nghịêm nên (I) có nghiệm duy nhất (0, 0).
Vậy để hệ đã cho có nghiệm duy nhất thì (II) có nghiệm duy nhất (0, 0) hoặc vô nghiệm.
TH1 : (II) có nghiệm duy nhất (0, 0) thì m = 0 (loại).
TH2 : (II) vô nghiệm. Xét pt
(vì m > 16) nên hệ (II) vô nghiệm.
ĐS : m > 16.
BÀI TẬP
1.Giải các hệ phương trình sau:
a. b. c.
2. Cho hệ phương trình.
a. Giải hệ với m = 0.
b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
3. Tìm m để hệ: có nghiệm duy nhất.
IV. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP:
1. Dạng: , trong đó .
2. Cách giải: Đặt y = tx (x ≠ 0) hoặc x = ty (y ≠ 0).
3. Ví dụ:
Giả hệ phương trình:
GIẢI
+ Với x = 0: Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
+ Với x ≠ 0: Đặt y = tx. Hệ phương trình tương đương với . Lấy (1)(2) ta được: 15t213t+2=0 ; .
• Với : ta có , thay vào (*) ta được nghiệm (3;2), (3;2).
• Với : ta có , thay vào (*) ta được nghiệm .
BÀI TẬP
Giải các hệ phương trình sau:
1) 2) 3)
4) (B2 – 2006)

V. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÁC:
Một cách tổng quát ta tổng hợp các kiến thức, kết hợp với việc suy luận hợp lý để giải. Thông thường ta dùng pp biến đổi tương đương hoặc đặt ẩn phụ để đưa hpt đã cho về thành các hệ đơn giản mà ta đã biết cách giải.
Ta có một số kinh nghiệm sau:
a) Nếu dễ dàng biểu thị 1 ẩn theo các ẩn còn lại (có thể phải qua một số bước biến đổi) thì ta s/d pp thế.
b) Nếu biến đổi 1 pt thành pt tích thì ta phân tích hệ đã cho thành các hệ đơn giản
c) Nếu phát hiện trong hệ có những biểu thức đồng dạng (có thể phải qua một số bước biến đổi) thì ta dùng ẩn phụ....
Dựa vào những kinh nghiệm đó ta phân ra các dạng và phương pháp giải như sau:
1. Phương pháp biến đổi tương đương:
Dạng 1: Phương pháp thế: Trong hpt có một pt bậc nhất với x hoặc với y (có thể phải qua một số bước biến đổi), khi đó ta tìm cách rút x theo y hoặc ngược lại:
Ví dụ 1: Giải hpt:
HD: Dễ thấy x = 0 không thỏa mãn PT(2) nên từ (2) ta có : thay vào (1) ta được


Từ đó , ta được các nghiệm của hệ là : (1;-1) , (-2;)
Ví dụ 2: Giải hpt: (A2 – 2005)
HD: Đặt ĐK rồi từ pt(1) ta có:kết hợp với pt(2) ta có hpt đơn giản. KQ: (2;-1) ( Cách 2: đặt ẩn phụ)
LƯU Ý: có thể rút f(x) = g(x,y) (f(y) = g(x,y)) hoặc f(x,y) = g(x,y)
Ví dụ 3: Giải hpt:
HD: pt thay vào pt(2) ta được các hpt đơn giản.
Ví dụ 4: Giải hpt: (B2 – 2006)
HD: ta có (x = y = 0 không thoã mãn) thay vào pt(2) ta có: 6x2 – 13xy + 6y2 = 0, xét y = 0 không thoã mãn, với ta có:
Ví dụ 5: Giải hpt:
HD: ĐK:
+ Xét y = 0: không thõa mãn pt(2).
+ từ pt(2) ta có thay vào pt(1): thay vào pt(2) ta có: 2y3 - 8y2 + 2y + 4 = 0
Ví dụ 6: Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất: (D2 - 2007)
HD: ĐK . Với điều kiện: ta có:
(I) ()
( hiển nhiên x = 0 không là nghiệm của () )
Đặt , ycbt  tìm m để phương trình () có đúng 1 nghiệm thỏa x  1
KQ: m > 2
Ví dụ 7: Giải hệ: (A2 – 2006)
HD: Từ (2): (y2 + 2 ) = thay vào (1):
Thay (*) vào (2): 26x4 – 426 x2 + 1728 = 0
Ví dụ 8: Giải hệ: (A2 – 07)
HD: Từ (2): xy(x2 +1) = 1 + x2 suy ra xy = 1 thay vào (1): x4 – x2 = 0
Ví dụ 9: Giải hệ: (B – 08)
HD: Từ (2): (hoặc ) thay vào (1).
Ví dụ 10: Giải hệ: (B – 09)
HD: suy ra 36y2 -15xy + x2 = 0 (3)
* xét x = 0 không TM
* xét :
Ví dụ 11: Cho hệ pt:
a. Giải khi m = 4
b. Tìm m để hệ có nhiều hơn hai nghiệm.
HD:
để hệ có nhiều hơn hai nghiệm thì pt(*) phải có 3 nghịêm phân biệt. vì pt(*) ta không nhẩm được nghiệm nên đặt f(y) = y3 - my2 + 2m khi đó ta tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt hay fCĐ.fCT < 0 KQ:
BÀI TẬP
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

HƯỚNG DẪN:
1. KQ: (9;4)
2. HD: thế x2 - y2 từ pt(1) vào pt(2) ta có x2 = 4y2 KQ: (0;0),
3. HD: thế x + y ở pt(2) vào pt(1) ta được pt đẳng cấp bậc hai. KQ:
4. HD: Cách 1: từ pt(2) rút x theo y rồi thay vào pt(1) ta được pt đẳng cập bậc hai.
Cách 2: đây là pt đẳng cấp bậc hai. KQ: (2;-1), (-2;1)
5. HD: Từ (2): thay vào (1) ta có:

6. HD: Từ (1) rút x theo y rồi thay vào (2).KQ: (0;3), (-2;1), (-4;-1)
7. HD: từ (1): thay vào (2).
8. HD: bình phương hai vế của (2): y = x2 -2x +1 thế vào (1). KQ: (1;0)

Dạng 2: Biến đổi một phương trình trong hệ thành phương trình tích từ đó ta có các hệ đơn giản hơn.
Ví dụ 1: Giải hệ: (D - 2008)
HD: KQ: (5;2)
Ví dụ 2: Giải hệ:
HD: Từ pt(1): x2 - (y-1)2 = 0 (x - y + 1)(x + y + 1) = 0
Ví dụ 3: Giải hệ: (A - 2003)
HD: Từ pt(1): (x - y)(xy - 1) = 0
Ví dụ 4: Giải hệ: ( B - 2002)
HD: Từ (1): (x - y)2 = (x - y)3
Ví dụ 5: Giải hệ: ( A - 2011)
HD: Từ (2): (xy – 1)(x2 + y2 – 2) = 0, kết hợp với (1) ta được hai hệ pt đơn giản hơn.
KQ:
Ví dụ 6: Giải hệ:
HD: ĐK x + y > 0. (1) có dạng:
. KQ: (1;0), (-2;3).
BÀI TẬP
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

HƯỚNG DẪN:
1. KQ: (1;1), (-1;-1)
2. HD: pt(1) có nhân tử chung x - 1. KQ: (1;1),(1;-1)
3. HD: pt(1) có nhân tử chung . KQ:
4. HD: hpt: .
5. HD: Giải PT(1). Thế vào PT(2).
TH1: x = 2 v x = . TH2: C/m PT vô nghiệm.
6. HD: Từ (1) biến đổi thành: KQ:
7. HD: nhóm (2) thành phương trình tích.
8. HD: Từ (2) ta có (1)
* () không thoả mãn (2)
* y = x2 thay vào (2).
9. HD: (1): (3x – 1)(2x + 1) = (3x – 1)y. KQ:
10. HD: (1): (x – 2y)(x + y + 1) = 0. KQ:





Dạng 3: Một phương trình của hệ là phương trình bậc hai theo một ẩn, ẩn còn lại ta xem là tham số (chẳng hạn ẩn là x, tham số là y) khi đó ta giải pt bậc hai ẩn x theo tham số y, Do đó ta chuyển hệ đã cho thành các hệ đơn giản hơn.
Lưu ý: - Với phương pháp này thông thường có dạng bình phương của một biểu thức.
- Có thể xem phương trình bậc hai theo f(x,y)
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
Giải . Biến đổi PT (2) về dạng
Coi PT (2) là phương trình ẩn y tham số x ta có từ đó ta được nghiệm
Thay (3) vào (1) ta được :
Thay (4) vào (1) ta được :
Vậy nghiệm của hệ là : (0;4) , (4;0) , (;0)
Cách 2. Lấy (1) trừ (2) ta được y2 – 4xy = 0.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình (CĐ - 2010)
HD: Xem pt(1) là pt bậc hai theo ẩn . KQ: (1;-1), (-3;7). (nếu s/d pt(2) thì không có dạng bình phương của một biểu thức)
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình
HD: Nếu y = 0 không thoả mãn. ta xem (2) là pt bậc hai ẩn x, pt này có nghiệm khi và chỉ khi . Tương tự ta xem pt(1) là py bậc hai ẩn x, pt này có nghiệm khi và chỉ khi . Suy ra y = -1. KQ: (1;-1)
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình
HD: đặt , biến đổi (1) thành t2 – yt - 6y2 = 0
BÀI TẬP
1.
2.
3.
4.
5.
6.
HƯỚNG DẪN:
1. HD: pt(1) là ptb2 theo . KQ: (2;1)
2. HD: Xem pt(1) là pt bậc hai theo ẩn . KQ: (2;-3)
3. HD: Xem pt(1) là pt bậc hai theo ẩn y. KQ:
4. HD: Xem (2) là pt bậc 2 theo ẩn y ta có y = 4 – x và y = 5x + 4.
5. HD: xem pt(1) là pt bậc hai ẩn x ta có: và
6. HD: biến đổi (2) thành ptb2 ẩn x ta có x = 1 – y và x = -2y – 4(không thoả mãn). Thay x = 1 – y vào (1). KQ:

Dạng 4. Thay số: Từ một phương trình ta có a = f(x,y) rồi thay vào phương trình còn lại, với a là một số thực.
Ví dụ 1. Giải phương trình:
HD: Từ (1): 1 = x3 + y3 thay vào (2): x2y + 2xy2 + y3 = 2(x3 + y3) khi đó ta được phương trình đẳng cấp bậc 3 đối với x và y. KQ:
Ví dụ 2. Giải phương trình: (SP Vinh 2001 - kD)
HD: Từ (1): 1 = x5 + y5 thay vào (2): x9 + y9 = (x4 + y4)( x5 + y5)
Ví dụ 3: Giải phương trình:
HD: <=><=>
<=>
Từ (1) có hai trường hợp:
*)TH1: y = 2x thế vào (2) suy ra nghiệm (1;2) (-1;-2).
*)TH2: x = -5y thế vào (2) cho nghiệm (5) và (-5)
Ví dụ 4: Giải phương trình:
HD: ĐK x > 0; y > 0; y + 3x 0
Hptsuy ra
KQ:
Ví dụ 5: Giải phương trình:
HD: (2): 4 = x2 + 3y2 thay và (1):
Ta có hệ: .
KQ: (2;0), (-2;0), (1;-1), (-1;1),
BÀI TẬP
1.
2.
3.
4.
5. .
6.
HƯỚNG DẪN :
1.HD: Thế 12 = 8y2 + x2 vào (1) ta được pt đằng cấp bậc 3.KQ: (2;-1), (-2;1).
2.
3. HD: Thế 1 = 2x2 – y2 vào (2) ta được pt đẳng cấp. KQ: (-1;-1), (1;1)
4. HD: Thế 1 = x3 + y3 – xy2 vào (2) ta được pt đẳng cấp. KQ: (0;1), (1;0), (1;1),
5. HD: PT(2)  x3 + y3 = 1(x2 + y2)  x3 + y3 = (x + y)(x2 + y2).
6. HD : Thay 1 = 2y2 – x2 vào (2) ta có 2x3 – y3 = (2y – x)(2y2 – x2) (y – x)(5y2 + 3xy + x2) = 0

Dạng 5. Các dạng khác: Sử dụng bình phương hai vế, Cộng hoặc trừ hai vế của hai phương trình, sử dụng lương liên hợp... để được một phương trình đơn giản hoặc phương trình tích đơn giản hơn. Với dạng này thì phương trình thường có nhiều căn mà ta không đặt được ẩn phụ hoặc không thuộc bốn dạng trên
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình: (N«ng NghiÖp I 2000 - kA)
HD: Điều kiện: .
Bình phương 2 vế và trừ vế theo vế ta có: .
Thay x = y vào 1 trong 2 phương trình, giải ra ta được x = y = 11.
Ví dụ 2: giải:
HD: Cộng từng vế của 2 phương trình ta được: .
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
HD: ĐK: . .
từ đó ta có: KQ: .
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:
HD: lấy (1) – (2):

. KQ: (3;3),
Cách 2: xem phương pháp đánh giá.
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:
HD: + Điều kiện
+ Trừ vế theo vế hai PT (1) và (2) , có :
)

+ Thay y = x vào hệ PT , có hệ (thỏa)
+ Hệ PT đã cho có hai nghiệm là (0; 0) và (16; 16)
Ví dụ 6: Giải hệ bất phương trình:
HD: Điều kiện: .
cộng vế theo vế ta được:
Ví dụ 7: Giải hệ phương trình:
HD: lấy (1) – (2): (y2 – 1)(y2 – 4xy – 1) = 0
* y = 1: x = 1, x = 0
* y = -1: x = -1, x = 0
*
KQ: (0;1), (0;-1),
Ví dụ 8.
HD: đặt . (1) trở thành: . KQ: (5;-4)
BÀI TẬP
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
HƯỚNG DẪN:
1. KQ: (8;8)
2. HD: ĐK ta có:
3. HD: Lấy (1) – (2), nhân lượng liên hợp, rút nhân tử chung x – y. KQ: (3;3)
4. HD: Đặt t = x + y thay vào (1) ta có: . kết hợp với (2). KQ:
5. HD: Bình phương hai lần (1): KQ: (1;)
6. HD: lấy (1) chia vế theo vế cho (2) biến đổi ta được pt đẳng cấp bậc 4: 20y4 – 17x2y2 + 3x4 = 0
xét x = 0 có phải là nghiệm. Xét x 0: chia hai vế cho x4. KQ: (0;0).
7. KQ: (2;2)
8. HD: 2.(1) – 4.(2): . KQ: (1;1)
9. HD: cộng 2 pt với nhau, biến đổi thành:
(vì )
10. KQ: (0;0), (2;2)
11.
12. HD: . KQ:
13. HD: (1) + (2): (x – y)2 – 6(x – y) + 9 = 0 thay vào (2).
14. HD: (1): , kết hợp với (2).
15. HD: cộng 2 pt với nhau biến đổi thành pt tích.
16. HD: 3.(2) – (1): (x – 1)3 = (y + 2)3 hay x = y + 3. KQ: (1;-2), (2;-1)
17. HD: hpt lấy (2) – (1):
Ta có hệ: . KQ: (1;0). Cách 2: đặt ẩn phụ.

2. Phương pháp đặt ẩn phụ:
Điều quan trọng nhất trong phương pháp này là phát hiện ẩn phụ có ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau một số phép biến đổi.
Ta thực hiện theo các bước sau:
B1: Điều kiện (nếu có).
B2: Biến đổi rồi lựa chọn ẩn phụ thích hợp, tìm đk cho ẩn phụ
B3: Giải hệ nhận được, đối chiếu đk của ẩn phụ, từ đó suy ra nghiệm x, y.
B4: Kiểm tra tính hợp lệ cho nghiệm từ đó kết luận.
Dựa vào cách biến đổi ta phân ra các dạng như sau:
Dạng 1: Chia cho một biểu thức khác không và biến đổi để làm xuất hiện ẩn phụ:
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: (A1 – 2006)
HD : Dễ thấy y=0 không thỏa mãn PT(1) nên HPT
Đặt giải hệ ta được a=b=1 từ đó ta có hệ
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: (D – 2009)
HD: hpt Đặt a= x + y, b =. KQ: (1;1),
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
HD: * y = 0 không thoả mãn.
* y 0: ta có đặt khi đó:
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:
HD: Với x = 0 không thoả mãn nên: đặt ta có:

* ta có:
(ptvn)
* . KQ: . Cách 2: Xem ở phương pháp hàm số
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:
HD: x = 0 không thoả mãn. đặt .KQ: (1;0)
BÀI TẬP
1.
2.
3.
4.
5.
6. .
HƯỚNG DẪN:
1. HD: với y = 0 không thoả mãn khi đó: (1):y3, (2):y2 biến đổi và đặt .KQ:
2. HD: Với x = 0 suy ra y = 0. Với ta có (2) : x2 – (1) : x biến đổi ta được pt bậc hai theo . ( hoặc đặt ). KQ: (0;0), (1;2), (2;2)
3. HD: Với y = 0 không thoả mãn, khi đó (1): y3, (2) : y2 và đặt
4. HD: (2) : y2 và đặt khi đó ta được hệ đối xứng loại II.
KQ: (1;1), (-1;-1),
5. HD: (1) : x2, (2) : x3 đặt . KQ:
6. HD: Đặt u = x + , v = y + .

Dạng 2: Nhóm để làm xuất hiện ẩn phụ.
Ví dụ 1: (A – 08) .
HD: Biến đổi hpt thành: .
Đặt: . ĐS: .
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
HD: hpt đặt a = y – 3, b = x2 – 4 ta có hệ:
rút a từ (2) thay vào (1) ta có:
. KQ:
Ví dụ 3: Giải hpt:
HD: (2) suy ra: (x – 1)2 + (y – 2)2 = 38. đặt u = x – 1, v = y – 2. khi đó hpt trở thành:
Ví dụ 4: (D – 2007) . Tìm m để hệ phương trình này có nghiệm thực.
HD: Đặt , điều kiện . ĐS: .
Ví dụ 5: Giải hệ bất phương trình:
HD: điều kiện: . Đặt ĐK: , khi đó hệ được biến đổi về dạng:

Vậy nghịêm của hệ là cặp nghiệm (x; y) thoả:
Ví dụ 6. Giải hệ phương trình
HD: Điều kiện : x +y ≠0. HPT
Đặt ta được hệ
Giải hệ ta được a=2 , b=1 ( do |a|≥2 ) từ đó ta có hệ
BÀI TẬP
1.
(ĐH XD 97)
2. (ĐHSP HN 99)
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9. (TCKT 2001 kA).
10. (I)
11.
12.
13.
14.
15.
16.

HƯỚNG DẪN:
1. HD: đặt a = 2x + y, b = 2x – y. KQ:
2. HD: đặt a = x2 – 3x, b = y2 + 4y. KQ:
3. HD: Đặt . KQ:
4. HD: đặt KQ: (8;64), (64;8)
5. HD: đặt . KQ: (-1;-1)
6. HD: đặt a = x – y, b = xy.
7. HD: đặt . KQ:
8. HD: đặt . KQ: (-1;1), (1;-1), (-2;0), (2;0)
9. HD: đặt a = x2 + y2, b = x2y2
10. (I)  Đặt u =  x2 + xy, v = x3y
(I) thành Do đó hệ đã cho tương đương:

11. HD: đặt a = x(x – y), b = x – y.
12. HD: đặt a = x(x – 2), b = 2x – y
13. HD: a = x(x + 1), b = y(y + 1)
14. HD: đặt a = 2x + y, b = x2 – 2y2. KQ:
15. HD: đặt a = x2 – y, b = xy. KQ: (1;3)
16. HD: đặt a = y2 +1, b = . KQ: (1;1), (3;-1)

Dạng 3: Đặt ẩn phụ rồi rút ngược x = h(a,b) (hoặc y = k(a.b)).
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
HD: Đặt ĐK. đặt suy ra: a2 – b2 = -2yb từ đó ta rút ra .
Ta có hệ: , Giải hệ này ta được . KQ: (5;3), (5;4).
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: (HSG QG)
HD: đặt suy ra a2 – b2 = 5x kết hợp với (1): kết hợp với (2): , thay vào (1) hoặc (2) ta được kq:
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
HD: đặt ruý x theo a, y theo b thay vào (1) biến đổi ta được phương trình tích có nhân tử chung u – v. KQ:
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: (A – 2010)
Lưu ý: đây là bài khó dùng để phân loại.
HD: ĐK : , . ,
Đặt
Pt (1) trở thành u(u2 + 1) = v(v2 +1)  (u - v)(u2 + uv + v2 + 1) = 0  u = v
Nghĩa là : . Pt (2) trở thành
Xét hàm số trên

Mặt khác : nên (*) có nghiệm duy nhất x = và y = 2.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = và y = 2
BÀI TẬP
1.
2.
3.
4. (GTVT TPHCM 99)
HƯỚNG DẪN:
1. HD: Đặt a = x + y, b = x – y suy ra . Từ (1): a + b = 4 + . Biến đổi (2) ta có:, giải pt này ta được = 0. KQ: (2;2).
2. HD: đặt . KQ: (8;8), (8;-8)
3. HD: Đặt:
hpt trở thành (Do u, v ≥ 0) . Vậy nghiệm (1,1)
4. HD: (2): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 38, đặt a = x – 1, b = y – 2 ta có x = a + 1, y = b + 2 suy ra:
KQ:

Dạng 4. Các dạng khác: Sử dụng bình phương hai vế, Cộng hoặc trừ hai vế của hai phương trình ...để xuất hiện ẩn phụ.
Ví dụ 1: (ĐH Khối A – 2006) Giải hệ phương trình:
HD: Điều kiện: . Đặt . Bình phương phương trình 2, thay ẩn phụ vào, giải tìm được t = 3.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
HD: hệ
đặt . KQ: (3;3)
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình:
HD: Đặt đk. đặt
ta có . KQ: (5;4)
BÀI TẬP
1.
2.
3.
4.
5.
HƯỚNG DẪN:
1. KQ: (2;2)
2. HD: Từ (2): x + y = 16 - 2, thay vào (1) và đặt t =. KQ: (4;4)
3. HD: Từ (1): x2 + y2 = 3 + xy rồi thay vào bình phương hai vế của (2) và đặt t = xy.
KQ: (3;3),
4. đặt đk rồi bình phương pt(1) ta được: 4(x + y)(x – y) + x + y – 2 = 0 do đó ta biến đổi (2) thành: 2(x2 – y2) = (x + y)2 – 4. đặt a = x + y, b = x – y. KQ: (1;1)
5. HD: đặt đk . Ta thấy các vế của hai pt đều không âm và có chứa căn nên:
hpt . đặt .KQ:

3. Phương pháp hàm số.
Phương pháp chung : Ta biến đổi một trong hai phương trình về dạng :
f(x) = 0 (1); f(x) = f(y) (2) ; f(x) = g(x) (3)
Dạng f(x) = 0 : ta CM f(x) luôn ĐB hoặc luôn NB và liên tục trên D nên pt có nhiều nhất một nghiệm trên D, khi đó ta sẽ nhẫm nghiệm (thường nghiệm là số dễ tìm).
Dạng f(x) = g(x) : ta CM f(x) luôn ĐB, g(x) luôn NB và liên tục trên D nên pt có nhiều nhất một nghiệm trên D, khi đó ta sẽ nhẫm nghiệm (thường nghiệm là số dễ tìm).
Dạng f(x) = f(y) : ta CM f(x) luôn ĐB (hoặc NB) và liên tục trên D nên để thoả mãn thì x = y.
Lưu ý : Nhiều khi ta cần phải đánh giá ẩn x,y để x,y thuộc tập mà hàm f(x) luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến.
Dựa vào các dạng trên ta phân ra các loại hệ phương trình như sau :
* Loại thứ nhất : một phương trình trong hệ có dạng f(x)=f(y)
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình :
Giải : D = R. từ (1) ta có 2x3 + 3x = 2y3 + 3y suy ra đặt f(t) = 2t3 + 3t, f'(t) = 6t2 + 3 > 0 với mọi t nên hàm số luôn đồng biến và liên tục trên D do đó để pt (1) có nghiệm thì x = y thay vào (2) ta giải ra nghiệm.
Lưu ý: Với đề (A – 2003)
nÕu s/d pp hµm sè th× xÐt hµm sè nh­ng do f(t) kh«ng liªn tôc t¹i
t = 0 do ®ã kh«ng suy ra x = y mà ta phải s/d phương pháp nhóm (1) thành pt tích.
* Loại thứ hai : một phương trình trong hệ có dạng f(x)=f(y) , phương trình còn lại giúp ta giới hạn x,y thuộc tập D để trên D đó hàm hàm f(x) luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến.
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
Giải : Từ PT (2) ta có
Xét hàm số có do đó f(t) nghịch biến trên
khoảng (-1;1) hay PT (1) thay vào PT (2) ta được PT :
Đặt a=x4 ≥0 và giải phương trình ta được
* Loại thứ ba: một phương trình trong hệ có dạng f(x) = g(x)
Ví dụ 3 : Giải hệ phương trình :
Giải: ĐK. Thế y từ (2) vào (1) ta được:

Xét hàm số f(x) = -x3 + x2 – 2x + 9 (). Ta có f'(x) = -3x2 + 2x – 2 < 0, . Suy ra hàm f(x) luôn nghịch biến khi . Mặt khác, hàm g(x) = luôn đồng biến khi nên x = 2 là nghiệm duy nhất của pt(3). Vậy hệ có nghiệm (2;1)
*loại thứ tư: là hệ mà khi giải thường dẫn đến cả việc sử dụng cả hai trường hợp (1) và (2)
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình
Giải : Đặt ta được hệ
Trừ vế với vế 2 PT ta được : (3)
Xét hàm số
Vì do đó hàm số f(t) đồng biến và liên tục trên R
Nên PT (3) thay vào PT (1) ta được (4)
Theo nhận xét trên thì nên PT (4) ( lấy ln hai vế )
Xét hàm số
hay hàm g(a) nghịch biến trên R và do PT (4) có nghiệm a=0 nên PT (4) có nghiệm duy nhất a=0. Từ đó ta được nghiệm của hệ ban đầu là : x=y=1
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình (x, y  R). (A – 2010)
HD: Cách 1: ĐK , đặt t = . (1) trở thành (4x2 + 1).2x = (t2 + 1)t (3), vì nên từ (3) suy ra . Xét hàm f(u) = (4u2 + 1)u, có f'(u) = 12u2 + 1 > 0, suy ra hàm f(u) luôn đồng biến , do đó để thoả mãn (3) thì t = 2x hay khi đó:
pt (2) trở thành
Xét hàm số trên , < 0
Mặt khác : nên (*) có nghiệm duy nhất x = và y = 2.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = và y = 2
Cách 2: xem dạng 3 của pp đặt ẩn phụ.

BÀI TẬP
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
HƯỚNG DẪN:
1. HD : Hiển nhiên . Chia hai vế của pt(1) cho y5 ta được: . Xét hàm f(t) = t5 + t. KQ: (1;1), (1;-1).
2. HD: Xét hàm f(t) = t5 + 3t.
3. HD : Xét hàm số
4. HD : Xét hàm số
5. HD: ĐK . (1): (*).
Xét hàm f(t) = . Vì suy ra hàm f(t) đồng biến trên R. Do đó (*) 2x + 1 = - 3y thay vào (2) ta chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất x = -1.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (-1;)
6. HD: ĐK . đặt a = x + 1, . (1) trở thành: a3 – 3a2 = y3 – 3y2 (*)
Xét f(t) = t3 – 3t2, , chứng minh f(t) nghịch biến trên , khi đó (*) a = y hay y = x + 1, thay vào (2). KQ: (0;1).
7. ĐK . Ta thấy x = 0 không thoả mãn. Với x > 0 ta có (*)
Xét . Vì f'(t) > 0, nên hàm f(t) đồng biến trên R. Do đó (*) . Thay vào (2) ta được (**) đặt g(x) = trên , chứng minh g'(x) > 0 , mặt khác g(1) = 0. KQ:

4. Phương pháp đánh giá.
Với phương pháp này, cần lưu ý phát hiện các biểu thức không âm và nắm vững cách vận dụng các bất đẳng thức cơ bản, chia các trường hợp và nhận xét.
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình
HD: Cộng vế với vế hai PT ta được (1)
Ta có :
Tương tự mà theo bất đẳng thức Côsi nên VT(1)≤VP(1). Dấu bằng xảy ra khi thử lại ta được nghiệm của hệ là : (0;0) , (1;1)
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình .
HD: hpt
Nếu x>2 từ (1) suy ra y-2<0 điều này mâu thuẫn với PT(2) có (x-2) và (y-2) cùng dấu
Tương tự với x<2 ta cũng suy ra điều vô lí . Vậy nghiệm của hệ là x=y=2
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình
HD: đặt đk. trừ theo vế hai phương trình ta được:
* Nếu x > y thì suy ra (mâu thuẩn)
* Nếu x < y thì tương tự ta có (mâu thuẩn)
vậy x = y thay vào (1) ta có: . KQ: (4;4).
Cách 2: Trừ 2 phương trình cho nhau rồi sử dụng nhân lượng liên hợp (xem pp biến đổi tương đương dạng 5).
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình
HD: (1): (x2 – 2y)(x – y) = 0
* Với x2 – 2y = 0 không thoả mãn.
* Với y = x ta có:
KQ:
BÀI TẬP
1.
2.
3.
4.
HƯỚNG DẪN:
1. HD : đặt đk. trừ theo vế hai phương trình ta được:
Xét các trường hợp: x > y, x < y, x = y. KQ:
2. HD : Từ (2) : kết hợp với (1) ta có . Lấy (1) – (2) ta được:
x5(1 – x) + y5(1 – y) = 0 (3), dễ thấy mỗi số hạng của (3) đều không âm nên ta có:
KQ: (0;1), (1;0)
3. HD : đặt đk. trừ theo vế hai phương trình ta được:
Xét các trường hợp: x > y, x < y, x = y. KQ: (1;1)
4. HD : Từ (1) : 3(y - 1)2 = - 1 – x3 suy ra -1 – x3 0 .
Từ (2): ta có . Vậy x = -1.2222222222222222221de3232











BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 1: Giải các hệ: phương trình sau:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. (a > 0) 8.
9. 10.
Bài 2: Tìm a để hệ phương trình có 2 nghiệm:
Bài 3. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm:
Bài 4: Giải các hệ phương trình sau:
1. 2. 3. 4.

Bài 5:
1. ((§HSP Hµ Néi 99 – kD)

2. (Ngo¹i Th­¬ng 99 – kA)

3. (§HSPHN 2001 - kB)


4.(QG TPHCM 98 - kA)

5. (§HSP Hµ Néi 2000 – kA)

6. .(Ngo¹i Th­¬ng 98 – kA)







Bài 6:
1. (§H §µ n½ng 2001)

2. (QG 98 - kD)

3. (Ngo¹i Ng÷ 2001 – kD)



4. (QG 2000 - kB)

5. (SPTP HCM 2000 – kA)

6(§HQG 2000 - Khèi D)


Bài 7:

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Bài 8: .(NT – 97D) Cho hÖ:
a. Gi¶i hÖ víi m = 12. b. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ cã nghiÖm.
Bài 9: Giải hệ phương trình
1.
2. .
3. .
4.




















HƯỚNG DẪN:
Bài 1: giải hệ:
1. Cộng vế theo vế
2. lấy (1) – (2) rồi nhóm thành tích
3. từ (1) ta có
từ (2):. KQ: (216: 27)
4. HD: đặt nhân tử chung
VT của 2 pt rồi chia vế
theo vế ta được . KQ: (18; 8).
5. bình phương 2 pt chuyển thành tiếp tục bp và biến đổi. KQ: (5/8; )
6. như 5. KQ: (5/2; 4 )
7. như 5. KQ: (; a2 )
8. như 5. KQ: (5/2; 6)
9. như 3.KQ: (8; 64), (64; 8)
10. bình phương rồi trừ vế theo vế.
Bài 2. làm như 2 của bài 1. 2.
Bài 3. KQ:
Bài 4: giải hệ:
1. đặt . 2. đặt . 3. KQ: (2;8), (8;2).
Bài 7:
1,HD: từ (2) suy ra y = 6 – x2 – 4x thay vào (1) rồi đặt t = x2 + 2x.
2,HD: (1) – (2) : x = 8 – y råi thay vµo 1 trong 2 pt ®Ó gi¶i.
3,tõ (2) rót 2y = 8 – x2 – 4x thay vµo (1) råi ®Æt t = x2 + x.
4,* x = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm.
* chia 2 vÕ cña 2 pt cho x2 ta cã: ®Æt: . ĐS: (1;2), (1/2, 1)
5,Hpt ®èi xøng lo¹i II. 6,Hpt ®èi xøng lo¹i II. 7,Hpt ®èi xøng lo¹i II.
8,Hpt ®èi xøng lo¹i II.
9. (1):19x + (2):6 ta cã:
. kÕt hîp (*) víi (2). Tõ (**) gi¶i ®­îc xy thay vµo (1). §S: (-1/2, 3); (1/3, -2)
10,Hpt ®¼ng cÊp bËc II.
11,xÐt x = 0, y = 0 cã ph¶i lµ nghiÖm kh«ng. lÊy (1):y vµ (2): x ta ®­îc hÖ ®¼ng cÊp ®Æt y = tx.
12. từ (1) giải ra x/y, từ (2) giải ra xy.
13. tõ khai triÓn (2x + y)3 kÕt hîp tõ (1) xy(2x + y) = 15. råi ®Æt Èn phô u = xy, v = 2x + y.
14.Tõ (2) rót y theo x, thay vµo (1) ta ®­îc pt: x8 + x6 + x4 – 3x2 = 0. ®Æt t = x2.
15. chia (1) : (2), rồi kết hợp với (2) ta giải hệ đối xứng loại I. . C2: đặt u = x – y, v = xy.
ĐS: (-1, -2); (2, 1)
16. Bình phương (2) rồi s/d pp thế. 17. Xét 4 trường hợp để bỏ trị tuyệt đối.
18. đặt u = x(x – 1), v = y(y – 1)
19. Biến đổi và đặt u = x + y, v = x – y. 20. Lấy (1) – (2) rồi rút y theo x và thay vào (1).
21. Từ (1) ta có: (x – y)(x + y + 1) = 0, từ đó ta có 2 hpt đơn giản hơn. (Bài này không s/d pp hàm số được và hàm số đó không luôn đồng biến hoặc nghịch biến).
22. s/d pp hàm số đặt f(t) = t3 + 7t, hàm số này luôn đồng biến nên x = y thay vào (2).
23. Biến đổi rồi bình phương (1) kết hợp biến đổi (2) ta được trừ vế theo vế, rút y theo x thay vào (2).
24. Bình phương (1) rồi rút y theo x thay vào (2). 25. đặt u = x2 + 2x, v = 3x + y. 26 - 30: s/d pp hàm số.
Bài 9:
1. HD: Chia cả hai vế cho phương trình (1), Chia cả hai vế cho PT(2).
Cộng và trừ hai PT ta được HPT mới.
Nhân hai vế của hai PT. Giải phương trình đẳng cấp.
2. HD: Xét x = 0, y = 0. Chia hai phương trình đặt t =
3. Cách 1: thay 3 = x2 – xy + y2 vào (1) ta có x3 – y3 = 2x3 – 9y3 suy ra x = 2y
4. HD: Hệ phương trình đối xứng loại II. Trừ vế theo vế. Sau đó nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp.