CHƯƠNG 4
HÀM SỐ
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

CHỦ ĐỀ 1
HÀM SỐ .

1. Tập xác định của hàm số
Hàm số . Hàm số xác định với mọi số thực
2. Tính chất biến thiên của hàm số
 Nếu thì hàm số đồng biến khi , nghịch biến khi .
 Nếu thì hàm đồng biến khi , nghịch biến khi .
3. Đồ thị của hàm số
 Đồ thị của hàm số là một đường cong đi qua gốc toạ độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là một parabol với đỉnh O.
+ Nếu thì Parabol có bề lõm quay lên trên và nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.
+ Nếu thì Parabol có bề lõm quay xuống dưới và nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị.


 Vì đồ thị luôn đi qua gốc toạ độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng nên để vẽ đồ thị của hàm số này, ta chỉ cần tìm một điểm ở bên phải trục Oy rồi lấy các điểm đối xứng với chúng qua Oy.
DẠNG 1
VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bài 1. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ĐỒNG NAI năm 2021)
Vẽ đồ thị hàm số .
Lời giải
Tập xác định












Đồ thị hàm số là một Parabol đỉnh , nhận trục làm trục đối xúng, điểm là điểm thấp nhất của đồ thị.


Bài 2. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh TÂY NINH năm 2021)
Vẽ đồ thị của hàm số .
Lời giải
Tập xác định:
, hàm số đồng biến nếu , hàm số nghịch biến nếu
Bảng giá trị













Đồ thị hàm số là đường cong Parabol đi qua điểm , nhận làm trục đối xứng, bề lõm hướng lên trên.

Bài 3. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh KIÊN GIANG năm 2021)
Vẽ parabol trên hệ trục tọa độ .
Lời giải
Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ , có bề lōm hướng xuống và nhận làm trục đối xứng.
Bảng giá trị:




2
4

8
2

2
8
+ Vẽ (P):

Bài 4. Cho hàm số: có đồ thị (P). Vẽ đồ thị (P) .
Lời giải
Đồ thị hàm số là một Parabol đỉnh , nhận trục làm trục đối xúng, điểm là điểm cao nhất của đồ thị.
Bảng giá trị:
X
-4
-2
0
2
4

-4
-1
0
-1
-4

+ Vẽ (P):

Bài 5. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh VĨNH LONG năm 2021)
Trong mặt phẳng tọa độ , cho hàm số có đồ thị và đường thẳng Vẽ đồ thị và trên cùng mặt phẳng tọa độ.
Lời giải
Lập bảng:
Đường thẳng
x
0
4

2
0


Parabol
x
-2
-1
0
1
2

1

0

1

Vẽ đồ thị:


Bài 6. Cho đồ thị hàm số có đồ thị .
a) Vẽ đồ thị .
b) Tìm các điểm trên Parabol có tung độ bằng 16.
c) Tìm các điểm trên Parabol (khác gốc tọa độ) cách đều hai trục tọa độ.
Lời giải
a) Đồ thị Parabol có đỉnh là gốc tọa độ quay bề lồi xuống dưới, có trục đối xứng là đi qua các điểm

b) Gọi là điểm thuộc có tung độ bằng 16.
Ta có: . Vậy hoặc .
c) Gọi là điểm thuộc cách đều hai trục tọa độ.
Ta có: .
Theo giả thiết ta có: (loại) hoặc .
Vậy hoặc .
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 7. Vẽ các đồ thị hàm số sau:
a) b) c) d)
e) f) g) h)
Bài 8. Cho hàm số .
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số.
b) Các điểm sau có thuộc đồ thị hay không: ?
Bài 9. Cho hàm số có đồ thị .
a) Vẽ đồ thị hàm số .
b) Tìm các điểm trên đồ thị có tung độ bằng 4.
c) Tìm các điểm trên đồ thị sao cho các điểm đó cách đều hai trục toạ độ.
DẠNG 2
SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Các bạn muốn tải đầy đủ các chuyên đề toán 9 file word (hơn 1000 trang) thì liên hệ https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/

Bài 1. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BÌNH PHƯỚC năm 2021)
Cho parabol và đường thẳng .
a) Vẽ parabol và đường thẳng trên cùng một hệ trục tọa độ
b) Tìm tọa độ giao điểm của và bằng phép tính.
Lời giải
a) Vẽ parabol và đường thẳng trên cùng một hệ trục tọa độ
Tập xác định:
, hàm số đồng biến nếu , hàm số nghịch biến nếu
Bảng giá trị













Đồ thị hàm số là đường cong Parabol đi qua điểm , nhận làm trục đối xứng, bề lõm hướng lên trên.
Tập xác định:
nên hàm số đồng biến trên
Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua điểm và


b) Tìm tọa độ giao điểm của và bằng phép tính.
Hoành độ giao điểm của và là nghiệm của phương trình .
Ta có nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt
+ Với
+ Với .
Vậy tọa độ giao điểm của và là và .
Bài 2. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BÌNH DƯƠNG năm 2021)
Cho Parabol và đường thẳng (d):
a) Vẽ đồ thị (P).
b) Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
Lời giải
a) Vẽ đồ thị .
Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ , có bề lõm hướng xuống và nhận làm trục đối xứng.
Bảng giá trị:



0
1
2



0



Parabol đi qua các điểm , , , , .
Đồ thị Parabol :

b) Hoành độ giao điểm của đồ thị và là nghiệm của phương trình:

Ta có: nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt
.
Với .
Với .
Vậy tọa độ các giao điểm của và (d) là .
Bài 3. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh TIỀN GIANG năm 2021)
Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol
a) Vẽ đồ thị parabol
b) Bằng phép tính, tìm tất cả các điểm thuộc parabol (khác gốc tọa độ ) có tung độ gấp hai lần hoành độ.

Lời giải
a) Vẽ đồ thị parabol
Bảng giá trị:












Đồ thị:


b) Gọi là điểm cần tìm với .
Vì có tung độ gấp hai lần hoành độ nên
Khi đó:
Vì nên:
Vì nên ta chọn . Vậy
Bài 4. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BẠC LIÊU năm 2021)
Cho hàm số: có đồ thị (P) và đường thẳng (d): . Vẽ đồ thị (P) và tìm tọa độ giao điểm của (P) với đường thẳng (d) bằng phép tính.
Lời giải
+ Vẽ (P):
X
-4
-2
0
2
4

-4
-1
0
-1
-4


+ Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của pt:


Với x=2 ta được y=-1; với x=-4 ta được y=-4.
Vậy tọa độ giao điểm của (P) và (d) là : và
Bài 5. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh Quãng Ngãi năm 2021)
Cho hàm số có đồ thị .
a) Vẽ
b) Bằng phép tính, tìm tọa độ các giao điểm của và đường thẳng .
Lời giải
a) Vẽ
Vẽ đồ thị hàm số .
Tập xác định:
, hàm số đồng biến nếu , hàm số nghịch biến nếu
Bảng giá trị













Đồ thị hàm số là đường cong Parabol đi qua điểm , nhận làm trục đối xứng, bề lõm hướng lên trên.

b) Bằng phép tính, tìm tọa độ các giao điểm của và đường thẳng .
Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa và đường thẳng ta được:

Ta có: nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Với ta có .
Với ta có .
Vậy đồ thị cắt tại hai điểm .
Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ cho Parabol , trên lấy hai điểm .
a) Tính diện tích tam giác .
b) Xác định điểm thuộc cung nhỏ của sao cho diện tích tam giác lớn nhất.
Lời giải
a) Gọi là phương
trình đường thẳng .
Ta có
suy ra phương trình đường thẳng .
Đường thẳng cắt trục tại điểm .

Diện tích tam giác là: .
Ta có .
Suy ra (đvdt).
b) Giả sử thuộc cung nhỏ với .
Diện tích tam giác:.
Các tứ giác đều là hình thang vuông nên ta có:
.
Vậy diện tích tam giác lớn nhất bằng (đvdt) khi .
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 7. Cho Parabol và đường thẳng
a) Vẽ đồ thị 2 hàm số trên trên cùng 1 mặt phẳng tọa độ
b) Tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thị trên.
Bài 8. Cho Parabol và đường thẳng
a) Vẽ đồ thị 2 hàm số trên trên cùng 1 mặt phẳng tọa độ
b) Tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thị trên.
Bài 9. Cho hàm số .
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số.
b) Dựa vào đồ thị (P) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình: .
Bài 10. Cho hàm số .
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số.
b) Dựa vào đồ thị (P) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình: .
Bài 11. Trên cùng một hệ trục toạ độ, vẽ đồ thị các hàm số và . Dựa vào đồ thị hãy giải các bất phương trình:
a) b) .
Bài 12. Trên mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng và parabol .
a) Tìm tọa độ các giao điểm của và .
b) Gọi là hai giao điểm của và . Tính diện tích tam giác .




Các bạn muốn tải đầy đủ các chuyên đề toán 9 file word (hơn 1000 trang) thì liên hệ https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/


DẠNG 3
XÁC ĐỊNH HỆ SỐ CỦA HÀM SỐ

Bài 1. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh NAM ĐỊNH năm 2021)
Tìm tọa độ của tất cả các điểm thuộc parabol có tung độ bằng .
Lời giải.
Thay vào phương trình parabol: . Ta có:

Vậy tọa độ tất cả các điểm thỏa mãn đề bài là: và .
Bài 2. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh Phú Yên năm 2021)
Cho hàm số .
a) Xác định hệ số biết rằng đồ thị của hàm số cắt đường thẳng tại điểm có hoành độ bằng .
b) Vẽ đồ thị của hàm số và đồ thị hàm số với giá trị của vừa tìm được ở câu a) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
c) Dựa vào đồ thị, hãy xác định tọa độ giao điểm thứ hai (khác ) của hai đồ thị vừa vẽ trong câu b).
Lời giải
a) Xét phương trình hoành độ giao điểm: (1)
Do đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại điểm có hoành độ bằng nên ta có là một nghiệm của phương trình (1).
Thay vào phương trình (1), ta có: .
Vậy .
b) Vẽ đồ thị hàm số
Ta có bảng giá trị:






Do đó, đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm và
Vẽ đồ thị hàm số
Đồ thị hàm số bậc hai và có hệ số nên đồ thị có dạng Parabol và có bề lõm hướng lên trên. Hàm số đồng biến khi và nghịch biến khi
Ta có bảng giá trị:












Do đó, đồ thị hàm số là đường cong đi qua các điểm , , , và
Vẽ đồ thị hàm số

c) Dựa vào đồ thị trên, ta nhận thấy đồ thị hàm số cắt đồ thị hàm số tại hai điểm có hoành độ và .
Vậy giao điểm thứ hai khác của hai đồ thị hàm số là .
Bài 3. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh QUẢNG TRỊ năm 2021)
Cho hàm số . (1)
1. Tìm điều kiện của m để hàm số (1) đồng biến khi .
2. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng tại điểm có tung độ bằng 2?
Lời giải
1. Điều kiện để hàm số (1) đồng biến khi là .
Vậy để để hàm số (1) đồng biến khi thì .
2. Vì đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng tại điểm có tung độ bằng 2 nên giao điểm đó có hoành độ x thỏa mãn: .
Thay vào (1) ta có: .
Vậy để thỏa mãn điều kiện bài toán thì .
Bài 4. Cho đồ thị hàm số .
a) Hãy xác định hàm số biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm .
b) Tìm sao cho thuộc Parabol.
Lời giải
a) Ta có
b) Thay tọa độ điểm vào ta được: hoặc .
Bài 5. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh VĨNH LONG năm 2021)
Tìm tất cả các giá trị của là số nguyên sao cho giao điểm của đồ thị hai hàm số và có tọa độ là các số nguyên dương.
Lời giải:
Cách 1:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai hàm số:
Với
Vì:
Để



Với
Với
Với
Vậy
Cách 2: Vì:
Để
(Vì: )
Với
Với
Với . Vậy

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 6. Cho hàm số .
a) Chứng minh rằng với mọi a.
b) Tìm a  R sao cho .
Bài 7. Cho hàm số . Tìm giá trị của m để:
a) Hàm số đồng biến với x < 0.
b) Có giá trị khi .
c) Hàm số có giá trị lớn nhất là 0.
d) Hàm số có giá trị nhỏ nhất là 0.
Bài 8. Cho hàm số . Tìm giá trị của m để:
a) Hàm số đồng biến với mọi x > 0
b) Hàm số nghịch biến với mọi x < 0
Bài 9. Cho parabol . Xác định m để điểm nằm trên parabol.
Bài 10. Cho hàm số . Xác định hệ số a trong các trường hợp sau:
a) Đồ thị của nó đi qua điểm A(3; 12)
b) Đồ thị của nó đi qua điểm B(-2; 3)
Bài 11. Xác định m để đồ thị hàm số đi qua điểm . Với m tìm được, đồ thị hàm số có đi qua điểm hay không?
Bài 12.
a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc toạ độ O và điểm .
b) Viết phương trình parabol P dạng và đi qua điểm .
c) Vẽ parabol P và đường thẳng d trên trong cùng một hệ trục toạ độ và tìm toạ độ giao điểm của chúng.
Bài 13. Cho hàm số
a) Xác định a biết rằng đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = -3x + 4 tại điểm A có hoành độ bằng -2.
b) Với giá trị của a vừa tìm được, vẽ đồ thị 2 hàm số trên cùng mặt phẳng tọa độ


























DẠNG 4
ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bài 1. Một xe tải có chiều rộng là 2,4 m chiều cao là 2,5 m muốn đi qua một cái cổng hình Parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng cách từ đỉnh cổng tới mỗi chân cổng là m( Bỏ qua độ dày của cổng).
a) Trong mặt phẳng tọa độ gọi Parabo với là hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn đi qua. Chứng minh .
b) Hỏi xe tải có đi qua cổng được không? Tại sao?
Lời giải
a) Giả sử trên mặt phẳng tọa độ, độ dài các đoạn thẳng được tính theo đơn vị mét. Do khoảng cách giữa hai chân cổng là 4 m nên . Theo giả thiết ta có , áp dụng định lý Pitago ta tính được: vậy . Do thuộc parabol nên tọa độ điểm thỏa mãn phương trình: hay và .


b) Để đáp ứng chiều cao trước hết xe tải phải đi vào chính giữa cổng.
Xét đường thẳng
(ứng với chiều cao của xe). Đường thẳng này cắt Parabol tại 2 điểm có tọa độ thỏa mãn hệ:

suy ra tọa độ hai giao điểm là .
Vậy xe tải có thể đi qua cổng.

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 2. Một cái cổng hình Parabol có phương trình . Biết chiều rộng là . Hỏi xe tải có chiều rộng là và chiều cao là có đi qua được cái cổng trên không?
Bài 3. Thiết diện của một cái hồ nước là Parapol (chọn hệ trục tọa độ vuông góc Oxy (hình vẽ), biết rằng bề ngang của thiết diện là AB = 8m, bề sâu của thiết diện OC = 4m.
a.Xác định hệ số a.
b.Vẽ đồ thị hàm số trên (với hệ số a tìm được) trong mặt phẳng Oxy.

Bài 4. Đường đi của quả bóng theo quỹ đạo là một Parabol . Một cầu thủ ở vị trí A (hình vẽ), đá một quả bóng bay bổng lên cao đến vị trí O cách mặt đất 15m và rơi xuống vị trí B cách A 30m.
Chọn hệ thống trục tọa độ vuông góc Oxy (như hình vẽ)
Xác định tọa độ các điểm A và B trong hệ trục Oxy này. Tính giá trị cùa hệ số a.

Bài 5. Quãng đường đi của một vật rơi tự do không vận tốc đầu cho bởi công thức (trong đó g là gia tốc trọng trường g = 10 m/giây2, t (giây) là thời gian rơi tự do, S là quãng đường rơi tự do). Một vận động viên nhảy dù, nhảy khỏi máy bay ở độ cao 3200 mét (vận tốc ban đầu không đáng kể, bỏ qua các lực cản). Hỏi sau thời gian bao nhiêu giây, vận động viên phải mở dù để khoảng cách đến mặt đất là 1200 mét?




Các bạn muốn tải đầy đủ các chuyên đề toán 9 file word (hơn 1000 trang) thì liên hệ https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/
Các bạn muốn tải đầy đủ các chuyên đề toán 9 file word (hơn 1000 trang) thì liên hệ https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/























DẠNG 5
ỨNG DỤNG CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRONG GIẢI TOÁN
Tham khảo thêm

Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng và điểm . Tìm tất cả những điểm sao cho khoảng cách từ đến bằng .
Lời giải
Giả sử điểm . Khi đó khoảng cách từ đến bằng và . Như vậy Từ đây suy ra .
Do đó tập hợp tất cả những điểm sao cho khoảng cách từ đến bằng là đường Parabol .
Bài 2. Xác định điểm thuộc đường Parabol sao cho độ dài đoạn là nhỏ nhất, trong đó .
Lời giải
Giả sử điểm thuộc đường Parabol suy ra .
Khi đó .
Vậy .
Ta thấy nhỏ nhất bằng khi hay .
Bài 3. Giả sử điểm chạy trên Parabol . Tìm tập hợp trung điểm của đoạn .
Lời giải
Giả sử điểm thuộc . Gọi là trung điểm đoạn .
Suy ra .
Vậy tập hợp các trung điểm của đoạn là đường Parabol .
Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai điểm và chạy trên parabol sao cho và . Giả sử là trung điểm của đoạn .
a) Tìm quỹ tích điểm trung điểm của đoạn .
b) Đường thẳng luôn luôn đi qua một điểm cố định.
c) Xác định tọa độ điểm và sao cho độ dài đoạn nhỏ nhất.
Lời giải
a) Giả sử và là hai điểm thuộc . Để và ta cần điều kiện: và hay và . Rút gọn hai vế ta được: .
Gọi là trung điểm đoạn .
Khi đó: .
Vậy tọa độ điểm thỏa mãn phương trình .
Ta cũng có thể tìm điều kiện để theo cách sử dụng hệ số góc: Đường thẳng có hệ số góc là , đường thẳng có hệ số góc là . Suy ra điều kiện để là
b) Phương trình đường thẳng đi qua và là hay .
Từ đây ta dễ dàng suy ra đường thẳng luôn luôn đi qua điểm cố định .
c) Vì nên .
Độ dài đoạn hay
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có , .
Ta có: .
Vậy ngắn nhất bằng khi . Ta có thể chỉ ra cặp điểm đó là: và .