SƠ GIAO DUC VA ĐAO TAO
TINH ………….

KY THI CHON HOC SINH GIOI CÂP TINH
LƠP 9 THCS, NĂM HOC 2022 - 2023
Môn thi: TOAN
Ngay thi: …/../….
Thơi gian: 150 phut (không kê thơi gian phat đê)
----------------

ĐÊ CHINH THƯC

Câu 1. (3,00 điêm) Cho hê phương trinh vơi tham sô m:
� + �� = � + 1
�� + � = 3� − 1
a) Giai va biên luân hê phương trinh theo m.
b) Trong trương hơp hê co nghiêm duy nhât, tim cac gia tri cua m đê tich xy nho nhât.
Câu 2. (3,50 điêm) Giai hê phương trinh:
(� + �)(� + �) − �� = � − �
(� + �)(� + �) − �� = � − � (a, b, c la tham sô, a + b + c ≠ 0)
(� + �)(� + �) − �� = � − �

Câu 3. (1,50 điêm) Tim sô chinh phương lơn nhât, biêt răng nêu xoa hai chư sô tân cung cua no (hai
chư sô nay không cung băng 0), ta lai đươc môt sô chinh phương.
Câu 4. (5,00 điêm) Chưng minh răng:
a) Vơi n nguyên dương

1

1

1

1

1

1

n

1 + 2 + 3 + . . . + 2n −1 > 2.

b) Vơi moi sô dương A, ta luôn tim đươc sô tư nhiên n đê

1 + 2 + 3 + . . . + 2n −1 > A.

Câu 5. (4,50 điêm)Cho đương tron tâm O nôi tiêp hinh vuông ABCD, tiêp điêm trên AB la M.
Môt tiêp tuyên vơi đương tron (O) căt cac canh BC, CD lân lươt ơ E, F.
Chưng minh răng:
a) Cac tam giac DFO va BOE đông dang;
b) ME song song AF.
Câu 6. (2,50 điêm) Cho ba đương thăng song song a, b, c theo thư tư ây, điêm A thuôc a, điêm B
thuôc b. Goi M la môt điêm bât ki thuôc c. MA căt b ơ B', MB căt a ơ A'. Chưng minh răng khi
điêm M chuyên đông trên c thi đương thăng A'B' luôn luôn đi qua môt điêm cô đinh.
---------HÊT--------Thi sinh không sư dung tai liêu. Giam thi không giai thich gi thêm.
Ho va tên thi sinh:……………………………………;Sô bao danh:…………………………………
Chư ki giam thi 1:……………………………….;Chư ki giam thi 2:………………………………..

Đap an va thang điêm:
Câu
Đap an
1
a) Giai va biên luân hê phương trinh theo m.
Vơi m ≠ ± 1, hê co môt nghiêm duy nhât:

3�+1 �−1
�+1

;

�+1

Điêm
3,00 đ
1,50 đ
0,50 đ

.

Vơi m = 1, hê vô sô nghiêm: (x; 2-x) vơi x ϵ R.
Vơi m =-1, hê vô nghiêm.
b) Trong trương hơp hê co nghiêm duy nhât, tim cac gia tri cua m đê tich xy nho
nhât.
Vơi m ≠ ± 1, ta co:
xy=
2

3

4

(3�+1)(�−1)
(�+1)2

=

3�2 −2�−1
(�+1)2

=

4�2 −(�2 +2�+1)
(�+1)2

=

4�2

(�+1)2

−1≥-1

Kêt luân: min xy = -1 khi va chi khi m = 0
Giai hê phương trinh:
Công tưng vê vơi vê:
(� + �)(� + �) − �� + (� + �)(� + �) − �� + (� + �)(� + �) − ��
=�−� +�−�+�−�
(� + �)(� + �) + (� + �)(� + �) + (� + �)(� + �) − �� − �� − �� = 0
<=>ax + bx + ay + by + by + cy + bz + cz + ax + cx + az + cz − ax − by −
cz = 0
<=> ax + bx + ay + by + cy + bz + cz + cx + az = 0
<=> a(x + y + z) + b(x + y + z) + c(x + y + z) = 0
<=> (x + y + z)(a + b + c) = 0 ma a+b+c ≠0
=> x + y + z = 0
Dưa vao x + y + z = 0 thay vao tưng vê, ra cac nghiêm lân lươt la:
�−�
�−�
�−�

0,50 đ
0,50 đ
1,50 đ
1,25 đ
0,25 đ
3,50 đ
1,00 đ
1,00 đ

1,50 đ

;

;

�+�+� �+�+� �+�+�

1,50 đ

Goi sô chinh phương phai tim la n2, ta co n2 = 100A + b (A la sô trăm, 1≤ b ≤ 99).
0,25 đ
Theo đê bai, 100A la sô chinh phương nên A la sô chinh phương.
Đăt A=a2 (a ϵ N). Cân tim gia tri lơn nhât cua a.
0,50 đ
2
2
2
2
2
2
Ta co: n > 100a => n > 10a => n ≥ 10a + 1 => n ≥ (10a + 1) => 100a +b ≥ 100a
+ 20a +1 => b ≥ 20a + 1.
Ma b ≤ 99 nên 20a + 1 ≤ 99 => a ≤ 4.
0,75 đ
Ta co: n2 = 100a2 + b ≤ 1600 + 99 = 1699. Kiêm tra: 422 = 1764; 412 = 1681.
Sô chinh phương lơn nhât phaI tim la 1681=412.
5,00 đ
a) Chưng minh bât đăng thưc
2,00 đ
1
1
1
1,00 đ
Goi A= 1 + + + . . . +
. Ta co:
1

A= 1 + +
2
1

=1+ +
2

2

1

3
1
3

3

+

+

1

4
1

22

+

+

1
5

2n −1

+... +
1

22 +1

1

+... +

8

+... +

1

1

2n −1

23

+... +

�

1

1

2n−1 +1

+... +

1

2n

1

− 2n

Thay môi phân sô trong môi dâu ngoăc bơi phân sô nho nhât trong dâu ngoăc đo:
1

A> 1 + +
2
1

1

.2 +

22
1
1

1

23

. 22 + . . . +
1

= 1+ + + +... + −
2

2

2

2

b) Chưng minh bât đăng thưc

1

2n

1

2n

. 2n−1 −

1

2n

�

= 1 + − 2� > .
2

2

1,00 đ

3,00 đ

1

1

Ap dung câu a: 1 + + + . . . +
5

1

2,00 đ

n

> 2 , nêu ta chon k = 2n-1 thi
2
3
1 1
1 n
1+ + +... + >
2 3
k 2
1
1
1
2A
=A
Như vây nêu chon k = 22A - 1 thi 1 + + + . . . + >
2n −1
2

3

k

a) Cac tam giac DFO va BOE đông dang
Dê dang chưng minh ��� = 45o, ��� = 45o.
Do đo:  OFE ᔕ  DFO(g.g).
Tương tư:  OFE ᔕ  BOE(g.g).
Suy ra:  DFO ᔕ  BOE (tinh chât băc câu)
b) Chưng minh ME // AF
Đăt BM=a. Tư câu a suy ra
��

��

=

��

=>

��
��
��

��

� 2

=

� 2
��

=>

��
�

=

1,00 đ

2

4,50 đ
2,00 đ
0,50 đ
1,00 đ
0,50 đ
2,50 đ
1,00 đ

2�

��

=> �� = �� =>  DAF ᔕ  BEM(c.g.c)

6

0,50 đ
0,50 đ
0,50 đ
2,50 đ
1,00 đ

=> ��� = ���
Lai co: ��� = ��� nên ��� = ���
Suy ra ME // AF

Goi giao điêm cua A'B' vơi AB la O; h1, h2 lân
lươt la khoang cach cua c vơi a, vơi b.
Dê dang chưng minh đươc:  A'MA ᔕ  BMB'
(g.g)
��'
ℎ
= 1 (ti sô đông dang băng ti sô đương
=>
��'

ℎ2

cao) (1)
Xet  AOA' va  BOB', ta co:
 AOA' ᔕ  BOB' (g.g)
��
��'
=> =
��

��'

Tư (1), (2) suy ra:

(2)

�� ℎ1
=
�� ℎ2
=> O la điêm cô đinh.
Vây khi điêm M chuyên đông trên c thi đương
thăng A'B' luôn luôn đi qua môt điêm cô đinh (la
O).

h1
h2

0,50 đ
0,50 đ
0,50 đ