CHUYÊN ĐỀ: SỐ NGUYÊN TỐ - HỢP SỐ

1. Chứng minh một số là số nguyên tố hay hợp số

Ví dụ 1. Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện
chia hết cho
. Chứng minh rằng
là số nguyên tố.
Lời giải
Do
chia hết cho
nên tồn tại số nguyên dương k để
.
Ta cần chứng minh k là một số nguyên tố.
Giả sử cặp số nguyên dương
thỏa mãn (1) và
nhỏ nhất .
Không mất tính tổng quát ta giả sử
.
Xét phương trình
có ẩn x.
Khi đó
là một nghiệm của phương trình trên. Do đó theo định lý Vi – et thì phương trình còn có một nghiệm nữa. Gọi nghiệm đó là
thì ta được

Từ đó ta suy ra được
nguyên dương và

Nếu
thì ta có

Do đó
, điều này trái với cách chọn
nhỏ nhất.
Do đó ta suy ra được
, khi đó ta được
.
Từ đó suy ra
là số nguyên tố.
Ví dụ 2. Giả sử bốn số nguyên a, b, c, d đôi một khác nhau và thoả mãn hệ điều kiện sau:


Chứng minh rằng
là một hợp số.
Lời giải
Bài toán yêu cầu cầu chứng minh
là một hợp số, như vậy ta sẽ đi chứng minh tổng đó chia hết cho một số nguyên khác 1 nào đó hoặc đi tìm giá trị của tổng. Quan sát giả thiết ta nhận thấy có dạng bậc hai nên ta sẽ quy về phương trình bậc hai để sử dụng định lí Vi – et.
Từ hệ thức
, nếu xét phương trình bậc hai có ẩn x là
thì ta được a, b là nghiệm.
Hoàn toàn tương tự ta xét phương trình
, khi đó c, d là ngiệm của phương trình.
Từ đó theo định lí Vi – et ta có
và

Kết hợp hai hệ thức trên ta được
nên suy ra

Đồng thời ta có
hay
.
Mặt khác từ giả thiết ta có
và

Từ các hệ thức trên ta có



Nếu
, mà
nên ta được
.

Nếu
, khi đó kết hợp với
ta được
trái với giả thiết
Vậy từ đó ta được
. Do đó suy ra
là hợp số.

Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu
là số nguyên tố
thì
là hợp số.
Lời giải
Xét ba số tự nhiên liên tiếp là
.
Trưng ba số tự nhiên liên tiếp trên có duy nhất một số chia hết cho 3.
Do
nên
, mà theo giả thiết thì
là số nguyên tố, do đó
không chia hết cho 2. Lại có
không chia hết cho 3. Do đó suy ra
chia hết cho 3.
Mà do
nên
. Từ đó ta được
là hợp số.

Bài tập
1. Chứng minh rằng nếu tồn tại số nguyên dương x thỏa mãn
là một số chính phương thì x là hợp số.
2. Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn
. Chứng minh rằng
là một bợp số.
3. Cho a, b, c là các số nguyên khác không và
thỏa mãn điều kiện
. Chứng minh rằng
không phải là số nguyên tố.

2. Tìm số nguyên tố thỏa mãn điều kiện cho trước
Ví dụ 1. Tìm số nguyên tố p để
và
là các số chính phương.
Lời giải
Giả sử tồn tại các số nguyên dương x và y thỏa mãn
và

Khi đó ta được
.
Trừ theo vế của đẳng thức (2) cho đẳng thức (1) ta được

Suy ra ta được
.
Mặt khác từ (1) ta thấy p là số lẻ và
> Ta có
.
Từ (2) ta lại có
nên
.
Từ (3) ta suy ra được
. Từ đó ta được
.
Chú ý p là là số nguyên tố lẻ nên từ (4) ta suy ra được
.
Mà ta lại có
nên ta được
. Thay vào (30 ta được
.
Từ đó suy ra
nên ta được
.
Thay
vào (1) ta được
.
Thay
vào (2) ta được
.
Vậy
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Nhận xét: Ngoài cách giải như trên ta còn có thể giải bằng cách xét các khả năng của p: Với p chẵn không xẩy ra, với
khi đó ta được
. Đến đây ta tìm các giá trị của k để
là các số chính phương.

Ví dụ 2. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho
là lập phương của một số tự nhiên.
Lời giải
Đặt
với n là một số tự nhiên.
Vì p là số nguyên tố nên ta xét các