SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
NINH BÌNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2022-2023
MÔN TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi 14/12/2023
Thời gian làm bài :150 phút
Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng
Ngãi.Điện thoại : 0708127776
Câu 1: (5,0 điểm)
a  a 1
1
a


a a 2
a 1 a  2 a
3
2
2. Cho phương trình (m + 1) x + (3m − 1) x − x − 4m + 1 = 0 (với m là tham số). Tìm m

1. Với a  0, a  1, rút gọn biểu thức P 

để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt
3. Cho đa thức P( x)  ( x  2)2023  a2023 x2023  a2022 x 2022  ...  a2 x 2  a1x  a0 .Tính giá trị của biểu
thức Q  (a0  a2  ...  a2020  a2022 )2  (a1  a3  ...  a2021  a2023 )2
Câu 2. (4 điểm)
1. Giải phương trình 2 x2  3x  2  (2 x 1) 2 x2  x  3
2 xy
 2
2
 x  y  x  y 1
2. Giải hệ phương trình 
2 x  3 y  x  y  x 2


Câu 3. (3 điểm)
1. Tìm tất cả các số tự nhiên x, y thoả mãn x 2 (y − 1) + y 2 (x − 1) = 1
2. Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức P 

ab
bc
ca


ab  3c
bc  3a
ca  3b

Câu 4. (6 điểm)
Cho 3 điểm phân biệt cố định A, B, C cùng nằm trên đường thẳng d (điểm B nằm giữa A
và C), gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC.Đường tròn tâm O luôn đi qua hai điểm B và
C (điểm O không thuộc d). Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn tâm O (M, N là các
tiếp điểm).Đường thẳng MN cắt
OA tại điểm H và cắt BC tại điểm K
1. Chứng minh tứ giác OMNI nội tiếp và AH.OA = AN 2
2. Khi đường tròn tâm O thay đổi. Chứng minh MN luôn đi qua điểm K cố định
3. Tia AO cắt đường tròn tâm O tại hai điểm P,Q (điểm P nằm giữa A và O). Gọi D
là trung điểm của đoạn thẳng HQ. Từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD và cắt đường
thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm ME
Câu 5 (2 điểm) Cho một bảng ô vuông kích thước 10x10 gồm 100 ô vuông đơn vị (cạnh
bằng 1)
1.Điền vào mỗi ô vuông đơn vị một trong các số − 1; 0; 1. Xét các tổng của tất cả các số
đã điền trên mỗi hàng, mỗi cột và hai đường chéo của bảng đã cho.Hỏi các tổng đó có thể
nhận bao nhiêu
giá trị và chứng minh trong đó có hai tổng bằng nhau
1

2.Điền vào mỗi ô vuông đơn vị một số nguyên dương không vượt quá 10 sao cho hai số ở
hai ô chung cạnh hoặc chung đỉnh là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh trong bảng
đã cho tổn tại một số được điền ít nhất 17 lần

2