Câu 1: (1.5 điểm). Cho tam giác ABC, kí hiệu H là trực tâm, I là tâm đường tròn nội tiếp, O là tâm đường
tròn ngoại tiếp ABC và K là điểm tiếp xúc giữa cạnh BC với đường tròn nội tiếp (I). Chứng minh rằng nếu
hai đường thẳng (OI) và (BC) song song nhau thì hai đường thẳng (AO) và (HK) là song song.

Để giải bài toán này, ta có thể sử dụng số phức. Gọi A, B, C lần lượt là các
điểm có tọa độ số phức $z_A, z_B, z_C$. Theo định nghĩa, tâm đường tròn nội
tiếp I của tam giác ABC có tọa độ số phức là:
$$z_I = \frac{a z_A + b z_B + c z_C}{a+b+c}$$
Trực tâm H của tam giác ABC có tọa độ số phức:
$$z_H = \frac{z_A + z_B + z_C}{3}$$
Tâm đường tròn ngoại tiếp O của tam giác ABC có tọa độ số phức:
$$z_O = \frac{(b-c)z_A + (c-a)z_B + (a-b)z_C}{2\mathrm{i}(a+b+c)}$$
Điểm tiếp xúc K của đường tròn nội tiếp (I) với cạnh BC có tọa độ số phức:
$$z_K = \frac{1}{2}(z_B + z_C - \frac{bc}{z_B - z_C})$$
Giả sử hai đường thẳng (OI) và (BC) song song nhau, ta có:
$$\frac{z_I - z_O}{z_B - z_C} = \frac{z_A - z_I}{z_B - z_C}$$
Tương đương với:
$$z_I - z_O = \frac{a}{b-c}(z_B - z_C) - z_A + z_I$$
Simplifying:
$$z_I - \frac{a}{b-c}(z_B - z_C) = \frac{1}{2}(z_A + z_O)$$
Chú ý rằng:
$$\frac{a}{b-c} = -\frac{z_A - z_B}{z_C - z_A}$$
Do đó, ta có:
$$z_I - \frac{a}{b-c}(z_B - z_C) = z_I + \frac{z_A - z_B}{z_C - z_A}(z_B - z_C)
= \frac{(z_A - z_C)(z_B - z_O)}{z_A - z_O}$$
Tương tự, ta có:
$$z_H - z_K = \frac{2(z_A - z_C)(z_B - z_O)}{9(z_A - z_O)}$$
Do đó, để chứng minh hai đường thẳng (AO) và (HK) song song nhau, ta cần
chứng minh rằng:

$$\frac{z_A - z_C}{z_A - z_O} = \frac{9(z_A - z_C)}{2(z_H - z_K)}$$
Thay các công thức đã có vào, ta có:
$$\frac{z_A - z_C}{z_A - z_O} = \frac{(z_A - z_C)^2}{(b-c)z_A^2 + (ab)z_Bz_C + (c-a)z_Cz_B}$$

Câu 2:

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng số phức. Giả sử đường tròn qua B, C có
tâm là O, và giao với AB và AC tại các điểm E và F lần lượt. Ta sẽ chứng minh
rằng BB ', CC' và HH 'đồng qui bằng cách chứng minh rằng chúng đều vuông
góc với đường trung trực của đoạn thẳng EF, và sau đó sử dụng tính chất
đồng qui của các đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cố định.
Để làm được điều này, ta sẽ dùng số phức cho các điểm và đường thẳng
trong hình vẽ. Ta sẽ đặt gốc tọa độ tại đỉnh A của tam giác ABC và đặt trục
thực trên cạnh AB sao cho điểm B có tọa độ là 1 trên trục thực. Khi đó, tọa độ
của các điểm là:
$A = 0$, $B = 1$, $C = c$, $E = z_1$, $F = z_2$, $H = \frac{1+c+z_3}
{3}$, và $H' = \frac{1+c+\bar{z_3}}{3}$,
trong đó $c$ là số phức tương ứng với đỉnh C. Ta cũng biết rằng $z_1$ và
$z_2$ là nghiệm của đường tròn (O) và $z_1 + z_2 = c + 1$.
Trước hết, ta cần tìm tọa độ của đường trung trực của đoạn thẳng EF. Vì EF
song song với đường trung trực của BC, nên ta có thể cho $z_1 = -z_2$. Do
đó, tọa độ của đường trung trực là $\frac{1}{2}(z_1 + z_2) = \frac{c+1}
{2}$.
Tiếp theo, ta sẽ tính tọa độ của đường thẳng (BB '). Đường thẳng này đi qua
hai điểm B và B ', nên phương trình của nó có dạng $z = t + 1$, trong đó $t$
là một số thực. Để xác định giá trị của $t$, ta cần tìm điểm cắt của đường
thẳng này với đường trung trực của EF. Điểm cắt này có tọa độ là $\
frac{c+1}{2} + bi$, trong đó $b$ là một số thực. Thay tọa độ này vào
phương trình của đường thẳng (BB '), ta có:
$t + 1 = \frac{c+1}{2} + bi$
$\Rightarrow t = \frac{c-1}{2} + bi$
Câu 3:

Để giải bài toán này, ta sử dụng phép biến đổi phức để giải quyết.
Gọi A, B, C, D lần lượt là các số phức biểu diễn tọa độ của các đỉnh A, B, C, D.
Ta chọn trục tọa độ sao cho tọa độ của điểm A là 0, và chọn đơn vị đo là
đoạn thẳng AB.
Để dễ dàng tính toán, ta chọn đường tròn đường kính AB là đường tròn đơn
vị. Vì thế tọa độ của A và B lần lượt là 0 và 1.
Để tính tọa độ của tâm E, ta cần tìm trung điểm của AB và điểm chính giữa
đoạn thẳng EF. Điểm chính giữa đoạn thẳng EF là số phức:
$e = \frac{1}{2}(a+b+bi+b)$
$= \frac{1}{2}(a+b(1+i))$
$= \frac{1}{2}(a+b(1+\sqrt{-1}))$
Tương tự, ta tính được tọa độ của các tâm F, G, H:
$f = \frac{1}{2}(b+c(1+\sqrt{-1}))$
$g = \frac{1}{2}(c+d(1+\sqrt{-1}))$
$h = \frac{1}{2}(d+a(1+\sqrt{-1}))$
Chú ý rằng ta đã chọn đơn vị đo là đoạn thẳng AB, vì thế các số phức biểu
diễn tọa độ của các điểm E, F, G, H đều là số phức có độ lớn nhỏ hơn hoặc
bằng 1.
Ta cần chứng minh rằng EG = FH và EG vuông góc với FH.
Để tính toán EG và FH, ta cần tính toán hiệu của các số phức biểu diễn tọa độ
của các điểm E, G và F, H:
$e - g = \frac{1}{2}(a-b+c-d)(1+\sqrt{-1})$
$f - h = \frac{1}{2}(b-c+d-a)(1+\sqrt{-1})$
Ta thấy rằng hai hiệu này bằng nhau, do đó ta có:
$e - g = f - h$
Điều này chứng tỏ EG = FH.

Để chứng minh EG vuông góc với FH, ta tính tích vô hướng của hai hiệu này:
$(e-g) \cdot (f-h) = \frac{1}{4}(a-b+c-d)(b-c+d-a)(1+\sqrt{-1})^2$
$= \frac{1}{4}[(a-b)(b-c) + (c-d)(d-a)]$
Điều này chứng tỏ hai hiệu này vuông góc với nhau, do đó ta có EG vuông gó
Câu 5:

Để giải bài toán này, ta sử dụng phép biến đổi phức để giải quyết.
Gọi A, B, C, D lần lượt là các số phức biểu diễn tọa độ của các đỉnh A, B, C, D
của tứ giác ngoại tiếp đường tròn. Ta chọn trục tọa độ sao cho tọa độ của
điểm A là 0, và chọn đơn vị đo là bán kính của đường tròn đó.
Để dễ dàng tính toán, ta chọn đường tròn đường kính AB là đường tròn đơn
vị. Vì thế tọa độ của A và B lần lượt là 0 và 1.
Để tính toán tọa độ các điểm tiếp xúc, ta sử dụng tính chất của đường tròn
ngoại tiếp. Gọi P, Q, R, S lần lượt là các điểm tiếp xúc của đường tròn ngoại
tiếp với các cạnh AB, BC, CD, DA. Ta có:
$p = 1$
$q = 1 + ia$
$r = 1 + (a+b)i$
$s = 1 + bi$
Trong đó, $a$ và $b$ lần lượt là độ dài các cạnh BC và AD.
Ta thấy rằng $q - p = ia$ và $s - r = ib$. Do đó, tam giác PQS và tam giác
RQP có hai góc bù nhau và cạnh chung là $1+i$. Vì thế ta có:
$qs = rp$
Tương tự, ta có:
$pr = qs$
Do đó, ta có tứ giác PQRS là một hình thang đồng dạng với tứ giác ABCD, và
có hai đường chéo là $qs$ và $pr$.

Gọi M, N, O, P lần lượt là trực tâm của các tam giác AQP, BPQ, CRS, DSR. Ta
cần chứng minh rằng MNO và OPQ là hai tam giác đồng dạng và tạo thành
một hình bình hành.
Ta tính toán các tọa độ của M, N, O, P bằng cách lấy trung điểm của các số
phức biểu diễn tọa độ của các đỉnh của các tam giác tương ứng.
$m = \frac{1}{3}(a+1+ai)$
$n = \frac{1}{3}(a+2+ai)$
$o = \frac{1}{3}(b+2+b i)$
$p = \frac{1}{3}(b+1+b i)$
Từ đây ta tính được tọa độ của các đường chéo:
$qs = (q-s) = ia$
$pr = (p-r) = ib$
Tính toán các vectơ tạo thành hình bình hành:
$op = (p-0)