SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
VĨNH LONG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2022-2023
MÔN TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi 14/12/2023
Thời gian làm bài :150 phút
Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng
Ngãi.Điện thoại : 0708127776
Câu 1. (4.0 điểm)
 x 3 2 x 2 x  x  
x 


 : 1 

x  1 
 x  2 3 x x 5 x  6  

a) Rút gọn biểu thức A  
với x  0, x  1, x  9
b) Cho x 

3

10  6 3 ( 3  1)
62 5  5

. Tính giá trị của biểu thức M  ( x3  4 x  1)2022 .

Câu 2. (4.0 điểm)
a) Giải phương trình x  1  2 7  x  2 x  1  7  6 x  x2
b) Cho hai đường thẳng ( d1 ):mx+(m−1)y−2m+1=0, ( d 2 ):(1−m)x+my−4m+1=0. Tìm giá
trị của tham số m để tam giác IAB cân tại I với A, B lần lượt là các điểm cố định mà ( d1 ),
( d 2 ) đi qua và I là giao điểm của ( d1 ), ( d 2 )
Câu 3. (5,0 điểm)
a.Cho tam giác ABC( AB < AC ). Giả sử AH=12cm,BC=25cm. Tính độ dài các cạnh
AB,AC.
b) Gọi M là điểm đối xứng của B qua H . Đường tròn tâm O đường kính MC cắt AC tại
D. Chứng minh HD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O
c) Cho BC=2a, AH phải có độ dài bằng bao nhiêu theo để diện tích tam giác OHD là lớn
nhất.
Câu 4. (4,0 điểm)
a) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n+2021 và n+2205 đều là các số chính phương.
b) Giải phương trình nghiệm nguyên 2 x2  3xy  2 y 2  6 x  2 y  1
Câu 5. (3,0 điểm)
a) Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn x  y  4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức P  2 x 2  4 y 2 

63 3

x y

b) Trong mặt phẳng cho 6 điểm A1; A2 ; A3 ; A4 ; A5 ; A6 . Trong đó không có ba điểm nào thẳng
hàng và trong 3 điểm bất kỳ luôn có 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 674. Chứng minh
rằng trong 6 điểm đã cho luôn tồn tại 3 điểm là 3 đỉnh của một tam giác có chu vi nhỏ hơn
2022.
Lời giải
Câu 1. (4.0 điểm)

1

 x 3 2 x 2 x  x  
x 


 : 1 

x  1 
 x  2 3 x x 5 x  6  

a) Rút gọn biểu thức A  
với x  0, x  1, x  9
b) Cho x 

3

10  6 3 ( 3  1)
62 5  5

. Tính giá trị của biểu thức M  ( x3  4 x  1)2022 .
Lời giải

 x 3

2 x

2 x  x  

x 

x 1

x 1

a) Ta có A  
.Vậy A 


 : 1 
 
x 2
x

2
3

x
x

5
x

6
x

1
x

2

 

với x  0, x  1, x  9
b)Ta có x 

3

10  6 3 ( 3  1)
62 5  5

 2 . Khi đó M  ( x3  4 x  1)2022  12022  1 .

Câu 2. (4.0 điểm)
a) Giải phương trình x  1  2 7  x  2 x  1  7  6 x  x2
b) Cho hai đường thẳng ( d1 ):mx+(m−1)y−2m+1=0, ( d 2 ):(1−m)x+my−4m+1=0
Tìm giá trị của tham số m để tam giác IAB cân tại I với A, B lần lượt là các điểm cố định
mà ( d1 ), ( d 2 ) đi qua và I là giao điểm của ( d1 ), ( d 2 )
Lời giải
a) Ta có điều kiện 1  x  7 .Ta có
x  1  2 7  x  2 x  1  7  6 x  x 2  ( x  1  2)( x  1  7  x )  0

x 1  2  0

 x  3(tm) .Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho S={3}.
 x  1  7  x  0
b) Gọi A( x0 ; y0 ) là điểm cố định mà ( d1 ) luôn đi qua với

mọi m  m x0 +(m−1) y0 −2m+1=0 với mọi m  m( x0 + y0 −2)−m+1=0 với
 x0  y0  2  0
x 1
 0
 A(1;1). Tương tự B(−1;3)
  y0  1  0
 y0  1

mọi m  

+ Nếu m=0 thì ( d1 ):y=1 và ( d 2 ):x=−1. Tọa độ I(−1;1).Khi đó IA=IB=4. Vậy I(−1;1) thỏa
mãn điều kiện bài toán.
+ Nếu m=1 thì ( d1 ):x=1 và ( d 2 ):y=3. Tọa độ I(1;3). Khi đó IA=IB=4. Vậy I(1;3) thỏa mãn
điều kiện bài toán.
+ Nếu m≠0;m≠1. Gọi K là trung điểm của AB. Suy ra tọa độ của K(0;2). Ta có K thuộc
trung trực của AB. Phương trình đường thẳng AB có dạng y=ax+b.Ta có
 ab  2
b2

. Suy ra y=−x+2. Phương trình đường trung trực của AB có

a  b  3 a  1

dạng y=x+d. Vì K(0;2) thuộc trung trực của AB. Nên 0+d=2⇒d=2. Phương trình đường
trung trực của AB là y=x+2. Tọa độ của I là nghiệm của hệ

6m 2  4m  1
y


mx  (m  1) y  2m  1  0
2m 2  1

. Vì I thuộc đường trung trực của AB.


2

(2
m

4
m

1)
(1  m) x  my  4m  1  0
x 

2m 2  1
6m2  4m  1 (2m2  4m  1)

 2  4m2  2  0( KTM ) .Vậy I(−1;1) hoặc I(1;3).
Nên
2
2
2m  1
2m  1
2

Câu 3. (5,0 điểm)
a.Cho tam giác ABC( AB < AC ). Giả sử AH=12cm,BC=25cm. Tính độ dài các cạnh
AB,AC.
b) Gọi M là điểm đối xứng của B qua H . Đường tròn tâm O đường kính MC cắt AC tại
D. Chứng minh HD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O
c) Cho BC=2a, AH phải có độ dài bằng bao nhiêu theo để diện tích tam giác OHD là lớn
nhất.
Lời giải

a.Tính độ dài các cạnh AB,AC. Đặt AB=x;AC=y. Áp dụng hệ thức cạnh và đường cao
 x 2  y 2  252
 x  y  35

trong tam giác vuông ABC ta có 
 x, y là nghiệm của phương
 xy  300
 xy  12.25
 X  20
trình X 2  35 X  300  0   1
. Vì AB X 2  15

b.Chứng minh HD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.Ta có đường tròn đường
kính MC cắt AC tại D. Nên góc MDC=90.Suy ra tứ giác ADMH nội tiếp⇒góc HDM=góc
HAM (cùng chắn cung HM). Vì ΔABM cân tại A. Nên AH đồng thời là phân giác⇒góc
BAH=góc HAM. Lại có góc BAH=góc ODC⇒góc HDM=góc ODC.Ta luôn có góc
MDO+góc OCD=90 hay góc MDO+góc HDM=90⇒góc HDO=90 hay
DH⊥OD tại D∈(O).Vậy HD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.
DH .DO DH 2  OD 2 OH 2
BC


.Mà HO  HM  MO 
 a.
2
4
4
2
DH .DO DH 2  OD 2 OH 2 a 2
a2


 . Suy ra S HDO lớn nhất là
Nên S HDO 
⇔ΔHDO vuông
2
4
4
4
4
a
cân tại D. Mà HO  a  DH 
. Lại có gócADH=gócAMH=gócABH=góc
2
a
HAD⇒ΔHAD cân tại H  HA  DH 
.
2

c.Ta có: S HDO 

Câu 4. (4,0 điểm)
a) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n+2021 và n+2205 đều là các số chính phương.
b) Giải phương trình nghiệm nguyên 2 x2  3xy  2 y 2  6 x  2 y  1
Lời giải
a) Vì n+2021 và n+2205 đều là các số chính phương.

3

n  2021  a 2

Nên 

n  2205  b

2

 (b  a)(b  a)  2.92  4.46  8.23 .Với a>44.Vì (b−a)+(b+a)=2b là số chẵn

và 184 là số chẵn. Nên (b−a) và (b+a) đều là số chẵn. Mặt khác b−atrường hợp sau:
 b  a  2
 b  47
(tm)


 b  a  92   a  45
.Với
 b  a  4
 b  45


(ktm)
 b  a  46
  a  1

b  47
(tm) thì n=4. Vậy n=4.

a

45


b) Ta có 2 x2  3xy  2 y 2  6 x  2 y  1  ( x  2 y  2)(2 x  y  2)  5  1.5  (1).(5) .Xét từng trường
hợp ta có nghiệm (1;1).
Câu 5. (3,0 điểm)
a) Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn x  y  4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức P  2 x 2  4 y 2 

63 3

x y

b) Trong mặt phẳng cho 6 điểm A1; A2 ; A3 ; A4 ; A5 ; A6 . Trong đó không có ba điểm nào thẳng
hàng và trong 3 điểm bất kỳ luôn có 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 674. Chứng minh
rằng trong 6 điểm đã cho luôn tồn tại 3 điểm là 3 đỉnh của một tam giác có chu vi nhỏ hơn
2022.
Lời giải

63 3
 63
 3
  2( x  3)2  4( y  1)2    7 x     3 y   5( x  y)  22
x y
 x
 y

x  3
 2.21  2.3  5.4  22  46  
.Vậy P nhỏ nhất là 46.
y 1

a) Ta có P  2 x 2  4 y 2 

b)Trong các đoạn Ai Aj với i,j∈{1,2,3,4,5,6} và i≠j nếu Ai Aj <674 thì tô Ai Aj màu đỏ, các
đoạn còn lại tô màu xanh.Ta chỉ cần chứng minh tồn tại một tam giác có các cạnh đều là
màu đỏ là đủ vì khi đó chu vi tam giác hiển nhiên nhỏ hơn 3.674=2022.
5
Xét A1 A2 ; A1 A3 ; A1 A4 ; A1 A5 ; A1 A6 có 5 đọan nên theo nguyên lý Dirichle tồn tại    1 đoạn
2

thẳng ở trên được tô cùng màu. Nếu A1 A2 ; A1 A3 ; A1 A4 được tô cùng màu xanh thì
buộc A2 A3 ; A3 A4 ; A4 A2 được tô màu đỏ vì trong ba điểm bất kỳ luôn tồn tại hai điểm có
khoảng cách nhỏ hơn 674 nên trong một tam giác bất kỳ luôn tồn tại một cạnh màu đỏ.Vậy
tam giác A2 A3 A4 có các cạnh được tô hoàn toàn bằng màu đỏ. Nếu A1 A2 ; A1 A3 ; A1 A4 được tô
cùng màu đỏ thì xét tam giác A2 A3 A4 tồn tại một cạnh màu đỏ, giả sử A2 A3 được tô màu đỏ
thì tam giác A1 A2 A3 được tô hoàn toàn bằng màu đỏ.Vậy ta có điều phải chứng minh.

4